Re: [obm-l]
Thiago wrote: Estou com dificuldade em resolver a seguinte questão: a + b + c = 5 e ab + ac + bc = 3 (a, b e c são números reais) qual é o máximo valor para c? a + b + c = 5 = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac) = 25 \--6--/ donde c² = 19 - a² - b² a + b + c = 5 = c = 5 - a - b = c² = 25 + a² + b² - 10a - 10b + 2ab igualando temos 2a² + (-10 + 2b)a + 2b² - 10b + 6 = 0 O discriminante desta última deve ser positiva para a terna existir. Resolvendo, chega-se em 12b² - 40b - 52 = 0; donde -1 = b = 13/3. Logo maior valor para qualquer a, b, c é 13/3. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] congruencias
Uma solucao sem cálculos seria esta: 13 divide 2^70 + 3^70 implica que: 2^70 + 3^70 = 0 (mod 13) , onde = denota congruencia. logo 2^70 = -3^70 (mod 13) como a^k = b^k (mod m) = a = b (mod m), ver o artigo do Yuri Gomes, temos: 2 = -3 (mod 13) 13 divide -3 - (-2) = -1, verdade. Logo 13 divide 2^70 + 3^70. At 13:42 10/3/2004, you wrote: Bem, e se voces usassem sorobans? Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Calculadora? Que calculadora? on 10.03.04 00:43, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: CLARAMENTE para quem: Para voce ou para a sua calculadora ? :-)) Em uma mensagem de 9/3/2004 16:39:15 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Realmente, ,mais humilhante nao podia ser... Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 09.03.04 01:14, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Prove que 2^70 + 3^70 eh divisivel por 13. Esse eh facil. Basta ver que 2^70 + 3^70 = 2503155504994422192936289397389273, o qual eh claramente divisivel por 13. O quociente eh 192550423461109399456637645953021. []'s, Claudio. http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://br.yahoo.com/info/mail.htmlYahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] congruencias
Droga, escrevi a mensagem com pressa. Pensando melhor eu escrevi muita porcaria... Fazendo algumas contas: 2 congruente a 2 mod 13 2^2 congruente a 4 mod 13 (2^2)^5 congruente a 4^5 mod 13 (4^5 = 1024, dá pra fazer na mao, e depois divide por 13) = congruente a 10 mod 13 (2^10)^7 congruente a 10^7 mod 13 (divide na mao 10^7 por 13, acha:) congruente a 10 mod 13. logo 2^70 congruente a 10 mod 13. Agora: 3 congruente a 3 mod 13; 3^2 = 9 congruente a 3^2 = 9 mod 13 (3^2)^5 congruente a 9^5 = 59049, congruente a 3 mod 13 (3^10)^7 congruente a 3^7 = 2187, congruente a 3 mod 13. logo 3^70 congruente a 3 mod 13. Somando, temos que 2^70 + 3^70 congruente a 13 mod 13, logo 2^70 + 3^70 congruente a 0 mod 13, e 13 divide 2^70 + 3^70. É mais rápido pelo pequeno teorema de fermat, onde 2^13 congruente a 2 mod 13 e 3^13 congruente a 3 mod 13... At 15:46 11/3/2004, you wrote: -Mensagem Original- De: Cesar Ryudi Kawakami [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quinta-feira, 11 de março de 2004 14:41 Assunto: Re: [obm-l] congruencias Uma solucao sem cálculos seria esta: 13 divide 2^70 + 3^70 implica que: 2^70 + 3^70 = 0 (mod 13) , onde = denota congruencia. logo 2^70 = -3^70 (mod 13) como a^k = b^k (mod m) = a = b (mod m), ISTO É FALSO ver o artigo do Yuri Gomes, temos: 2 = -3 (mod 13) ISTO É FALSO 13 divide -3 - (-2) = -1, verdade. ISTO É FALSO Logo 13 divide 2^70 + 3^70. At 13:42 10/3/2004, you wrote: Bem, e se voces usassem sorobans? Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Calculadora? Que calculadora? on 10.03.04 00:43, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: CLARAMENTE para quem: Para voce ou para a sua calculadora ? :-)) Em uma mensagem de 9/3/2004 16:39:15 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Realmente, ,mais humilhante nao podia ser... Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 09.03.04 01:14, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Prove que 2^70 + 3^70 eh divisivel por 13. Esse eh facil. Basta ver que 2^70 + 3^70 = 2503155504994422192936289397389273, o qual eh claramente divisivel por 13. O quociente eh 192550423461109399456637645953021. []'s, Claudio. http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://br.yahoo.com/info/mail.htm lYahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Número de Participantes da OBM
Quantos participantes prestam a 1a. fase da OBM no Brasil no nível 2? Erm... E, bem, eu também gostaria de saber quantos premiados colocam mensagens nessa lista... ^^ Cesar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Curiosidade
At 15:32 25/11/2003, you wrote: Olá! Há data prevista para divulgação dos resultados finais da OBM? Abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Não é dia 10/12? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM-2 e 3 - problema da divisibilidade
At 20:52 24/10/2003, you wrote: Oi, Cesar: Vamos por partes: (...) 2) A sua afirmativa nao estah correta. De fato, quando m*p = 34^2, m*p - 67 = 33^2. No entanto, ha infinitos outros valores de m*p tais que m*p - 67 eh quadrado perfeito. Basta tomar m*p = 67 + N^2, para algum inteiro N. Alem disso, para N impar, m*p serah par e, portanto, composto. Um abraco, Claudio. De alguma forma, eu quis provar que havia uma estreita relação entre m*p e n^2... Esqueci, também, de colocar que não é m*p, e, sim, m*4p, para m inteiro e p primo. Nossa, como eu fui distraído nessa hora... Que droga... O fato de 67 estar do lado esquerdo me confundiu muito na série... Bem, agora já foi... Obrigado pela ajuda nessa questão! =) Cesar Ryudi Kawakami = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Raiz dupla
At 12:51 25/10/2003, you wrote: Quais são as condições para uma equação de 2º grau apresentar raiz dupla? Ter raízes reais e diferentes? Basta que o discriminante da equação, que é b^2 - 4*a*c (sendo a o coeficiente de x^2, b o coeficiente de x e c o coeficiente de x^0 = 1), ser maior que zero. Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Raiz dupla
Raíz com multiplicidade dois eu não entendi... Consegui entender, sim, que no caso da expressão raiz dupla, interpreta-se como raízes iguais, certo? Ou continuo errado? (E o pior, sem entender o significado da expressão). Peço desculpas a todos. Cesar. At 14:07 25/10/2003, you wrote: On Sat, Oct 25, 2003 at 01:06:48PM -0200, Cesar Ryudi Kawakami wrote: At 12:51 25/10/2003, you wrote: Quais são as condições para uma equação de 2º grau apresentar raiz dupla? Ter raízes reais e diferentes? Normalmente a expressão raiz dupla significa uma raiz com multiplicidade 2 e não duas raízes distintas. Basta que o discriminante da equação, que é b^2 - 4*a*c (sendo a o coeficiente de x^2, b o coeficiente de x e c o coeficiente de x^0 = 1), ser maior que zero. A sua resposta está certa para a sua interpretação. Mas como já indiquei, a interpretação não foi a correta (ou pelo menos não a usual). A condição certa é b^2 - 4ac = 0. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equação Biquadrada
Hum... A soma das duas raízes (caso reais) de uma equação biquadrada é, desenvolvendo a fórmula de Bháskara, é -b/a, onde b é o coeficiente de x e a é o coeficiente de x^2. Aplicando isso sobre 1992.x^4+1993.x^2+1994=0, substituindo y = x^2, temos que a soma das duas raízes é de -1993/1992. Mas, é fácil ver que o determinante da equação é negativo, fato pelo qual a equação não posui raízes reais, assim como o Claudio falou. Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami At 08:38 24/10/2003, you wrote: on 23.10.03 23:58, Fábio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, como posso resolver essa questão, sem resolver a equação? Determine a soma das duas raízes positivas da equação 1992.x^4+1993.x^2+1994=0 Desde já agradeço. Seja f(x) = 1992x^4 + 1993x^2 + 1994. Eh facil ver que, para x real, o valor minimo de f(x) eh 1994, obtido quando x = 0. Logo, f(x) nao tem raizes reais. Portanto, nao faz sentido falar em raizes positivas da sua equacao, pois as 4 raizes sao complexas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
At 02:01 24/10/2003, you wrote: Se a circunferência tem diâmetro BC então o centro dela está no ponto médio de BC. (Creio que foi uma mera desatenção sua Cesar) Eu pensei nessa hipótese, e foi mera desatenção de minha parte mesmo... CÁLCULO DE DF: Como F é a intersecção da circunferência com BD, então o triangulo CFB é retângulo. Nota-se que o triangulo DCB também é retângulo. Como você provou isso? Eu desenhei e também tive essa conclusão, mas não pude provar isso de modo satisfatório... Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM-2 e 3 - problema da divisibilidade
Eu provei isso de um jeito muito estranho durante a prova da OBM... Eu afirmei que m.p - 67 só será quadrado perfeito caso m.p seja igual à 34^2. Foi algo assim: Lembrando que a soma dos n primeiros números ímpares resulta em n^2, e sendo 67 o 34o. número ímpar positivo, podemos ver que m.p - 67 será um quadrado perfeito se, e apenas se, m.p = 34^2 e m.p - 67 = 33^2. Agora, basta provar que em 8m = 34^2 m não é inteiro. m = ((2.17)^2)/8 m = (2.2.17.17)/8 m = (17^2)/2 Assim, 8m - 67 nunca será quadrado perfeito, e, conseqüentemente, sqrt(8m - 67) nunca será racional, sequer inteiro. Qualquer erro, eu pediria pra avisar... :-) Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami At 23:02 23/10/2003, you wrote: on 23.10.03 20:24, Cesar Ryudi Kawakami at [EMAIL PROTECTED] wrote: ... sqrt(8m - 67) nunca será racional, sequer inteiro ... Oi, Cesar. A sua afirmativa estah correta, mas qual a sua justificativa para ela? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] OBM-2 e 3 - problema da divisibilidade
Determine o menor primo positivo que divide x^2 + 5x + 23 para algum inteiro x. Esse é o problema 2 da OBM nível 2 e o problema 1 da OBM nivel 3... Eu cheguei no resultado de uma forma mais trabalhosa do que esperava, procedendo desta maneira: Supondo que 2 seja o menos divisor primo, deve existir algum m tal que x^2 + 5x + 23 = 2m. Resolvendo, chegamos à x = (-5 +- sqrt(8m - 67))/2, que nunca será inteiro, pois sqrt(8m - 67) nunca será racional, sequer inteiro Assim procedi para todos os números primos, até 17, para o qual há divisão inteira... É um método trabalhoso, e levanto algumas perguntas... ^^ a) Como proceder de um jeito mais prático para a resolução dessa questão? b) Como provar que a raíz de alguma expressão de 1o. grau nunca será racional? c) Estou sendo muito ignorante fazendo essas perguntas? É que parece que a lista tem um direcionamento mais pro nível universitário... d) alguém aqui prestou a OBM-2? ^^ Um abraço, =) Cesar Ryudi Kawakami (rumo à Menção Honrosa, esse ano, pelo menos espero... ^^ ) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM-2 e 3 - problema da divisibilidade
Teoria dos Números, certo? Quem mandou eu fugir das aulas preparatórias no etapa... que droga. Muito obrigado... Valeu mesmo, assim já me preparo pra a do ensino médio, que provavelmente só terei chance no 3o. ano... Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami At 21:30 23/10/2003, you wrote: Determine o menor primo positivo que divide x^2 + 5x + 23 para algum inteiro x. q(x) = x² + 5x + 23 note que 23 é divisor de q(0) em segundo lugar veja que se para um dado x p|q(x), então existe um valor r p tal que p|q(r), basta ver que pelo algoritmo da divisão temos x = pm + r com 0 = r p para algum m inteiro, logo q(x) = q(pm + r) = (pm + r)² + 5(pm + r) + 23 = p²m² + 2pm(r + 5) + r² + 5r + 23 como p|q(pm + r), p|[p²m² + 2pm(r + 5) + r² + 5r + 23], logo p|(r² + 5r + 23), p|q(r) então você vai testar no máximo os primeiros 23 valores do polinômio :-) tá, ok, não deixa de ser uma tarefa massante, mas dá pra fazer isso facilmente q(x+1) = (x+1)² + 5(x+1) + 23 = x² + 7x + 29 q(x+1) - q(x) = 2x + 6 q(0) = 23 q(1) = 23 + 2.1 + 6 = 31 q(2) = 31 + 2.2 + 6 = 41 q(3) = 41 + 2.3 + 6 = 53 q(4) = 53 + 2.4 + 6 = 67 ... se você quer ser metódico, monte uma tabela com os primeiros valores de 2x + 6 e vá calculando os valores do polinômio dessa forma (duvido que vc perca mais do que 5 minutos pra chegar na solução). não sei se respondi seu item (a) satisfatoriamente, mas não veio nenhuma idéia de como resolver isso facilmente (resolver os polinômios mod p não é muito divertido). item (b) se q(x) = a0 + a1x + a2x² + ... + a[n]x^n é um polinômio de coef. inteiros (se forem racionais, multiplique o pol. por um inteiro que transforme todos os coef. em inteiros) então r = u/v é uma raiz racional desse polinômio somente se u divide a0 e v divide a[n]. item (c) a lista é para todos os níveis [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema 6 - OBM 3a. fase - Nível 2
Entendi... Eu conheço o método de aplicação do PIF para equações e inequações algébricas, mas na hora, não imaginei poder usár o PIF em um problema daquele tipo... Valeu por me explicar! =) Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami At 16:39 22/10/2003, you wrote: No fundo a culpa foi minha... não percebi que nível 2 é da 8ª série :-) O tipo de prova que eu usei é bem comum, é a aplicação de um princípio matemático chamado PIF (princípio da indução finita). Vou tentar ser didático para explicá-lo. Imagine que você tenha uma proposição baseada em um número inteiro, essa proposição depende de um inteiro n, por exemplo: Para todo número n de cidades conectadas como no enunciado abaixo, é possível obter um ciclo através dela trocando de transporte no máximo 1 vez. O PIF requer que: - seja provado para um ou mais casos inciais que a afirmação seja verdadeira - supondo que a afirmação seja verdade para um intervalo de inteiros a partir do(s) caso(s) inciais, demonstre que ela é verdadeira para o primeiro inteiro fora do intervalo da suposição. Se você conseguir fazer as duas coisas você mostrou que a proposição vale para todo n a partir do caso incial provado. Vamos ver um exemplo besta: Mostre que 2^n n! para n = 4. o caso incial é n = 4 e temos 2^4 = 16 4! = 24 suponha agora que isso seja verdade para todo k, com 4 = k = n ou seja, temos como hipótese que 2^n n! bem, (n+1)! = (n+1)n! 2n! (pois n = 4) mas n! 2^n, logo (n+1)! 2*2^n = 2^(n+1) provamos então pelo PIF que 2^n n! para todo n = 4. Um detalhe técnico muito importante em que muita gente falha na hora de usar o PIF é que devemos estar atentos a hipótese usada, por exemplo, no caso acima bastou usar o fato de que 2^n n! mas, se precisássemos além disso afirmar que 2^(n-1) (n-1)!, deveríamos demonstrar na base os 2 primeiros valores (4 e 5), se isso não for feito a demonstração está errada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema 6 - OBM 3a. fase - Nível 2
Sei que a solução envolve conhecimento do princípio indutivo e da interpretação de gráficos, mas... Como resolver? PROBLEMA 6: Há N cidades na Tumbólia. Cada duas cidades desse país são ligadas por uma rodovia ou uma ferrovia, não existindo nenhum par de cidades ligadas por ambos meios. Um turista deseja viajar por toda Tumbólia, visitando cada cidade exatamente uma vez, e retornar a cidade onde ele começou sua jornada. Prove que é possível escolher a ordem na qual as cidades serão visitadas de modo que o turista mude o meio de transporte no máximo uma vez. Eu sinceramente não fazia a mínima noção de como resolver esse problema... No segundo dia de prova, resolvi as questões 4 e 5 em pouco tempo, mas empaquei nesta... =( Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema 6 - OBM 3a. fase - Nível 2
Não entendi direito com que tipo de hipótese foi trabalhada... Mais especificamente, não entendi como provar que tal suposição de que é possível mudar de meio de transporte apenas uma vez para todo 1 = k = N - 1... Haha, sou burro mesmo... =P Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami At 19:35 21/10/2003, you wrote: Para N=2 e N=3 é simples ver que sempre é possível visitar todas as cidades mudando o transporte no máximo 1 vez. Agora suponha que isso seja verdade para todo 1 = k = N-1. Então esqueça uma cidade de Tumbólia e resolva o problema para as N-1 cidades restantes, sua solução deve ser um ciclo com no máximo 1 troca de transporte, se não houver troca de transporte, é muito simples ver que basta inserir a N'ésima cidade em qualquer posição do ciclo que o ciclo novo terá no máximo 1 troca. Suponha que há exatamente 1 troca de transporte e esta ocorra na cidade C[i], a cidade C[N] liga-se com C[i] ou de Ferrovia ou de Rodovia (F ou R), se a cidade do ciclo que liga-se a C[i] com o mesmo meio de transporte com o qual C[N] liga-se com C[i] é C[j], insira C[N] entre C[j] e C[i] e você tem um ciclo por todas as cidades só mudando o meio de transporte 1 vez! Basta ver que saímos de um ponto de origem, vamos até C[j] usando o mesmo meio de transporte, de C[j] para C[N] pode ou não ocorrer mudança de transporte, tanto faz, se não ocorrer, a mudança ocorre de C[N] para C[i], se ocorrer, temos certeza que o meio de transporte de C[N] até C[i] é o mesmo de C[i] até o ponto de origem. Fica bem mais fácil com desenhos! [ ]'s - Original Message - From: Cesar Ryudi Kawakami [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, October 21, 2003 1:45 PM Subject: [obm-l] Problema 6 - OBM 3a. fase - Nível 2 Sei que a solução envolve conhecimento do princípio indutivo e da interpretação de gráficos, mas... Como resolver? PROBLEMA 6: Há N cidades na Tumbólia. Cada duas cidades desse país são ligadas por uma rodovia ou uma ferrovia, não existindo nenhum par de cidades ligadas por ambos meios. Um turista deseja viajar por toda Tumbólia, visitando cada cidade exatamente uma vez, e retornar a cidade onde ele começou sua jornada. Prove que é possível escolher a ordem na qual as cidades serão visitadas de modo que o turista mude o meio de transporte no máximo uma vez. Eu sinceramente não fazia a mínima noção de como resolver esse problema... No segundo dia de prova, resolvi as questões 4 e 5 em pouco tempo, mas empaquei nesta... =( Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: OBM terceira fase
Prestei a 3a. fase nível 2 - 7as e 8a. séries... Ô, droga... Tenho como colega o Enzo Haruo Hiraoka Moriyama, dupla prata nas OBMs... De certa forma isso serve de incentivo... hehehe. =D Das 6 questões presentes na OBM esse ano, o desgraçado conseguiu responder a todas as questões da prova junto com o Guilherme Rodrigues, outro muito habilidoso com os números... Blah, resolvi apenas 5 questões, sendo que a 3a. fase nível 2 esse ano está mais fácil do que a do ano passado... =( Bem, agora é esperar o resultado...^^ 10 de dezembro, né? Um abraço, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
