[obm-l] Re:[obm-l] Séries

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

vamos tentar generalizar um somatório..

primeiramente, 1*3*5 = 1*2*3*4*5/(2*4) = 5!/[2(1*2)] = 5!/[2*2!]
entao: 1*3*5*7*..*(2n+1) = (2n+1)!/[2*n!]

assim: Somatório (0..inf) { (-1)^n (n+1)! / [ 1*3*5*..*(2n+1) ] }
substituindo, ficamos com:

Somatório (0..inf) { (-1)^n (n+1)! / [ (2n+1)! / [2*n!] ] }
Somatório (0..inf) { (-1)^n 2*n!*(n+1)! / (2n+1)! }
Somatório (0..inf) { (-1)^n 2/C(2n+1, n) }

C(2n+1, n) = combinacao de 2n+1 tomados n a n

Vamos tentar encontrar alguma funcao que tenha esta serie de Taylor:

f(x) = Somatório (0..inf) { df(a)/dx^n * (x-a)^n / n! }

bom.. nao tive mtas ideias.. mas acho que o caminho deve ser este

abracos,
Salhab

 Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte série:

   1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) +  será que poderiam me ajudar?

   Obrigado 
   Cleber 
 
 
  __
 Fale com seus amigos  de graça com o novo Yahoo! Messenger 
 http://br.messenger.yahoo.com/ 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] E. NAVAL

[Salhab \[ k4ss \]]

cara, vai ter q usar calculo, na E.NAVAL cai?

basta resolver a seguinte integral:

int_{0}^{1}{pi*(sqrt(y))^2 dy} = int_{0}^{1}{pi*y dy} = pi/2

abracos,
Salhab

 Alguém da lista, por favor, me enviem as resoluções.
 
 (EN-86) A região do plano formada pelos pontos (x, y) tais que x  = 0 e x2  
 = y  = 1 efetua uma revolução completa em torno da reta de equação x = 0. O 
 volume do sólido assim gerado é:
 a) pi/2.  b) pi/3. c) pi/4.   d) pi/5.  e) pi/6. 
 
 (EN-95/96) Um paralelepído de volume V tem dimensões inversamente 
 proporcionais a A, B e C. A área total do paralelepípedo é?
 
 Desde já agradeço.
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
só uma coisa, P(-1) = (-1)^100 + (-1) + 1 = 1
um pequeno errinho de conta!

abraços,
Salhab

 o resto eh da forma ax+b ( pois o grau do resto tem que ser menor que o de 
 x2-1)
 assim, P(x)=(x+1)(x-1). Q(x) + r(x), r(x)=ax+b
 Logo, P(1)=3= a+b=3, P(-1)=3 = -a+b=3  = a=0 e b=3
 Logo, o resto eh r(x)=3
 Espero ter ajudado
 Abracos
 Ricardo
   - Original Message - 
   From: Leandro Morelato 
   To: obm-l@mat.puc-rio.br 
   Sent: Wednesday, December 20, 2006 7:35 PM
   Subject: [obm-l] Polinômio
 
 
   Boa noite, gostaria que me ajudassem com a seguinte questão:
 
   Determine o resto da divisão de X100 + X + 1 por X2 - 1,
 
   Obrigado,
 
   Leandro
 
 
 --
 
 
   No virus found in this incoming message.
   Checked by AVG Free Edition.
   Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.15.24/592 - Release Date: 18/12/2006
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Multiplicação...

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

de uma olhada nesse site: 
http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_and_non-negative_numbers

abracos,
Salhab

 Eu ando procurado em vários lugares, mas não encontro...
 
 Alguém sabe me provar o porquê de, na multiplicação de números negativos 
 chegamos num produto positivo...
 
 Desde já agradeço.
 
 João.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Integral de Física Qu ântica

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

bem, vejamos:

1 + x + x^2 + ... = 1/(1-x), para |x|  1

fazendo u = 1/x, temos: Somatorio(u^(-i) de 0 até inf) = u/(u-1)

tirando o termo i=0, temos: Somatorio(u^(-i) de 1 até inf) = 1/(u-1), para |u| 
 1

agora, e^x  1 para x  0 .. logo, podemos fazer u = e^x, assim:

1/(e^x - 1) = Somatorio(e^(-xi) de 1 até inf)

agora: x^3/(exp(x) - 1) = Somatorio(x^3 * exp(-xi) de 1 até inf)

agora, integre dos dois lados, jogue a integral pra dentro da serie, 
resolva-a.. e dps resolva a serie..

abracos,
Salhab

 Olá.
 Para resolver um problema de Física Quântica, há a seguinte sugestão:
 fazer uma transformação de variável, achar a integral de (x^3)/(exp(x) - 1),
 cuja integração de 0 a infinito dá (pi^4)/15. Como se chega a este
 resultado?
 Para resolver um outro problema, eu chego à mesma integral, só que usando os
 limites 5500^-10 a 5510^-10. Será que é possível calcular?
 Grato.
 Josimar.
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Eletroímã

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
assumindo g = 10, temos que o peso da esfera é de 0,05 * 10 = 0,5 N

um eletroima.. realmente nao entendi.. a forca magnetica = qVxB .. para isso, 
vc teria q dar velocidade
para sua bolinha... entao, vamos supor que vc a lance horizontalmente..
assim, basta arrumar o campo magnetico de modo que a forca fique na vertical 
para cima...
agora, para a bolinha nao cair, essa forca tem q ser igual a 0,5N

entao: qVB = 0,5

supondo que vc imponha uma velocidade de 1m/s na sua bolinha, qB = 0,5 ...
utilizando de aparatos simples, dificilmente vc conseguira um campo magnetico 
alto..
normalmente, os campos conseguidos sao da ordem de 10^(-6) tesla utiliznado 
correntes de 2A, 3A...
hmm e provavelmente vc teria que utilizar tensao continua... e uma corrente bem 
alta para aumentar o campo magnetico.. mas dai vc precisaria de um fonte que 
suportasse isso... o que ja esta fora do seu alcance né?


bom, sem querer desanimar, acho realmente dificil montar um sistema desses com 
suas condicoes...
espero que alguem aqui da lista encontre uma saida para seu problema...
eu nao consegui..

um abraco,
Salhab



 
Considero esse tópico inoportuno, mas tentem me compreender: estou
tendo dificuldades com um experimento.
 
Gostaria de saber como que poderia construir um eletroímã que seja
capaz de manter uma esfera de uns 50g sem que esta caia.
 
Já tinha pensado em construir um com pilhas, porém suspeito que seja
insuficiente para uma bolinha de aço de 50g.
 
É isto:
 
 Como poderia construir um nessas condições dispondo de apenas
materias de fácil acesso e uma tomada?
 
Faço o 1o. ano do Ensino Médio.
 
Desde já agradeço,
 
Lucas Molina.=]
  _
 
Chegou o Windows Live Spaces:você divide seu blog, suas fotos, sua
lista de música e agora encontra seus amigos! [1]É só entrar no:
==
=== Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==
===
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] REcorrencias

[Salhab \[ k4ss \]]

Ola,

a_n = 2a_(n-1) + n^2
2a_(n-1) = 4a_(n-2) + 2(n-1)^2
4a_(n-2) = 8a_(n-3) + 4(n-2)^2
.
.
.
2^(n-2)a_2 = 2^(n-1)a_1 + 2^(n-2) * 2^2

somando, temos:
a_n = 2^(n-1)a_1 + n^2 + 2(n-1)^2 + 4(n-2)^2 + ... + 2^(n-2) * 2^2

a ideia eh essa.. tem q ver se nao tem nenhum erro de conta..
dps tem outro somatorio pra vc resolver neh?
mas a recorrencia acabou..

um abraco!
Salhab


 ola

   gostaria de saber se alguem conhece alguma maneira de resolver as 
 recorrencias abaixo, sem utilizar formulas ou coisas q veem em calculo 4, 
 pois eu tenho um conhecimento sobre as homogeneas, mas agarrei nessas aih..


   an = 2a(n-1) + n^2

   an = 6a(n-1) -11a(n-2) + 6a(n-3) + 6n^2-40n +49

   PS: O artigo colocado no site rumoaoita eh mt bom, mas nao explica 
 recorrencias desse tipo acima.

   abraços,

   Vinicius Meireles Aleixo
 
 
 
   
 -
  Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. 
 Registre seu aparelho agora!


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] duvida - limite

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

vamos tomar a serie dessa sequencia, isto é:
Somatorio (n!/1.3...(2n-1)) de 1 até infinito.

agora, vamos aplicar o teste da razao, entao:

[(n+1)!/(1.3..(2n-1).(2n+1))] * [1.3..(2n-1)]/n!]

(n+1)/(2n+1) = (1+1/n)/(2+1/n)

quando n-inf, a razao tende para 1/2  1.

logo, a serie converge.
como a serie converge, a sequencia tem que tender para 0.
logo, a sequencia converge para 0.


abraços,
Salhab

 Olá colegas
 
 Como verifico se a sequencia n!/ 1.3...(2n-1) converge??
 
 grato
 
   
 -
  Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer 
 compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] OFFTOPIC - Quimica - Quem puder ajudar, agradeco

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

sei que nao é o objetivo desta lista, mas estou precisando de uma ajuda com 
quimica, e, como sei que muitos aqui nao sao necessariamente matematicos, envio 
esta mensagem.

o enxofre é insoluvel em agua, porem, preciso solubiliza-lo de algum modo.
alguem sabe como fazer isso?
existe algum outro composto que eu posso colocar na agua para que essa 
solubilizacao seja possivel?

agradeco qualquer ideia..

abracos,
Salhab


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] Calculo I

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
para que g(x) seja derivavel para todo X, temos que ter g continua, e lim (x-1+) g'(x) = lim (x-1-) g'(x)
entao:
g(1) = a+b
lim (x-1-) g(x) = a+b
lim (x-1+)g(x) = a+2b+1

logo: a+b = a+2b+1 b = -1

g'(x): a, se x=1; 3ax^2+1, se x1
assim, a = 3a+1 ... a = -1/2

abracos
Salhab

 O valor das constantes reais a e b para as quais a funcao real g(x): ax+b se x=1 e ax^3+x+2b se x1. Seja derivavel para todo x. 
 
 - 
 Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!

[obm-l] Re:[obm-l] Indução finita

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

para n=1, temos: 2 = 0
para n=2, temos: 4 = 3
para n=3, temos: 8 = 8
para n=4, temos: 16 = 15

ok.. vimos para alguns casos.. 
na verdade, para inducao, basta ser verdadeiro para 1 caso..

Suponha verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.

2^k = k^2 - 1
multiplicamos por 2.. entao:
2^(k+1) = 2k^2 - 2

sabemos que (k+1)^2 - 1 = k^2 + 2k

(2k^2 - 2) - (k^2 + 2k) = k^2 - 2k - 2 = k^2 - 2k - 1 - 1 = (k-1)^2 - 1 = 0, para k0
assim: 2k^2 - 2 = k^2 + 2k = (k+1)^2 - 1

assim: 2^(k+1) = 2k^2 - 2 = (k+1)^2 - 1
logo: 2^(k+1) = (k+1)^2 - 1

cqd.


abraços,
Salhab


 
 Provar que 2^n =n^2 -1 
 
 == 
 === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 == 
 === 
 

Re:[obm-l] INtegral.....

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

derivando, temos:
4 * sen(x)^3 /4 * cos(x) = sen(x)^3 * cos(x)

que é a funcao q esta sendo integrada...
a resposta dele esta certa...

abraços
Salhab


 Pessoal... meu professor deu um exercicio cuja a resposta eu creio q esteja 
 errada... 
 ELe disse q a resposta da integral de sen^3(x)*cos(x)dx eh sen^4(x)/4 
 mas se eu derivar sen^4(x)/4 ... eu naum volto na funçaum original... 
 Alguem sabe me passa a resposta correta??? 
 Obrigado pela atençaum! 
 

[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
bom, o problema eh q sao varias variaveis e ainda temos restricao no dominio...
entao, o correto seria utilizar multiplicadores de lagrange, e sai rapidinho mesmo!!!
eh quase q imediato que eh o triangulo equilatero...
porem, eh uma solucao universitaria neh?

agora uma saida apenas por geometria seria assim:
fixe um segmento, digamos "a", entao,a area é a*h/2...
como o perimetro eh constante, a soma dos outros 2 lados tem q ser constante..
entao os extremos do segmento "a" podem ser encarados como os focos de uma elipse..
deste modo, a maxima altura eh obtida qdo estamos na parte superior da elipse, e o triangulo eh isosceles.

utilizando isto vc mostra que o triangulo eh equilatero
dps eu termino, vou ter q sair agora.

abraços,
Salhab


 Escreve a função da área e deriva. Onde a derivada for nula será o máximo. 
 
 On 5/13/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>wrote: 
  
  Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro 
  constante, ele terá área máxima quando for equilátero? 
  
 
 
 
 -- 
 Denisson 
 "Você nasce sem pedir mas morre sem querer. 
 Aproveite esse intervalo!" 
 

[obm-l] Re:[obm-l] Cálculo de Limites

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
lembre-se que: a^3- b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

assim, temos:
(x-a)/(x-a) * 1/(x^2/3 + (ax)^1/3 + a^2/3)
assim.. qdo x- a, temos 1/[ 2a^2/3 + a^2/3 ] = 1/[3a^(2/3)]

a segunda eh igual a primeira.. mas com a=8, logo: 1/[3*8^(2/3)]

note que em ambos os casos, temos a definicao de derivada..
na primeira, esse limite eh a derivada de f(x)=x^(1/3) no ponto a,
e na segunda eh a derivada de f(x) = x^(1/3) no ponto 8...


abraços,
Salhab

 Alguém pode me ajudar a resolver estes limites? 
 
 lim [RAIZ CÚBICA _ (x) - RAIZ CÚBICA _ (a)] / (x - a) 
 (x - a) 
 
 lim [RAIZ CÚBICA _ (8 + h) - 2] / h 
 (h - 0) 
 
 Abraço. 
 
 
 - 
 Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. 

Re:[obm-l] Tres Problemas Olimpicos

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

2) Queremos que ambas as raizes estejam entre 0 e 1.
Como A  0, e, fazendo f(x) = Ax^2 + Bx + C, temos que ter:

f(0)  0, pois, se f(0) = 0, ou 0 é raiz, ou 0 esta entre as raizes.. como nenhum dos 2 eh permitido, f(0)  0.
assim: C  0

ok.. tambem queremos: f(1)  0.. pelos mesmos argumentos do f(0).
assim: A + B + C  0 .. A  - (B+C)

agora, queremos que o valor de x que da ominimo da funcao esteja entre 0 e 1.. logo:

0  -B/(2A)  1

vamos analisar os 2 casos:

-B/(2A)  0 ... B/A 0 .. isto é: B e A tem sinais opostos

-B/(2A)  1 ... B/A  -2

vamos analisar 2 casos: 

(i) B  0 .. entao A  0:
B/A  -2 .. B  -2A .. A -B/2
assim: -(B+C)  A  -B/2

(ii) B  0 .. entao A  0:
B/A  -2 .. B  -2A .. A  -B/2
assim: A  -B/2 e A  - (B+C)
logo A  max ( -B/2 ; -(B+C) )

deste modo, os possiveis valores de A estao determinados para que as condicoes do problema sejam sempre satisfeitas..
para obtermos o menor valor de A, teriamos que aceitar que as raizes fossem 0 e 1.
neste caso, teriamos a seguinte resposta:

se C  0 e B  0, o menor valor de A é: - (B+C)
se C  0 B  0, o menor valor de A é: max ( -B/2 ; -(B+C) )
se C  0, impossivel satisfazer as condicoes do enunciado

abracos,
Salhab



 Ola Pessoal ! 
 (escreverei sem acentos) 
 
 Seguem tres problemas propostos em uma Olimpiada Russa do passado. Nao e 
 possivel fazer um paralelo rigoroso entre o ensino brasileiro e o russo, mas 
 eu diria que estes problemas se destinam sobretudo a alunos da 7/8 series do 
 nosso ensino fundamental ( antigo 1 grau ) : 
 
 PROBLEMA 1) Prove que nao existem quatro reais positivos A, B, C e D que 
 satisfazem simultaneamente as inequacoes seguintes : 
 
 A + B  C + D 
 (A+B)(C+D)  AB + CD 
 (A+B)CD  AB(C+D) 
 
 PROBLEMA 2) Considere a equacao do segundo grau Ax^2 + Bx + C = 0, onde B e 
 C sao inteiros dados. Qual e o menor valor inteiro positivo que A deve 
 assumir de maneira que a equacao admita duas raizes positivas, distintas e 
 ambas menores que 1 ? 
 
 PROBLEMA 3) Seja N um numero inteiro positivo maior que 1. Considere todas 
 as fracoes da forma 1/PQ, onde P e Q sao relativamente primos e, alem disso, 
 satisfazem : 
 
 1) 0  P  Q = N 
 2) P + Q  N 
 
 Prove que a soma de todas estas fracoes e igual a 1/2. 
 
 Mais problemas russos em : 
 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr 
 
 OBS : Se alguem quiser escrever pra mim, o meu endereco eletronico onde mais 
 rapidamente verei a mensagem e [EMAIL PROTECTED] 
 
 Um Abraco a Todos 
 Paulo Santa Rita 
 4,1104,260406 
 
 _ 
 Ganhe tempo encontrando o arquivo ou e-mail que você precisa com Windows 
 Desktop Search. Instale agora em http://desktop.msn.com.br 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

[obm-l] Re:[obm-l] Sequencia de números -P A e PG

[Salhab \[ k4ss \]]

Se a sequencia a_1, a_2, a_3, ..., é uma PA e uma PG ao mesmo tempo, entao:

a_1 + a_3 = 2a_2
a_2^2 = a_1 * a_3

logo:
(a_1 + a_3)^2 = 4a_2^2
(a_1 + a_3)^2 - 4a_2^2 = 0
(a_1 + a_3)^2 - 4 * a_1 * a_3 = 0

logo:
(a_1 - a_3)^2 = 0

assim, a_1 = a_3...

PA de razao 0, ou PG de razao 1...

abraços,
Salhab



 
 Qual a condição para que uma sequência não constante seja PA e PG ao 
 mesmo tempo? 
 
 == 
 === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 == 
 === 
 

[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade (di vagando na solução).

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
bom, acho que encontrei um modo mais simples de demonstrar:

vc chegou em:
p^2(p-q) = q^2(p-q)

logo:
p^2(p-q) - q^2(p-q) = 0
(p-q)(p^2-q^2) = 0
(p-q)(p-q)(p+q) = 0
(p-q)^2(p+q) = 0

Logo, (p-q)^2 = 0, sempre... e como p e q sao positivos, p+q = 0 sempre
logo, esta provado.

abracos,
Salhab

  o que é trivial já que p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p pela desigualdade do 
  rearranjo. 
 
 Eu nunca ouvi falar dessa desigualdade, mas acho que 
 uma das formas de demonstrá-la 
 seria verificar todos os casos possíveis com p e q reais. 
 
 p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p 
 p^2 (p-q) + q^2(q-p) = 0 
 p^2 (p-q) = q^2(p-q) 
 
 Exemplo: 
 
 Supondo p== q temos igualdade 
 OK pass 
 Supondo p  q , p0, q0 temos 
 p^2  q^2 
 OK ... pass 
 Supondo q p , p0, q0 == p-q  0 e 
 p^2  q^2 (trocando o sinal). 
 OK... pass 
 Os outros casos 
 (p0,q0 com pq ), (p0, q0 com pq ), (p0,q0 com pq ) 
 (p0,q0 com p0 com p
 são demonstrados de forma similares. 
 
 Eu sei que essa maneira de demonstrar via "compilação" 
 de todos os casos é meio "tosca", mas 
 será que não pode ser interessante em problemas muito difícieis? 
 
 Neste exemplo houve uma série de expansões de termos usando fatos 
 conhecidos. 
 Exemplo: Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr. 
 7(p+q+r)(pq+qr+rp) = 2(p+q+r)^3 + 9pqr 
 
 Note que 2 = 2.1 foi expandido. 
 
 Um provador automático de teoremas feito em Prolog, por exemplo 
 poderia fazer essas expansões.O problema seria ele saber 
 exatamente *o que* expandir. É exatamente aí que entra o desafio, o 
 sentimento e 
 a criatividade. 
 
 
 Uma vez estava conversando com um amigo meu que estava terminando seu 
 doutorado em análise. 
 Ele havia concordado comigo que na matemática tudo são fatos e regras 
 como na linguagem Prolog. 
 Para quem não conhece Prolog: http://en.wikipedia.org/wiki/Prolog 
 
 Então não era difícil construir provadores de teorema que pudessem 
 responder questões mais ou menos 
 simples via aplicação de regras. Mas há um problema: Cada axioma/hipótese 
 do teorema é uma regra e 
 cada teorema no banco de dados do programa é uma regra. 
 
 Se fôssemos usar a força bruta e aplicar 
 todas as regras indiscriminadamente isso iria gera uma explosão combinatória 
 de sentenças e dificilmente 
 chegaríamos a solução ou a conclusão da verdade/falsidade do teorema 
 chegando em regras atômicas que 
 por hipótese e/ou teoremas anteriores sabemos ser verdadeiras. 
 
 Claro que se soubéssemos quais regras expandir, não precisaríamos de 
 computador... como nesse exercício. 
 
 
 
 
 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

Re:[obm-l] dois probleminhas

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

2) y=4x
y = 7(x-3)+3

resolvendo, x = 6, y = 24

abraços,
Salhab

 1- O índice pluviométrico do mês de janeiro de uma 
 determinada cidade foi de 2.000 litros de volume. Se 
 cada gota de chuva apresenta 0,5 mm3 de volume, 
 quantas gotas de chuva caíram nessa cidade em unidades 
 de 108? 
 
 A) 90 
 B) 80 D) 50 
 C) 70 E) 40 
 
 02. Uma construtora de imóveis solicitou que seus 
 corretores se dividissem em grupos de X pessoas, 
 ordenando que cada grupo vendesse um número Y de 
 apartamentos. O grupo de Maria decidiu que cada 
 corretor vendesse 4 apartamentos, no entanto três 
 corretores faltaram, e cada um dos corretores 
 necessitou vender um total de 7 apartamentos, 
 restando, ainda, 3 para serem vendidos. De quantos 
 corretores cada grupo era formado e quantos 
 apartamentos a construtora solicitou que fossem 
 vendidos, respectivamente? 
 
 A) 7 e 32 
 B) 6 e 24 D) 4 e 18 
 C) 5 e 20 E) 3 e 14 
 
 
 
 
 
 ___ 
 Abra sua conta no Yahoo! Mail: 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. 
 http://br.info.mail.yahoo.com/ 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

Re:[obm-l] Taxas e Derivadas

[Salhab \[ k4ss \]]

Ola,

o volume da calha em funcao da altura da agua eh:

da semelhanca de triangulo, temos:
x / 10 = b / 8

entao:

V(x) = 200 * x * b / 2 = 100 * x * 8 * x / 10 = 80 * x^2 (cm^2)

V(x) = 80 * x^2

dV(x) / dx = 160 * x 

dV/dt = dV/dx * dx/dt = 160 * x * 0,5 = 80 * x

Logo, o volume de agua cresce a velocidade de 400 cm^2 / min = 20/3 cm^2 / 
segundo

acho que eh isso,
abracos,
Salhab



 Oi pessoal, gostaria da ajuda de vocês no seguinte problema.
 
 Uma calha horizontal possui 200cm de comprimento e tem como seção transversal 
 um triangulo isosceles de 8cm de base e 10cm de altura.
 
 Devido a chuva, a agua em seu interior está se elevando a uma razão de 0,5 cm 
 por minuto.
 
 Quão rápido  o volume de água em seu interior estará crescendo no instante em 
 que o nível da água for de 5cm.
 
 obrigado .
 
 paulo Barclay
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão sim ples

[Salhab \[ k4ss \]]

a = clientes atendidos pelo mais novo
b = clientes atenditos pelo mais velho

a = k/36
b = k/48
entao, a  b

|a - b| = 4
a - b = 4

k/36- k/48 = 4

k =4 / (1/36- 1/48)
k = 4 * 36 * 48 / (48- 36) = 4 * 36 * 48 /12 = 36 * 48 / 3

Logo,

a =48/3 = 16
b = 36/3 = 12

vendo a resolucao.. podemos observar algumas coisas:
* é necessário que o aluno saiba o que significa inversamente e diretamente proporcional.
* é necessário que ele saiba avaliar o motivo pelo qual a  b.
* ele saiba o básico sobre simplificação.

não consegui encontrar nenhum jeito mais simples de resolver a questao.
uma idéia pode ser buscar uma interpretação geométrica.. de modo que vc possa desenhar para o aluno.. mas tb não consegui.

espero ter ajudado em algo,
abraços,
Salhab



 Retificando... 
 
 Curiosamente, dois atendentes de um banco observaram que, durante o 
 expediente bancário, o número de clientes que cada um havia atendido era 
 inversamente proporcional às suas respectivas idades, 36 e 48 anos. Se um 
 deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas 
 atendidas pelo mais velho foi...? 
 
 - Original Message - 
 From: "Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <[EMAIL PROTECTED]>
 To: 
 Sent: Friday, March 24, 2006 2:15 PM 
 Subject: [obm-l] Questão simples 
 
 
  Pessoal, 
  
  Esta é uma questão bem simples, mas gostaria que os colegas me indicassem 
  a maneira mais didática de ensiná-la a um aluno sem muita prática com 
  matemática. 
  
  Curiosamente, dois atendentes de um banco observaram que, durante o 
  expediente bancário, o número de clientes que cada um havia atendido era 
  inversamente proporcional às suas respectivas idades, 36 e 38 anos. Se um 
  deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas 
  atendidas pelo mais velho foi...? 
  
  A resposta é 12. 
  
  Grato, 
  Henrique. 
  = 
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  = 
  
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

Re:[obm-l] ex. simpless

[Salhab \[ k4ss \]]

olá,

primeiramente temos que ter raizes reais, entao:

a^2 - 24a = 0
a(a - 24) = 0

Logo, a = 0 ou a = 24

x = (-a +- sqrt(a(a-24))) / 2

temos que, para x ser racional, a tem que ser racional e sqrt(a(a-24)) tbem tem 
q ser racional

basta determinarmos para quais valores de a temos sqrt(a(a-24)) racional.

sqrt(a(a-24)) = p/q

entao: a(a-24) = (p/q)^2

p^2 = q^2 * a(a-24)

p é inteiro, logo p^2 tbem é.. q^2 tbem é.. entao a(a-24) tem que ser inteiro!

bom, depois eu tento terminar.. vou pra aula agora.. rs

pode tentar usar aquele teorema de que se os coeficientes sao reais, as unicas 
raizes racionais é do tipo p/q onde p sao os divisores do termo indepentende e 
q os divisores do coeficiente do termo dominante.

abraços
Salhab


 As representações decimais dos números 2^1999 e 5^1999 são escritas lado a 
 lado.o nº total de algarismos escrito é?
 
 para quantos valores de a a equação: x^2+ax+6a=0 possui raízes racionais?
 
   
 abraços
 Vinícius Meireles Aleixo 
 
   
 -
  Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] (off topic) Preconceito à matemática

[Salhab \[ k4ss \]]

Pô, nao liga pra esse povo!
É a ignorancia do povo q diz isso!
E nao vem dizer q sao universitarios.. pq tem mto universitario ai ignorante!
É triste? Sim! Mas.. é a realidade brasileira..

pode ter certeza q muitos dizem isso pq nao entendem a matematica.. nao q seja culpa deles.. na maioria dos casos, ninguem os ensinou.. !

bom.. abraços
Salhab

haa.. eu faco engenharia


 Desculpem o off topic 
 
 Mas como todos os matemáticos (creio eu)... ja enfrentaram por esse 
 evento desagradável queria saber de vocês. 
 
 O que vcs dizem qdo alguém diz que matemática não serve para nada 
 Ou que "minha avó viveu muito bem sem saber o valor de pi" 
 Ou quando algum engenheiro chega e fala: Matemático não sabe levantar 
 prédio ou construir pontes, faz o que então? 
 
 Eu acredito que as outras carreiras tais como engenharia, fisica, 
 quimica, arquitetura etc. existem graças à expansão dos conhecimentos 
 matemáticos e conseqüentemente da qualidade de vida... 
 Mas as vezes é difícil criar um bom argumento que convença a pessoa em 
 questão a não prejulgar e criticar os matemáticos 
 
 Novamente desculpe o off topic 
 
 Maurizio 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

[obm-l] Re:[obm-l] Resolução de Sistema L inear

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

a11a21x1 a12a21x2 a13a21x3 = 0
a11a21x1 a11a22x2 a11a23x3 = 0

subtraindo:

(a12a21 - a11a22)x2 = (a11a23 - a13a21)x3
x2 = (a11a23 a13a21)x3/(a12a21 - a11a22)

fazendo o mesmo, obtemos x1 em funcao de x3..
chame x3 de t, e pronto! a resposta sera:

(x2(t), x1(t), t)

abraços,
Salhab

 Olá pessoal da lista!!!
 
 Gostaria de saber uma possível solução para o sistema linear homogêneo abaixo:
 
 a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
 
 São duas equações e três incógnitas.
 
 Grato pela atenção,
 
 Abraços!!!
 
 --
 Henrique
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Fatoração

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

a+b+c = 1
(a+b+c)^2 = 1
a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 1
mas a^2 + b^2 + c^2 = 0, logo:

ab + ac + bc = 1/2

(ab+ac+bc)^2 = 1/4
(ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2 + 2(bca^2 + acb^2 + abc^2) = 1/4
(ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2 + 2abc(a+b+c) = 1/4
(ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2 + 2abc = 1/4

Ok!

(a+b+c)^4 = 1
fatorando.. temos:
a^4 + b^4 + c^4 + 4 [(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc] = 1
a^4 + b^4 + c^4 + 4 * 1/4 = 1
a^4 + b^4 + c^4 = 0

po, absurdo.. rs rs! axo q errei alguma continha.. mas eh por ai!
soh conferir as coisas.. espero ter ajudado!
abraços,
Salhab


 Oh só galera, me pareceu fácil, mas não estou enxergando alguma coisa, e 
 empaquei nesta questão. 
 
 Se a+b+c=1 e a^2 + b^2 + c^2 =0, calcule a^4+b^4+c^4. Sei que a resposta é 
 1/2. Depois de muita manipulação algébrica, cheguei em uma expressão 
 envolvendo a soma pedida e o produto abc, deu -1/2 + 4abc, mas não consegui 
 tirar este produto dos dados. Ajudem aí. 
 
 Notação: x^y (x elevado a y) 
 
 _ 
 Com o MSN Spaces você divide seu blog, suas fotos, sua lista de música e 
 muito mais com seus amigos! Crie já o seu espaço online e com seus amigos! E 
 só entra no http://spaces.msn.com/ 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

[obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Fatoração

[Salhab \[ k4ss \]]

caraca.. nem me liguei nisso! rs rs.. eh verdade
por isso cheguei que a^4 + b^4 + c^4 = 0...
hmm.. axo q deve ser ao contrario:

a+b+c = 0
a^2 + b^2 + c^2 = 1

dai sim teriamos um resultado coerente!
abraços
Salhab

 Tem alguma coisa errada. Se a,b, c sao reais, entao a^2 + b^2 + c^2 =0 se, 
 e somente se, a=b=c=0. 
 Artur 
 
 -Mensagem original- 
 De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
 nome de Dymitri Cardoso Leão 
 Enviada em: terça-feira, 21 de fevereiro de 2006 16:34 
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
 Assunto: [obm-l] Fatoração 
 
 
 Oh só galera, me pareceu fácil, mas não estou enxergando alguma coisa, e 
 empaquei nesta questão. 
 
 Se a+b+c=1 e a^2 + b^2 + c^2 =0, calcule a^4+b^4+c^4. Sei que a resposta é 
 1/2. Depois de muita manipulação algébrica, cheguei em uma expressão 
 envolvendo a soma pedida e o produto abc, deu -1/2 + 4abc, mas não consegui 
 tirar este produto dos dados. Ajudem aí. 
 
 Notação: x^y (x elevado a y) 
 
 _ 
 Com o MSN Spaces você divide seu blog, suas fotos, sua lista de música e 
 muito mais com seus amigos! Crie já o seu espaço online e com seus amigos! E 
 
 só entra no http://spaces.msn.com/ 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

Re:[obm-l] exercicio trigonometria

[Salhab \[ k4ss \]]

vinicius, acabei de resolve-la tbem.. e vendo sua solucao, vejo que esqueci dos negativos.. rs! mas tudo bem..
sobre sua solucao.. eu nao concordo totalmente..
pq deste modo, vc garantiu que pra esses valores, f(0) = f(3pi), mas assim..
f(0) = f(3pi) nao implica que f(x) = f(x + 3pi), para qquer x.
entendeu?
nao garante que a funcao ira ser periodica...

aguardo sua opiniao,
um abraço,
Salhab

 falae André.. 
 
 f(x)=cosnx.sen5x/n 
 faça x=0 = f(x)=0 
 Bem, como o período é 3pi, f(3pi)=0 
 cos(n*3pi).sen(5*3pi/n)=0 
 ora, cos(n*3pi) nunca é 0 
 logo, sen(15pi/n)=0, e n pode ser - (1,-1,3,-3,5,-5,15,-15) 
 
 bem, caso queira propor os métodos que utilizou seria bom para podermos discuti-los. 
 
 abração 
 
 
 - 
 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re: [obm-l] exercicio trigonometria

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá, bem.. resolvi do seguinte modo:
se f(x) tem periodo 3pi, entao:
f(x) = f(x + 3pi)

cos(nx) sen(5x/n) = cos(nx + 3n*pi) sen(5x/n + 15pi/n)
cos(nx) sen(5x/n) = (-1)^n * cos(nx) sen (5x/n + 15pi/n)

cos(nx) [ sen(5x/n) + (-1)^(n+1) sen(5x/n + 15pi/n) ] = 0

Agora vamos analisar:
cos(nx) = 0, para todo X... nao existe N inteiro!

Logo: sen(5x/n) + (-1)^(n+1) sen(5x/n + 15pi/n) = 0, para todo x

Entao, devemos ter n múltiplo de 15, para que defasemos 5x/n de um multiplo de pi, buscando fazer a equacao valer para todo x.

n=1: sen(5x) + sen(5x+15pi) = sen(5x) - sen(5x) = 0 (OK!)
n=3: sen(5x/3) + sen(5x/3 + 5pi) = sen(5x/3) - sen(5x/3) = 0 (OK!)
n=5: sen(x) + sen(x+3pi) = sen(x) - sen(x) = 0 (OK!)
n=15: sen(x/3) + sen(x/3 + pi) = sen(x/3) - sen(x/3) = 0 (OK!)

Logo, os valores inteiros de N para que f(x) tenha periodo 3pi são 1, 3, 5 e 15.

Um abraço,
Salhab

 
 
 estou com um exercicio que ta me dando dor de cabeça, pois ja resolvi por 
 dois metodos,e cada metodo da uma resposta diferente,o exercicio é: 
 Encontrar todos os valores inteiro de n para f(x)=cosnx.sen5x/n, ter periodo 3pi; por favor se poder enviar a soluçao para ,eu agradeço. obrigado 
 
 - 
 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. 
 
 
 
 - 
 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re:[obm-l] Limites

[Salhab \[ k4ss \]]

Ólá,
bom, vc conhece L'Hopital?
Como ambos os limites são do tipo 0/0, basta aplicar L'Hopital para resolve-los.

1) Lim(x-2) 1/2 * (9 + 2x)^(-1/2) * 2 / [1/3 * x^(-2/3)]
agora é só terminar que da a resposta...
para o segundo é identico..
na hora de derivar, não esquece da regra da cadeia!

abraços,
Salhab



 lim(x--2) ((5x-2)^1/3-2)/((x-1)^1/2-1) R:5/6 
 
 lim(x--8)((9+2x)^1/2-5)/(x^1/3-2) R:12/5 
 
 
 - 
 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re:[obm-l] duvida(raizes primitivas)!!!

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
gostaria de saber o que são raizes primitivas.
Um abraço,
Salhab

 gostaria de saber se raizes primitivas incongruentes sao aquela que possuem a mesma base ex: 
 2eh raiz primitiva modulo5 logo 2^3 tb eh 
 7eh raiz primitiva modulo 5 logo 7^3 tb eh 
 
 pq tem um teorema que diz que existe exatamente fi(fi(n))raizes primitivas incongruentes onde fi eh a funçao de euler logo fi(fi(5))=2 e ja existe 4 raizes primitivas como mostrado no exemplo.Eu pensei que para cada raiz primitiva existe fi(fi(n))raizes primitivas logo raizes primitivas incongruentes eram raizes que sao potencias de mesma base.gostaria de saber se esta certo??? 
 
 
 
 - 
 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re:[obm-l] UMA DUVIDA E DOIS PROBLEMAS DA OBM

[Salhab \[ k4ss \]]

Na 2a. questão, só conclui que preciso provar que |f(p) - f(q) = |p - q|. Mas não consegui faze-lo. Isto é, quase não sai do lugar. :)

Já na 1a. questão, pensei o seguinte, para valer para todo X, então, tem que existir algum N, tal que em p^N(x) - xseja possivel colocar o 101 em evidencia. Entao, o termo independente tem que ser 0 ou um multiplo de 101.
Seja a_n o termo independente de p^n(x), então:
a_1 = 1
a_2 = 1 - 2*1 + 14*1 + 1*1 = 14

pois em (p(x))^n o unico termo sem variavel será o 1, entao, (p(x))^3 + 14(p(x))^2 - 2p(x) basta analisar para verificar o a_2.
Já para o a_3, teremos:

a_3 = 1 - 2*a_2 + 14*(a_2)^2 + (a_2)^3
.
.
.
a_n = 1 - 2*a_(n-1) + 14*(a_(n-1))^2 + (a_(n-1))^3

Agora, é necessário encontrar um valor de n para que a_n seja 0 ou um multiplo de 101.
Acredito que fazendo uma analise, é possível encontrar series para os termos de x^3, x^2 e x... mas acho que basta o de x, visto que p^N(x) - x é divisivel por 101. Logo, p^N(x) tem que ter o termo x com coeficiente(101*k + 1), onde k é inteiro.
Penso em algumas possibilidades... resolvendo a sequencia que encontrei, podemos testar o valor de n nas sequencias do x^3, x^2 e x.. e verificar a validade, o que provaria o pedido.
Também é possivel encontrar o valor para qquer uma das outras sequencias e apenas testa-lo nas outras.

Espero ter ajudado, gostaria de ideias para continuar.. mesmo que por outra linha de raciocinio.

Haaa.. mesmo que esquecam esse meu raciocinio, gostaria muito que alguem me ensina-se como resolver esse tipo de sequencia.. é um recorrencia de 1a. ordem, mas não linear.. nunca vi nada parecido.

Um abraço,
Salhab



 - Duvida: na solução do problema 6 da OBM - Nivel U - Segunda Fase, que aparece na Eureka 22 está escrito: "Temos ainda |a'(t)| é menor que ou igual a 2 para todo "t", donde o comprimento da curva "a" é menor ou igual a 4pi". Alguém poderia me explicar por que isso é válido. 
 
 - Já faz algum tempo que postei os seguintes problemas da obm. Como ainda não apareceu nenhuma solução estou postando-os novamente. 
 
 1- (OBM 1996) Seja p(x) o polinomio x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Defina p^n(x) como 
 p(p^(n -1)(x)). Mostre que existe um inteiro N tal que p^N(x) - x é divisivel por 101 para todos os inteiros x. 
 
 2- (OBM 2001 - Nivel U) Seja D o conjunto de pontos de R^2 com |p| menor que ou igual a 1. Seja f : D = D uma função sobrejetora tal que 
 |f(p) - f(q)| é menor que ou igual a |p - q| para quaisquer p, q de D. Prove que 
 |f(p) - f(q)| = |p - q|. 
 ( |(x,y)| = sqrt(x^2 + y^2) ) 
 
 - obs: Uma solução para o problema 2 encontra-se na Eureka 13. No entanto, é definida uma função f~ "composição de rotação com espelhamento que coincide com f nos pontos p, q, -p e -q". O que me garante a existência de tal função? Por quê ela é uma bijeção? Existe uma solução alternativa que não utilize tal conceito e nem teoria das medidas? 
 
 
 
 - 
 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re:[obm-l] PROBLEMAS INTERESSANTES!

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá, resolvi apenas a última:
Seja um triangulo qualquer com os ângulos A, B e C.
S = sen(A) + sen(B) + sen(C)
S = sen(A) + 2sen[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
S = sen(A) + 2sen((pi - A)/2]cos[(B-C)/2], já que A + B + C = pi

Seja A o ângulo comum nos triangulos, entao, sen(A) e sen[(pi-A)/2] também é igual para ambos. Deste modo, vamos considera-los como se fossem constantes.
S = K1 + K2 * cos[(B-C)/2]

O vamos da soma S depende da diferença dos angulos B e C.
Chamemos 2x = B - C, entao:
S(x) = K1 + K2 * cos(x)

Observando o circulo trigonometrico, vemos que quanto menor o valor do ângulo, maior o valor do cosseno. Deste modo, a soma se maximiza para o menor valor de x, isto é, a menor diferença entre os outros 2 ângulos.

Um abraço,
Marcelo



 Ok! Danilo e demais colegas! Vejam outros problemas, se não difíceis e 
 trabalhosos, são no mínimo interessantes...Destaque especial para a última 
 questão da brasileira de 1989 com direito à engenhosa resolução do olímpico 
 Fernando Lukas Miglorância... 
 
 Considere um cone circular reto cuja geratriz mede 3 cm e cujo o raio da 
 base é igual a 1 cm. Seja P um ponto fixo da circunferênciada da base e C a 
 curva, de menor comprimento, na superfície do cone que partindo de P, dá uma 
 única volta completa sobre o cone e retorna novamente para o ponto P. 
 Determine o comprimento de C. 
 
 Se a aresta lateral de uma pirâmide triangular regular mede 2 cm e o ângulo 
 entre as faces laterais é igual a 90 graus, encontre o comprimento do lado 
 da base. 
 
 Prove o seguinte: Se dois triângulos têm um ângulo comum, então a soma dos 
 senos dos ângulos internos será maior no triângulo onde a diferença entre os 
 dois outros ângulos for menor. 
 
 
 Abraços! 
 
 _ 
 Ligações gratuitas de PC-para-PC para qualquer lugar do Brasil e do mundo 
 com o MSN Messenger. Saiba mais em 
 http://imagine-msn.com/messenger/default2.aspx?locale=pt-br 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

Re:[obm-l] PROBLEMAS INTERESSANTES!

[Salhab \[ k4ss \]]

Na segunda questao, não consegui entender quais são os angulos entre as faces.
Do jeito que eu estava imaginando, não seria possivel ser 90 graus.

Espero uma ajuda,
Obrigado,
Marcelo

 Ok! Danilo e demais colegas! Vejam outros problemas, se não difíceis e 
 trabalhosos, são no mínimo interessantes...Destaque especial para a última 
 questão da brasileira de 1989 com direito à engenhosa resolução do olímpico 
 Fernando Lukas Miglorância... 
 
 Considere um cone circular reto cuja geratriz mede 3 cm e cujo o raio da 
 base é igual a 1 cm. Seja P um ponto fixo da circunferênciada da base e C a 
 curva, de menor comprimento, na superfície do cone que partindo de P, dá uma 
 única volta completa sobre o cone e retorna novamente para o ponto P. 
 Determine o comprimento de C. 
 
 Se a aresta lateral de uma pirâmide triangular regular mede 2 cm e o ângulo 
 entre as faces laterais é igual a 90 graus, encontre o comprimento do lado 
 da base. 
 
 Prove o seguinte: Se dois triângulos têm um ângulo comum, então a soma dos 
 senos dos ângulos internos será maior no triângulo onde a diferença entre os 
 dois outros ângulos for menor. 
 
 
 Abraços! 
 
 _ 
 Ligações gratuitas de PC-para-PC para qualquer lugar do Brasil e do mundo 
 com o MSN Messenger. Saiba mais em 
 http://imagine-msn.com/messenger/default2.aspx?locale=pt-br 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

Re:[obm-l] Geometria Plana - Cilindro / Cone

[Salhab \[ k4ss \]]

Questão 2)

Seja um cone de altura H e raio r...
seu volume total é: VT = 1/3 * pi*H*r^2

Para uma altura X, temos que o volume é:
V1 = 1/3 * pi * x * r'^2

onde r' pode ser obtido por semelhanca de triangulos e vale:
r' = r*x/H

Logo, V1 = 1/3 * pi * r^2 * x^2 * x / H^2

o volume do restante do cone é:
V2 = VT - V1 ...

Queremos que V1 = V2, para adicionarmos a mesma quantidade de agua e suco, logo:

V1 = VT - V1 ... 2V1 = VT

substituindo:

2 * 1/3 * pi * r^2 * x^3 / H^2 = 1/3 * pi * r^2 * H

2 * x^3 = H^3

x = H * 4^(1/3) / 2

Na questao, H = 8 ... logo:

x = 4 * 4^(1/3) .. 

Abraços,
Marcelo

 Pessoal...preciso de ajuda... 
 Não consigo nem imaginar como resolvem-se esses problemas, gostaria que me 
 ajudassem. Obrigado 
 
 1) Tem-se um cilindro reto, em que A e B são os centros das bases e C é um 
 ponto da intersecção da superficie com a base inferior do cilindro. Se D é o 
 ponto do segmento BC, cujas distancias a AC e AB são ambas iguais a "d", 
 obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total, em função de 
 "d". 
 R:d/2 
 
 
 2) Um copo tem a forma de um cone com altura 8cm e raio da base 3cm. 
 Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso 
 possível, a altura "x" atingida pelo primeiro liquido deve ser? 
 R: 4 raiz cubica de 4 (4 sqrt3 4) 
 
 
 

Re:[obm-l] duas questoes do concurso de Caxias

[Salhab \[ k4ss \]]

1) como o quadrilatero eh inscritivel, a soma de angulos opostos é igual pi.
Aplicando a lei dos cossenos no triangulo ABC, utilizando o angulo BÂD.
Entao: 49 = 36 + 25 - 2*5*6*cos(BÂD)
Aplicando novamente a lei dos cossenos no triangulo BDC, utilizando o angulo BCD.
Entao: 49 = 16 + x^2 - 2*4*x*cos(BCD).

Mas os angulos BÂD e BCD são opostos... entao sua soma vale pi.
Chamando BÂD de 'a' e BCD de 'b' temos:
a + b = pi
a = pi - b
cos(a) = cos(pi - b) = -cos(b)

Entao: 49 = 36 + 25 - 2*5*6*cos(a) [I] e 49 = 16 + x^2 - 2*4*x*cos(b)
Substituindo, temos: 49 = 16 + x^2 + 2*4*x*cos(a) [II]
Entao, de [I]:
cos(a) = 1/5
Logo, de [II]:
49 = 16 + x^2 + 2*4*x*1/5

Agora tem que resolver a eq de 2o. grau.

Salhab



 Pessoal, ando meio enferrujado mesmo e precisando de 
 ajuda. Não consegui resolver essas questoes: 
 1)ABCD é um quadrilátero inscritível, AB = 6, BC = 4, 
 BD = 7 e DA = 5. Quanto vale CD? 
 
 2)Qual é a equação da tangente comum às 
 circunferências: 
 x^2+y^2-6x-8x+21=0 e x^2+y^2=49? 
 
 Desde já obrigado! 
 
 __ 
 Do You Yahoo!? 
 Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around 
 http://mail.yahoo.com 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

Re:[obm-l] PROBABILIDADE

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
Não entendi a resposta da 2a. questao.
Para mim, deveria ser:

P(Xd) = [C(80,4).C(20,1)]/C(100,5) 
Para serem exatamente4 camisas da marca A.

No caso, caso fosse a resposta abaixo:
P(Xd) = [C(80,4).C(96,1)]/C(100,5) 
Entendo que seria para ser ao menos 4 camisas da marca A, podendo ser também 5.

[]z
Salhab

 a) O total de casos possíveis eh C(52,5). Como os 4 reis são extraídos, temos 48 casos favoráveis. Portanto P(Xa) = 48/C(52,5). 
 
 b) Devemos escolher 5 cartas dentre 48 possíveis. Portanto P(Xb) = C(48,5)/C(52,5). 
 
 c) Tome as seguintes decisões: 
 1- Escolha 1 rei 
 2 - Escolha 4 dentre as cartas restantes 
 Portanto P(Xc) = [C(4,1).C(51,4)]/C(52,5) 
 
 d) Tome as seguintes decisões: 
 1- Escolha 4 dentre as 80 camisas da marca A 
 2 - Escolha 1 dentre as camisas restantes 
 Portanto P(Xd) = [C(80,4).C(96,1)]/C(100,5) 
 
 []s 
 
 De um baralho de 52 cartas, 5 são extraídas ao acaso, sem reposicao. Qual a probabilidade de : 
  a)sairem os 4 reis 
  b)nao sair nenhum rei 
  c)sair ao menos um rei 
  
  Em um loja existem 100 camisas, sendo 80 da marca A. Se 5 camisas forem escolhidas ao acaso, sem reposicao, qual a probabilidade de 4 serem da marca A? 
 
 
 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. 
 

Re:[obm-l] trigo

[Salhab \[ k4ss \]]

bom, cos (261) = - cos (81) = - cos (90 - 9) = - sen(9)

sen(18) = sen(2*9) = 2*sen(9)*cos(9)

Dos triangulos, sabe-se que cos(36) = (sqrt(5)+1)/4

sen(36) = sen(2*18) = 2sen(18)cos(18) = 4 sen(9) sqrt[1-sen(9)^2] [1 - 2sen(9)^2]
sqrt[ 1 - cos(36)^2 ] = 2 sen(9) sqrt[1 - sen(9)^2] [1 - 2sen(9)^2]
1 - cos(36)^2 = 4 sen(9)^2 [1 - sen(9)^2] [1 - 2sen(9)^2 ]^2
1 - cos(36)^2 = 4 sen(9)^2 [1 - sen(9)^2] [1 - 4sen(9)^2 + 4sen(9)^4]

sen(9) = x
1 - cos(36)^2 = a

a = 4 x^2 [1 - x^2] [1 - 4x^2 + 4x^4]
a = 4 x^2 [1 - 4x^2 + 4x^4 - x^2 + 4x^4 - 4x^6]
a = 4 x^2 [1 - 5x^2 + 8x^4 - 4x^6]
a = 4x^2 - 20x^4 + 32x^6 - 16x^8

Achando as raizes, voce encontra o valor de sen(9)...
porem, nao encontrei um metodo facil de achar as raizes.

vlw

salhab

 bom dia gente, 
 
 como eu faço pra calcular o cos de 261º? 
 
 obrigado 
 
 _ 
 MSN Messenger: converse online com seus amigos . 
 http://messenger.msn.com.br 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 =