RE: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)
Est certssimo! A falha foi minha. Eu no havia atentado para o fato de obter dois outros trapzios equivalentes. Eu li como se fossem dois outros quadrilteros equivalentes. Isto porque a questo que eu havia resolvido informava que o segmento MN era paralelo s bases do trapzio ABCD ao invs de que ele dividia em dois outros trapzios equivalentes, o que vai dar na mesma. Abraos, Rogrio Moraes de Carvalho Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informao [EMAIL PROTECTED] -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Boromir Sent: tera-feira, 4 de maio de 2004 22:50 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) Acho que no enunciado est claro que as figuras obtidas (os quadrilteros ABMN e NMDC) DEVEM ser trapzios e, portanto devem ter exatamente um par de lados paralelos. Se MN no paralelo s bases as figuras encontradas no so trapzios. []'s MP Em Seg, 2004-05-03 s 17:07, Rogrio Moraes de Carvalho escreveu: Eu j havia resolvido este problema e, se no me engano, ele caiu em uma das provas do Colgio Naval. Porm, ao ler o enunciado fornecido pelo Victor, eu estranhei a omisso da informao de que o segmento MN que divide o trapzio em dois outros trapzios equivalentes paralelo s bases AB e CD. A fim de garantir que a ausncia desta informao no garante a unicidade do clculo da medida do segmento MN em funo de a e b, eu formulei uma outra questo para utiliz-la como um contra-exemplo. Vamos ao enunciado da questo que eu formulei baseando-me no problema fornecido pelo Victor: Seja ABCD um trapzio retngulo de bases AB = 1 e CD = 3 e cujo ngulo interno formado entre o lado BC e a base CD igual a 60. Dados os pontos M e N, pertencentes aos lados no-paralelos, tais que o segmento MN divide esse trapzio em dois outros trapzios equivalentes, calcule MN para cada um dos dois casos apresentados abaixo. Primeiro caso: MN perpendicular ao lado BC. (Resposta: sqr(5)) Segundo caso: MN forma um ngulo de 30 com o prolongamento da base AB no sentido de B para A. (Resposta: sqr(10)) A fim de tentar garantir que as respostas apresentadas esto corretas, eu desenvolvi mais de uma soluo para cada caso, sendo que uma delas foi por Geometria Analtica. A resoluo apresentada pelo Boromir corresponde a uma das solues que eu havia desenvolvido para o problema original, porm ela somente tem validade se no enunciado for informado que o segmento MN paralelo s bases AB e CD, o que no foi o caso do problema proposto pelo Victor. Vamos reformular o enunciado para que a resoluo do Boromir seja vlida e, na seqncia, eu apresentarei uma resoluo alternativa. ENUNCIADO MODIFICADO: Dado um trapzio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N pertencentes aos lados no-paralelos. Se o segmento MN paralelo s bases e divide esse trapzio em dois outros trapzios equivalentes, calcule MN em funo dos lados AB = a e CD = b. RESOLUO ALTERNATIVA: Considere CD = b como a base maior e AB = a como a base menor, logo b a, MN = x, H a distncia entre a AB e MN e h a distncia entre MN e CD. Tambm considere que o ponto M pertence ao lado DA e o ponto N ao lado BC. Trace uma paralela ao lado DA passando pelo vrtice B do trapzio, de modo a interceptar o segmento MN no ponto E e a base CD no ponto F. Deste modo, ABEM e MEFD so paralelogramos, conseqentemente tem os lados opostos congruentes. Portanto: ME = AB = a e DF = ME = a. MN = ME + EN = x = a + EN = EN = x - a DC = DF + FC = b = a + FC = FC = b - a Tringulo BEN ~ Tringulo BFC (Critrio AA~): FC/EN = (H + h)/ H = (b - a)/(x - a) = 1 + h/H = = (b - x)/(x - a) = h/H (i) De acordo com os dados, os trapzios ABNM e MNCD so equivalentes, logo: S[ABNM] = S[MNCD] = (1/2).(x + a).H = (1/2).(b + x).h = = (x + a)/(b + x) = h/H (ii) Aplicando a propriedade transitiva nas igualdades (i) e (ii): (b - x)/(x - a) = (x + a)/(b + x) = x^2 - a^2 = b^2 - x^2 = = 2x^2 = a^2 + b^2 = x = sqr[(a^2 + b^2)/2] Resposta: MN = sqr[(a^2 + b^2)/2] Aplicando a frmula encontrada para resolver o problema do trapzio retngulo com bases AB = 1 e CD = 3 e BCD = 60, apresentado acima, teremos: MN = sqr[(1^2 + 3^2)/2] = sqr(10/2) = sqr(5) Observe que o valor encontrado na aplicao da frmula coincide com o valor encontrado no primeiro caso, mas difere do valor encontrado no segundo caso. Portanto, a informao de que MN paralelo s bases necessria para garantir a unicidade do comprimento de MN em funo de a e b, uma vez que com diferentes inclinaes podemos encontrar um valor diferente de sqr[(a^2 + b^2)/2] para o comprimento do segmento MN. Atenciosamente, Rogrio Moraes de Carvalho Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informao [EMAIL PROTECTED] -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of boromir Sent: sexta-feira, 30 de abril de 2004 01:09 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re[2]: [obm-l
RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Ol Daniel,
Muitos dos problemas que envolvem expresses com radicais duplos podem ser
resolvidos facilmente quando so realizadas as redues para expresses com
radicais simples equivalentes. Existe uma frmula para a reduo, mas o importante
entender como deduzi-la, pois o raciocnio muito simples.
Reduo de radicais duplos em radicais simples equivalentes
---
Dada a expresso com radicais duplos (a + b), com a e b racionais, b
irracional e a + b positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos tais
que: (a + b) = x1 + x2.
Observe que de acordo com as condies dadas, ambos os membros da igualdade so
positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro membro da
igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo que a volta continua
vlida.
[(a + b)] = (x1 + x2)
a + b = x1 + 2x1x2 + x2
a + b = (x1 + x2) + (4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e b irracional, a igualdade somente vai ser
verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 so razes da seguinte equao quadrtica:
x - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
= (-a) - 4.1.(b/4) = = a - b
Sendo assim, a nossa expresso somente poder ser reduzida a radicais simples se o
discriminante (a - b) for um quadrado de um racional. Se esta condio for
satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + (a - b)] / 2 = [a + (a - b)] / 2
x2 = [-(-a) - (a - b)] / 2 = [a - (a - b)] / 2
Ou vice-versa.
Concluso:
A expresso com radicais duplos (a + b), com a e b racionais, b irracional e
a + b positivo, pode ser transformada em uma expresso com radicais simples quando
a - b for um quadrado de um racional. A transformao dada pela seguinte
frmula:
(a + b) = {[a + (a - b)] / 2} + {[a - (a - b)] / 2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expresso com radicais duplos
(a - b), com a e b racionais, b irracional e a - b positivo, pode ser
transformada em uma expresso com radicais simples quando a - b for um quadrado de
um racional. A transformao dada pela seguinte frmula:
(a - b) = {[a + (a - b)] / 2} - {[a - (a - b)] / 2}
Resoluo do problema proposto:
---
Simplifique a expresso:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) / [2 - (2 - 3)]
Vamos verificar se possvel reduzir as expresses com radicais duplos para
expresses com radicais simples.
Na expresso (2 + 3), temos a = 2 e b = 3. Como a - b = 4 - 3 = 1, que o
quadrado de um racional (1 = 1), a transformao possvel.
(2 + 3) = [(2 + 1) / 2] + [(2 - 1) / 2] = (3/2) + (1/2) = 3/2
+ 1/2
Analogamente, teremos:
(2 - 3) = 3/2 - 1/2
Logo:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) / [2 - (2 - 3)] =
= (2 + 3) / [2 + (3/2 + 1/2)] + (2 - 3) / [2 - (3/2 -
1/2)] =
= (2 + 3) / [(2 + 3 + 1)/2] + (2 - 3) / [(2 - 3 + 1)/2] =
= 2(2 + 3) / (3 + 3) + 2(2 - 3) / (3 - 3) =
= [2(2 + 3)(3 - 3) + 2(2 - 3)(3 + 3)] / [(3 + 3) (3 - 3)] =
= [2(6 - 23 + 33 - 3) + 2(6 + 23 -33 - 3)] / (9 - 3) =
= 2[(3 + 3) + (3 - 3)] / 6 = 62 / 6 = 2
Portanto, a expresso simplificada igual a 2.
Atenciosamente,
Rogrio Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Daniel Silva Braz
Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
corrigindo o primeiro problema...mandei o problema
errado...
(2 + sqr(3)) / (sqr(2) + sqr(2 + sqr(3))) + (2 -
sqr(3)) / (sqr(2) - sqr(2 - sqr(3)))
Daniel S. Braz
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RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
radical duplo do
primeiro membro da igualdade, podemos elevar ambos
os membros ao quadrado garantindo que a volta
continua vlida.
[(a + b)] = (x1 + x2)
a + b = x1 + 2x1x2 + x2
a + b = (x1 + x2) + (4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e b irracional, a
igualdade somente vai ser verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 so razes da seguinte equao
quadrtica:
x - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
= (-a) - 4.1.(b/4) = = a - b
Sendo assim, a nossa expresso somente poder ser
reduzida a radicais simples se o discriminante (a
- b) for um quadrado de um racional. Se esta
condio for satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + (a - b)] / 2 = [a + (a - b)]
/ 2
x2 = [-(-a) - (a - b)] / 2 = [a - (a - b)]
/ 2
Ou vice-versa.
Concluso:
A expresso com radicais duplos (a + b), com
a e b racionais, b irracional e a + b
positivo, pode ser transformada em uma expresso
com radicais simples quando a - b for um quadrado
de um racional. A transformao dada pela
seguinte frmula:
(a + b) = {[a + (a - b)] / 2} + {[a
- (a - b)] / 2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expresso
com radicais duplos
(a - b), com a e b racionais, b irracional
e a - b positivo, pode ser transformada em uma
expresso com radicais simples quando a - b for
um quadrado de um racional. A transformao
dada pela seguinte frmula:
(a - b) = {[a + (a - b)] / 2} - {[a
- (a - b)] / 2}
Resoluo do problema proposto:
---
Simplifique a expresso:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) /
[2 - (2 - 3)]
Vamos verificar se possvel reduzir as
expresses com radicais duplos para expresses com
radicais simples.
Na expresso (2 + 3), temos a = 2 e b = 3.
Como a - b = 4 - 3 = 1, que o quadrado de um
racional (1 = 1), a transformao possvel.
(2 + 3) = [(2 + 1) / 2] + [(2 - 1) / 2]
= (3/2) + (1/2) = 3/2 + 1/2
Analogamente, teremos:
(2 - 3) = 3/2 - 1/2
Logo:
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= (2 + 3) / [(2 + 3 + 1)/2] + (2 - 3) /
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= 2(2 + 3) / (3 + 3) + 2(2 - 3) / (3
- 3) =
= [2(2 + 3)(3 - 3) + 2(2 - 3)(3 +
3)] / [(3 + 3) (3 - 3)] =
= [2(6 - 23 + 33 - 3) + 2(6 + 23
-33 - 3)] / (9 - 3) =
= 2[(3 + 3) + (3 - 3)] / 6 = 62 / 6 =
2
Portanto, a expresso simplificada igual a 2.
Atenciosamente,
Rogrio Moraes de Carvalho
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Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problemas com radicais -
CORRIGINDO!!
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