Re: [obm-l] OBM 2004 - 1a Fase - Nivel 3 - Questao 22
Matheus , sou professor do Anglo de Santos e SP. Trabalho em Santos a 20 anos. O professor que voc se refere deve ser o professor Vincenzo. Assim,. eu proponho que voc converse com ele e procure entrar em contato comigo. Tenhom certeza que eu e outros colegas estariamos dispostos a ajud-lo. Um abrao PONCE Eu estudo no Universitas, ano passado eu cheguei at a 3 fase, eu era do nvel 2, infelizmente na poca eu no estava pronto para uma prova daquele nvel, mas foi uma tima experincia e me incentivou nos estudos. S fico chateado que o incentivo a participar da prova seja relativamente pequeno por aqui e os poucos que participam regularmente s contam com o apoio de um professor (e um dos donos) do colgio. Matheus
Re: [obm-l] Integrais
normal esta reao,mas vai devagar Claudio, no precisa generalizar.. Isto comum, quando envolvem muitas pessoas, e lembre que sempre temos pessoas novas Sempre divulgo esta lista para os meus alunos interessados em problemas diferentes independentes do nivel, alguns continuam na lista at hoje, como por exemplo, Niski e outros saiem Assim, vejo como normal estas indagaes e respostas. Um abrao a todos amigos da lista PONCE Claudio Buffara escreveu: Re: [obm-l] Integrais Cara, voce tem que ler as mensagens da lista! Tanto o Morgado quanto o Benedito te deram dicas de como calcular a area da hipocicloide - e ha 2 dias atras. Eh por isso que os professores e alunos olimpicos estao desistindo da lista. O nivel dos problemas nao para de cair e, agora, pra piorar, as pessoas nao estao nem mais lendo as mensagens... []s e protestos, Claudio. on 23.04.04 09:14, Alan Pellejero at [EMAIL PROTECTED] wrote: pessoal, me enrolei todo nessa aqui... / | | [a^(2/3) - x^(2/3)]^(3/2) dx | / o intervalo a considerar de -a, a ( definida) Obrigado! Alan Pellejero Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] De um livro de Teoria Elementar dos Numeros
Ol amigos, estou nessa PONCE Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet escreveu: Que tal algo (talvez) mais ambicioso? Um livro na Net de Geometria?Seria bem divertido ver varios problemas de geometria num mesmo lugar...Eu mesmo sou um louco varrido por geometria, e to passando a gostar de TN. Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 20.04.04 13:51, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola turma!Que tal se a gente fosse resolvendo os problemas do Hojoo Lee, daquele livro que o Shine postou na Lista ate um tempo atras?Seria beem legal ver a galera suando o cerebro em problems cabulosos... Oi, Dirichlet: Essa eh uma grande ideia e eu estou dentro! Muito melhor do que ficar discutindo problemas de vestibular e mais de acordo com o objetivo original dessa lista. Pra quem mais tiver interesse, a lista de problemas estah aqui: http://my.netian.com/~ideahitme/eng.html Eh o "Project PEN". []s, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] DUVIDAS SOBRE O ITA
Caro amigo dudu, não é verdade que vc tem que gabaritar as provas de lá . Para você ter uma ideia destas provas entre no site de um grande curso: por exemplo: www.cursoanglo.com.br Para ter mais informações, como por exemplo assistir algumas aulas entre em contato com o professor Glenn / Roberto. Um abraço PONCE [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal, eu tenho 17 anos e estou terminando o 3° ano no colegio pentagono no Rio de Janeiro e pretendo fazer engenharia aeronautica no ITA no ano que vem ! Eu gostaria de saber quais os melhores cursinhos preparatorios existentes no rj para esse concurso e tb queria saber se eh verdade que para passar pro ITA eh necessario gabaritar as provas de lah ?! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] AB - BA = I
Obrigado Claudio
PONCE
Claudio Buffara escreveu:
on 09.03.04 13:38, Luiz Ponce at [EMAIL PROTECTED] wrote:
caro amigo Claudio ,
Voc pode demonstrar a propriedade:
Outra propriedade que vale apenas em espacos vetoriais de dimensao finita eh
a seguinte: se T e U sao operadores lineares tais que UT = I, entao TU = I
PONCE
Oi, Ponce:
A demonstracao que eu imaginei usa os seguintes fatos:
1) Uma funcao f tem inversa a esquerda == f eh injetiva;
2) Uma funcao f tem uma inversa == f eh uma bijecao
Os dois fatos acima valem pra qualquer funcao e nao apenas pra
transformacoes lineares. Os dois abaixo sao especificos de transformacoes
lineares.
3) Sejam E e F espacos vetoriais e T:E - F uma transformacao linear.
Entao T eh injetiva == Nucleo(T) = {0}
4) Teorema do Nucleo e da Imagem:
Sejam E e F espacos vetorias tais que E tem dimensao finita.
Seja T: E - F uma transformacao linear.
Entao, dim(Nucleo(T)) + dim(Imagem(T)) = dim(E)
Esse teorema eh demonstrado estendendo-se uma base do nucleo(T) ateh uma
base de E e aplicando T a uma combinacao linear arbitraria dos vetores dessa
base.
***
Vamos ao nosso resultado:
Seja E um espaco vetorial de dimensao finita e T e U operadoes nesse espaco
tais que UT = I. Entao:
U eh um inverso a esquerda de T ==
T eh injetivo ==
Nucleo(T) = {0} ==
dim(Imagem(T)) = dim(E) - dim(Nucleo(T)) = dim(E) - 0 = dim(E) ==
Imagem(T) = E ==
T eh sobrejetiva ==
T eh uma bijecao ==
T tem uma inversa T' tal que TT' = T'T = I ==
T' = IT' = (UT)T' = U(TT') = UI = U ==
U eh inversa de T ==
TU = I
E acabou...
Repare que nao bastava tomar a inversa T' de T e escrever:
T' = IT' = (UT)T' = U(TT') = UI = U.
Antes, precisavamos provar que T tem uma inversa T'.
Finalmente, de posse desse fato, pudemos concluir que U = T'.
Espero que tenha ficado claro.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Prismas
Caro amigo, Rafael sou um louco por provas de vestibulares. Tenho provas da Poli da decada de 1930 resolvidas pelo ex-reitor da USP, Valdir Muniz de Oliva. Tenho todas as provas do ITA e da FUVEST. Tenho provas de varias universidades espanholas,italianas,.. Um abrao PONCE Rafael escreveu: Luiz, Obrigado por essa informao. A Fuvest disponibilizanosite as provas da segunda fase somente a partir de 1995. Logo, eu no havia encontrado l qualquer referncia.E, para ser sincero, em 1981, sequer eu era nascido... ;-) Alis, como voc descobriu? Abraos, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Luiz Ponce To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 08, 2004 7:18 PM Subject: Re: [obm-l] Prismas Caro amigo, Esta questo da segunda fase da FUVEST DE1981. NA QUESTO ORIGINAL VOC ENCONTRAVA A PLANIFICAO DESTESLIDO. PONCE
Re: [obm-l] AB - BA = I
caro amigo Claudio , Você pode demonstrar a propriedade: Outra propriedade que vale apenas em espacos vetoriais de dimensao finita eh a seguinte: se T e U sao operadores lineares tais que UT = I, entao TU = I PONCE Claudio Buffara escreveu: Oi, pessoal; Numa prova do IME dos anos 80, caiu uma questao que pedia pra provar que nao existem matrizes quadradas A e B tais que AB - BA = I (I = matriz identidade). A unica demonstracao que eu conheco usa o fato (facil de se provar - apenas use a definicao de produto e algumas manipulacoes algebricas simples) de que tr(AB) = tr(BA), onde tr(X) = traço da matriz X (veja mensagem do Domingos para a definicao de traço). *** Como eh sabido, uma matriz quadrada n x n representa um operador linear num espaco vetorial de dimensao n (veja um livro de algebra linear para as definicoes de todos esses termos). Isso quer dizer que o resultado acima prova que, num espaco vetorial de dimensao finita, nao existem operadores lineares T e U tais que TU - UT = I, onde o produto TU significa composicao de operadores (ou seja TU(v) = T(U(v)) para todo vetor v no espaco vetorial) e I = operador identidade (Iv = v para todo v no espaco vetorial). No entanto, se o espaco tiver dimensao infinita, entao eh possivel que existam operadores T e U tais que TU - UT = I. Por exemplo, considere o espaco vetorial dos polinomios com coeficientes reais e os operadores lineares T e U, tais que: T(f(x)) = f'(x) (operador derivacao) e U(f(x)) = x*f(x) Entao: TU(f(x)) = T(U(f(x)) = T(x*f(x)) = f(x) + x*f'(x) e UT(f(x)) = U(T(f(x)) = U(f'(x)) = x*f'(x) == (UT - TU)(f(x)) = UT(f(x)) - TU(f(x)) = f(x) + x*f'(x) - x*f'(x) = f(x), ou seja: TU - UT = I. *** Outra propriedade que vale apenas em espacos vetoriais de dimensao finita eh a seguinte: se T e U sao operadores lineares tais que UT = I, entao TU = I Em outras palavras, se T tem um inverso a esquerda U (ou seja, um operador U tal que UT = I), entao U eh tambem um inverso a direita de U (TU = I). Nesse caso, o U eh unico e podemos dizer que U eh o inverso de T, o qual eh denotado por T^(-1). Problema: De um exemplo de um espaco vetorial de dimensao infinita e de um operador linear T neste espaco tal que T tem uma infinidade de inversos a esquerda mas nao tem nenhum inverso a direita. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prismas
Caro amigo, Esta questo da segunda fase da FUVEST DE 1981. NA QUESTO ORIGINAL VOC ENCONTRAVA A PLANIFICAO DESTE SLIDO. PONCE Rafael escreveu: Pedro, Sinceramente, no sei de que ano possa ser aquela questo, haja vista que a 2. fase surgiu em 1995. Mesmo assim,vou reescrever o enunciado proposto: a) ABCD e EFGH so trapzios de lados 2, 8, 5 e 5. b) Os trapzios esto em planos paralelos, cuja distncia 3. c) As retas AE, BF, CG e DH so paralelas. Calcule o volume do slido. A melhor forma de resolver o exerccio decomp-lo em trs slidos. De que forma? Imagine um plano que seja perpendicular ao plano CDHG econtenha a reta AE. Pense num outro plano que seja perpendicular ao plano CDGH econtenha areta FB.Devemos considerar os doisslidos resultantes das seces dos planos como prismas triangulares (base triangular), e o "central", prisma reto-retngulo. A altura de cada um dos trapzios pode ser obtida por Pitgoras,vale 4. Pensando-se nos primas triangulares, o tringulo da base tem rea 4*3/2 = 6. Dessa forma, o volume V do slido ser dado por: V = 2 * (PRISMA TRIANGULAR) + (PRISMA RETO-RETNGULO) V = 2 * (6*3) + (2*3*4) = 36 + 24 = 60 unidades cbicas Abraos, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: pedro rajo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 03, 2004 5:45AM Subject: Re: [obm-l] Prismas Eu copiei essa questo da CoLeo Objetivo Livro 33, pg 5, Ex 21 Eu realmente notenho certeza se eLes mudaram a questo pois, quando mudam , avisam Euirei procurar nas provas da fuvest. o.0
Re: [obm-l] dúvidazinha
Aos amigos, Possiveis solues, verifiquem sempre a soluo: 1) Esta questo do ITA - 1975 , Sendo g inversa de f, ento existe um e somente um real a, tal que f(a) = 7/25 = g(7/25) = a Nestas condies: e ^ g(7/25) = e ^ a Por outro lado, fazendo t = e ^ a tem-se de f(a) = 7/25 que : (t - 1/ t) / ( t + 1 / t ) = 7 / 25, ou ainda , (t^2 - 1) /( t^2 + 1) = 7 / 25 Observando que t = e ^ a 0 , obtm-se da ultima igualdade que t = 4/3 . Portanto, e ^ g(7/25) = e ^ a = t = 4 / 3 resposta: A 2) Sendo a e b angulos internos de um tringulo retngulo, tem-se tg(a) . tg(b) = 1, tg(a) 0 e tg(b) 0 Assim, das propriedades dos logaritmos, resulta S = log2(tga) + log2(tgb) = log2(tga.tgb) = log2(1) = 0 Resposta: O 1) Esta questo do ITA - 1975 , Sendo g inversa de f, ento existe um e somente um real a, tal que f(a) = 7/25 = g(7/25) = a Nestas condies: e ^ g(7/25) = e ^ a Por outro lado, fazendo t = e ^ a tem-se de f(a) = 7/25 que : (t - 1/ t) / ( t + 1 / t ) = 7 / 25, ou ainda , (t^2 - 1) /( t^2 + 1) = 7 / 25 Observando que t = e ^ a 0 , obtm-se da ultima igualdade que t = 4/3 . Portanto, e ^ g(7/25) = e ^ a = t = 4 / 3 resposta: A de seu amigo PONCE Tarcio Santiago escreveu: ol amigos: poderiam ajudar neste problema. seja f(x)= (e^x - e^-x) /(e^x+ e^-x)definida em R. se g fora funo inversa de f, o valor de e^g(7/25)ser: a)4/3 b)7e/25 c)log(base "e") elevado a (25/7) d)e^(7/25) e)NDA 2) Calcule o valor da expresso S = log2(tga) + log2(tgb) , sabendo que a e b, so ngulos agudos internos de um tringulo retngulo.
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
seguindo a sugesto do Igor, voc encontrar 3 valores para k , que so 7,8 e 13 Verifique PONCE Igor Castro escreveu: Bem, fazendo uma analise rpida, a equao ter razes racionais se raiz de deltaforracional Delta = k^2 - 4.4.3 = x^2 - (k+x)(k-x)= 4.4.3 = 48 Bem, daih, pra cada A.B=48 que vc tiver.. vc tem um valor de k(note que assim x e k sempre sero racionais, soh resolver o sistema).. como o prb pede Quantos valores servem... melhor vc deve olhar pro nmeros de divisores de 48(tem uma formulado mto conhecida pra isso)ao invs de tentar achar todos e depois contar.. espero que d certo essa contagem.. Espero que tenha ajudado um pouco... Igor de Castro- www.cnaval.cjb.net - Original Message - From: Victor Machado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12PM Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval2003 - Equacoes do segundo grau Ol amigos da Lista, queria lhes agradecer pelasresolucoes enviadas. Mas gostaria de outra : (CN-2003) Dada a equao do 2grau na incgnita x : 4x^2 + Kx + 3 =0. Quantos so os valores inteiros possveis do parmetroK, tais que essa equao s admita razes racionais? Falaram-me que o exercicio sairia facil peloteoremas das raizes racionais, mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiampor a resolucao junto com uma pequena teoria sobre esse teorema ? Agradeco desde ja Victor
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Ok , pela informao. entretanto utilizei o enunciado proposto pelo Victor Machado, e dado abaixo From: Victor Machado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12PM Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval2003 - Equacoes do segundo grau Ol amigos da Lista, queria lhes agradecer pelasresolucoes enviadas. Mas gostaria de outra : (CN-2003) Dada a equao do 2grau na incgnita x : 4x^2 + Kx + 3 =0. Quantos so os valores inteiros possveis do parmetroK, tais que essa equao s admita razes racionais? Um abrao PONCE Tarcio Santiago escreveu: BOM ESTA QUESTO DA UFRJ DO CONCURSO QUE TEVE E EST BENDITA QUESTO NO FOI ANULADA!! - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:54 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Luiz, Na verdade, h 6 valores para k: -13, -8, -7, 7, 8, 13. Voc desconsiderou os inteiros negativos, e no havia essa restrio no enunciado. O exerccio resolvido pode ser lido em: http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18716.html Abraos, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Luiz Ponce To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:27 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau seguindo a sugesto do Igor, voc encontrar 3 valores para k , que so 7,8 e 13 Verifique PONCE = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvida
Caro amigo, vai abaixo uma sugesto para o seu problema: Sendo o divisor igual a x o maior resto desta diiviso de naturais dado por ( x - 1). Como numa diviso de inteiros, tem-se dividendo = QUOCIENTE . divisor + resto assim, com os dados do enunciado, obtemos a equo de primeiro grau: 3x+4 = 3x . X + ( x - 1) Resolvendo esta ltima equao, encontramos 5 como soluo. Consequentemente: dividendo = 3x+4 = 79 e resto = x - 1 = 4 Portanto, O nmero natural que corresponde a soma do dividendo com o resto igual a 79 + 4, ou seja 83. PONCE Tarcio Santiago escreveu: PODERIA EXPLICAR EST QUESTO ESTOU VOANDO NELA numa diviso, o dividendo igual a 3x+4, o divisor igual a x, o quociente o triplo do divisor e o resto o maior possvel. O nmero natural que corresponde `a soma do dividendo com o resto igual a?
Re: [obm-l] Desigualdade complexa
Ao amigo Buchara aro a Escrevo abaixo uma possivel soluo para o problema proposto por voc. Compare com a sua soluo, corrijindo possiveis falhas que venham ocorrer. Antes de mais nada , convencionarei bar ( x ), como sendo o conjugado de x e usarei durante a demonstrao a propriedade: |x|^2 = x. bar(x) Vamos ento a demonstrao: Considere as seguintes proposies: S1: |a| 1 e |b| 1 S2: a.bar(a) 1 e b . bar(b) 1 S3: (a.bar(a) -1) .(1 - b.bar(b) ) 0 S4: abar(a) - a.b.bar(a).bar(b) - 1 + b.bar(b) 0 S5: ( abar(a) - b.bar(a) - a bar(b) + b bar(b) ) + ( b.bar(a) - a.b.bar(a).bar(b) + a bar(b) - 1 ) 0 S6: ( a - b) .bar(a) -( a - b) .bar(b)+( 1 - a.bar(b) ). b.bar(a) - ( 1 - a.bar ( b ) ) 0 S7: ( a - b) . ( bar (a) - bar (b) ) - ( 1 - a.bar(b) ) .( 1 - b.bar(a) ) 0 S8: ( a - b). bar( ( a - b) ) ( 1 - b.bar(a) ). bar (1 - b.bar(a) ) S9: |a-b| ^ 2|1 - b bar(a)| ^ 2 S10: | a - b| |1-c.b| ( c = bar (a ) ) Por outro lado, S( i ) -- S ( i + 1 ) , para todo i natural tal que 0 i 10, Portanto, sendo a e b complexos, tais que |a| 1 e |b| 1,, (com c = conjugado de a), conclui-se que |a - b| |1 - cb|, o que finaliza a demonstrao. Um abrao Do amigo PONCE Claudio Buffara escreveu: Essa aqui parecia simples mas deu um certo trabalho... Se a e b sao complexos tais que |a| 1 e |b| 1, e se c = conjugado de a, prove que: |a - b| |1 - cb| Um abraco, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Claudio Buffara escreveu: Essa aqui parecia simples mas deu um certo trabalho... Se a e b sao complexos tais que |a| 1 e |b| 1, e se c = conjugado de a, prove que: |a - b| |1 - cb| Um abraco, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O período de uma função?
Caros amigos, Tenho acompanhado as belas explicaes do Nicolau sobre funes perodicas ( como sempre fantsticas). Entretanto, acredito ter encontrado uma pequena falha de digitao, nos exemplos: - Ao invs de f(x) = tan((4*x)/(a*pi)) tem periodo 4a , acho que deveria ser f(x) = tan((pi*x)/(4*a)). - (c) Para todo inteiro positivo mpar k, existem funes nesta classe com perodo 4a/k. Ao invs, De fato, basta tomar, (ao invs de f(x) = tan((4*s*x)/(k*a*pi))) onde s = (-1)^((k-1)/2). (acho que deveria ser ; f(x) = tan((k*pi*s*x)/(4*a)) Verifiquem por favor e desculpem-me por qualquer falha. PONCE Verifiquem por favor. Nicolau C. Saldanha escreveu: On Mon, Jan 26, 2004 at 11:30:14PM -0200, Marcelo Rufino de Oliveira wrote: On Mon, Jan 26, 2004 at 09:24:51PM +, Mrcio Pinheiro wrote: Uma de minhas vrias dvidas refere-se seguinte pegunta: qual o perodo de determinada funo, no necessariamente dada por uma lei de formao explcita, que possui determinada propriedade? Um exemplo clssico em relao a uma funo real f para a qual vale a propriedade: f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1, sendo a um real no nulo. Acho que a nica coisa que falta exibir uma f satisfazendo esta condio e para a qual 4a seja perodo fundamental. O que no muito difcil: tome b um nmero real e defina f(x) = b para todo x no intervalo [0,a), = (1+b)/(1-b) para x no intervalo [a,2a), e assim por diante. Para quase todo b o perodo fundamental ser 4a. Ou, se voc estiver interessado em uma funo mais bonitinha, tome f(x) = tan((4*x)/(a*pi)). A frmula para f segue da frmula para tan(u+v). No entendi, esta justificativa. Posso estar errado, mas o simples fato de exibir uma funo cujo perodo fundamental seja 4a realmente garante que toda funo que satisfaz f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possui perodo fundamental 4a??? Claro que no, isto falso. O que eu estou afirmando que: (a) Toda funo satisfazendo a identidade f(x+a)=(1+f(x))/(1-f(x)) para todo x tem perodo 4a, i.e., f(x+4a) = f(x) para todo x. (b) Existe uma funo nesta classe para a qual o perodo 4a o perodo fundamental. Para complementar, dada a sua pergunta, eu diria ainda: (c) Para todo inteiro positivo mpar k, existem funes nesta classe com perodo 4a/k. De fato, basta tomar f(x) = tan((4*s*x)/(k*a*pi)) onde s = (-1)^((k-1)/2). (d) Nenhuma funo nesta classe tem perodo fundamental 4a/k, k par. De fato, f(x+2a) = -1/f(x) nunca igual a f(x). (e) Nenhuma funo nesta classe constante. Veja a demonstrao de (d). Na verdade a minha dvida (e provavelmente a do Mrcio) se possvel garantir que 4a o perodo mnimo de todas as funes que satisfazem a equao funcional anterior ou se no mximo podemos afirmar que 4a um perodo (comum a todas)? Alm do mais, podemos afirmar que todas as funes que satisfazem f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possuem o mesmo perodo fundamental??? Lembremos que a manipulao algbrica somente garante que 4a UM perodo... Acho que eu respondi a sua dvida para esta classe de funes? Acho que voc pode resolver o mesmo problema para o outro exemplo que voc deu, ou seja: Conside a classe de funes f que satisfazem f(x) = f(x+1) + f(x-1) para todo x. Prove que toda funo nesta classe peridica e determine todos os valores possveis para o perodo fundamental. []s, N. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Software para Geometria Espacial
Caro amigo, você quer um novo software? pois com o cabri é possivwl fazer o que você está pretendo. Eu já fiz estas construções para usar em uma sala de aula. PONCE Marcus Nunes escreveu: Alguem aqui na lista conhece algum software educacional de Geometria Espacial? Eu gostaria que o programa permitisse ao aluno manipular os solidos e construir novos atraves de intersecoes e deformacoes. Por exemplo: se eu tivesse um cubo, poderia construir planos de tal forma que as intersecoes dos planos com o cubo gerassem um tetraedro, um paralelepipedo ou um prisma qualquer. Algo bem ludico, que fizesse o aluno desenvolver a visao espacial brincando. Algo tipo o Cabri-Geometre, soh que em tres dimensões. = - Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] UIN 114153703 ___ Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] UM PROBLEMÃO!
Feliz ano novo, Arthur Estive lendo alguns emails anteriores e ai encontrei o seu (abaixo) . Voc consegue uma copia dessa tese ou informaes de como consegui-l? Obrigado por qualquer ajuda futura PONCE Artur Costa Steiner escreveu: Um problema que apresenta alguma similaridade com este e que tem real aplicacao pratica eh como cortar uma placa retangular de vidro, de dimensoes dadas, de modo a obter diversas outras placas retangulares e minimizar o material perdido. Parece simples, mas eu sei que na Inglaterra houve ateh tese de doutorado ligadao a isto. Existem alguns programas de otimizacao nesta linha e que sao usados por vidracarias. Parece que estes programas sao heuristicos, acho que nao se dispoem ainda de um algoritmo que garanta a solucao otima. Artur 2x1x1? Calculei os primeiros termos desta seqncia: 1,2,9,32,121,450,1681,6272,23409,87362,326041,1216800,... e procurei na enciclopdia de seqncias de inteiros: http://www.research.att.com/~njas/sequences/Seis.html A enciclopdia conhece a seqncia, ela se chama A006253. A enciclopdia tambm indica que este problema est no Concrete Mathematics, de Graham, Knuth e Patashnik, pgina 360. A pgina tambm d uma frmula bem simples que eu no vou copiar (para que vocs possam tentar obter sozinhos e tb para que olhem as referncias). []s, N. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] UM PROBLEMÃO!
Obrigado pela resposta e atenção Arhur. Fico já agradecido por qualquer ajuda nesse sentido. PONCE Artur Costa Steiner escreveu: Eu tenho um amigo que trabalha com isto, ele ganha a vida treinando funcionarios de vidracarias e empresas similares a usarem um software desenvolvido pela empresa que ele representa. Vou tentar conseguir com ele informacoes sobre a tese desenvolvida na Inglaterra (acho que foi na Universidade de Cambridge, por um brasileiro de Sao Paulo) e sobre o software. O software certamente eh patenteado. Feliz 2004. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Luiz Ponce Sent: Thursday, January 01, 2004 12:03 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] UM PROBLEMÃO! Feliz ano novo, Arthur Estive lendo alguns emails anteriores e ai encontrei o seu (abaixo) . Você consegue uma copia dessa tese ou informações de como consegui-lá? Obrigado por qualquer ajuda futura PONCE Artur Costa Steiner escreveu: Um problema que apresenta alguma similaridade com este e que tem real aplicacao pratica eh como cortar uma placa retangular de vidro, de dimensoes dadas, de modo a obter diversas outras placas retangulares e minimizar o material perdido. Parece simples, mas eu sei que na Inglaterra houve ateh tese de doutorado ligadao a isto. Existem alguns programas de otimizacao nesta linha e que sao usados por vidracarias. Parece que estes programas sao heuristicos, acho que nao se dispoem ainda de um algoritmo que garanta a solucao otima. Artur 2x1x1? Calculei os primeiros termos desta seqüência: 1,2,9,32,121,450,1681,6272,23409,87362,326041,1216800,... e procurei na enciclopédia de seqüências de inteiros: http://www.research.att.com/~njas/sequences/Seis.html A enciclopédia conhece a seqüência, ela se chama A006253. A enciclopédia também indica que este problema está no Concrete Mathematics, de Graham, Knuth e Patashnik, página 360. A página também dá uma fórmula bem simples que eu não vou copiar (para que vocês possam tentar obter sozinhos e tb para que olhem as referências). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] algelin na Internet(aonde?)
Ol frank Estou acompanhado o seu computador. Caso voc esteja nesse momento responda-me. Um abrao Adorei as solues e inclusive esta do sen(cos(x)). PONCE Domingos Jr. escreveu: No sei pq o meu OE no est colocando '' ou '|' nas respostas... o pedido era do Dirichlet no meu! De qualquer forma manda o livro power que pode me interessar ;-) e-mail [EMAIL PROTECTED] VOC SABE O RESTO. [ ]'s - Original Message - From: "niski" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 19, 2003 10:22 PM Subject: Re: [obm-l] algelin na Internet(aonde?) Domingos, tenho o livro do Hoffman e Kunze em Pdf Este seria o livro Power! se vc quiser, deixe o seu e-mail que eu te mando. Domingos Jr. wrote: Oi yturma,alguem poderia me recomendar algo sobre algebra linear na Internet?Eu quero algo introdutorio e depois um bem power. Inte!!! --- x --- Se vc se interessa por algoritmos: NUMERICAL RECIPES www.nr.com = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria
Caro amigo Jefferson, A resposta para sua pergunta : cos(senx) Uma possivel justificativa dada a seguir. Considerando I = [0, pi/2 ],para todo x pertencente a I, obtem-se: 1) senx , cosx e senx + cosx pertencem a I . Justificativa: 0 = senx = 1 pi/2 , 0 = cosx = 1 pi/2 e 0 senx + cosx = k.sen(x+pi/4) = k pi/2, com k = sqrt (2) (raiz quadrada de 2) 2) A funo f : I -- [0,1], definida por f(x) = cos x , estritamente decrescente em I ( propriedade ). Justificativa: Sendof a funo derivada de f , em I, tem-se f (x) = - sen (x) 0 , para todo x pertencente a I. (a prova pode ser feita sem derivada,verifique!!) Portanto, para todo x pertencente a I, podemos escrever de (1): senx (pi/2 - cos x), ( senx e (pi/2 - cos x) pertencem aI ) Nestas condies, segue-se de (2): cos(senx) cos (pi/2 - cosx) =sen(cosx). Portanto, para todo x pertencente a I, cos(senx) sen(cosx). Nota: cosx pertence a I e (pi/2 - cosx) + cosx = pi/2 logo cosx e pi/2 - cosx so medidas de arcos complentares, consequentemente , cos(pi/2 -cosx) = sen ( cosx) (propriedade ) Com os melhores desejos a todos amigos da lista e ano novo repleto de felicidade e saude, mas com muitos problemas de matemtica interessantes. o desejo do amigo PONCE Jefferson Franca escreveu: Caros amigos participantes da lista, durante algum tempo a questo q vou propor tem me deixado intrigado a bendita a seguinte:Seja x um ngulo do 1 quadrante, qual o maior sen(cosx) ou cos(senx) ? Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dvidas e curiosidades!
Re: [obm-l] Re: [obm-l] congruências
isso mesmo Muito obrigado Claudio Freitas, PONCE Claudio Freitas escreveu: Acho que porque.. n^5 - n = n (n^ 4 - 1) = n ( n ^2 - 1 ) (n^2 + 1) [ 1 ] n ( n ^ 2 - 1 ) ( n ^ 2 + 1) = n ( n ^ 2 - 1)[( n ^ 2 - 4) + 5] = n ( n ^ 2 - 1) (n ^ 2 - 4) + n ( n ^ 2 - 1) (5 ) - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 30, 2003 1:16AM Subject: Re: [obm-l] congruncias Para oproprio Ponce ou alguem que saiba. Nao entendi uma passagem. Por que o 5estah sendo multiplicado por n( n ^2 - 1 ) ? Pois o 5 da segunda equacao [2]nao estah ? Em uma mensagem de 30/12/2003 00:20:00 Hor. de veroleste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED]escreveu: Caro amigo Jefferson, Vai uma humilde sugesto . Da definio de " congruncia mod m" , tem-se que: n^5 congruente a n ( mod 15) se, e somente se, n^5 - n divisivel por 15. Por outro lado, para todo n natural n^5 - n = n (n^ 4 - 1) = n ( n ^2 - 1 ) (n^2 + 1) [ 1 ] n ^2 + 1 = (n ^2 - 4) + 5 = (n - 2 )(n + 2) + 5 [ 2 ] De [ 1 ] e [ 2 ] resulta n^5 - n = n ( n ^2 - 1 )(n - 2 )(n + 2) + 5. n ( n ^2 - 1 ) ou melhor ainda n^5 - n = (n - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) + 5. (n-1)n(n+1) Assim, n^5 - n = A + 5.B, onde A = (n - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) ( produto de cinco inteiros consecutivos) B = (n-1)n(n+1) ( produto de tres inteiros consecutivos) Lembrando que o produto de n (n1) inteiros consecutivos sempre divisivel por n ! ( n fatorial), tem- se que : A divisivel por: 5 !, ou seja 120 enquanto 5.B divisivel por 5. 3! , ou seja, 30 Agora, como o MDC ( 120, 30) = 30, conclui-se que A + 5B divisivel por 30 . Portanto, sendo 30 = 15. 2 , podemos afirmar que n^5 - n divisivel por 15, isto , n^5 congruente a n ( mod 15), o que finaliza a demonstrao. PONCE Nota: Da demonstrao acima, resulta que :n^5 congruente a n ( mod 30). Jefferson Franca escreveu: Ser q algum poderia dar uma mo com a questo:Prove q para um natural n , tem-se que n^5 congruente n ( mod 15) Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 24/12/2003 / Verso:1.4.1 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
Re: [obm-l] congruências
Caro amigo Jefferson, Vai uma humilde sugesto . Da definio de " congruncia mod m" , tem-se que: n^5 congruente a n ( mod 15) se, e somente se, n^5 - n divisivel por 15. Por outro lado, para todo n natural n^5 - n = n (n^ 4 - 1) = n ( n ^2 - 1 ) (n^2 + 1) [ 1 ] n ^2 + 1 = (n ^2 - 4) + 5 = (n - 2 )(n + 2) + 5 [ 2 ] De [ 1 ] e [ 2 ] resulta n^5 - n = n ( n ^2 - 1 )(n - 2 )(n + 2) + 5. n ( n ^2 - 1 ) ou melhor ainda n^5 - n = (n - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) + 5.(n-1)n(n+1) Assim, n^5 - n = A + 5.B, onde A = (n - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) ( produto de cinco inteiros consecutivos) B = (n-1)n(n+1) ( produto de tres inteiros consecutivos) Lembrando que o produto de n (n1) inteiros consecutivos sempre divisivel por n ! ( n fatorial), tem- se que : A divisivel por: 5 !, ou seja 120 enquanto 5.B divisivel por 5. 3! , ou seja, 30 Agora, como o MDC ( 120, 30) = 30, conclui-se que A + 5B divisivel por 30 . Portanto, sendo 30 = 15. 2 , podemos afirmar que n^5 - n divisivel por 15, isto , n^5 congruente a n ( mod 15), o que finaliza a demonstrao. PONCE Nota: Da demonstrao acima, resulta que :n^5 congruente a n ( mod 30). Jefferson Franca escreveu: Ser q algum poderia dar uma mo com a questo:Prove q para um natural n , tem-se que n^5 congruente n ( mod 15) Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dvidas e curiosidades!
Re: [obm-l] Todas as funcoes lineares são continuas? Resposta: NÃO
Ol amigos, O livro mencionado abaixo muito bom. voc poder encontr-lo na biblioteca da USP. Veja as informaes abaixo, de uma pesquisa feita por mim. Formato completo do registro - DEDALUS Este link esta em fase de implantao para melhor servi-lo Base 01 Autor Gelbaum, Bernard R. Ttulo Counterexamples in analysis[by] Bernard R. Gelbaum [and] John M.H. Olmsted. Imprenta San Francisco, Holden-Day, 1964. Descr Fs xxiv, 194 p. illus. 24 cm. Srie The Mathesis series Assunto ANALISE MATEMATICA (TEXTOS INTERMEDIARIOS) Autor Sec Olmsted, John Meigs Hubbell, 1911- joint author.; Tipo Mat LIVRO Acervo Exemplares na biblioteca IME Um abrao PONCE niski escreveu: Alguem conhece a prova? No livro Counterexamples in Analysis by Bernard R. Gelbaum (Author), John M. H. Olmsted (Author) , eles apresentam um contra exemplo, ou seja, constroem uma funcao linear que no continua. Alguem conhece?! Eu obviamente nao tenho o livro. Obrigado. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re : Triângulo
Caro amigos, Com o intuito de sempre acrescentar sugestes. Tenho abaixo uma outra soluo para o problema do Marcelo. Seja CB = a. Assim, aplicando a lei dos cossenos no tringulo ACB tem-se: (x+1)^2 = 1+a^2 -2acos(120), ou melhor ainda x^2 +2x = a(a+1) ... (I) Agora, aplicando a lei dos senos no tringulo ADC e observando que os ngulos ADC e ADB so suplementares, tem-se que Edmilson wrote: Caro Marcelo Souza, Gostaria que vcs pudeseem me ajudar com o problema abaixo me enviando a soluo. :) Assim Num triangulo obstusangulo ABC (com angulo obtuso em A). De A traa-se uma ceviana AD, com D pertencente a BC, tal que CD=x e DB=1. O angulo CAD=90, e o angulo DAB=30. O lado CA=1. Calcule x. Obrigado Abraos Marcelo Pela reta suporte do lado AC, a partir do ponto A construir um segmento de comprimento 1/x, obtendo o ponto E. Em seguida, unindo-se o ponto E ao ponto B, obtemos AD paralelo a BE, pois os segmentos CA, AE, CD e DB formam nesta ordem uma proporo. Assim, EAB = 60 e ABE = 30 (ngulos alternos internos). Logo, o tringulo ABE um tringulos retngulo 30, 60 e 90. Da, tiramos AB = 2/x. Aplicando-se a lei dos cossenos no tringulo ABC, temos : (1+x)^2 = 1^2 + (2/x) ^2 - 2 *1 * (2/x)*cos 120 , simplificando-se, chegamos a equao : x^4 + 2*x^3 - 2*x - 4 = 0 , que pode ser fatorada como (x+2).(x^3-2) = 0. Obtemos assim, x = raiz cbica de 2, como a nica raiz real desta equao.Atenciosamente, Edmilson http://www.abeunet.com.br/~edmilson [EMAIL PROTECTED]
Re. triângulos
Caros amigos, Alm da bela soluo do Edmilson, gostaria de acrescentar mais duas solues para o problema interessante do Marcelo, .cujo o enunciado vem a seguir: Num triangulo obtusngulo ABC (com angulo obtuso em A). De A traa-se uma ceviana AD, com D pertencente a BC, tal que CD=x e DB=1. O angulo CAD=90, e o angulo DAB=30. O lado CA=1. Calcule x. Primeira Soluo Seja E a projeo ortogonal de B sobre a reta suporte do lado AC. Nestas condies , teremos AD//BE, conseqentemente - o tringulo AEB ser retngulo em E com ngulo EAB medindo 60, donde conclue-se que BE = EA.tg(60). ..(I) - do teorema de tales, podemos escrever EA/AC = BD/DC , de onde obtemos EA = 1 / x . (II) - o tringulo BEC ser retngulo em E .Assim,do Teorema de Pitagoras segue-se que BC^2 = BE^2 + EC^2 .(III) Por outro lado, de (I), (II) e (III) resulta: (x+1)^2 = [ (1/ x)tg(60) ]^2 + ( 1 + 1/ x )^2 desenvolvendo, encontra-se (x^3).( x+2 ) = 2.( x+ 2) Portanto, como x+2 diferente de zero, tem-se x^3 = 2, ou seja, x= 2^(1/3). Segunda Soluo Seja AB = a Do tringulo retngulo DAC, podemos escrever sen(ADC) = AC/DC = 1/ x (I). Do tringulo ADB e do Teorema dos Senos,obtem-se: a / sen(ADB) = DB / sen(30). Como os ngulos ADB e ADC so suplementares, obtem-se ainda, a / sen(ADC) = DB / sen(30). Substituindo o resultado encontrado em (I), encontraremos ax = 2 (II). Do tringulo ABC e do Teorema dos cossenos, resulta (1+x)^2 = a^2 + 1 - 2acos(120), desenvolvendo e simplificando, chegamos em x^2 + 2.x = a.(a + 2) (III) Por outro lado, podemos escrever, de (II): 2.x = a.(x^2). Observando que a+2 diferente de zero,obteremos de (III) x^2 = a , ou ainda x^3 = a.x = 2. Portanto, nestas condies tem-se x = 2^(1/3). PONCE visite este site, contendo vrios softwares de geometria. http://www.jazzfree.com/jazz6/cpaulo/cabri/index.htm
Re: problema de Geom do IME
Olá Bruno, Por favor envie-me esta prova. Obrigado PONCE Bruno Leite wrote: Estou com uma prova do teorema que falei. Tem 50kb. Mando a quem pedir, pois a lista não aceita arquivos dete tamanho. Ela está em inglês. Bruno Leite __ Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com
Re: problema de Geom do IME
Olá Bruno, Se possível eu gostaria de receber a prova do teorema mencionado abaixo. Obrigado por sua atenção PONCE Bruno Leite wrote: Estou com uma prova do teorema que falei. Tem 50kb. Mando a quem pedir, pois a lista não aceita arquivos dete tamanho. Ela está em inglês. Bruno Leite __ Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com
