Re: [obm-l] Trignometria
Encontrei uma solução, só que ela é um tanto trabalhosa, bom, aqui vai meu chute, haja braço... tg2x * tg3x=(sen(3x)*sen(2x))/(cos(3x)cos(2x), só que: 3x=(5x+x)/2 ; 2x=(5x-x)/2 Agora podemos aplicar as fórmulas de fatoração, e teremos: 2*tg2x*tg3x=(2cosx-2cos(5x))/(cosx+cos(5x)) ; com isso (tg x)^(2)+2*tg2x*tg3x=1 , (tg x)^2=(1-(cos x)^2)/(cos x)^(2), voltando na expressão de cima, e fazendo cos x=a , e cos 5x=b , e fazendo todas as contas... 3ab +a(b^2)+a-b=0, fazendo cos 5x=cos(3x+2x), e lembrando-se que cos x=a ficaremos com: cos 5x=a(4a^4 -(4sen^2(x)+3)a^2 -(3sen^2(x)+8sen^4(x))) Isolando o b de um lado, substituindo cos 5x ficaremos com as equações: i)cos^2(x)+3cos(x)-1=0 ou ii)(cos 5x)=0 com cos x não-nulo como cos x não é 1, nem -1, e as soluções de i, e ii são diferentes, teremos 6 soluções. Ufa, agora eu posso marcar a letra b, e torcer pra ta certo. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trignometria
Minha solução tá errada, porque resolvendo as equações e voltando na expressão, eles não conferem, eu vou conferir as contas. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Nenhum nº qudrado perfeito termina em 3, logo o 3 deverá ser sempre o 1ºalg.
da esq. p/ a dir.;já o seis é mais complicado.
os nº serão da forma: 30000600...00=3*10^(f+2q+1)+6*10^(2q)
onde onde f é o nºde zeros entre o 3 e o 6 e 2q é o nºde zeros depois do 6,
f e q sendo inteiros não-negativos.
Agora vamos mostrar que f só poderá ser 0(admitindo q=0):
3*10^(f+1)+6=30*10^(f)+6=k^2 ; k inteiro positivo
k^2=6*(5*10^(f)+1) :. 6*a=k*k ; k=a=6 ou (a=6c e 6c=q^2) {a,c,q}C(Z*+),
c=1 :. 5*10^(n)+1=6*c :. c=(5*10^(f)+1)/6
6*c deverá ser múltiplo de 6, logo deverá ser múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo
tempo, assim a soma dos alg. de c deve ser múltiplo de 3(o que é fácil de
observar que sempre ocorre) e c deverá ser par.
temos duas hipóteses, 1- n0 ou 2- n=0
1-se f0 então 6*c=50...001, isto é 6*c nunca será par.
2-se f=0 então c=6, que é par CONCLUSÃO: 6*c=6
Se c=1 então a=6=k, logo 3*10^(f+1)+6=36 = f=0
Logo o conjunto pedido será o dos números da forma:
36000...0; com nº par de zeros, ou: 3,6*10^(2q+1)
Em 5 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Vou mais longe:
Os candidatos são os quadrados da forma:
(3*10^m + A)*10^(2n)
onde A pertence a {1,4,6} e m e n são inteiros não negativos.
Até agora, só encontrei números do tipo:
36, 3600, 36, ..., 36*10^(2n), ...
mas não consegui provar que são os únicos.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
To:
Sent: Tuesday, August 05, 2003 1:42 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Retorno do Abertos da lista?
Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo
3*10^k+6*10^l?
O tres nao pode vir no final.Talvez
modulo...Depois eu penso...
--- Claudio Buffara
escreveu: Caros
colegas:
Aqui vao dois problemas que ainda estao em
aberto na lista. O primeiro foi
enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da
olimpiada iraniana, se nao me
engano.
1) Determinar o conjunto de números inteiros
positivos que satisfazem à duas
condições: (i) todo número possui exatamente
dois algarismos não-nulos,
sendo um deles o três(3), (ii) todo número é
quadrado perfeito.
2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2
tal que ao se permutar os
algarismos de sua representacao decimal
obtem-se uma outra potencia de 2.
Esse segundo tem uma solucao aparentemente
simples, mas esta solucao exclui
o caso de potencias de 2 com algarismos 0
internos (ou seja, numeros do
tipo abcdefg).
Um abraco,
Claudio.
___
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Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria procurasse erros nela, ou tentasse simplificá-la. Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg. da esq. p/ dir. Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma 300...0n00...0 ou W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras não-negativas, onde n só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9 Provemos agora que p só pode ser zero. W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo: q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :. q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais q+n^0,5=3*10^t q+n^0,5=10^s q=3*10^t+n^0,5 temos dois casos: t=s :. e outs :. e ; ou q-n^0,5=10^sq-n^0,5=3*10^t q=10^s+n^0,5 a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n ou b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo, pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0 Desse jeito q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores possíveis de n faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa. b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0 Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior, logo a hipótese b também é falsa Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve haver zeros, com isso W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6 Logo a resposta será: 3600...0, onde o nº de zeros é par, ou 3,6*10^(2q+1); q=0 e q inteiro --- Claudio Buffara escreveu: Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] CUCA LEGAL
Sugestões: No problema do dicionário, a 1ª página do primeiro dicionário estará antes da última do segundo. No problema do caramujo, observe que se no dia n, ele subiu n metros após ter escorregado, significa que antes de escorregar ele estava no marco (n+2) metros. Em 4 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Dois dicionários estão ordenadamente na estante da biblioteca, sendo o primeiro com 900 páginas e o segundo com 600. Quantas páginas impressas estão entre a primeira página do primeiro dicionário e a primeira do segundo? Resp: 600 ou 599 páginas O problema talvez não esteja contando as capas, o que somaria mais 2 ao resultado final, mas creio que a resposta seja 899 paginas impressas, caso as capas sejam contadas, 901. Um caramujo resolve subir um muro de 12 metros de altura da seguinte maneira: durante o dia ele sobe 3 metros e durante a noite desce 2 metros. Sabendo-se que iniciou a subida da base, ao amanhecer do primeiro dia, quantos dias gastará o caramujo para chegar ao topo? Resp: 09 dias e meio, 10 dias, no decorrer do décimo dia, etc..? Se durante o dia ele sobe 3, e desce 2 à noite, ele sobe 1 metro em um dia inteiro. Logo, ele levou 12 dias para subir o muro. Espero estar certo hehe Abraços! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] #Walter#_Exercícios_Simples_ de_Vestibulares
No primeiro problema não vejo nada de errado, para mim a resposta só seria 1/1500 caso não pudesse haver letras repetidas, pois assim 1/(5*5*5*4*3)=1/1500. No segundo: nº total de eventos favoráveis=8+10-7=11 logo, p(A)=11/20 (Há 7 números que são ímpares e primos simultaneamente, por isso devemos subtrair 7 do total, poi estariam sendo contados duas vezes) Em 4 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 01. O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria, apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0,1,2,3,4) e quatro letras (x,y,z,w). O segredo do cofre é uma seqüencia de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa numa única tentativa, ao acaso, abrir o cofre? Eu estou resolvendo assim: __ __ __ * __ __ Algarismos Letras Probabilidades individuais: 1/5 * 1/5 * 1/5 * 1/4 * 1/4 = 1/2000 Porém o problema indica como solução 1/1500 . Onde estou interpretando / errando o problema? === 02. Um número inteiro é escolhido ao acaso entre aqueles pertencentes ao conjunto U = (2, 3, 4, ..., 19, 20, 21). A probabilidade do número escolhido ser um número primo ou um número ímpar é...? Este eu estou resolvendo desta maneira: O conjunto U dado no problema, tem 20 números (de 2 a 21). Eventos favoráveis para números PRIMOS: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 = 8 eventos; Eventos favoráveis para números ÍMPARES: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 = 20/2 = 10 eventos. Logo, eu assinalaria a alternativa que exprime 18/20 como solução, entretanto, a solução CORRETA, indica 11/20. Novamente, onde estou interpretando / errando o meu problema? Tem algo a ver com os números repetidos, ou qualquer coisa do tipo? Por enquanto é isso. Obrigado desde já! -- Walter Gongora Jr [EMAIL PROTECTED] ** [EMAIL PROTECTED] #8368573 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Olá, Cláudio:
O problema, é que ao copiar a solução do bloco de notas, e colá-la na
mensagem, ela embaralhou toda, vê se assim fica melhor, as correções foram
feitas diretamente na mensagem original:
Em 7 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi, e_lema (qual o seu nome?):
Meus comentários estão ao longo da sua mensagem.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
To:
Sent: Wednesday, August 06, 2003 8:21 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria
procurasse
erros nela, ou tentasse simplificá-la.
Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg.
da
esq. p/ dir.
Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma
300...0n00...0
ou
W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras
não-negativas, onde n
só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9
Até aqui, estou 100% de acordo.
De fato, numa mensagem anterior você provou que o único quadrado com n = 6
é
o 36.
Além disso, usando congruência mod 9, também eliminamos o 5 e o 9, da
seguinte forma:
Os quadrados (mod 9) são: 0, 1, 4 e 7.
Como W é quadrado e W == 3+n (mod 9), teremos que:
3+n == 0, 1, 4 ou 7 (mod 9) ==
n == 6, 7, 1 ou 4 (mod 9) ==
(dado que n pertence a {1,4,5,6,9}) n só pode ser 1, 4 ou 6 ==
(em virtude da sua análise do caso n = 6) n só pode ser 1 ou 4.
Resumindo, o problema é provar que não existem quadrados da forma:
3*10^p + 1 e 3*10^p + 4.
Provemos agora que p só pode ser zero.
W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo:
q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :.
Você deveria ter escolhido outra letra que não q, pois esta já estava
sendo usada pra representar o número de zeros à direita (em 10^(2q)), mas
tudo bem... foi mal, nem vi.
O problema começa a partir daqui, onde você introduz expoentes
possivelmente
irracionais (o que é um pouco inusitado para este problema, mas pode até
dar
certo no final) e a formatação/tabulação está bem difícil de entenderSe
você puder dar uma limpada no argumento e na formatação eu agradeceria.
q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais
temos dois casos possíveis:
t=sq+n^0,5=3*10^t e q-n^0,5=10^s sistema 1
ou
ts q+n^0,5=10^s e q-n^0,5=3*10^t sistema 2
Logo, só temos 2 valores possíveis para q:
t=s a-)q=3*10^t+n^0,5 ou ; ts b-)q=10^s+n^0,5
a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n
b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n
a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo,
pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0
Desse jeito
q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n
q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores
possíveis de n
faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa.
b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0
Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior,
logo a
hipótese b também é falsa
Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve
haver
zeros, com isso
W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6
Logo a resposta será:
3600...0, onde o nº de zeros é par, ou 3,6*10^(2q+1); q=0 e q inteiro
Caso não tenha entendido, volte aos sistemas 1 e 2, e resolvá-os
admitindo f=1 ou f=4, só que isso dá uma solução um pouco grande...
Um abraço,
Eduardo
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Re: [obm-l] =?Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos?=
Não. O enunciado afirma que os números possuem somente dois algs. não-nulos. Em 5 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Essa primeira questão pode conte repetições, como por exemplo 33600??? -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re:[obm-l] Algumas duvidas
A pergunta 1: Acredito que a resposta seja 0, pois: nºde eventos em q pelo menos um algarismo está no lugar certo: Comb.9elementos,1a1+Comb.9,2a2+...Comb.9,9a9=2^9-Comb.9,0a0=511; nºtotal de eventos: 9! :. Logo, a chance de nenhum dos alg. estar no lugar certo será:1-(511/9!)=(100-0,1408)%=99,86%=P(A), Podemos considerar P(A), como evento certo. Nota: Só poderíamos encontrar pelo menos um alg. no lugar certo, para o caso em que no lugar de 123456789, termos: 1 ou 12 ou 123 ou 1234 , nestes casos P(A)50), é claro, se o meu raciocínio estiver certo. Em 4 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Usando ponto: (4-.4)/.4+4! = 3.6/.4 + 24 = 9 + 24 = 33 http://www.dwheeler.com/fourfours/ -Auggy - Original Message - From: Rafael Ando To: Sent: Saturday, August 02, 2003 11:54 PM Subject: Re:[obm-l] Algumas duvidas bom vlw, essa eh a solução q o oswaldo mandou tb, e talvez seja a unica... na verdade, no livro naum se fala nada sobre sobre naum poder usar sqrt, eh q o meu professor disse q naum podia... bah esquece isso, deve poder usar sim (função teto, por outro lado, acho q naum pode usar mesmo embora a solução q me mandaram teto(sqrt(4+4*4^4)) esteja correta)) From: dudasta Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l Subject: Re:[obm-l] Algumas duvidas Date: Sat, 2 Aug 2003 23:38:03 -0300 Olá! Acho que você é colega novo na lista, não lembro de já ter lido alguma mensagem sua. Se for, seja muito bem vindo! Quando eu estava no segundo grau, tinha um amigo que junto comigo pensou neste problema (importantíssimo!). Na época, lembro que nós permitimos que se usasse o ponto, daí podíamos representar o número .4 = 2/5. Este caso do 33, lembro que foi um dos que deu mais trabalho. O que eu encontrei foi o seguinte: [ sqrt(sqrt(sqrt(4^(4! + sqrt(4) ] / sqrt(4) = [ (4^24)^(1/8) + 2 ] / 2 = [ 4^3 + 2 ] / 2 = [ 64 + 2 ] / 2 = 33 Este é, quase sem dúvida, o problema de matemática mais inútil que alguém já inventou. Estou bastante convencido disso... ainda não pude demonstrar, mas é questão de tempo. ;) Abração, Duda. PS. Agora que li que não pode usar radiciação com índice oculta, ou seja, não se pode usar a operação raiz quadrada, que invalida essa minha solução. Deixa para lá, envio ela mesmo assim para te dar as boas vindas... De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Cópia: Data:Sat, 02 Aug 2003 15:16:48 -0300 Assunto:[obm-l] Algumas duvidas Ola pessoal... tenho algumas duvidas e queria saber se vcs poderiam me ajudar... 1. Seja n alguma permutação de 123456789. Diz-se que um algarismo está no lugar certo se o 1 for o 1° digito, o 2 no 2°, 3 no 3°, etc. Espera-se que quantos algarismos estejam no lugar certo? 2. se vcs jah leram o homem que calculava, devem conhecer um problema em que, usando quatro digitos 4 se escreve todos os numeros de 0 a 100. Por exemplo, 0 = 44 - 44; 1 = 44/44, 2 = 4/4 + 4/4, etc Dizem q eh possível escrever todos ate o 100, mas para tanto tem q se fazer uso do fatorial (4!=24). Naum consigo fazer o 33; alguem pode me ajudar? (vale usar soma, subtração, frações, multiplicação, potência, parenteses, fatorial e radiciação desde q o índice naum esteja oculto). _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
