Re: [obm-l] Álgebra
Ola Alan,
Alguns livros costumam usar notações diferentes para denotar o mesmo
conjunto, por exemplo o nucleo de uma transfomação linear T pode ser
denotado por N(T) ou Ker(T). No caso anotação que vc perguntou alguns
denotam
p(x) = {p(x)f(x)} isto é o ideal gerado pelo polinomio P(x).
Abs. Rivaldo
Olá Alan!
Realmente parece confuso o problema. Seria o que está abaixo?
Calcular barra( 1/(2x+1) ) no domínio do conjunto Z_5[X]/x^3-2 ???
Essa notação barra só conheço como a negação na Álgebra de Boole ou
como o conjugado de um número complexo. Já esse Z_k[X] nunca vi (acho
que apenas Z_k poderia ser escrito não? Pela definição que você
colocou onde Z_k = {0, 1, 2, ..., k-1} mas acho que falta a restrição
k = 1). Já a notação apenas conheço na Álgebra de Vetores como o
produto escalar. Sejam v,w vetores e v,w seu produto escalar ou
interno dado por v1*w1 + v2*w2 + ... + vn*wn, n = 1.
Se você puder confirmar como o livro que você está usando define essas
notações seria mais fácil para entender o problema.
Abraços!
2008/4/20 Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED]:
Olá amigos da lista,
estou estudando alguns exercícios de álgebra e tenho
uma dúvida no seguinte exercício.
* Calcule
1Z_5 [X]
em
2X + 1X^3 - 2
___ ___ ___ _
Notação: 1 = 1 barra e Z_k = { 0, 1,... k-1 }
Não entendi a notação . Alguém me ajuda, por favor?
Obrigado,
--
Henrique
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Re: [obm-l] ANA
Defina os eventos:
X = { Ana não se atrasou}
Y= { Ana escolheu o trajeto B}
Queremos então calcular a probabilidade condicional P(Y|X)
Pelo diagrama da arvore ou usando o teorema de Bayes essa probabilidade é
dada por
P(Y|X)= P(Y interseção X)/P(X)= (0,4)(0,7)/[(0,6)(0,6)+ (0,4)(0,7)]
= 7/16
Abs. Rivaldo
ALGUÉM PODE RESOLVER ESSA, POR FAVOR:
(ESAF) Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode
escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher
o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana
escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As
probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente,
0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela
ter escolhido o trajeto B é igual a:
a) 6/25. b) 6/13. c) 7/13.d) 7/25.e) 7/16.
GABARITO LETRA E) 7/16
DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
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Re: [obm-l] off topic: exercicios analise real
Ola Hermann. Eu tenho centenas de exercicios resolvidos de analise mas não estão em arquivos que possam ser enviados via net. No futuro pretendo escrever um livro com esse material. Uma dica que pode te ajudar a resolver esses exercicios é estudar por outros livros do elon, tipo Curso de analise vol 2 , espaços metricos , topologia geral, etc... Estude os exemplos com bastante atenção, isso podera ser de grande ajuda na solução dos exercicios. Abs. Rivaldo Senhores, boa tarde, sei que é off-topic desculpem-me, mas, tá difícil de fazer sozinho, gostaria da ajuda do pessoal da lista. Assunto: exercícios resolvidos do livro de análise do Elon do pequeno ou do grande (volume 1). Sei fazer alguns, outros não sei nem por onde começar. Peço: se você possui alguns resolvidos e puder me ceder agradeço muito. meu e-mail:[EMAIL PROTECTED] Obrigado Hermann Cabri = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Olimpíadas
Ola Luiz, Um bom inicio seria pela coleção de revistas Eureka editados pela SBM que tem a vantagem de poder baixar de graça pela net. Se vc tiver sorte de encontrar algum livro publicado pela editora MIR sobre esse assunto em algum sebo seria muito bom. Abs. Rivaldo Olá pessoal!!! Tudo bem??? Vou preparar alguns alunos do Ensino Fundamental II (antigo Ensino Fundamental) para as Olimpíadas Brasileiras. Meu problema é: que livros utilizar? Alguém poderia me indicar alguns? Abraço para todos!!! Luiz. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
Certa vez vi uma prova da convergencia na revista professor de matematica mas não lembro qual foi o numero. Abs. Rivaldo pensei ter escrito n^p == n+ 1 mod p, desculpe. aproveitando, vc sabe de alguma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 1,3,4,7,11,18...) Dei uma prova de convergência feia a partir da sequência de lucas (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra) Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não prova a convergência da sequência seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões an/an-1converge para um limite L, então quando n-- infinito, an/an-1 -- L na verdade, no limite an/an-1 = L, como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + an-1)/an = 1+an-1/an, oq implica L = 1 + 1/L == L^2 - L - 1 = 0 == L = (1 +ou- 5^1/2)/2, desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria 1) Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 19:10:51 Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT On Nov 27, 2007 12:11 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo. Não vejo nenhum 1 extra na prova... De qual 1 você está falando? -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] off: Livro de Análise II do Elon
Oi Francisco. Eu tenho boa parte dos exercicios do livro de analise vol 2 do elon resolvidos e tenho um plano de um dia escrever um livro com esse material. Se alguem não publicar antes de mim, acho que vai ser muito util aos alunos de analise. Abs. Rivaldo Olá! Desde minha graduação (em matemática) que estudo análise pelos livros do Elon. Em particular o Curso de Análise - Vol. II . Este último possui uma infinidade de problemas. No entanto, até hoje há muitos e muitos exercícios que não consegui resolver. Assim, gostaria de saber se alguém aqui na lista conhece algum manual contendo soluções/sugestões para alguns problemas daquele livro. Agradeço desde já e peço desculpas pelo off, Francisco _ Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Imagem da união de dois conjuntos
A demonstração que conheço é a mesma feita pelo Neahab.
Abs.
Rivaldo
Olá Rivaldo,
Será que pode me apresentar uma prova (utilizando a injetividade)?
Abraços,
J. Renan
Em 23/08/07, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu:
Acho que o problema esta justamente em provar a inclusão oposta pois
so
é verdade quando f é injetora, desconheço alguma demonstração que não
precise usar a injetividade da função.
Abs.
Rivaldo
Olá a todos!
Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
(Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov Fomin (Introductory Real
Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).
Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade
em:
f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.
Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.
Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na demonstração,
não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE f(A
união B).
Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)} -
{f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa forma
f(x) pertence a f(A) e a f(B) - f(A inter B) = f(A) inter f(B)
Essa prova não é válida, já que encontrei contra-exemplos, mas não
consigo encontrar o erro (já que existem casos que A inter B = vazio e
f(A) inter f(B) não é vazio, casos em que f não é injetora). Uma coisa
me ocorreu enquanto escrevia, o problema foi não ter provado que f(A)
inter f(B) está contido em f(A inter B) ?
Agradeço qualquer ajuda,
Abraços,
J. Renan
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Re: [obm-l] Imagem da união de dois conjuntos
Acho que o problema esta justamente em provar a inclusão oposta pois so
é verdade quando f é injetora, desconheço alguma demonstração que não
precise usar a injetividade da função.
Abs.
Rivaldo
Olá a todos!
Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
(Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov Fomin (Introductory Real
Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).
Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade em:
f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.
Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.
Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na demonstração,
não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE f(A
união B).
Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)} -
{f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa forma
f(x) pertence a f(A) e a f(B) - f(A inter B) = f(A) inter f(B)
Essa prova não é válida, já que encontrei contra-exemplos, mas não
consigo encontrar o erro (já que existem casos que A inter B = vazio e
f(A) inter f(B) não é vazio, casos em que f não é injetora). Uma coisa
me ocorreu enquanto escrevia, o problema foi não ter provado que f(A)
inter f(B) está contido em f(A inter B) ?
Agradeço qualquer ajuda,
Abraços,
J. Renan
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Re: [obm-l] ajuda em complexo
Se fosse alfa 3/4 , então poderiamos tomar alfa = 0 por exemplo, mas para alfa = 0 a equação não admite 4 raizes distintas, tem alguma coisa errada. Abs. Rivaldo sabendo que zb=conjugado de z z*zb=modz^2 entao temos (z/modz)^2=a*(1+i) z/modz=cosc+isenc cos2c+isen2c=a(1+i) cos2c=sen2 c=a -1=a=1 c=pí/8+npi a=+-rq2/2 a melhor resposta e a letra a, a3/4 e diferente de 1/2. On 8/16/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe prof Nehab e galera.Quem puder ajudar eu agradeço, Considere Z^2 = alfa* Z(1+i)* z(conjugado de z),onde alfa eh um numero real.Determine alfa de modo que a equacao tenha 4 raizes distintas. alternativas a)alfa 3/4,alfa diferente 1/2 b) alfa 4/5 c) alfa diferente 1/2 d) alfa = -1,5 ou alfa =1,5 e) ALFA =2 galera não tenho gabarito,o q vcs puderem ajudar eu agradeco Atenciosamente Wellington Silva -- *Check Out the new free AIM(R) Mail*http://pr.atwola.com/promoclk/100122638x1081283466x1074645346/aol?redir=http%3A%2F%2Fwww%2Eaim%2Ecom%2Ffun%2Fmail%2F-- Unlimited storage and industry-leading spam and email virus protection. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Logica
Tome por exemplo x_n= (-1)^n , é limitada mas não converge pra 1. na verdade X_n é uma sequencia divergente pois possui 2 subsequencias que convergem pra limites distintos , a saber , 1 e -1. O fato de x_n ser limitada sem uma hipotese adicional e sem conhecer mais detalhes sobre a sequencia é insuficiente pra afirmar que a mesma sequer converge, e convergir pra 1 é mais improvavel ainda. Abs. Rivaldo Ola' Artur, a argumentacao a favor do 2o aluno e', basicamente, considerar-se verdade que ... x nao eh limite de x_n , que, escrito de um modo mais formal, e' exatamente o mesmo que limite de x_n != x Mas repare que so' podemos dizer que o tal limite e' igual ou diferente de x se ele (o limite) existir. As entidades aqui sao matematicas, e nao figuras de linguagem. Claro que na linguagem comum , e no contexto do dia a dia podemos dizer que algo que nao existe e' obviamente diferente do meu cachorro Rex, que existe. Mas, matematicamente, algo que nao existe nao e' igual nem diferente a qualquer coisa, pois se nao existe, nao pode ser comparado... []'s Rogerio Ponce Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? Abarcos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria de Corpos
Alguem da lista conhece algum livro sobre teoria de Galois que tenha apenas exercicios resolvidos? Ou algum livro que tenha uma quantidade grande de exemplos e exercicios resolvidos? Na net so encontrei listas de exercicios propostos. A editora Mir costumava publicar esse tipo de livro mas não sei se publicaram algum sobre teoria de Galois. Abs. Rivaldo. Prezado Matheus, Veja este livro: Galois Theory, Third Edition (Chapman Hall/Crc Mathematics) (Paperback) by Ian Stewart (Author) In the first part of this book, Chapters 1 to 15, we present a (fairly) modern version of Galois's ideas in the same setting that... (more) Key Phrases: Fundamental Theorem of Algebra, Natural Irrationalities, Cauchy's Theorem (more...) Benedito Freire - Original Message - From: Matheus bhv [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, June 11, 2007 10:59 PM Subject: [obm-l] Teoria de Corpos Eu estou estudando álgebra no livro do Otto, Teoria dos Corpos, mas estou achando ele muito difícil de aprender. Nós vamos usar as partes de extensões finitas, algébricas, separáveis e normais, ou seja, os capítulos 1,2,3 e 5 do livro do Otto. Alguém sabe qual é o livro mais fácil do mundo para aprender isso? Pode ser em inglês, não tem problema. Obrigado. _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Isometria
Mas não mostrou que T(b_n) vai cair fora de B.
Abs.
Rivaldo.
Como eu disse, T(x,y) = (x,y+1/2) eh apenas uma realizacao, ou seja,
apenas um exemplo de isometria que se encaixa no seu
contra-exemplo.
A minha demonstracao de fato prova que QUALQUER QUE SEJA A ISOMETRIA T:
B(0,1) - R^n,
se T(0) 0, entao existe r 1 tal que:
para todo b em B(0,1) com r |b| 1, as extremidades do segmento que
liga T(b) e T(-b) (e tem necessariamente T(0) como
ponto medio) nao pertencem a B(0,1).
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Fri, 18 May 2007 17:38:52 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, no meu contra exemplo em nenhum momento eu falei que
T(x,y) = (x,y+1/2). Existem um numero infinito de isometrias T:B-B,
Não se pode pegar uma em particular pra mostrar que meu contra exemplo
não
funciona. Pra fazer isso vc teria que mostrar que T (b_n) vai cair fora
de
B sem tomar um exemplo particular.
Abs.
Rivaldo.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir
que
T(0)=0.
Pode-se sim.
Suponha que T(0) = a 0.
Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio
tenha
comprimento inferior a 2 - eps.
(Se a 0, entao um tal eps 0 sempre pode ser escolhido, mas vai
depender da norma usada. Por exemplo, com a norma
euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro
em a
e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) 2 - eps, desde que eps |a|^2, pois
raiz(1 - |a|^2) 1 - |a|^2/2 1 - eps/2.)
Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
Mas:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(-b)| =
|b - (-b)| =
2|b| =
2 - eps ==
contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede
menos
que isso.
Logo, nao podemos ter a 0.
***
O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e
|b_n| = 1 - 1/(2n),
T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o
contradominio tambem eh B.
Se o enunciado falasse de uma isometria T:B - R^2, entao uma
realizacao
concreta do seu contra-exemplo seria:
T(x,y) = (x,y+1/2).
Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) =
(1-1/(2n),1/2),
cuja norma seria:
raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) 1, se n =
4.
***
Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
De fato, mais sofisticada do que a minha...
[]s,
Claudio.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) -
T(-b)|
==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**)
implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei
anteriormente,
no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh
necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em
B.
Abs.
Rivaldo
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 -
1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro
de
um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao
pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em
relacao
a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem
[obm-l] Treinando pra Olimpiada
Suponha que a equação de coeficientes reais X^3+cx+d=0, admita 3 raizes reais. Mostrar que uma das raizes dessa equação é dada pela formula x= (-3d/2c)-(M)raiz(L)/(6ci), onde: L=12c^3+81d^2 M=senp/(1-cosp) i=raiz(-1) p=(1/3)arccos(H) H=(54d^2+4c^3)/(-4c^3) Obs1_ Na formula acima estamos supondo c e p diferentes de zero. No caso em que c=0 ou p=0, a equação acima tem solução trivial. Obs2_ A hipotese da equação ter 3 raizes reais é equivalente a afirmar que o numero L é menor ou igual a zero. Obs3_ A formula acima não vale quando L 0, isto é , quando a equação não admite 3 raizes reais. Abs. Rivaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Isometria
Claudio, no meu contra exemplo em nenhum momento eu falei que
T(x,y) = (x,y+1/2). Existem um numero infinito de isometrias T:B-B,
Não se pode pegar uma em particular pra mostrar que meu contra exemplo não
funciona. Pra fazer isso vc teria que mostrar que T (b_n) vai cair fora de
B sem tomar um exemplo particular.
Abs.
Rivaldo.
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Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
T(0)=0.
Pode-se sim.
Suponha que T(0) = a 0.
Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha
comprimento inferior a 2 - eps.
(Se a 0, entao um tal eps 0 sempre pode ser escolhido, mas vai
depender da norma usada. Por exemplo, com a norma
euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a
e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) 2 - eps, desde que eps |a|^2, pois
raiz(1 - |a|^2) 1 - |a|^2/2 1 - eps/2.)
Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
Mas:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(-b)| =
|b - (-b)| =
2|b| =
2 - eps ==
contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos
que isso.
Logo, nao podemos ter a 0.
***
O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e
|b_n| = 1 - 1/(2n),
T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o
contradominio tambem eh B.
Se o enunciado falasse de uma isometria T:B - R^2, entao uma realizacao
concreta do seu contra-exemplo seria:
T(x,y) = (x,y+1/2).
Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2),
cuja norma seria:
raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) 1, se n = 4.
***
Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
De fato, mais sofisticada do que a minha...
[]s,
Claudio.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)|
==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**)
implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente,
no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh
necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 -
1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de
um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao
pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao
a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a
B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode
ter
a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que
seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que
Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
T(0)=0. Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
Abs.
Rivaldo.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter
a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em
fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos
uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
contido
em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0) dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2 raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
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Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido
em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah
ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em
relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
estrita:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] Isometria
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos
uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
contido
em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
poderah
ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b,
a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos
em
relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
estrita:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| +
Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em
relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
estrita:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] off-topic: inversa da tangente
Acho que deve ser porque fica mais facil esboçar o grafico. vc ja imaginou como seria esboçar o grafico no intervalo (kpi-pi/2,kpi+pi/2) com k=1000 por exemplo? precisaria de muita folha de caderno e espaço no quadro. Abs. Rivaldo. Carlos, obrigado mas, qualquer intervalo (kpi-pi/2,kpi+pi/2) cobre todos os valores possíveis para a tangente( R). O que eu desejava saber é se existe uma razão INTERESSANTE (além da convenção) para a escolha de (-pi/2,+pi/2) . Abraços - Original Message - From: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 09, 2007 11:29 PM Subject: Re: [obm-l] off-topic: inversa da tangente Não sofra meu amigo...eh apenas uma convenção usada pela maioria dos livrose o intervalo (-pi/2,+pi/2) cobre todos os valores possíveis para a tangente, isto é, R. Cgomes - Original Message - From: Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 09, 2007 8:00 PM Subject: [obm-l] off-topic: inversa da tangente Meus amigos, todo ano sofro, com meus alunos, quando o assunto é contradomínio da função arco-tangente. Se eu escolher um k qualquer do intervalo aberto (kpi-pi/2,kpi+pi/2) da função tangente, haverá uma correspondência com R (biunívoca), logo existirá a função inversa R - (kpi-pi/2,kpi+pi/2). Estou certo!? Qual o motivo, então, de definirmos a função arco-tangente com a imagem (-pi/2,+pi/2) ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Isometria
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular estrita:
|T(b) - T(-b)| |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
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Re: [obm-l] Isometria
O fato de ||x|| = ||T(x)|| so vale quando T e linear, quando T nao e
linear podemos afirmar apenas que ||x|| = ||T(x)-T(0)||, logo a prova
abaixo nao esta completa.
Abs.
Ola,
por ser uma isometria, temos que: ||x|| = ||T(x)||
deste modo: ||T(0)|| = ||0|| = 0
mas, se ||T(0)|| = 0, temos que T(0) = 0.
uma outra ideia seria:
suponha que T(0) = a, a diferente de 0.
assim: ||T(0)|| = 0 (isometria) e ||T(0)|| = ||a||, temos que; ||a|| = 0
o que implica que a=0.. absurdo, pois supomos a diferente de 0.
logo T(0) = 0.
pra mostrar que ||a|| = 0 sss a=0, basta utilizar uma das condicoes de
espacos metricos:
d(x, y) = 0 sss x = y
mas ||a|| = d(a, 0) = 0, o que implica, pela condicao acima, que a=0
abracos,
Salhab
On 5/8/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Abs.
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[obm-l] Isometria
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Abs.
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Imersão isometrica
Imersão Isometrica
Definição: Sejam M e N espaços metricos. Uma aplicação f: MN é uma
imersão isometrica se dN(f(x),f(y))= dM(x,y) para todo x e y em M.
Obs: dM denota a metrica relativa ao espaço metrico M e dN denota a
metrica relativa ao espaço metrico N.
Abs.
Qual a definicao de imersao que se adotou aqui?
Obrigado
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome
de claudio.buffara
Enviada em: sexta-feira, 13 de abril de 2007 17:03
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Imersão isometrica
De:[EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 12 Apr 2007 04:27:37 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Imersão isometrica
Pessoal, alguem sabe provar esse resultado?
Seja M um espaço metrico com a seguinte propriedade: Para toda imersão
isometrica f: M-N temos que f(M)é um aberto em N, provar que M é o
conjunto vazio
Abs.
Ou seja, temos que provar que se M vazio, então existe um espaço
métrico N e uma imersão isométrica f:M - N tal que f(M) não é aberto em
N.
Por exemplo, sejam:
N = MxR (R = conjunto dos reais), com a métrica:
d_N((m1,x1),(m2,x2)) = d_M(m1,m1)+|x1-x2|;
e
f:M - N dada por f(m) = (m,0).
f é claramente uma imersão isométrica e f(M) = Mx{0}.
Como M vazio, existe m em M e f(m) = (m,0).
Qualquer que seja r 0, a bola B((m,0),r) contém o ponto (m,r/2), o qual
pertence a N - f(M). Logo, (m,0) não é interior a f(M) e, portanto, f(M)
não é aberto.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Imersão isometrica
Pessoal, alguem sabe provar esse resultado? Seja M um espaço metrico com a seguinte propriedade: Para toda imersão isometrica f: M-N temos que f(M)é um aberto em N, provar que M é o conjunto vazio Abs. _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Isometria
Pessoal alguem sabe mostrar dados a e b na esfera unitaria do espaço R^(n+1), Isto é , dados a e b na esfera unitaria S^n , existe uma isometria f: S^n -S^n tal que f(a)=b ? Abraços. _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Duvida
Pessoal alguem sabe mostrar dados a e b na esfera unitaria do espaço R^(n+1), Isto é , dados a e b na esfera unitaria S^n , existe uma isometria f: S^n -S^n tal que f(a)=b ? Abraços. _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livro emPDF
Citando paulobarclay [EMAIL PROTECTED]: eu tenho livro e posso lhe enviar se alguem ainda não o fez. Prezados, preciso adquirir o livro de algebra linear do Hoffman -Kunze. No entanto soube( será que é boato ?) que existe uma versão em pdf desse livro circulando na Internet. Se for realmente verdade, e se alguem da lista tem o livro ou sabe como obtê-lo, e puder me dar uma dica ficarei imensamente grato. Desde já obrigado. Paulo Barclay __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - URI - Campus de Santo Angelo-RS http://www.urisan.tche.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas IME
Apenas corrigindo, Tr(I)=n e não Tr(I)=1 Vou colaborar por ora na primeira e na ultima. As outras parecem mais trabalhosas. Se Q(x) = x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1, entao a formula das somas dos termos de uma PG mostra que as raizes de Q sao as raizes decimas da unidade, a menos da propria unidade (1 naum zera Q). Eh facil ver que P(x) = Q(x^111) para todo complexo x. Se r eh raiz de Q, entao r^111 = (r^10)^11 * r = 1^11 * r = r, de modo que P(r) = Q(r^111) = Q(r) = 0. Toda raiz de Q eh portanto raiz de P, o que implica automaticamente que P divide Q. Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 1 = Tr(I). Logo, AB - BA I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B. Artur --- Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas: (IME 94/95) Prove que o polinômio P(x)= x^999 + x^888 + x^777 + ... x^111 +1 é divisível por x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1. (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 2pi/3). Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente aos complexos, menos o ponto c. pede-se: (a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero. (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. Dado: i = (-1)^1/2 (IME 80/81) Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo numero natural n, h^n e diferente de 1. Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz. (IME 80/81) Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I, onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Flw pessoal. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - 50x more storage than other providers! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - URI - Campus de Santo Angelo-RS http://www.urisan.tche.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triste fato
Citando Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]: faltou dizer porque esse fato é triste. Amigos, gostaria de uma prova para o triste fato abaixo: Mostre que se f(x)=a(n) +a(n-1)x^n-1 +...+a(1) x +a(0), com n=1 e a(n) # 0, sendo os coeficientes a(n),...,a(0) todos inteiros, então existe um inteiro a tal que f(a) é composto. Aviso: Os (n), (n-1), ..., (0) são os índices dos coeficientes do polinômio e usei o símbolo # para significar diferente. Abraços (^_^) _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - URI - Campus de Santo Angelo-RS http://www.urisan.tche.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PROBLEMAS ATERRORIZANTES!
A soma dos algarismos do primeiro numero é um multiplo de 3 logo é divisivel por 3 , o mesmo vale para o segundo. Olá, não entendi o por que 3w e 3y..Alguém poderia por favor me explicar melhor? Grato, Alan Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote: Meus Amigos! Gostaria dos seus valiosos comentários nas questões abaixo: Grato! Qual o verdadeiro valor do asterisco, sem que seja preciso efetuar a multiplicação? 847398654 x 638952 = 54144706*770608 (BACEN) temos uma multiplicacao do tipo 3w x 3y que tem que dar 9z logo o * vale 4 Sem efetuar a multiplicação, calcule (999 999 999)^(2)? (RPM/IME/USP) (999 999 999)^2 = (1 000 000 000 - 1)^2 = 10^18 - 2*10^9 + 1 = 999 999 998 000 000 001 A propósito, como e quando falha o recurso aritmético da prova dos noves cujo erro foi alertado em 1927 pelo professor Antônio Trajano Desculpe a ignorancia mas nao sei direito o que 'prova dos 9s' Um abraço à todos! Outro proce! _ Planning a family vacation? Check out the MSN Family Travel guide! http://dollar.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis! - URI - Campus de Santo Angelo-RS http://www.urisan.tche.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] f''(t) + (f'(t))^2 - -infinito
Gugu , eu também estava desconfiado que não dava não. Na verdade este problema surgiu pra mim na tentativa de solucionar um outro. Estou lhes enviando o problema original. Construir uma função de classe C^1 definida no intervalo [ 0 , infinito ) com a derivada de a(t) maior que zero para todo t maior ou igual a zero , a(t) tendendo para infinito quando t tende para o infinito e tal que o comportamento típico das soluções de (derivada segunda de u(t) ) + a(t)u(t) =0para t maior que zero não é u(t) tendendo a zero. Abs. Citando Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED]: Acho que nao da' nao. Nao existe nem uma funcao g (nesse caso g=f') derivavel de [0,infinito) em R com g'(t)+(g(t))^2 -1 para todo t grande: nesse caso teriamos g'(t) -1 para todo t grande, donde g(t) tende a -infinito quando t- infinito, e logo, para t grande, g(t) e' negativo, mas tambem teriamos g'(t)/g(t)^2 -1 para todo t grande, ou seja, (1/g(t))' 1, donde 1/g(t) deve tender a +infinito, absurdo. E' claro que podemos trocar -1 por qualquer coisa negativa... Abracos, Gugu on 13.04.04 17:39, Danilo notes at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal ser=E1 que algu=E9m pode me ajudar no problema abaixo ? Construir uma fun=E7=E3o f de classe C^1 definida no intervalo [ 0 , infinito ) e tal que w(t) =3D (derivada segunda de f(t) ) + ( derivada primeira de f(t) ) ^ 2tende a menos infinito quando t tende a mais infinito =20 Abs. =20 Oi, Danilo: Ainda nao consegui achar uma funcao que satisfaca ao enunciado, mas achei uma que chega perto: f : [0,+infinito) - R, definida por: f(0) =3D 0; f(t) =3D sen(t^2)/t se t 0 f eh continua em t =3D 0. Para t 0, (f(t) - f(0))/(t - 0) =3D sen(t^2)/t^2 =3D=3D f'(0+) =3D lim(t - 0+) (f(t) - f(0))/(t - 0) =3D 1 Alem disso, se t 0, f'(t) =3D 2*cos(t^2) - sen(t^2)/t^2 =3D=3D lim(t - 0) f'(t) =3D 1 =3D=3D f' eh continua para t =3D 0 =3D=3D f eh de classe C^1. t 0 =3D=3D f''(t) =3D -4*t*sen(t^2) - 2*cos(t^2)/t + 2*sen(t^2)/t^3 Assim, vemos que f'(t) eh limitada e que f''(t) atinge valores arbitrariamente pequenos (ou seja, negativos e de modulo arbitrariamente grande). Logo, f''(t) + (f'(t))^2 tambem atinge valores arbitrariamente pequenos, apesar de nao tender a -infinito quando t tende a +infinito pois sen(t^2) se anula para infinitos valores de t (mais precisamnte, para todo = t da forma raiz(k*Pi), com k inteiro positivo). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - URI - Campus de Santo Angelo-RS http://www.urisan.tche.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equações Difereciais Parciais
Pessoal, gostaria de saber se alguem do grupo participa de alguma lista de discussão sobre problemas envolvendo Equações Diferenciais Parciais pois também estou interessado em participar. Agradeço qualquer informação. Abs. Rivaldo B. Dantas - URI - Campus de Santo Angelo-RS http://www.urisan.tche.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
