Torneio das Cidades
Ei Nicolau, Gostaria de saber se já podemos discutir sobre o Torneio das Cidades... Se não, qual a previsão? E onde se encontra a prova desse ano e de todos os anos anteriores, desse torneio?? Obrigado!! Einstein
RES: Equação funcional
Ei Eric!!
F(x) = c num satisfaz a equação não viu...
Se não ela seria constante e x +2c = c ???
Nao entendi...
flw
Einstein
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: sexta-feira, 26 de outubro de 2001 11:59
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: Equação funcional
On Fri, Oct 26, 2001 at 11:28:25AM -0200, Eric Campos Bastos Guedes wrote:
Saudacoes a todos
tenho uma duvida que eh a seguinte:
quais as funcoes f:R-R que satisfazem f(f(x))=x+2c. Eh claro que f(x)=c
eh
uma dessas funcoes, mas existirao outras? E como fica o problema se
supomos
f continua ou monotona? Hah alguma diferenca se f estiver definida em
apenas um intervalo da reta?
Existem outras. Tome c = 1 e
f(x) = x + 1/3 + {x}, 0 = {x} 1/3
f(x) = x + 5/6 - {x}/2, 1/3 = {x} 1
onde {x} é a parte fracionária de x, i.e.,
0 = {x} 1, x - {x} inteiro.
[]s, N.
RES: OBM
Ei Nicolau... Mas como vai ser a distribuição dos pontos nessa questão?? É que tinha vários casos para analisar, e só depois conseguiríamos concluir que o angulo c teria que ser obtuso... Daí, eu queria saber se a pontuação vai ser somente o caso para C obtuso, que não é muito complicada, ou fazer toda a análise dos casos para depois fazer esse caso.?? Obrigado Einstein -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: segunda-feira, 22 de outubro de 2001 17:05 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: OBM On Mon, Oct 22, 2001 at 03:04:30PM -0200, Carlos Stein Naves de Brito wrote: Alguem podia so dar um empurraozinho de como fazia a 3 de geometria da obm, nivel 3? Valeu OBS:acho que estou ficando burro porque sempre chego a algum absurdo quando faco o desenho! A dificuldade para desenhar é que o triângulo deve ser obtusângulo, C Pi/2, e D cai fora do lada BC. Antes de mais nada, o enunciado: E e F são pontos do lado AB, do triângulo ABC, tais que AE = EF = FB. D é ponto da reta BC tal que BC é perpendicular a ED. AD é perpendicular a CF. Os ângulos BDF e CFA medem x e 3x, respectivamente. Calcule a razão (DB) / (DC). A minha solução para este problema é parcialmente por analítica. Colocamos F na origem. Podemos supor que os pontos B, D, E e A são respectivamente (a,-b), (-a,-b), (-a,b) e (-2a,2b). Como o problema é invariante por semelhanças podemos supor b = 1. Sejam (-c,-b) as coordenadas de C. O enunciado agora nos dá uma dupla informação sobre C que mata o problema. Por um lado sabemos que CD e CF têm o mesmo comprimento e portanto (a-c)^2 = b^2 + c^2. Por outro lado as retas AD e CF são perpendiculares e portanto 3b/a = c/b e c = 3b^2/a. Substituindo na equação temos (a - (3/a))^2 = 1 + (3/a)^2 o que simplifica para a = +-sqrt(7). Basta é claro tomar a = sqrt(7) = 7/sqrt(7) e temos c = 3/sqrt(7). Finalmente, DB/DC = 2a/(a-c) = 14/4 = 7/2. Acho que já posso contar um segredo: esta questão foi gerada por um erro tipográfico da Nelly quando ela transcrevia uma questão bem mais fácil. Ficou ótima assim. :-) []s, N.
RES: Terceira fase da OBM
fez quantas? -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Henrique Lima Enviada em: sábado, 20 de outubro de 2001 20:47 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Terceira fase da OBM A prova(de hoje,1º dia), tava bem legal! Espero que a de amanhã também esteja acessível :) []´s Henrique _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
RES: ajuda em um problema
Ei galera, foi mal Solução: Faz a figura para ficar mais fácil de ver... Como M, N, P e Q são as projeções e I sobre os lados AB, BC, CD, DA temos que: Os quadriláteros BMNI, NIPC, PIQD, MIQA são todos inscritíveis já que possuem angulos opostos somando 180 graus. Como o quadrilátero ABCD é inscritível, temos que: CBD=CAD=x (ler angulo BCD...) ABD=ACD=y, BAD=BDC=z, ADB=BCA=w. Como: BMNI é inscritível: MBI=MNI=y, NBI=NMI=x NIPC é inscritível: NCI=NPI=w, INP=ICP=y PIQD é inscritível: IPQ=IDQ=w, IQP=IDP=z MIQA é inscritível: QAI=QMI=x, [Einstein](MAI=MQI=x) Ei galera, foi mal, o que tá entre parênteses tá errado...MAI=MQI=z Continuando, acho que tá certo... Desculpe qualquer eventual erro... Daí notamos que no quadrilátero MNQP QMN=2x, MNP=2y, NPQ=2w, MQP=2z, E MI, NI, PI, QI são bissetrizes desses ângulos, respectivamente. Como todas as bissetrizes de seus ângulos se encontram num ponto (I) esse quadrilátero é circunscritível e I é seu centro, já que ele equidista dos lados... Einstein -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de haroldEnviada em: segunda-feira, 8 de outubro de 2001 22:20Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: ajuda em um problema seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I ponto de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre os lados AB, BC,CDe DA são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscrítivel a um círculo com centro em I.
RES: o ciclista matematico
Eu consegui achar 10, mas não provei que era o mínimo: O primeiro vai de bicicleta com o segundo e deixa o terceiro andando... Aí ele deixa o segundo andando uma distância de forma a chegar ao mesmo tempo do primeiro e o terceiro na bicicleta. Chame t1 o tempo em que o primeiro andou com o segundo de bicicleta. Chame t2 o tempo em que o primeiro andou sozinho de bicicleta Chame t3 o tempo que o primeito e o terceiro andaram de bicicleta. Onde tiver velocidade eu não vou escrever o km/h viu... Facilmente acha-se que 16*t3= 24*t2 = 16*t1 Daí tiramos que: t1 = t3 = (3/2)* t2 Daí velocidade média = distancia /tempo = 20*(t1 +t3 -t2)/(t1 + t2 + t3) = = 20*(2*t2)/(4* t2) = 10 km/h Vou tentar provar que o mínimo é 10km/h... Tentem aí tb!!! Desculpem qualquer erro!! Einstein -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Gustavo Nunes Martins Enviada em: quarta-feira, 10 de outubro de 2001 19:29 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: o ciclista matematico Onde vi esse problema diz que ele e do livro Saraeva: Tres turistas, que possuem uma bicicleta, devem chegar ao centro turistico de Moscou no menor espaco de tempo (o tempo conta ate que o ultimo turista chegue). A bicicleta transporta apenas duas pessoas e por isso o terceiro turista deve ir a pe. Um ciclista leva o segundo turista ate um determinado ponto do caminho, de onde ele continua a andar a pe e o ciclista regressa para trasportar o terceiro. Encontre a velocdade media dos turistas, sendo a velocidade do que vai a pe e v = 4km/h e a do ciclista e u = 20km/h. Eu achei 12km/h, mas a resposta diz que e 10km/h. Quanto voces acharam? Obrigado, Gustavo
RES: ajuda em um problema
Solução: Faz a figura para ficar mais fácil de ver... Como M, N, P e Q são as projeções e I sobre os lados AB, BC, CD, DA temos que: Os quadriláteros BMNI, NIPC, PIQD, MIQA são todos inscritíveis já que possuem angulos opostos somando 180 graus. Como o quadrilátero ABCD é inscritível, temos que: CBD=CAD=x (ler angulo BCD...) ABD=ACD=y, BAD=BDC=z, ADB=BCA=w. Como: BMNI é inscritível: MBI=MNI=y, NBI=NMI=x NIPC é inscritível: NCI=NPI=w, INP=ICP=y PIQD é inscritível: IPQ=IDQ=w, IQP=IDP=z MIQA é inscritível: QAI=QMI=x, MAI=MQI=x Daí notamos que no quadrilátero MNQP QMN=2x, MNP=2y, NPQ=2w, MQP=2z, E MI, NI, PI, QI são bissetrizes desses ângulos, respectivamente. Como todas as bissetrizes de seus ângulos se encontram num ponto (I) esse quadrilátero é circunscritível e I é seu centro, já que ele equidista dos lados... Einstein -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de haroldEnviada em: segunda-feira, 8 de outubro de 2001 22:20Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: ajuda em um problema seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I ponto de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre os lados AB, BC,CDe DA são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscrítivel a um círculo com centro em I.
RES: Problemas
Fazendo x=k x=(k-1)/k Note que k diferente de 0 e 1 x=1/(1-k) achamos: I- f(k)+f((k-1)/k)=1+k II- f((k-1)/k)+f(1/(1-k))=1+(k-1)/k III- f(1/(1-k))+f(x)=1+1/(1-x) Daí facilmente achamos: Fazendo: [(I+III)-II]/2 Achamos f(x), para todo x diferente de 0 e 1. Como (x-1)/x nunca pode ser 1. E não podemos fazer x=0. A única equação que teremos para achar f(1)e f(0) é: fazendo x=1:f(1)+f(0)=2, daí não podemos definir f(1) e f(0). Daí basta definir f(1)=k e f(0)=2-k -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de benedito Enviada em: sábado, 1 de setembro de 2001 19:28 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Problemas Dois problemas: 1) Um conjunto A possui 500 números reais e todo elemento de A é maior do que um quinto da soma de todos os outros elementos. Determine o número mínimo de números negativos em A. 2) Encontre todas as funções f(x) tais que: f(x) + f[(x-1)/x] = 1 + x. Benedito Freire
RES: ???
Estou
enviando soluções para a primeira e a terceira. Desculpem-mepor quaisquer
eventuais erros.
Ah,
Eder, essas questões que você tem mandado são questões muito boas... De onde
você as tira??
flw,
Einstein
Terceira questão: Determine as funções f : R - {0,1}
== R tais que f(x) + f(1/(1-x)) =x para todo x do
domínio de f.
Solução:
Uma
questão que usa uma idéia parecida com essase encontra na olimpíada
Iberoamericana de 87, se eu não me engano.
Primeiramente substitua x por t,
teremos:
f(t) +
f(1/(1-t))
=tpara
t diferente de 1
Agora
tome x como sendo 1/(1-t), teremos:
f(1/(1-t))+ f((t-1)/t)
=1/(1-t)para
t diferente de 0 e 1
E por último tome
x igual a (t-1)/t, teremos:
f((t-1)/t) +
f(t)
=
(t-1)/tpara
t diferente de 0
somando as três
teremos:
f(t) + f(1/(1-t))
+
f(1/(1-t))+
f((t-1)/t) + f((t-1)/t) + f(t) =
(t-1)/t + 1/(1-t) +
t
Daí:
2*(
f(t) + f(1/(1-t))
+ f((t-1)/t) ) = (t-1)/t + 1/(1-t) + t
E:
f(t) + f(1/(1-t))
+ f((t-1)/t)= (
(t-1)/t + 1/(1-t) + t )/2
substituindo na segunda teremos:
f(t)=
( (t-1)/t + t- 1/(1-t) )/2
Para
todo t real diferente de0 e 1.
Primeiraquestão: Num círculo de diâmetro AB uma
corda CD é perpendicular a AB e M é um ponto do círculo.MD e MC interceptam AB
em E e F.Provar que E e F são conjugados harmônicos em relação a
AB.
Conjugados harmônicos em relação a AB são pontosP
eQtais que: k=PA/PB=QA/QB.
Sabendo disso, tente provar a primeira
questão
Se
quizer ver a solução continue a ler...
SOLUÇÂO:
Bom...
Como A é o ponto médio do arco CD que não contém B, implica que a bissetriz do
ângulo CMD é AM. Chame CMA=AMD=x. Daí como AB é diâmetro implica que AMB=90
graus, ou seja,BMD=90-x
Daí
como CMF é uma reta: FMB=BMD=90-x, o que implica queBM é bissetriz
doangulo FMD.
Olhando para o triângulo MEF, BM é sua bissetriz
interna e AM sua bissetriz externa. Pelos teoremas das bissetrizes interna e
externa teremos que:
AF/AE=MF/ME=BF/BE
E daí
segue o resultado.
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de EderEnviada
em: domingo, 10 de junho de 2001 19:59Para:
[EMAIL PROTECTED]Assunto: ???
Alguém poderia me ajudar com as seguintesquestões?
" 1)Num círculo de diâmetro AB uma corda CD é perpendicular a AB e M
é um ponto do círculo.MD e MC interceptam AB em E e F.Provar que E e F
são conjugados harmônicos em relação a AB."
Eu nem ao menos sei o que significa conjugado harmônico...
"2) Mostre que a função f : R+ ==R dada por f(x)=cos(sqrtx) não é
periódica. "
"3) Determine as funções f : R - {0,1} == R
tais que f(x) + f(1/(1-x)) =x para todo x do domínio de f."
Qual é o raciocínio?Por onde começo esse tipo de questão?
Desde já agradeço qualquer ajuda.
T+
Desculpem! Erro na solução.
Ao tentar resolver a questão número 1, me equivoquei e fui tentado ao dividir por 4 um número terminado em ...44, justificando que ele terminaria em 11, o que nem sempre é verdade. Daí ter concluído o absurdo que um quadrado não pode terminar na repetição de dois algarismos não nulos. Um exemplo é 144. Logo, teremos: 1- Olhando mód 10: Os quadrados perfeitos (qp) podem terminar em 0,1,4,5,6,9. Analisando os dois últimos dígitos iguais... Se for ímpar, ele não pode ser da forma 4k+3... Logo ele termina 33 ou 77. Mas mod 10, um qp não pode terminar em 3 ou 7. Basta ver que se terminar em número par... Pode ser 00, 44 ou 66. Mas o qp par deve ser múltiplo de 4, ou seja...só pode terminar em 00, 44. Não podemos considerar o caso 00, de acordo com a questão. Um possível número qp que termina em 44 é 144. Já terminando em três dígitos repetidos, só precisaríamos analisar a possibilidade quando estes são 4, devido os casos anteriores. Daí os únicos números que queremos cujos quadrados terminam em 444 são: Analisando mód 10: (..2)^2=..4 (..8)^2=..4 Analisando mód 100: (..12)^2=..44 (..38)^2=..44 (..62)^2=..44 (..88)^2=..44 Mas ...444, não é divisível por 8 (basta analisar os 3 últimos dígitos), daí, este quadrado perfeito não pode ser um quadrado de um número múltiplo de 4. Ou seja, as únicas possibilidades são 38 e 62. Analisando mód 1000: (..038)^2=..444 (..462)^2=..444 (..538)^2=..444 (..962)^2=..444 Daí, Um quadrado pode ter até três números repetidos no final do número. Só precisamos analisar a possibilidade quando estes são 4, devido os casos anteriores. Provaremos que um quadrado não pode terminar em quatro números 4. Suponha que existe q^2 = (2n)^2 = x*10^4 + Daí: (2n)^2= 4*(25*x*10^2 + ) (n)^2 = 25*x*10^2 + Daí n^2 termina em ...11, ou seja ele é da forma 4k+3, absurdo, pois nenhum número de ssa forma é qp. Segue o resultado. Desculpem eventuais erros... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Henrique Lima Santana Enviada em: quarta-feira, 6 de junho de 2001 22:21 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: mais duvidas alguém pode me ajudar? 1. qual o maior numero de digitos iguais e diferentes de zero com q pode terminar um numrero quadrado perfeito? 2. quantos triangulos diferentes, de lados inteiros, podem ser construídos de modo q o(s) lado(s) maior(es) tenha(m) 5 cm de comprimento? 6 cm? n cm? Em cada caso, quantos são isósceles? 3. uma caixa contém 900 cartões,numerados de 100 a 900. retiram-se ao acaso (sem reposição) cartões da caixa e anotamos a soma dos seus algarismos. qual é a menor quantidade de cartões q devem ser retirados da caixa , para garantirmos q pelo menos tres dessas somas sejam iguais? valeuz Henrique _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
RES: mais duvidas
1- Olhando mód 10: Os quadrados perfeitos (qp) podem terminar em 0,1,4,5,6,9. Analisando os dois últimos dígitos iguais... Basta ver que se terminar em número par... Pode ser 00, 44 ou 66. Mas o qp par deve ser múltiplo de 4, ou seja...só pode terminar em 00, 44. 44 não pode ser pois dividindo por 4 teríamos outro qp ou seja, o número terminado em 11 deve ser qp, pois ele é da forma 4k+3... abs... Segue que se for par... tem que terminar em 00, o que não pode pela questão. Se for ímpar, ele não pode ser da forma 4k+3... Logo ele termina 33 ou 77. Mas mod 10, um qp não pode terminar em 3 ou 7. Daí... Para um número ser qp ele deve ter os últimos dígitos sendo distintos, ou sendo um número par de zeros... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Henrique Lima Santana Enviada em: quarta-feira, 6 de junho de 2001 22:21 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: mais duvidas alguém pode me ajudar? 1. qual o maior numero de digitos iguais e diferentes de zero com q pode terminar um numrero quadrado perfeito? 2. quantos triangulos diferentes, de lados inteiros, podem ser construídos de modo q o(s) lado(s) maior(es) tenha(m) 5 cm de comprimento? 6 cm? n cm? Em cada caso, quantos são isósceles? 3. uma caixa contém 900 cartões,numerados de 100 a 900. retiram-se ao acaso (sem reposição) cartões da caixa e anotamos a soma dos seus algarismos. qual é a menor quantidade de cartões q devem ser retirados da caixa , para garantirmos q pelo menos tres dessas somas sejam iguais? valeuz Henrique _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
RES: 3 problemas
Sabemos que (x+y)(x-y)=x^2-y^2=a^3 E sabemos que x+y e x-y têm a mesma paridade, já que sua soma é par. Logo basta acharmos dois inteiros de mesma paridade tais que seu produto seja a^3. a^2 e a têm a mesma paridade... Tome x+y=a^2 e x-y=a Daí: x=(a^2+a)/2 e y=(a^2-a)/2 Como dessa maneira x e y são inteiros e satisfazem a equação, então esses são soluções para todo a. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: segunda-feira, 4 de junho de 2001 01:11 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: 3 problemas Ola, Tenho gostado muito dos mais diversos problemas apresentados nesta lista ( com soluçoes muito bonitas )e queria ver soluçoes dos integrantes da lista para esses 3 problemas: 1 - Mostre que x ao quadrado - y ao quadrado = a ao cubo , tem solucao inteira para todo a pertencente a N. 2 - Mostre que x ao cubo + 1990.(y ao cubo) = z a quarta , tem infinitas soluçoes inteiras com x0 , y0 e z0 . 3 - Neste exercicio representarei 10 ao quadrado com 10v2 assim como 10 ao cubo como 10v3, pois este teclado nao possui o acento circunflexo. Mostre que se n=a.b, sendo a1 e b1, entao: 10v(n-1)+10v(n-2)+ ... + 10v2+10+1=(10v(a-1)+10v(a-2)+...+1).(10v((b-1)a)+10v((b-2)a)+...+1) Agradeço antecipadamente a todos os que pensarem em soluçoes. Ate mais. Raul
RES: Primos, multiplos e divisores
Acho que não devo ter sido claro... O que são inteiros gaussianos, e como é o critério de divisibilidade deles... E além disso poderiam dizer algumas propriedades deles ... Obrigado On Sun, 3 Jun 2001, Gustavo Martins wrote: Cada livro fala uma coisa diferente sobre multíplos, divisores e número primos. Uns falam que eles só podem pertencer ao conjunto dos naturais; outros dizem que é aos inteiros. Afinal, qual a definição certa? []s, Gustavo Para mim o 'certo' é sempre deixar claro qual o conjunto em que se está trabalhando. Eu me lembro que quando eu fiz vestibular do Cesgranrio caiu uma questão mais ou menos assim: Quantos divisores tem 30? (A) 8 (B) 16 C, D e E eram valores absurdos. Ora, a resposta é 8 (A) se contarmos só os naturais e 16 (B) se contarmos inteiros positivos e negativos. Se contarmos inteiros gaussianos, i.e., números complexos da forma a+bi com a e b inteiros, então a resposta é 96 (confira!). A questão foi anulada, como a meu ver deveria ser. []s, N.
RES: Primos, multiplos e divisores
Por favor, Alguem poderia me explicar o que são inteiros gaussianos... Obrigado! On Sun, 3 Jun 2001, Gustavo Martins wrote: Cada livro fala uma coisa diferente sobre multíplos, divisores e número primos. Uns falam que eles só podem pertencer ao conjunto dos naturais; outros dizem que é aos inteiros. Afinal, qual a definição certa? []s, Gustavo Para mim o 'certo' é sempre deixar claro qual o conjunto em que se está trabalhando. Eu me lembro que quando eu fiz vestibular do Cesgranrio caiu uma questão mais ou menos assim: Quantos divisores tem 30? (A) 8 (B) 16 C, D e E eram valores absurdos. Ora, a resposta é 8 (A) se contarmos só os naturais e 16 (B) se contarmos inteiros positivos e negativos. Se contarmos inteiros gaussianos, i.e., números complexos da forma a+bi com a e b inteiros, então a resposta é 96 (confira!). A questão foi anulada, como a meu ver deveria ser. []s, N.
RES: feliz natal
FELIZ NATAL PRA TODO MUNDO DA LISTA!!! Einstein Jr -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Marcelo Souza Enviada em: domingo, 24 de dezembro de 2000 16:54 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: feliz natal Olá pessoal! Aproveitando o embalo mando aki um feliz natal para todos. abraços Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
