Re: [obm-l] número irracional
Pessoal, muito cuidado com afirmacoes que nao vem acompanhada de prova ou referencia. Assim como o comentario sobre a soma de dois transcendentes ser tambem transcendente, a afirmacao feita na mensagem do Andre eh falsa. Por exemplo, considere a = 2, b = log3/log2. Por um lado, a eh claramente natural, e b eh irracional (de fato, se b=p/q, p,q inteiros positivos, temos 2^p = 3^q que eh uma contradicao pois nenhuma potencia de 3 eh par). Por outro lado, a^b = 3 nao eh um numero irracional! Abracos, Marcio Cohen On 8/11/07, André Smaira [EMAIL PROTECTED] wrote: vc já sabe q 3^(1/2)=sqrt(3) eh irracional e um numero natural elevado a um irracional é irracional Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba maishttp://br.rd.yahoo.com/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/.
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!
Douglas, Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!! Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é: Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx: (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 + 1/c^2 + 6) = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6); 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1). Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 - 6), ou seja, (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC Abraços, Marcio Cohen On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em zerar a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é o quadrado do produto dos senos dos angulos, ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado. E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma expressão simples para a resposta.Resta aguardar que quem propôs o problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em nossa lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem é bastante interessante). Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, no mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio. Abraços, Nehab At 01:09 29/7/2007, you wrote: Ola' Douglas e colegas da lista, nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Convergência/divergência de uma serie
Oi Arthur, Na verdade, (1+1/n^(4/3))^(n^(4/3)) - e nao eh o mesmo que (1+1/n^(4/3))^n - e^(3/4) pq o expoente 4/3 esta soh no n e nao no (1+1/n^(4/3))^n.. Acho inclusive que essa série diverge, pois como 2^x 1+x*ln2 para x0, temos Soma ( 2^(1/n) - 1) ln2*Soma (1/n) ... Abraços, Marcio On 4/19/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu encontrei uma solucao um tanto artesanal. Partimos de lim (1 + 1/n)^n = e. Assim, temos tambem que lim (1 + 1/n^(4/3))^(n^(4/3)) = e, o que eh o mesmo que dizer que . lim (1 + 1/n^(4/3))^n = e^(3/4). Temos que e^(3/4) (2,5)^(3/4) = (1 + 1,5)^(3/4) 1 + 1,5 * 3/4 = 2,125 2 . Assim, para n suficientemente grande temos que (1 + 1/n^(4/3))^n 2 Tomando a raiz enésima, vem 1 + 1/n^(4/3) 2^(1/n) e, portanto, 1/n^(4/3) 2^(1/n) - 1. Para n suficientemente grande, temos portanto que 0 2^(1/n) - 1 1/n^(4/3) Como 4/3 1, a serie Soma 1/n^(4/3) converge. Por comparacao, concluimos entao que Soma ( 2^(1/n) - 1) converge, Abracos Artur . -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: quinta-feira, 19 de abril de 2007 12:50 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma serie A série começa com 2 e os termos vão diminuindo até zero, assim dá para suspeitar que converge porque o termo geral tende a zero. Mas o termo geral tender a zero, não é uma condição suficiente para convergência. Precisamos de um critério, como o da comparação. Eu tentaria, de imediato, algo do tipo: Pegaria uma série que eu sei que converge tal como a_n = 1/(2^n-1), cuja conclusão se tira pela comparação com a série geométrica, e b_n = 2^(1/n) - 1 e calcularia o limite a_n/b_n quando n - infinito. Foi isso que você fez? Ronaldo. Artur Costa Steiner wrote: Achei a analise da convergencia/divergencia desta serie interessante:Soma (n =1, oo) (2^(1/n) - 1)Conclui que converge.AbracosArtur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] séries numéricas
Oi Cláudio, Bem vindo a lista. Uma sugestão é verificar que para qualquer função positiva decrescente f, (e em particular para as duas funções que vc considerou), Somatório_n=2..oo_f(n) converge se e somente se Integral_x=2..oo_f(x) converge (veja isso pela definição de integral ou pela comparação das áreas dos gra'ficos). No 1o caso, f(x) = 1/x/logx e a integral indefinida vale log(logx), que pode ficar tão grande quanto se queira. Para a funcao f(x)=1/x/log^r(x) com r1, a integral indefinida vale -1/((logx)^(r-1))/(r-1), que tende ao valor finito +1/(r-1)/log2 quando x tende a infinito. Fica como exercício analisar a convergência da série cujo termo geral é 1/(logn)^(logn). Abraços, Marcio Cohen On 4/7/07, Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] integral
Aqui vai uma outra solução bem interessante para a integral I = int(0--+00) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx. Ela se baseia na observação de que arctan(pi.x) - arctan(x) eh a integral de 1/(t^2+1) de x até pi.x (*). Logo, a integral pedida pode ser calculada como um integral dupla: I = Integral Dupla_x=0..oo_t=x..pix_(dtdx/(t^2+1)/x) Trocando a ordem de integracao, I = Integral Dupla_t=0..oo_x=t/pi..t_(dxdt/(t^2+1)/x) E agora é fácil, pois Integral_x=t/pi..t_(dx/x) = lnt-ln(t/pi) = ln(pi) eh constante, implicando I = ln(pi)*Integral_t=0..oo_(dt/(t^2+1)) = ln(pi)*pi/2 pela observacao *. Abracos, Marcio Cohen On 4/5/07, Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] wrote: Buenas, Vamos começar pela fórmula da integral por partes: int(a..b)(u dv) = uv(b)-uv(a) -int(a..b)(v du) No caso, temos: u = arctan(pi.x) - arctan(x) v = ln(x) int(0..+oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx = lim(x-oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) - lim(x-0)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) - int(0..oo)( (Pi/(1+Pi^2*x^2)-1/(1+x^2) )*ln(x)) dx O segundo limite é zero (basta olhar a expansão de taylor para arctan(x)). O primeiro limite também é zero. Uma forma de ver pode ser: (arctan(pi.x) - arctan(x))*ln(x) = (arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) lim(x-oo) ((arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) = LHospital = lim(x-oo) (( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x)^2*x ) = 0 Então ficamos com: int(0..+oo)( ( arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx = int(0..oo)( -f(x) ) dx, Onde: f(x) = ( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x) Agora vamos considerar a integral tomada entre -oo e +oo, e lembrar que, para x E R0, ln(-x)=ln(x)+i*Pi. Assim: int(-oo..+oo)(f(x)) dx = 2*int(0..oo) f(x) dx + i*Pi*int(0..oo) Pi/(1+Pi^2*x^2) -1/(1+x^2)) dx Bem, int(-oo..+oo) f(x) dx pode ser calculada por resíduos. Depois, vc toma a parte real para calcular int(0..oo) f(x) dx = f(x) tem dois pólos no semiplano complexo z=x+i*y com y0, que são: z=i e z=i/Pi. Res(z=i) = lim( x-i ) ( f(x)*(x-i) ) = -Pi/4 Res(z=i/Pi) = lim( x-i/Pi )( f(x)*(x-i/Pi) ) = Pi/4 +i/2*ln(Pi) int(-oo..+oo) f(x) dx =2*Pi*i*( -Pi/4+Pi/4+i/2* ln(Pi)) int(-oo..+oo) f(x) dx = -Pi*ln(Pi) A integral pedida é então: int(0..+oo) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx = int(0..oo) -f(x) dx = 1/2 * Pi * ln(Pi) []´s Demetrio --- BRENER [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola, gostaria de uma ajudinha na integral int(0--+00) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx
Re: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001
Oi Marcelo, A ideia eh que se x é autovalor de A, entao x^k eh autovalor de A^k, pois Au = xu = (A^k)u=(x^k)u. Como A^k = 0 e autovetores sao nao nulos, isso significa que x^k=0, ou seja, x=0. On 2/22/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Marcio, se A é nilpotente, entao existe k, tal que: A^k = 0 A^k - sI = -sI det(A^k - sI) = (-s)^n, onde n é a dimensao de A assim, o unico autovalor de A^k é 0, pois é o unico que zera (-s)^n... nao consegui provar que A tem os autovalores nulos =/ dps tento novamente abracos Salhab - Original Message - From: Marcio Cohen [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, February 19, 2007 5:18 PM Subject: Re: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001 Se det(B) nao for 0, entao B admite inversa B^-1, e portanto podemos escrever A=AB^-1+I. Logo, det(A-I) = det(AB^-1) = det(A)*... = 0 = 1 é autovalor de A (contradição!). A gente chama uma matriz de nilpotente quando existe um inteiro k tal que A^k = 0. Verifique que A é nilpotente sse seus autovalores são todos nulos. Abraços, Marcio Cohen On 2/19/07, Jhonata Ramos [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, tava olhando essa questão: Let be given two matrices A, B from M_n(R) such that A^2001 = 0 and AB = A+B. Show that det(B) = 0. Source VUMC 2001 Vi uma solução que o cara fala o seguinte: A^2001=0 = A is nipoltent detA=0 lemma: If X,Y commute, Y nilpotent then det(X+Y)=detX Gostaria de saber o que significa, nipoltent (não a tradução :) e se o lemma dele ali é verdadeiro, Forte abraço, Jhonata Emerick Ramos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] simetria / putnam 87
Oi Jhonata, Nesse caso, a motivação foi buscar limites de integração simétricos (de -a até a), pois isso lhe permitirá ver mais facilmente idéias como trocar u por -u ou integral de função ímpar de -a até a vale zero. Como os limites vão de x = 2 até x = 4, i.e, de x = 3-1 até x=3+1, é razoável você fazer a substituição de variáveis u = x - 3. Outro exemplo resolvido: I = Integral_de 0 a pi/2_ dx/(1+(tanx)^r). Como a integral vai de x=0 a x=pi/2, eu vou fazer a troca u = x-pi/4, de forma que u vai de -pi/4 até pi/4. Como tanx = tan(u+pi/4) = (1+tanu)/(1-tanu), temos I = Integral_de -pi/4 a pi/4_ (1-tanu)^r du/ ( (1-tanu)^r + (1+tanu)^r ) Trocando u por -u, como tan é uma função ímpar: I = Integral_de -pi/4 a pi/4_ (1+tanu)^r du/ ( (1+tanu)^r + (1-tanu)^r ). Somando as duas, obtemos 2I = Integral_de -pi/4 a pi/4_ du = pi/2, logo I=pi/4. Você pode ler mais a respeito no livro Problem-Solving Through Problems, de Loren Larson por exemplo... Abraços, Marcio Cohen On 2/19/07, Jhonata Ramos [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom dia amigos da lista, estava resolvendo(ou pelo menos tentando :) algumas questões e me deparei com essa: http://www.majorando.com/arquivos/calculoimc.pdf a primeira questão da lista, putnam 87, ficou um pouco obscuro para mim como essa simetria foi utilizada e ainda como sacar em questões do tipo, que se pode usar simetria. P.s - onde posso encontrar alguma coisa para ler a respeito, forte abraço a todos, Jhonata Emerick Ramos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001
Se det(B) nao for 0, entao B admite inversa B^-1, e portanto podemos escrever A=AB^-1+I. Logo, det(A-I) = det(AB^-1) = det(A)*... = 0 = 1 é autovalor de A (contradição!). A gente chama uma matriz de nilpotente quando existe um inteiro k tal que A^k = 0. Verifique que A é nilpotente sse seus autovalores são todos nulos. Abraços, Marcio Cohen On 2/19/07, Jhonata Ramos [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, tava olhando essa questão: Let be given two matrices A, B from M_n(R) such that A^2001 = 0 and AB = A+B. Show that det(B) = 0. Source VUMC 2001 Vi uma solução que o cara fala o seguinte: A^2001=0 = A is nipoltent detA=0 lemma: If X,Y commute, Y nilpotent then det(X+Y)=detX Gostaria de saber o que significa, nipoltent (não a tradução :) e se o lemma dele ali é verdadeiro, Forte abraço, Jhonata Emerick Ramos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
Conforme prometido, eu e o Villard colocamos em www.majorando.com as soluções da OBM 2006. Por enquanto colocamos apenas as soluções do nível 3. Para o nível U, está faltando resolver a 6. Mesmo conversando com diversos alunos que fizeram a prova ainda não conseguimos resolver essa questão. Se alguém puder enviar a solução, ela será incluída no site no próximo fim de semana com os devidos créditos (durante a semana é difícil de arranjarmos tempo). Abraços, Marcio Cohen
Re: [obm-l] Força de grupo!!
Prezado Rodolfo, Já existe um material bastante extenso de preparação para olimpíada universitária em www.majorando.com Em breve, colocaremos também nesse site as soluções da OBM que ocorreu no sábado passado. Abraços, Marcio CohenOn 10/31/06, Rodolfo Braz [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal vamos nos mobilizar pra desenvolver material e lista de treinamento para o pessoal q se prepara para OBM Universitária. Temos muitas pessoas q se interessam e podem ajudar!! Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Resultado da OBM-2006
Prezado Llerer, como um dos responsáveis pela OMERJ, informo que o resultado sairá em novembro. Atenciosamente, Marcio CohenOn 10/31/06, Llerer [EMAIL PROTECTED] wrote: Nelly, e sobre a OMERJ, você sabe alguma coisa ? - Mensagem Original - De: Olimpiada Brasileira de Matematica Para: Lista de discussao Data: TerçA, 31 De Outubro De 2006 04:13 Assunto: [obm-l] Resultado da OBM-2006 Caros(as) amigos(as) da lista,O resultado da OBM-2006 somente será publicado durante o mês de dezembro.(provavelmente somente na segunda quinzena do mês). Por favor aguardem pois estamos em fase de correção.Abraços, Nelly=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] (ITA - 90) SISTEMAS LINEARES - questão 17
Renan, O fato de se ter D = Dm = 0 para todo m não garante que um sistema indeterminado, como mostra o exemplo: x+y+z = 1 x+y+z = 1 x+y+z = 2 no qual se tem D=D1=D2=D3=0 mas o sistema é impossível. Ao provar que D=Dm=0 para todo m você pode concluir que o sistema é indeterminado ou impossível. No caso dessa questão, como (0,0,...,0) é solução, o sistema é indeterminado. Abraço, Marcio Cohen On 10/28/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote: Como é um sistema normal, podemos usar a regra de CramerSendo m um número natural qualquer em [1 , n]x_m = Dm/DOnde Dm denota o determinante da matriz incompleta com os coeficientes de m trocados pelo termo independente. (e bem... D o determinante da matriz incompleta) Bom... já mostraram várias vezes que D = 0, daí x_m = Dm/0Porém Dm também é zero! (Como os coeficientes estão em PA vale usar a soma dos extremos, p. exemplo, pra mostrar que Dm é zero)x_m = 0/0 (indeterminação) para qualquer m no intervalo [1,n] Em 28/10/06, vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Considere o sistema linear homogêneo nas incógnitas x_1, x_2, ..., x_n dado por: a_1 .x_1 + (a_1 + 1)x_2 + (a_1 + n - 1)x_n = 0a_2 .x_1 + (a_2 + 1)x_2 + (a_2 + n - 1)x_n = 0...a_n . x_1 + (a_n + 1)x_2 + (a_n + n - 1)x_n = 0 onde a_1, a_2, ..., a_n são número reais dados. Sobre a solução deste sistema podemos afirmar que: FAz o determinante e veja q ele dara zero(eh mt facil ver isso) daih, ele sera ou impossivel ou indeterminado.mas (0,0,...,) eh uma solucao.logo ele naum eh impossivel e entao eh indeterminado. O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Transformacao linear
Marcelo, A resposta é: Depende ddo que foi pedido. Como transformações lineares não preservam ângulos, é improvável que você consiga resolver esse problema através de uma transformação dessas. Abraços, Marcio CohenOn 10/28/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, fiz hj a 2a. fase da OBMU, e fiquei em duvida quanto a um passo na minha resolucao da questao da elipse... se eu tenho uma elipse, aplico uma transformacao linear, e obtenho uma circunferencia... entao, eu provo o q foi pedido para a circunferencia... essa prova tambem vale para a elipse? a questao pedia pra provar que, se uma mesa de sinuca fosse montada no formado da elipse, e se uma bola colidisse com a borda da mesa, ela sairia na posicao simetria em relacao à normal da elipse, entao uma bola saindo de A, passando por B e C, e entao retornando a A, passaria novamente por B. obs: a transformacao linear é bijetora.. abraços, Salhab
Re: [obm-l] Sequência
Esse problema já caiu numa olimpíada do leste europeu.. A tabela abaixo mostra que a sequência não pode ter mais que 16 termos (pois somando por linhas a tabela abaixo temos uma soma positiva, e somando por colunas temos uma soma negativa!). a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a4 a5 ... a5 a6 ... a6 ... a7 a8 a9 ... a17 Não é fácil construir uma sequência com 16 termos, mas um exemplo é: 5 5 -13 5 5 -13 5 5 -13 5 5 -13 5 5 -13 5 Abraços, Marcio Cohen On 9/15/06, Iuri [EMAIL PROTECTED] wrote: Numa sequencia finita, temos a soma de 7 termos consecutivos sendo sempre negativa, e a soma de 11 termos consecutivos sendo sempre positiva. Qual é o numero máximo de termos dessa sequencia? Iuri = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] IMO 2006 Eslovênia
Prezados participantes da lista, A IMO 2006 já está disponível, inclusive com as soluções oficiais. Eu as coloquei em www.majorando.com , mas também é possível encontrá-las no site oficial dessa IMO. Esse site foi criado por mim e pelo Rodrigo Villard (ele já foi um participante ativo dessa lista). Nele você encontrará detalhes de um livro que acabamos de escrever e será lançado em agosto com tópicos teóricos e soluções das provas de matemática do IME dos últimos 15 anos. Encontrará também diversos artigos escritos por nós relacionados a olimpíadas de matemática, incluindo artigos de preparação para o vestibular do IME, olimpíadas de ensino médio (níveis intermediário e avançado) e olimpíadas universitárias (nível avançado). Abraços, Marcio Cohen = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] LIMITES
É verdade, obrigado pela correção! Marcio - Original Message - From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 22, 2006 1:12 AM Subject: Re: [obm-l] LIMITES Marcio Cohen wrote: Oi Marcelo. Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e concluir que S não só converge, mas tem forma fechada simples. Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas vezes (ou por indução), S(n) = 2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2. Na verdade S(3)=3*5*9/(2*4*8)=135/64=2.109375 2, e como S(n)S(n+1) com certeza ela converge pra algo maior que 2. O erro no seu raciocínio é que você gera termos da forma (1+1/2^2^n), e não (1+1/2^n) como você gostaria. Numericamente, esse limite converge para aproximadamente 2.384231. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] LIMITES
Para ser mais preciso (e chato), -1/|x| = sen(a)/x = 1/|x| - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 9:10 PM Subject: Re: [obm-l] LIMITES Olá, pq -1 = sen(a) = 1.. para qualquer a... dividindo por x, temos: -1/x = sen(a)/x = 1/x abracos, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 6:43 PM Subject: Re: [obm-l] LIMITES Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá 2) -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x qdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 quando x- 0. abraços, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 AM Subject: [obm-l] LIMITES 1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n). 2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x Grato. Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] LIMITES
Oi Marcelo. Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e concluir que S não só converge, mas temforma fechada simples. Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas vezes (ou por indução),S(n) =2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2. - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 22, 2006 12:32 AM Subject: Re: [obm-l] LIMITES Olá, consegui algumas coisas na 1.. mas ainda nao cheguei a uma resposta.. 1) Seja S = (1 + 1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^3)...(1+1/2^n), temos que: lnS = ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ln(1+1/2^3) + ... + ln(1+1/2^n) é fácil mostrar que o somátorio a direita, quando n-inf, converge. Pois aplicando o teste da raiz obtemos 1/2 1. sabemos que ln(1+x) = x .. x=0 assim: ln(1+1/2^k) = 1/2^k logo, Sum(k=1..n, ln(1+1/2^k)) 1/2 * (1 - 1/2^n)/1/2= 1 - 1/2^n qdo n-inf, temos: Sum(k=1..inf, ln(1+1/2^k))= 1 assim, lnS = 1, qdo n-inf logo: S = e, qdo n-inf bom, talvez conseguindo mostrar que S = e... ou entao utilizando outra ideia pra concluir a questao. abraços, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 6:45 PM Subject: Re: [obm-l] LIMITES Ola Carlos, A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes: a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá ,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como sendo uma função infitesima multiplicada por um limitada ; ou seja a resposta é zero .Tem certeza que a questão (1) esta correta ?[]´s Carlos VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote: 1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] Geometria espacial
Ponciano, sua solução está completa e elegante. - Original Message - From: Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 4:54 PM Subject: Re: [obm-l] Geometria espacial Tudo bem... Mas precisa justificar ... Será que esse arranjo de pontos maximiza o número de pontos que podem ser colocados dentro do cubo? H não tenho tanta certeza... - Original Message - From: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:59 PM Subject: RE: [obm-l] Geometria espacial Estava pensando numa forma mais simples... Dividir o cubo unitário em 125 cubinhos de lado 1/5 Por casa dos pombos, ao menos um desses cubinhos possui 4 pontos em seu interior. E como uma esfera de raio 1/5 contém um cubo de raio 1/5 -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of Ronaldo Luiz Alonso Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:22 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Geometria espacial Esse problema foi resolvido em uma revista do professor de matemática. Vou apenas esboçar como faz ... Parece que não mas esse é um problema de química. Troque cubo unitário por célula unitária e pontos por átomos Quem não sober o que é cela unitária digite célula unitária no Google. Eu acredito que a melhor situação seria aquela em que os pontos estão em em um reticulado (lattice em inglês) uniformemente espaçado. Neste caso temos que colocar o maior número de pontos possíveis dentro deste reticulado. O reticulado então tem que ser um reticulado de Bravais. Existem 7 reticulados de Bravais que preenchem o espaço. http://pt.wikipedia.org/wiki/Rede_de_Bravais Para todos esses 7 reticulados, no caso do problema existem pelo menos 4 pontos dentre os 400 que fazem pate dos vértices que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Quem não concordar com isso, diga agora ou cale-se para sempre :) - Original Message - From: Dymitri Cardoso Leão [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:25 PM Subject: [obm-l] Geometria espacial * Colocamos 400 pontos, distintos dois a dois, no interior de um cubo unitário. Prove que, entre os 400 pontos, existem pelo menos 4 que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Não tenho a menor noçao de como fazer isto, alguém poderia por favor resolver? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios de Taylor
f(x) = -1/(1-x) = -(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...). Logo, o polinômio de taylor de ordem 2 em torno de x=0 é (-x^2-x-1). Ficou faltando um sinal de menos no seu coeficiente líder. Abraços, Marcio - Original Message - From: Tiago Machado To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, March 19, 2006 7:45 PM Subject: [obm-l] polinômios de Taylor Alguem pode me confirmar se o polinômio de Taylor (de ordem 2) para a função f(x) = 1/(x - 1) no ponto x = 0 é x² - x - 1?Obrigado.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência
Como 23 eh primo, 10^22 = 1 (mod 23), e como10^2 = 8 e 10^11 = 10*(10^2)^5= 10*8^5 = 10*16 != 1 (mod 23),22 eh o menor numero com essa propriedade. Logo, 10^a = 10^b (mod 23) se e somente se a = b (mod 22). Como 10^2 = 8 (mod 23), a resposta é que os valores de k para os quais temos 10^k = 8 (mod 23) são exatamente os inteiros positivos que deixam resto 2 na divisão por 22 (2, 24, 46, ...) Abraços, Marcio - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 7:06 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência Olá, vc quer saber para quais valores de k temos: 10^k = 8 (mod 23), certo? bom, temos que: 100 = 8 (mod 23) 10^(2n) = 8^n (mod 23) isso é, para k par temos que a unica solucao é k=2 (n=1). ainda nao consegui extender essa solucao para k impar.. estou tentando! PS: sei mto pouco sobre congruencia, talvez minha solucao esteja errada abraços, Salhab - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 12:16 AM Subject: [obm-l] Fw: congruência - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 03, 2006 8:11 PM Subject: congruência Como resolver a seguinte congruência 10^k cong 8 (mod 23) ... pra k=2 eh verdadeira mas como achar o caso geral???
Re: [obm-l] inducao
A 2a é maior que a 1a ué... - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, December 17, 2005 10:16 AM Subject: [obm-l] inducao Mostre usando inducao que para todo natural n:1/n+1 + 1/n+2 + ...+1/2n = 1/2 Mostre que para todo natural n: 1/n + 1/n+1 + 1/n+2 + ...+1/2n = 1/2 a primeira dá por inducao só q nao consegui. a segunda não dá. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] trigonometria
Pondo(senx)^2 =1/2+t, (cosx)^2=1/2-t, -1/2=t=1/2 y = (1/2+t)^3 + (1/2-t)^3 = 1/4 + 3t^2 tem mínimo em t=0 (y=1/4) e máximo em t=+-1/2 (y=1) Observe que y=1/4 para x=pi/4, 3pi/4, 5pi/4, ... logo o período é maior ou igual a pi/2. Por outro lado, trocar x por x+pi/2 não muda o valor de y, logo o período é exatamente pi/2. - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 16, 2005 9:46 PM Subject: [obm-l] trigonometria Achar os valores maximo e minimo e o periodo da função y=(sen(x))^6 + (cos(x))^6 fiz de uma maneira mt trabalhosa que se ninguem tiver feito igualmente eu coloco aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomio
P(x) = x eh a unica solução (demo: P(x)-x se anula em todos os pontos da seq. crescente definida por a1=1, a(n+1)=a(n)^2+1, n =1 e portanto é identicamente nulo) - Original Message - From: Danilo Nascimento To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, November 14, 2005 8:29 PM Subject: [obm-l] polinomio Determine todos os polinomios P(x) tais que P(x^2+1) = (P(x))^2+1 para todo x real. alguem se habilita? Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
Re: [obm-l] equacao
Duas soluções para essa questão, bem como as
soluções de todas as questões da prova de matemática do IME desse ano podem ser
encontradas por exemplo no site do Ponto de Ensino (onde eu
trabalho):
www.pensi.com.br
Uma solução possível é: Como k eh primo, xy
multiplo de k = x ou y multiplo de k.
Se x=ak, a inteiro, temos substituindo na
equacao que y=ak/(a-1). Como y eh inteiro e mdc(a,a-1)=1, deve-se ter a-1
dividindo k. Sendo k primo, isso dá a-1 em {-k,-1,k,1} que dá a em {1-k, 0, 1+k,
2} e substituindo em x=ak e y=ak/(a-1) vc acha 4 soluções. Trocando x com y
(i.e, fazendo y=ak) vc acha mais duas.
É interessante notar que essa questão
já tinha aparecido antes na olimpíada de matemática do Estado do Rio de Janeiro
de 1998 (por acaso foi uma prova que eu fiz como aluno, por isso lembrei
:)).
Abraços,
Marcio
- Original Message -
From:
Danilo Nascimento
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, October 26, 2005 9:28
AM
Subject: [obm-l] equacao
Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros
positivose k um numero primo
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Re: Re:[obm-l] equacao
Mesmo assim, ainda temos as soluções: (k^2+k, k+1) e (k-k^2, k-1) e suas simétricas. - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Wednesday, October 26, 2005 1:14 PM Subject: Re:[obm-l] equacao Eu supuz que k é um primo fixo dado. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 26 Oct 2005 12:20:17 -0200 (BRST) Assunto: Re:[obm-l] equacao Na verdare, por tentativa (e muitos erros) e' possivel tambem outras solucoes: zk - zw = -wk = z = -wk/(k-w) Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1) Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1) Abraco, sergio On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote: Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1. A equação fica (z + w)k = dzw. k não pode dividir z pois z = km == (km + w)k = dkmw == km + w = dmw == w = m(dw - k) == m divide w == contradição, pois z (e portanto m) é primo com w Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w. Logo, k divide d == d = kn == (z + w)k = knzw == z + w = nzw == 1/w + 1/z = n = inteiro positivo Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w = 2. Se z = w = 1, então x = y = d == 2dk = d^2 == d = 2k == uma solução é (2k,2k). Se z 1 ou w 1, então 1/z + 1/w = n = 1 == z = w = 2 e d = k == de novo obtemos a solução (2k,2k). Logo, a única solução é (2k,2k). De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT) Assunto:[obm-l] equacao Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fw: Probabilidade
Sim. A questão é da olimpíada estadual de matemática de 2005, mas o enunciado não é exatamente assim (embora o sentido seja esse). - Original Message - From: fgb1 To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, October 05, 2005 9:45 PM Subject: [obm-l] Fw: Probabilidade - Original Message - From: fgb1 To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, February 19, 2005 11:59 PM Subject: Probabilidade Uma roleta circular foi dividia em 6 setores de mesma área. Em 3 desses setores estava escrito: ganha o carro. Em 2 desses setores estava escrito: Perde o carro e no outro : jogue novamente. Qual é a probabilidade de um jogador ganhar o carro? O aluno me disse que era de uma olimpíada recente. Alguém, por acaso,reconhece a Olímpíada?
[obm-l] Re: [obm-l] alguém pelo amor de deus consegue achar a soma dessa sequência????
para a linha n, dá combinação(2n,n) - Original Message - From: Danilo Araújo Silva [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, August 27, 2005 2:44 PM Subject: [obm-l] alguém pelo amor de deus consegue achar a soma dessa sequência a sequência é simples... é o trianculo de pascal com seus termos ao quadrado... exemplo... sabemos que... 1 =1 1 1=2 1 2 1 =4 1 3 3 1 =8 1 4 6 4 1 =16 1 5 10 10 5 1 =32 a soma das linhas do triangulo de pascal é de 2^n... mas qual é soma de 1*1 1*11*1 1*1 2*2 1*1 1*1 3*3 3*3 1*1 1*1 4*4 6*6 4*4 1*1 para a n-ésima linha alguém aí poderia me ajudar... (eu não consigo condensar a a fórmula dada pelo 'meu' triangulo evanescente...) muito obrigado pela atenção... se algu´´em achar a fórmula eu ficaria feliz se explicitasse o procedimento usado para achar... Tchau...Abração pros cês... -- Lord Lestat vive...hum... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia - Solucoes
Oi gente! Esse ano não pude pensar nos problemas da imo do jeito que
gosto (pegando a prova logo depois de ela ser liberada no mathlinks e indo
para um restaurante pensar 4h30m direto nela :)).. Mas finalmente peguei a
prova (do primeiro dia) de jeito e consegui fazer as questoes. Vou mandar
aqui minhas solucoes do 1o dia conforme o gugu sugeriu (obs: reparei que
minha solucao da 2 eh mto parecida com a do gugu, mas agora vou mandar mesmo
assim). Espero que esteja tudo certo (minha unica duvida eh na 2 :), mas
acho que tá certa. prefiro mandar logo).
Vou colocar as soluções após os enunciados do shine também.
Obs: Quem não entender a minha solução da 3 deve aguardar um artigo na
eureka sobre desigualdades e contas simétricas que estou escrevendo!
- Original Message -
From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, July 24, 2005 12:06 AM
Subject: Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia - Solucoes
Oi pessoal,
Resolvi compilar as minhas soluções de cada um dos dias para fins de
referência (em particular porque algumas de minhas mensagens anteriores
foram um pouco confusas, ou por não ter a solução junto ou por não dizerem
no subject sobre que problema tratavam). Seguem aqui (como sempre, após a
mensagem original do Shine) as soluções do primeiro dia.
Abraços,
Gugu
Oi gente,
Acabei de ver a primeira prova da IMO no site
http://www.mathlinks.ro/
Lá vão os enunciados (eu mesmo traduzi agora).
1. Escolhemos seis pontos sobre os lados do triângulo
equilátero ABC: A_1, A_2 sobre BC; B_1, B_2 sobre AC;
C_1, C_2 sobre AB. Essa escolha é feita de modo que
A_1A_2B_1B_2C_1C_2 é um hexágono convexo com todos os
seus lados iguais.
Prove que A_1B_2, B_1C_2 e C_1A_2 são concorrentes.
Solução: Spg, ponha A1 = (x,0); A2 = (-y,0), onde x,y sao reais positivos
com x+y = r, r o lado do hexagono.
Sejam a e b os angulos B1,A2,C e C2,A1,B respectivamente (i.e, os
angulos do hexagono com a base BC).
Pensando vetorialmente, temos C1 = (x+rcos(b)-rcos60, rsen(b)+rsen60); B2
= (-y-rcos(a)+rcos60, rsen(a)+rsen60).
Como todos os lados sao iguais, a distancia de C1 a B2 eh r. Usando que
x+y=r, cos60 = 1/2 e a formula da distancia entre dois pontos isso dá:
(cos(b)+cos(a))^2 + (sen(b)-sen(a))^2 = 1 donde cos(a+b) = -1/2 e a+b = 120
graus.
Esse mesmo raciocínio se aplica a cada uma das bases, e portanto os
triângulos das pontas são todos congruentes.
Todos os lados do triangulo B2,C2,A2 são iguais (cada um deles eh base
de um triangulo de lados r,r com angulo 120-b entre esses r´s) e portanto
ele eh equilatero. As retas B1C2, A1B2, C1A2 são alturas desse triangulos
equilatero (a congruencia LLL dos triangulos B1B2C2 e B1A2C2 implicam C2B1
perpendicular a B2A2), e portanto concorrem num ponto.
2. Seja a_1,a_2,... uma seqüência de inteiros com
infinitos termos positivos e negativos. Suponha que
para todo n inteiro positivo os números
a_1,a_2,...,a_n deixam n restos diferentes na divisão
por n.
Prove que todo inteiro aparece exatamente uma vez na
seqüência a_1,a_2,...
Solução:
Basta provar que o 0 aparece na sequencia, pois r aparece na sequencia
(x_n) sse 0 aparece na sequencia (x_n - r), e (x_n) tem as propriedades do
enunciado sse (x_n - r) tem.
Suponha, spg, x1 = p 0 (se x10, olhe para a sequencia (- x_n) ):
Temos entao x2 = p-1 ou x2 = p+1 (pq se x2 = p+i com i impar 1, entao
x2=x1 (mod i) e i =3 ainda nao chegou!).
Vamos provar por inducao que a sequencia nunca da saltos, i.e, que
cada novo termo está a uma unidade de distancia de algum termo que ja
apareceu na sequencia. Como a sequencia eventualmente fica negativa, isso
garante que ela passa pelo zero.
Suponha que {x1,x2,...,xt} = {p-s,...,p-2,p-1,p,p+1,p+2,...,p+r} com
r+s+1=t.
Entao, as unicas opcoes para x(t+1) sao p-s-1 e p+r+1 (observe que
p+r+1=p-s-1 (mod t+1)).
De fato, olhando mod (t+1) temos que {p-s-1,p-s,...,p+r} e {p-s,
...,p+r,p+r+1} formam um sistema completo de residuos mod(t+1) (pois sao uma
versao transladada de {1,2,...,r+s+2=t+1}). Os numeros que poderiam ocupar a
posicao x(t+1) sao portanto os que tem a mesma classe que estes dois tem mod
(t+1), i.e, sao: p+r+1, p+r+1+(t+1), p+r+1+2(t+1), ..., p-s-1, p-s-1-(t+1),
p-s-1-2(t+1), ...
Agora, se x(t+1) = p+r+1+k(t+1) com k1, entao x(t+1)=p+r (mod
1+k(t+1)), e como 1+k(t+1) t+1, isso vai estragar a sequencia na posicao
1+k(t+1). O outro caso eh analogo.
3. Sejam x,y,z reais positivos tais que xyz = 1.
Prove que
(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) +
(y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) +
(z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) = 0.
Solução:
Tirando mmc e olhando para as somas simétricas, a desigualdade eh
equivalente a:
sym_sum (x^5-x^2)(x^2+y^5+z^2)(x^2+y^2+z^5) = 0
Como (x^2+y^5+z^2)(x^2+y^2+z^5) = x^4 +(y^5+z^2+y^2+z^5)x^2 +
(y^5+z^2)(z^5+y^2), o que quero eh:
sym_sum (x^9 + 2x^7y^5 + 2x^7y^2 + 2x^5y^7 + x^5y^5z^5 + x^5y^2z^2)
=
sym_sum
[obm-l] Resultado IMC
Saiu o resultado oficial da IMC de 2005 (a competição internacional de matemática universitária)! O Brasil foi incrivelmente bem, o melhor resultado da história!!! O Alex (ufrj) foi grand first prize! Esse é um prêmio especial dado aos melhores dentre os primeiros colocados. O Brasil (e se não me engano a America Latina) nunca tinha ganho. Em seguida, Fabinho (puc)e Thiago Barros (unicamp) ficaram com First Prize! Bernardo (ufrj/politechinique), Thiago Sobral (ita) e Carlos Stein (ita) ganharam Second Prize! Além desses, o Brasil teve third prize e menção honrosa, mas não sei exatamente como ficou isso após a reclassificação! Abraços a todos, Marcio
Re: [obm-l] Uma desigualdade legal!
É realmente complicado calcular essa derivada.. Uma possível solução para esse problema é simplesmente tirar o mmc.. Aqui está: Vc quer provar que sym_sum (a^(x+2) + 1) / (a^x bc + 1) = 6 E as passagens abaixo são equivalentes: sym_sum (a^(x+2) + 1)(b^x ac + 1)(c^x ab + 1) = 6(a^x bc + 1)(b^x ac + 1)(c^x ab + 1) sym_sum (a^(x+4) b^(x+1) c^(x+1) + 2 * a^(x+3) b^x c + a^(x+2) + b^(x+1) c^(x+1) a^2 + 2*a^x bc + 1 ) = sym_sum ( a^(x+2) * b^(x+2) * c^(x+2) + 3*a^(x+1) b^(x+1)c^2 + 3*a^x bc + 1) Agora, pela desigualdade de muirhead (bunching), voce sabe que: sym_sum [a^(x+4) b^(x+1) c^(x+1) - a^(x+2) * b^(x+2) * c^(x+2)] = 0 sym_sum [2 * a^(x+3) b^x c - 2*a^(x+1) b^(x+1)c^2] =0 sym_sum [b^(x+1) c^(x+1) a^2 - a^(x+1) b^(x+1)c^2] = 0 sym_sum [a^(x+2) - a^x bc ] = 0 Somando tudo voce conclui a desigualdade pedida. Abraços, Marcio - Original Message - From: Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 10, 2005 4:22 PM Subject: [obm-l] Uma desigualdade legal! Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai: Dados a,b,c,x reais positivos provar que: [a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1]=3. Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a seguinte função f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe, até uma outra solução pro problema. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Gabaritos do nivel universtirário
Basta entrar no site da obm e baixar as Eurekas. Nelas voc vai encontrar as solues do nvel universitrio das provas at 2003. - Original Message - From: Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, June 19, 2005 10:31 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Gabaritos do nivel universtirrio infelizmente no site da OBM encontra-se apenas gabaritos da primeira fase da universitria ... eu queria os gabaritos da segunda fase ... mas de qq forma Muito obrigado From: Jnior [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Gabaritos do nivel universtirrio Date: Sun, 19 Jun 2005 17:54:42 -0300 Todos os gabaritos de provas passadas estao em: http://www.obm.org.br/frameset-provas.htm Em 19/06/05, Daniel Regufe[EMAIL PROTECTED] escreveu: Aonde q eu posso encontrar os gabaritos das provas da obm do nivel universitrio da segunda fase ?? Muito obrigado _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] teorema chinês do resto
Da primeira, x = 3 + 17k. Na segunda, 3+17k = 10 (mod 16) = k = 7 (mod 16) = k = 7 + 16t = x = 3 + 17(7 + 16t) = 122 + 17*16t Na terceira, 122 + 17*16t = 0 (mod 15) = 2 + 2*1*t = 0 (mod15) = t = -1 (mod 15) = t = -1 + 15s = x = 122 + 17*16*(-1 + 15s) = x = -150 + 17*16*15s, ou x = 3930 (mod 4080) (todas as variáveis acima são inteiras) - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 30, 2005 1:45 PM Subject: [obm-l] teorema chinês do resto alguem poderia resolver esse sistema? x=3 (mod 17) x=10 (mod 16) x=0 (mod 15) * = (usei como´o símbolo de congruência) Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida
Oi Luiz! Você trocou o sinal das desigualdades, essa solução está errada.. Segue uma solucao absurdamente feia (mas aparentemente correta) para o problema (desafio qualquer um a achar uma solução mais feia :)) Problema: a=1^2, a+b=1^2+2^2, a+b+c=1^2+2^2+3^2, a+b+c+d=1^2+2^2+3^2+4^2 = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d)=1+2+3+4 Solução: Para a,b,c fixos, ponha x = d e analise f(x) = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(x), 0=x=30-a-b-c. Essa eh uma funcao crescente, e portanto seu máximo ocorre quando x = 30-a-b-c, i.e, a+b+c+d=30. Agora troque c por x. Para a,b fixados, voce tem 0=x=14-a-b, d=30-x-a-b e olhando para g(x) = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(x)+sqrt(30-x-a-b), 2g'(x) = 1/sqrt(x) -1/sqrt(30-x-a-b) Observe que g eh crescente de x=0 ateh x=15-(a+b)/2. Como a+b0, 14-(a+b) 15-(a+b)/2 e portanto o máximo dentro da restrição ocorre quando x=14-(a+b), i.e, a+b+c=14 e portanto d = 16. Agora voce tem um novo problema.. Basta mostrar que a=1^2, a+b=1^2+2^2, a+b+c=1^2+2^2+3^2 = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)=1+2+3 Pronto, é só repetir o raciocínio para concluir que c=9, b=4 e a=1 dão o valor máximo da soma pedida. Obs: Essa demonstração não pode ser adaptada fielmente para uma versão desse problema com 5 letras. Ficam então duas perguntas: Qual o maior valor de n tal que a_1+...+a_k =1^2+...+k^2 para k=1,2,..,n sempre implica sqrt(a1)+...+sqrt(an)=1+2+...+n? - Original Message - From: Luiz Felippe medeiros de almeida [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, April 21, 2005 10:46 PM Subject: Re: [obm-l] Duvida Olá Fernado , acho q consegui fazer o problema que vc pediu. Lá vai: a=1 a+b=5 == b=5-a == b=4 == sqrt(b)=2 a+b+c=14 == c= a+b == c= 14-4-1 ==sqrt(c)=3 a+b+c+d=30 == d=30-a-b-c== d=30-1-4-9 = sqrt(d)=4 Logo somando todas as equações temos : sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c) + sqrt(d) =10 Abraço Luiz Felippe Medeiros On 4/21/05, Fernando [EMAIL PROTECTED] wrote: a = 1 a+b = 5 a+b+c = 14 a+b+c+d = 30 Prove: sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d) = 10 Desde ja agradeço []'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma de termos
Oi Cláudio.. Realmente é muito mais legal uma demonstração combinatória: Considere o conjunto dos números 0,1,2,3,...,n. Você quer escolher umsequencia a1 a2 ... a(2m+1) de 2m+1 elementos, o que pode ser feito de "lado direito modos".Por outro lado, para cada k=0...n, voce pode escolher o elemento k como sendo o termo do meio dessa sequencia, e então precisa escolher binomial(k,m) termos menores e binomial(n-k,m) termos maiores que k. Somando em k, vemos que a resposta é o lado esquerdo e está provado. Mas não é tão feio fazer algebricamente..Vamos generalizar e provar que Soma(k=0..n) Binomial(k,a)*Binomial(n-k,b) = Binomial (n+1,a+b+1) Por inducao em n. Para n=0 eh facil. Supondo valido para n fixo e a,b quaisquer, temos: Soma(k=0..n+1) Binomial(k,a)*binomial (n+1-k,b) = Soma(k=0..n) Binomial(k,a)*[Binomial(n-k,b)+Binomial(n-k,b-1)] + Binom(n+1,a)*Binom(0,b) Usando a hipotese indutiva, isso da: Binomial(n+1,a+b+1) + Binomial(n+1, a+b) = Binomial (n+2, a+b+1) Em particular, fazendo a=b=m voce tem a solucao do problema pedido ;) (tá, confesso que tentei fazer a indução direto antes e não consegui :) E demorei bem menos pra dar a solução combinatória do que por indução.. mas não resisti ao "quero ver alguém ..." :) Abraços, Marcio - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Wednesday, April 06, 2005 3:58 PM Subject: Re: [obm-l] soma de termos Por exemplo, é possível dar uma demonstração combinatória da identidade abaixo, que foi uma questão da famosa e difícil prova do IME de 1980/81. SOMA(k=0...n) Binom(k,m)*Binom(n-k,m) = Binom(n+1,2m+1). Agora, quero ver alguémprovar isso algebricamente...
[obm-l] Re: [obm-l] Sequência...
Oi Igor, tudo bom? A ideia por trás desse problema eh bem razoavel, certo? Para n grande, sua sequencia eh "quase" uma PG de razao r, portanto eh da forma a*r^n para algum a, donde (x_n)^(1/n) tem limite r. Segue abaixo uma solução mais formal: Lema: Se (Yn) tem limite a, entao (y1+y2+...+yn)/n tem limite a. Demo:Para cadaeps0, existe N tq, fixandoN'N, vale a-eps Yn a+eps para n= N+1, N+2, ... N' .Somando essas desigualdades: (a-eps)*(N'-N) Y(N+1)+Y(N+2)...+Y(N') (a+eps)*(N'-N) Seja b = Y1+...Y(N). Some b aos dois lados da eq. acima, divida tudo por N'e tome limite em N' para obter: a-eps = lim (Y(1)+Y(2)+...+Y(N')) / N' = a+eps. Como isso vale para todo eps0, o lema está provado. No seu problema especifico, tome Y(n) = log(X(n)/X(n-1)). Essa sequencia tem limite log(r) (pq log eh continuo) e portanto, esse tambem deve ser o limite da sequencia [Y(1)+Y(2)+...+Y(n)]/n = [log(X(n))-log(X(0))]/n = log (X(n)/X(0))^(1/n). Como X(0)^(1/n) tende a 1, voce conclui que X(n)^(1/n) tende a r como desejado. - Original Message - From: Igor Castro To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 04, 2005 9:20 PM Subject: [obm-l] Sequência... Como faço??? Seja uma sequência de Xn tal que Lim X(n+1)/X(n) (n- inf) = r. Provar que Lim (Xn)^(1/n) = r no infinito também.. Estou com um pouco de dúvida para mostrar que uma série converge/diverge.. Alguém pode me dizer os critérios e os métodos pra demonstrar essas afirmações?? []´s Igor Castro No virus found in this outgoing message.Checked by AVG Anti-Virus.Version: 7.0.300 / Virus Database: 266.6.2 - Release Date: 4/3/2005
[obm-l] ITA: Questao 26
Eu gostei bastante da prova do ITA desse ano! Achei ela com bastante pegadinha também, e mais difícil que a do ano passado.. Quanto a questão 26, a solucao pode ser curta usando um pouco de trigonometria como abaixo..(mas admito que fiz do jeito convencional primeiro e soh quando vi um sqrt(2)/2 eh que pensei em trigonometria :) ) Problema: Dado um parâmetro m, determine x tal que sqrt(1+mx) = x + sqrt(1-mx). Para que valores de m ha x real nao nulo satisfazendo a equacao? Solucao: Restricao: -1 = mx = 1, logo existe a tal que mx = cos(a), 0=a=pi, donde 1+mx = 2cos^2(a/2) e 1-mx = 2sen^2(a/2), 0=a/2=pi/2 A equacao pode entao ser reescrita como sqrt(2)*cos(a/2) - sqrt(2)*sen(a/2) = cos(a)/m = 2m*cos(a/2 + 45) = cos(a) Como cos(a) = sen(a+90) = 2sen(a/2+45)cos(a/2+45), a equacao se transforma em 2m = 2sen(a/2+45). Como a estam em [0,pi/2), temos automaticamente m = sen(45) e m =1. Por outro lado, x = cos(a)/m = sen(a+90)/m = 2*sen(a/2+45)*cos(a/2+45)/m, logo x = 2sqrt(1-m^2). Abraços.. - Original Message - From: Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 15, 2004 10:22 PM Subject: Re: [obm-l] questao do ITA furada a 26 eu achei particularmente complicada... mesmo que eu soubesse fazer, nao havia espaço para fazer uma resolução como a que o etapa fez... no geral eu achei que essa prova estava tao ou mais fahcil que a do ano passado... sei lah, eu nao mando muito bem em matemática [pelo menos, é o que as olimpiadas mostram) e consegui fazer todas (exceto 2 erros tolos em questoes objetivas do tipo: 107/280 = 0,34...; e achar a semi-distância focal quando foi pedida a própria distancia focal, e essa 26 que realmente nao consegui] nao sei se com essa prova eles conseguiram selecionar muita coisa... tenho certeza de que existem MUITAS pessoas que fizeram a prova que sao melhores que eu e devem ter ficado com notas parecidas... On Wed, Dec 15, 2004 at 09:46:43PM -0200, Fabio Niski wrote: Eles tb nao divulgaram a 20 e 26. Pode ser que seja isso, ou pode ser que o pessoal ta tomando um café. Eduardo Henrique Leitner wrote: aa, entao deve ser por isso que o anglo ainda nao divulgou a resolucão da questao 30... eles devem estar tentando considerar que x pode ser complexo... Questão 30. Determine todos os valores reais de a para os quais a equação (x-1)^2 = |x - a| admita exatamente três soluções distintas. hehehe, eles devem estar tendo moh trabalhão... On Wed, Dec 15, 2004 at 07:47:42PM -0200, Claudio Buffara wrote: on 15.12.04 19:21, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: A questao 11 do ITA No desenvolvimento de (ax^2 + -2bx + c + 1)^5 obtem-se um polinomio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e -1 sao raizes de p(x), entao a soma a + b + c é igual a a) -1/2 b) -1/4 c) 1/2 d)1 e)3/2 Pelo o que eu vi, Etapa, Poliedro e Objetivo marcaram A. O Anglo observou corretamente que existem 5 possiveis valores possiveis pra soma e a questao deveria ser cancelada. Essa eh complicada. Nao ha nada no enunciado que diga que a deve ser real, apesar dessa ser uma hipotese razoavel. Qual foi o veredito? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: Trigo...
Toda expressão do tipo f(x) = Asen(wx) + Bcos(wx) tem período 2pi/w ! Basta reparar que f(x) = sqrt(A^2 + B^2) * sen(wx + a), onde tan(a) = B/A... No seu caso específico... Dividindo e multiplicando toda a equação por sqrt(5), voce obtem f(x) = sqrt(5)sen(2x+a), para um a tq tg(a) = -1/2 Logo, sua função é periódica de período pi.. Foi mal, a função é: 2sen2x-cos2x, e não vale essa prop. q vc disse... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numero primo?
Esse número é composto... Note que 30*7*11*13*17 = 11*7*11*13*(-2) = 1*11*13*(-2) = 10*(-2) = -20 = - 1 (mod 19), e portanto o seu número é divisível por 19.. - Original Message - From: Renato Lira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 02, 2004 8:31 PM Subject: [obm-l] numero primo? gostaria de saber se esse numero é primo, se nao, gostaria de saber alguma fatoracao pra achar ele 2x3x5x7x11x13x17 + 1 Grato, Renato Lira. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] provar que nao é primo...
Mas 11^4+4^11 é múltiplo de 5 por exemplo, e portanto não pode ser primo. - Original Message - From: Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 01, 2004 4:59 PM Subject: Re: [obm-l] provar que nao é primo... É porque uma amiga minha estava tentando outra solucao. Ela provou que todo para todo numero x terminado em 1,2,3,4,6,7,8,9,0 x^4 + 4^x é primo. (tirando algumas restricoes de quando x tem apenas um algarismo etc) Para os pares isso é obvio, para os impares, excluindo o 5, dá um trabalinho, mas nada de outro mundo...o problema é que nem ela e nem eu conseguimos provar para quando x acaba com 5... Artur Costa Steiner wrote: Nao estou entendendo bem. Voce ja provou que x^4 + 4^x eh primo se, e somente se, x=1. Logo, para todo inteiro x1, o que inclui todos os inteiros positivos terminados em 5, a expressao dah um numero composto. O que ainda tem para se demonstrar? Vc jah fez mais do que o problema pede. Artur Mas veja, há algo que nao mencionei na outra mensagem. O problema original determinar os inteiros x tal que x^4 + 4^x seja primo. Eu já resolvi esse problema assim: (resolucao resumida) 1) x = 2a, a natural i) a = 0 = p = 1, p nao é primo ii) a 0 = p é multiplo de 16, nao é primo 2) x = 2a + 1, a nautral i) a = 0 = p = 5 , p é primo ii) a 0 p = (2a + 1)^4 + 4*4^(2a) p = [(2a+1)^2 + 2*4^a + 2(2a+1)*2^a][(2a+1)^2 + 2*4^a - 2(2a+1)*2^a] Como o primeiro e o segundo fatores sao maiores do que 1, vem que o unico x que satisfaz a condicao é x = 1. Talvez quando voce me mandou fatorar, pensou nessa resolucao, e assim sendo x = 1 o unico numero tal que 4^x+ x^4 é primo, qualquer numero x terminado em 5, p é evidentemente primo. Sendo assim, pergunto denovo, desconsiderando essa solucao, existe algum modo de mostrar para qualquer numero x terminado em 5, x^4 + 4^x é primo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? The all-new My Yahoo! - Get yours free! http://my.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] eq. de terceiro grau
Suponha que ao utilizar a fórmula de Cardano voce encontrou a raiz x = cbrt(a) + cbrt(b), onde cbrt significa raiz cubica. Então, as outras duas raízes são wcbrt(a) + w^2 cbrt(b) e w^2 cbrt(a) + wcbrt(b), onde w = [-1+isqrt(3)]/2 eh uma raiz cubica da unidade. ( de fato, substituindo voce verifica que esses numeros satisfazem x^3 = a+b + 3cbrt(ab)x ) []s Marcio PS: A restricao na demonstracao ocorre quando voce tira raiz cubica e escolhe apenas uma delas para continuar. Dado um numero complexo nao nulo a, sempre existem 3 valores complexos distintos cujo cubo eh a. - Original Message - From: Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, October 22, 2004 8:05 PM Subject: Re: [obm-l] eq. de terceiro grau mm, eh uma possibilidade, mas porque a formula de cardano nos retorna apenas uma das raizes? nao me lembro de nenhuma restrição feita na demonstração... On Fri, Oct 22, 2004 at 09:25:51PM +, Edward Elric wrote: Depois de achar a primeira raiz por Cardano use Briot-Ruffini que vai cair num polinomio de segundo grau ae eh facil. From: Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] eq. de terceiro grau Date: Fri, 22 Oct 2004 19:19:31 -0200 a unica maneira que eu conheço é dividindo todos os termos por a e aplicando a fórmula de Cardano... isso me faz lembrar que tenho uma duvida a respeito da fórmula de cardano utilizando ela, como obtenho as tres raizes? tipo, utilizo raízes analogas e cada raiz cubica? raizes análogas: utilizando a fórmula de Moivre pra calcular as raizes cubicas eu coloco k=0 na primeira e k=0 na segunda, obtendo uma das raizes; depois coloco k=1 e ambas e acho a segunda raiz e depois k=2 em ambas e acho a 3a raiz porque essa foi a unica maneira que consegui pensar que me retornaria exatamente 3 raizes... agradeço respostas On Fri, Oct 22, 2004 at 04:32:56PM -0300, eritotutor wrote: Num problema do curso de farmacia apareceu a seguinte equação: an^3 + nb +1 = 0 , onde a,b são maiores de zero. []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema sobre complexos [ime 2003-2004]
Bom, há um pequeno detalhe errado na sua solução. O problema pede que a,b,c sejam naturais. Eu sei que voce rapidamente pode consertar isso, e na minha opinião isso deveria ser penalizado com no máximo 10% da pontuação da questão. Mas acontece que vendo a correção da prova de alguns alunos pude notar que a banca retirou, na primeira correção, 60% da questão por esse erro. []s Marcio - Original Message - From: Felipe Torres [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, October 22, 2004 12:21 AM Subject: [obm-l] Problema sobre complexos [ime 2003-2004] Oi. eu resolvi o problema a seguir e gostaria de saber se a resposta está correta, já que não há uma única solução. Sendo a, b e c números naturais em progressão aritmética e z um número complexo de módulo unitário, determine um valor para cada um dos números a, b, c e z de forma que eles satisfaçam a igualdade: 1/z^a + 1/z^b + 1/z^c = z^9 eu achei como uma solução possível z= cis(pi/2) a=-8 b=-9 c=-10 ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas
Bom, acho que tem uma solucao mais simples, mas o que eu estou pensando parece passar longe de exibir todas as soluções. Comece com uma solução qualquer diferente de (0, 1, 2). Por exemplo, 8,9,10 = (2^2+2^2, 3^2+0^2, 3^2+1^2) Agora, dada uma solução n,n+1,n+2, considere a tripla (n^2 + 2n, n^2 + 2n + 1, n^2 + 2n +2) = (n(n+2), (n+1)^2+0^2, (n+1)^2 + 1^2) (estou usando que se n e n+2 sao soma de dois quadrados de inteiros, entao n(n+2) tambem eh!). Note que n^2+2n n, de forma que as triplas são todas distintas. []s Marcio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 10:55 AM Subject: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas Aqui vao dois que estao me dando uma canseira: 1. Mostre que existe uma infinidade de inteiros n tais que n, n+1 e n+2 sao todos somas de dois quadrados de inteiros. 2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh uma raiz primitiva mod p. No primeiro, eu usei o fato de que um inteiro positivo eh soma de dois quadrados de inteiros se e somente se qualquer primo da forma 4k+3 aparece na decomposicao desse inteiro com expoente par. Isso significa que n tem que ser multiplo de 4, pois qualquer outra hipotese vai resultar em um dos tres inteiros sendo da forma 4k+3, indicando a presenca de um primo dessa forma elevado a expoente impar. Sabendo disso, minha unica ideia foi buscar uma solucao em que n eh o quadrado de um inteiro par. Isso resultou em: n = 4y^2 + 0^2 n+1 = 4y^2 + 1^2 n+2 = 4y^2 + 2. Forcando n+2 a ser da forma x^2 + x^2, teremos: 4y^2 + 2 = x^2 + x^2 == x^2 - 2y^2 = 1 == equacao de Pell, com infinitas solucoes, o que resolve o problema. No entanto, eu acho que deve haver uma solucao mais simples. Alem disso nem todas as solucoes do prolema original sao da forma. acima. Por exemplo: 72 = 6^2 + 6^2 73 = 8^2 + 3^2 74 = 7^2 + 5^2. Serah que eh possivel achar todas as solucoes? * No segundo, eh facil ver que n tem que ser da forma 2^m com m inteiro positivo, mas isso foi tudo que eu consegui. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] [obm-1] Probabilidade
Oi Felipe, acho que voce entendeu o problema sim, mas esqueceu de um dado dele. Ele diz que 2r a no enunciado! O caso em que 2r = a (ou seja, a agulha eh grande o suficiente para cortar duas vezes) eh sensivelmente mais complicado e tem como resposta uma expressao bem mais feia, envolvendo raizes e funcoes trigonometricas inversas. Abraco, Marcio PS: Eu usei que 2r a quando disse que o numero esperado de cruzamentos E(x) era igual a probabilidade procurada (se a agulha for maior que a, entao E(x) = p1 + 2p2 + 3p3 +..., onde p_i eh a probabilidade de haver i cruzamentos. no nosso caso, p2=p3=...=0 e portanto E(x) = p1). - Original Message - From: Felipe Amaral [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, October 13, 2004 8:56 AM Subject: Re: [obm-l] [obm-1] Probabilidade Acho que nao entendi o problema direito pois com a resposta do Marcio: r = a = p 1 ou seja sempre cortaria... Mas a agulha ainda pode cair de lado certo, entao a probabilidade deveria ser menor do que 1? Grato, Amaral = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] [obm-1] Probabilidade
Há uma solução espetacular para esse problema no livro Proofs from the Book. Seja E(x) o numero esperado de cruzamentos ao lancarmos uma curva de comprimento x na sua regiao. (note que no caso de essa curva ser uma agulha de comprimento 2r a, E(2r) eh exatamente a probabilidade procurada). (*) Eh facil ver que E(x) eh uma funcao crescente e linear (E(x+y) = E(x) + E(y)), e portanto E(x) = cx para algum real x. (**) Considerando o valor esperado para uma circunferencia de raio a/2, obtemos E(2pi*a/2) = 2 = c*pi*a = 2, donde E(x) = 2x/(pi*a), e em particular, a probabilidade procurada eh E(2r) = 4r/(a*pi). Note que eu escrevi a solucao de forma bem resumida. Pense um pouco que voce vai entender pq (*) esta correto. Ja (**) eh um resultado classico, mas se voce nao o conhece prove-o fazendo inducao em E(nx) e em seguida calculando E(px/q) para p,q inteiros. []s Marcio - Original Message - From: Edward Elric [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, October 12, 2004 7:34 PM Subject: [obm-l] [obm-1] Probabilidade Eis um problema de probabilidade que me parece de um nivel consideravel: Considere uma área plana, dividida em faixas de larguras iguais, a, por retas paralelas. Lance sobre a regiao, ao acaso, uma agulha de comprimento 2r, com 2ra. Qual a probabilidade de que a agulha corte umas das paralelas? Eu nao consegui, seria bom uma ajuda :) _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]
A prova do Edward me parece estar perfeita. Ele não usou hora alguma o que queria provar. Apenas demonstrou um resultado obviamente equivalente ao pedido (como ele mesmo mencionou). []s Marcio - Original Message - From: LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 07, 2004 9:42 PM Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas] Eu nao concordo com sua solucao ! Voce ja partiu do resultado que queremos demonstrar. O resultado e verdadeiro e voce so fez provar a igualdade. A ideia e a seguinte: a) Substitua cos(kx)=[exp(ikx)+(exp(-ikx)]/2 b) Entao, agrupe em duas somas: S = (1/2) + S1 + S2, S1 = [exp(ix)+exp(i2x)+...+exp(inx)]/2 S2 = [exp(-ix)+exp(-i2x)+...+exp(-inx)]/2 c) Use a formula da soma de uma serie geometrica para S1 e S2. d) Fazendo umas breves manipulacoes chega ao resultado. Se nao conseguir, me avise, que eu mando a solucao completa para a lista. From: Edward Elric [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas] Date: Thu, 07 Oct 2004 23:20:53 + Vamos lá, primeiro vamos fazer a segunda: 2) Mostre que: D=1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)= sen[x(2n+1)/2] / 2*sen(x/2) Essa igualdade é valida se, e somente se, 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx))= sen[x(2n+1)/2]. Assim: D= 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)) = sen(x/2) + 2*sen(x/2)*cos(x) + 2*sen(x/2)*cos(2x) ++ 2*sen(x/2)*cos(nx). Note que 2*sen(x/2)*cos(kx)= sen((x/2)*(2k+1)) - sen((x/2)*(2k-1)) (utilizando a formula de produto em soma). Assim temos: D= sen(x/2) + sen((x/2)*3) - sen((x/2)) + sen((x/2)*5) - sen((x/2)*3) + sen((x/2)*7) - sen((x/2)*5) + ... + sen((x/2)*(2n+1)) - sen((x/2)*(2n-1)) Fazendo as devidas simplificaçoes temos: D= sen((x/2)*(2n+1)), como queriamos demontrar. Agora vamos ao primeiro problema: 1) sabendo que D= sen1º*sen3º*sen5º.sen87º*sen89º = 2^(-n) determine o valor de 2n Note que sen(89)=cos(1), sen(87)= cos(3), sen(85)= cos(5), sen(83)= cos(7),..., sen(47)=cos(43). Olhando para o produto D, de forma diferente temos: D= sen(45)*[sen(1)*sen(89)]*[sen(3)*sen(87)]*...[sen(43)*sen(47)]= sen(45)*[sen(1)*cos(1))]*[sen(3)*cos(3)]*...[sen(43)*cos43] Sabemos que sen(2x)= 2*sen(x)*cos(x), logo: D= (2^(-22))*sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) Porem sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) nao pode ser trivialmente calculado... e mesmo que pudesse ser calculado facilmente e ele nao seria potencia de 2, logo o enunciado deve estar errado. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Eh interessante notar que x(n-1) = 2cos (pi / 2^n) para todo n natural, e portanto tende a 2 de fato. - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Wednesday, October 06, 2004 6:18 PM Subject: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz( Seja (x(n)) a sequência definida por: x(1) = raiz(2) x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n = 1. 1. (x(n)) é limitada: Basta provar que x(n) 2, para todo n. Para n = 1 é óbvio. Supondo que x(n-1) 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x(n-1)) raiz(2 + 2) = 2 e acabou. 2. (x(n)) é monótona crescente: Obviamente os x(n) são todos positivos. Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 x(n)^2. Mas x(n+1)^2 - x(n)^2= 2 + x(n) - x(n)^2 0 para 0 x(n) 2. (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x(n). Então, x^2 = 2 + x == x^2 - x - 2 = 0 == x = 2 ou x = -1. A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é positivo. Assim, só pode serlim x(n) = 2. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300 Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... Nesta etapa aqui eh necessario a analise da convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... Certamente convergira, alguem sabe para qual numero isto converge ? x^2 - 2 = x x^2 - x - 2 = 0
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Title: Re: [obm-l] Combinatória Fui tentar fazer essa conta na marra pra ver como ficava.. (t^10 - 1)^4 / (t-1)^4 = (t^10-1)^4 * (1+t+t^2+...)^4= (t^40 - 4t^30 + 6t^20 - 4t^10 + 1) * (1+t+t^2+...)^4 Agora, (1+t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6+t^7...)^4 = (1+2t +3t^2+4t^3 + 5t^4 + 6t^5 + 7t^6 + 8t^7+...)^2, onde o coeficiente de t^n eh n+1, = 1+4t+10t^2+20t^3+35t^4+56t^5+..., ondeo coeficiente de t^n eh(n+1)(n+2)(n+3)/6 Dessa forma, a resposta eh 6*[t^7] -4*[t^17] + [t^27] = 8*9*10 - 4*3*19*20 + 28*29*5 = 220 Concordo plenamente que eh mto mais importante aprender porque isso está certo do que fazer a conta.. Eh soh pq eu fiquei curioso pra ver se era mto chato fazer. Abraços, Marcio - Original Message - From: Claudio Buffara To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, September 28, 2004 9:35 AM Subject: Re: [obm-l] Combinatória Qual o coeficiente de t^27 no desenvolvimento de:(1 + t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + t^7 + t^8 + t^9)^4 ?Resposta (usando PARI-GP): 220.Minha pergunta pra voce: Por que isso tah certo?[]s,Claudio. on 28.09.04 02:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Resolva x + y + w + z = 27 sendo que o maior valor que as incógnitas podem assumir seja 9, ou seja, 0 = x, y, w, z = 9
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Title: Re: [obm-l] Combinatória
Bom, em primeiro lugar, deixa eu dizer que a
solução do Shine foi bem mais legal que essa, nao deixe de ler! E se for para
generalizar, é melhor seguir o email do Nicolau. De qualquer forma, aqui vai a
resposta a sua pergunta:
Em (1+t+t^2+t^3+...)^2 note que apenas
os termos da forma t^k * t^(n-k), onde k=0,1,...,ncontribuem para o
coeficiente de t^n. Como cada um aparece uma vez e são n+1 termos, isso dá
(n+1)t^n.
O raciocinio
para(1+2t+3t^2+4t^3+...)^2 eh o mesmo, soh que agora os termos que
contribuem para t^n sao da forma(k+1)t^k * (n-k+1)t^(n-k)
Somando (k+1)(n-k+1) de k=0 até n,
obtemos (n+1)(n+2)(n+3)/6 = somatorio _k=0 a n_ (-k^2 + nk + n+1) (isso eh
consequencia direta dos somatorios tradicionais dos primeiros quadrados e dos
primeiros naturais).
[]s
Marcio
- Original Message -
From:
Igor
Castro
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 28, 2004 9:35
PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]
Combinatória
não entendi os passos:
"onde o coeficiente de t^n eh n+1"
pq?
"onde o coeficiente de t^n
eh(n+1)(n+2)(n+3)/6" pq?
[]´s
Igor
- Original Message -----
From:
Marcio Cohen
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 28, 2004 2:00
PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l]
Combinatória
Fui tentar fazer essa conta
na marra pra ver como ficava..
(t^10 - 1)^4 / (t-1)^4 = (t^10-1)^4 *
(1+t+t^2+...)^4= (t^40 - 4t^30 + 6t^20 - 4t^10 + 1) *
(1+t+t^2+...)^4
Agora,
(1+t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6+t^7...)^4 = (1+2t
+3t^2+4t^3 + 5t^4 + 6t^5 + 7t^6 + 8t^7+...)^2, onde o coeficiente de t^n eh
n+1,
= 1+4t+10t^2+20t^3+35t^4+56t^5+..., ondeo
coeficiente de t^n eh(n+1)(n+2)(n+3)/6
Dessa forma, a resposta eh 6*[t^7]
-4*[t^17] + [t^27] = 8*9*10 - 4*3*19*20 + 28*29*5 = 220
Concordo plenamente que eh
mto mais importante aprender porque isso está certo do que fazer a conta..
Eh soh pq eu fiquei curioso pra ver se era mto chato fazer.
Abraços,
Marcio
- Original Message -
From:
Claudio Buffara
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 28, 2004
9:35 AM
Subject: Re: [obm-l]
Combinatória
Qual o coeficiente de t^27 no desenvolvimento de:(1 + t
+ t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + t^7 + t^8 + t^9)^4 ?Resposta (usando
PARI-GP): 220.Minha pergunta pra voce: Por que isso tah
certo?[]s,Claudio. on 28.09.04 02:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Resolva x + y + w + z = 27 sendo que o
maior valor que as incógnitas podem assumir seja 9, ou seja, 0
= x, y, w, z = 9
---Outgoing mail is certified Virus
Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version:
6.0.771 / Virus Database: 518 - Release Date:
28/9/2004
Re: [obm-l] Triste fato
O que voce precisa perceber eh que f(a) - f(b) eh sempre multiplo de
a-b.
Dai, seja b = f(a), onde a eh inteiro e b tem modulo diferente de 1.
Perceba que para k inteiro, f(a+k*b) = f(a) + t*b = b+t*b = (1+t)*b,
onde t eh inteiro.
Pegando vários valores para k, f(a+kb) acaba sendo um multiplo composto
de b (de fato, para k3n nao se pode ter f(a+kb) em {-b, 0, b} sempre).
[]s
- Original Message -
From: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, September 18, 2004 10:14 PM
Subject: [obm-l] Triste fato
Amigos, gostaria de uma prova para o triste fato abaixo:
Mostre que se f(x)=a(n)x^n +a(n-1)x^n-1 +...+a(1) x +a(0), com n=1 e a(n)
# 0,
sendo os coeficientes a(n),...,a(0) todos inteiros, então existe um
inteiro
a tal que f(a) é composto.
Aviso: Os (n), (n-1), ..., (0) são os índices dos coeficientes do
polinômio
e usei o símbolo # para significar diferente.
Abraços (^_^)
=
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=
Re: [obm-l] Integral...
Sim. sqrt(2)senx + sqrt(2)cosx = 2sen(x+45). Isso ajuda bastante se voce ja sabe a integral de secante de cabeça (será q existe alguem nesse mundoque nunca reparou que a derivada de ln(sec+tg) eh (sec*tg + sec^2)/(sec+tg) = sec ?). - Original Message - From: Alan Pellejero To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, April 27, 2004 5:36 PM Subject: [obm-l] Integral... Olá amigos da lista, pessoal, gostaria de saber se alguém tem uma "carta na manga para esse aqui..." /|1/ (senx + cosx) dx | / Eu fiz de uma maneira "corinthiana"...ou seja, deu 2 folhas!!! Queria saber se alguém tem uma solução são-paulina (inteligente, rápida, objetiva, concisa...) Ps: esse não é o da hipociclóide de novo.rs valeu! té mais! Alan Pellejero Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Na verdade, se f for decrescente, a condição não precisa valer não.. Basta tomar por exemplo f(x) = b em [a,c), f(x) = a em [c,b], com acb. A outra condição é de fato suficiente. []s Marcio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] 2)SEJA f:[a,b] - [a,b] QUALQUER . MOSTRE QUE EXISTE X Uma outra condicao suficiente eh a de que f seja monotona, ou seja: para todos x e y em [a,b], x = y == f(x) = f(y) (monotona nao-decrescente) ou para todos x e y em [a,b], x = y == f(x) = f(y) (monotona nao-crescente) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
