[obm-l] produtório de cossenos
Oi pessoal, alguém poderia me ajudar na seguinte questão. cos(a) . cos(2a) . cos(3a) . ... . cos(na) Obrigado, Vanderlei
[obm-l] questão do Ita 1973
Pessoal, estou faz algum tempo em uma questão, mas só encontro uma reposta diferente das alternativas. Alguém poderia ajudar? *A base AB, de uma folha de papel triangular que está sobre uma mesa, mede 12 cm. O papel é dobrado levantando-se sua base, de modo que a dobra fique paralela à mesma. A área da parte do triângulo que fica visível após o papel ter sido dobrado, vale 0,30 da área do triângulo ABC. O comprimento da dobra vale: **a) 9,6 cm. b) **9,4 cm. c) 10 cm. d) **8 cm. e) n.d.a.* Obrigado, Vanderlei
Re: [obm-l] Livro de Geometria
Oi Nhampari, como faço para comprar livros da amazon? Obrigado, Vanderlei 2009/6/8 Nhampari Midori barz...@dglnet.com.br Olá colegas da Lista OBM A Springer lançou um excelente livrinho de geometria plana: Topics in nElementary Geometry de O. Bottema. A primeira edição data de 1944 e o autor o escreveu durante a ocupação nazista de seu país, a Holanda. Está disponível na amazon. Recomento Nhampari.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão do Ita 1973
Pois é Rafael, a minha também...aproximadamente 9,28, não sei se confere com a sua. Em 09/06/09, Rafael Ando rafael.a...@gmail.com escreveu: Não poderia ser e) n.d.a.? Eu não sei se entendi direito a questão, mas a minha resposta deu irracional... Pra mim seria (e) mesmo. 2009/6/9 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Pessoal, estou faz algum tempo em uma questão, mas só encontro uma reposta diferente das alternativas. Alguém poderia ajudar? *A base AB, de uma folha de papel triangular que está sobre uma mesa, mede 12 cm. O papel é dobrado levantando-se sua base, de modo que a dobra fique paralela à mesma. A área da parte do triângulo que fica visível após o papel ter sido dobrado, vale 0,30 da área do triângulo ABC. O comprimento da dobra vale: * *a) 9,6 cm. b) **9,4 cm. c) *10 cm. d) *8 cm. e) *n.d.a. Obrigado, Vanderlei -- Rafael
[obm-l] questão antiga do IME
Um quadrilátero inscritível e circunscritível tem um lado igual a 5 metros, área de 6sqtr5 metros quadrados e diagonais inversamente proporcionais a 9 e 3. Calcule os outros lados do quadrilátero. Obrigado. sqrt5 = raiz quadrada de 5
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações modula res
Prezado Paulo... A intersecção das quatro desiguadades gera a área onde as soluções e encontram, mas não podemos nos esquecer das igualdades em si. Não são todos os pares desta região que são soluções do sistema. Um abraço, Vanderlei 2009/5/14 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Vanderlei e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nao sei se vou conseguir atender as suas expectativas ... Pelo que entendi, voce quer reduzir o espaco das solucoes. Supondo que voce esta pensando em x e y como numeros reais, as conhecidas propriedades entre modulos | A - B | = | B - A ) | A | + | B | = |A + B| nos permitem, a principio, escrever : |x+y|+|1-x| = 6 = |x+y+1-x| implica |y+1| = 6 implica -7 = y = 5 |x+y+1|+|1-y| = 4 = |x+y+1+1-y| implica |x+2| = 4 implica -6 = x = 2 ou seja, o espaco das solucoes restringe-se ao quadradinho definido pelas duas inequacoes simultaneas acima. Isso, em si, ja e uma restricao importante. Resta portanto apenas descobrir quais pares (x,y) interiores a este quadradinho nos interessam. Para ver como e possivel discrimina-los, considere que : |x+y| + |1-x| = |x+y| + |x-1| = 6 = |2x+y-1| = -6 = 2x+y-1 = 6 = -2x-5 = y = -2x + 7 |x+y+1| + |1-y| = |x+y+1| + |y-1| = 4 = |x+2y| = -4 = x+2y = 4 = -x/2 - 2 = y = -x/2 + 2 A interseccao entre essas 4 inequacoes simultaneas e a solucao. Um Abraco a todos ! PSR, 51405091430 2009/5/14 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br: Bom dia pessoal..será que alguém consegue resolver sem analisar todos os casos? |x + y| + |1 - x| = 6 e |x + y + 1| + |1 - y| = 4 Eu fiz analisando todas as possibilidades de sinais, mas é muito trabalhoso. obrigado! Vanderlei = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações modulares
não, mas se vc conhecer uma solução via gráficos, manda bala! 2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Vandelei, Você já estudou gráficos de planos no R3, por exemplo ? Nehab Vandelei Nemitz escreveu: Bom dia pessoal..será que alguém consegue resolver sem analisar todos os casos? *|x + y| + |1 - x| = 6 e |x + y + 1| + |1 - y| = 4* ** Eu fiz analisando todas as possibilidades de sinais, mas é muito trabalhoso. obrigado! Vanderlei
[obm-l] essa tá difícil!!!
Os números a, b e c são reais não negativos e p e q são inteiros positivos distintos. Prove que se: a^p + b^p = c^p e a^q + b^q = c^q, então a = 0 ou b = 0. Um abraço, Vanderlei
[obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem: mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n Obrigado, Vanderlei 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Fala Vanderlei, como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então: n = p1^a1 . p2^a2 pk^(a_k) vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos. entao: p1^a1 n, p2^a2 n, ..., pk^(a_k) n e todos distintos.. logo, todos eles estão em (n-1)! desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um múltiplo de n. falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo.. neste caso, p^(a-1) n, logo, ele está em (n-1)! e também temos p n, logo, ele tbem está em (n-1)! mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2) n = p^2... vamos ver: p n ... então p está em (n-1)! mas veja que 2p p^2 para p2, logo: 2p n, logo 2p também está em (n-1)! logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p2 (por isso temos n4) espero ter ajudado, abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? ** *Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n.* ** Obrigado Vanderlei
[obm-l] demonstração
Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? ** *Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n.* ** Obrigado Vanderlei
Re: [obm-l] combinatoria chico nery 69
Ops, uma correção na minha solução, a permutação de 5 elementos com 3 repetições é igual a 20 e não 10. Assim, temos 129 . 3 . 20 = 7200. Descontando os 720 ficamos com 6480. Vanderlei Em 20/09/08, Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Hermann, você pode escolher os três algarismos diferentes de C10,3 = 120, onde Cn,p é o número de combinações de n elementos, tomados p a p. Depois, basta escolher qual deles aparecerá três vezes e permutar, ou seja, teremos 120 . 3 . P5, 3 = 360 . 10 = 3600 números, onde P5,3 é o número de permutações de 5 elementos com 3 repetições. Mas nestes estão incluídos aqueles que iniciam por zero e portanto, devemos descontá-los. Se o número inicia por zero, temos que escolher outros dois números de C9,2 = 36 maneiras diferentes. Se o zero for único, teremos 2 . P4,3 = 8 possibilidades e se o zero aparecer três vezes, teremos P4, 2 = 12 possibilidades. Assim, devemos desconsiderar 36 . (8 + 12) = 720 números de 3600, ou seja, restaram finalmente 3600 - 720 = 2880. Acho que é isso. Se não for, poste outra mensagem que pensamos melhor na solução. Vanderlei Em 19/09/08, Hermann [EMAIL PROTECTED] escreveu: Senhores estou apanhando, combinatória realmente..., gostaria de outro auxílio. Obrigado Quantos são os números de 5 algarismos que têm três de seus algarismos iguais e os outros algarismos diferentes entre si e diferente dos três algarismos iguais? Abraços Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria chico nery 69
Hermann, você pode escolher os três algarismos diferentes de C10,3 = 120, onde Cn,p é o número de combinações de n elementos, tomados p a p. Depois, basta escolher qual deles aparecerá três vezes e permutar, ou seja, teremos 120 . 3 . P5, 3 = 360 . 10 = 3600 números, onde P5,3 é o número de permutações de 5 elementos com 3 repetições. Mas nestes estão incluídos aqueles que iniciam por zero e portanto, devemos descontá-los. Se o número inicia por zero, temos que escolher outros dois números de C9,2 = 36 maneiras diferentes. Se o zero for único, teremos 2 . P4,3 = 8 possibilidades e se o zero aparecer três vezes, teremos P4, 2 = 12 possibilidades. Assim, devemos desconsiderar 36 . (8 + 12) = 720 números de 3600, ou seja, restaram finalmente 3600 - 720 = 2880. Acho que é isso. Se não for, poste outra mensagem que pensamos melhor na solução. Vanderlei Em 19/09/08, Hermann [EMAIL PROTECTED] escreveu: Senhores estou apanhando, combinatória realmente..., gostaria de outro auxílio. Obrigado Quantos são os números de 5 algarismos que têm três de seus algarismos iguais e os outros algarismos diferentes entre si e diferente dos três algarismos iguais? Abraços Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] divisibilidade
Como provo que 8 não divide 3^a + 3^b, como a e b inteiros? Vanderlei
Re: [obm-l] equação!
Valeu Rafael, bela solução! Vanderlei Em 13/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: bom, o lado esquerdo eh impar, entao t eh impar. Seja t = 2k+1. Entao temos 3^m + 3^n = 4k(k+1). O lado direito eh multiplo de 8. Como 3^m eh congruente a 1 ou 3 mod 8, o lado esquerdo eh congruente a 2,4 ou 6 mod 8, entao o lado esquerdo nao eh multiplo de 8 e a equacao nao tem solucao inteira. On 8/12/08, Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, estou enroscado com uma questão: Prove que a equação 3^m + 3^n + 1 = t^2 não tem solução inteira. Valeu, Vanderlei -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] equação!
Olá pessoal, estou enroscado com uma questão: Prove que a equação 3^m + 3^n + 1 = t^2 não tem solução inteira. Valeu, Vanderlei
[obm-l] álgebra
Olá pessoal, estou enroscado com uma questão: Prove que a equação 3^m + 3^n + 1 = t^2 não tem solução inteira. Valeu, Vanderlei
[obm-l] triângulo
Olá pessoal! Só consegui resolver o problema a seguir utilizando trigonometria! Será que alguém conhece uma solução mais interessante, mais geométrica? Um triângulo ABC é tal que AB = AC. No lado AC, toma-se um ponto D tal que AD = BC. Se o ângulo A mede 20 graus, calcule a medida do ângulo BDC. Obrigado! Vanderlei
Re: [obm-l] RE: [obm-l] triângulo
Parabéns sou em quem precisa lhe dar! Muito elegante e simples a sua saída! Eu utilizei várias relações trigonométricas para obter os mesmos 30 graus! Muito obrigado, Vanderlei Em 22/07/08, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oá Vandelei , 1) Esta questão é interessante .Seja O o circuncentro do triângulo , trace a mediatriz partindo de A .Tome um ponto F( interno ao triangulo) da mediatriz , tal que o triângulo BFC seja equilátero( o ponto F está abaixo de O) . Prolongue BO até encontrar o lado AC em S. Observe agora que os triângulos AOS e BOF são congruentes e consequentemente teremos AS = BF = BC , onde o ponto S é o seu ponto D. Logo o ângulo BDC é igual a 30 graus . Abraços Carlos Victor P.S : Solução trigonométrica é também uma solução interessante , portanto se você conseguiu uma solução trigonométrica , parabéns . ''-- Mensagem Original -- ''Date: Tue, 22 Jul 2008 07:56:40 -0300 ''From: Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: [obm-l] triângulo ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Olá pessoal! Só consegui resolver o problema a seguir utilizando ''trigonometria! Será que alguém conhece uma solução mais interessante, mais ''geométrica? '' ''Um triângulo ABC é tal que AB = AC. No lado AC, toma-se um ponto D tal que ''AD = BC. Se o ângulo A mede 20 graus, calcule a medida do ângulo BDC. '' ''Obrigado! '' ''Vanderlei = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
