[obm-l] Binômio de Newton

[Alexandre Antunes]

Boa tarde,

É possível escrever

v^a * (1-v^2)^b

Num único termo?
Tem algum material sobre o tema?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Binômio de Newton

[Daniel Rocha]

Muito Obrigado pela ajuda, Vinícius!!!

Em 1 de agosto de 2016 20:28, vinicius raimundo 
escreveu:

> Eu entendi o problema desta forma:
>
> O quinto termo da sequência seria
> \binom{n+1}{4}=126, então temos:
>
> (n+1).(n).(n-1).(n-2)=126.4!=3024
>
> Fatorando 3024 vemos que é igual a
> 2^4 . 3^3 . 7
> E como 3024 é o produto de quatro números consecutivos temos:
>
> 9.8.7.6=3024
>
> Logo n=8
>
> end
>
> Em segunda-feira, 1 de agosto de 2016, Daniel Rocha <
> daniel.rocha@gmail.com> escreveu:
>
>> Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:
>>
>> Se o quinto termo da sequência
>> \binom{n+1}{0},\binom{n+1}{1},\binom{n+1}{2},...,\binom{n+1}{n+1} é igual a
>> 126, então o número n é:
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Binômio de Newton

[vinicius raimundo]

Eu entendi o problema desta forma:

O quinto termo da sequência seria
\binom{n+1}{4}=126, então temos:

(n+1).(n).(n-1).(n-2)=126.4!=3024

Fatorando 3024 vemos que é igual a
2^4 . 3^3 . 7
E como 3024 é o produto de quatro números consecutivos temos:

9.8.7.6=3024

Logo n=8

end

Em segunda-feira, 1 de agosto de 2016, Daniel Rocha <
daniel.rocha@gmail.com> escreveu:

> Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:
>
> Se o quinto termo da sequência
> \binom{n+1}{0},\binom{n+1}{1},\binom{n+1}{2},...,\binom{n+1}{n+1} é igual a
> 126, então o número n é:
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] [obm-l] Binômio de Newton

[Daniel Rocha]

Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:

Se o quinto termo da sequência
\binom{n+1}{0},\binom{n+1}{1},\binom{n+1}{2},...,\binom{n+1}{n+1} é igual a
126, então o número n é:

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] BINÔMIO DE NEWTON

[Lucas Colucci]

Isso é consequência do teorema de Lucas:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem

Lucas Colucci

Em 25 de janeiro de 2013 13:55, Vanderlei * vanderma...@gmail.comescreveu:

 Caros amigos, já apareceu na lista, mas não me convenceu. Se alguém tiver
 uma solução, agradeço!

 *Seja n um inteiro positivo. Demonstrar que todos os coeficientes do
 desenvolvimento do binômio de Newton (a+b)^n são ímpares se, e somente se,
 n é da forma 2^s - 1.*

[obm-l] Re: [obm-l] BINÔMIO DE NEWTON

[Ralph Teixeira]

Em primeiro lugar, analise o triangulo de Pascal modulo 2. Fica algo assim:

1
11
101

10001
110011
1010101


Entao, provar que a linha 2^n-1 eh toda impar, isto eh, 111...1,
eh o mesmo que provar que a linha 2^n eh do tipo 10...0001.

Agora, o terence tinha provado isso numa mensagem anterior. Era algo assim:

i) Tomando coeficientes modulo 2, tem-se (z+1)^2=z^2+1. Entao
(x+1)^4=(x^2+1)^2=x^4+1, e (x+1)^8=(x^4+1)^2=x^8+1, etc. Em suma,
(x+1)^(2^p)=x^(2^p)+1. Entao quando n=2^p, a linha eh 10...0001 e
a linha n+1 eh 1...111.

ii) Por outro lado, seja n um inteiro qualquer nao potencia de 2.
Escreva-o em base 2, assim: n=p1+p2+...+pn onde os p1p2...pn sao
potencias de 2 (havera pelo menos duas delas). Entao, coeficientes mod
2:
Q(x)=(x+1)^n=(x+1)^p1.(x+1)^p2...(x+1)^pn=(x^p1+1).(x^p2+1)...(x^pn+1)
Abrindo isto, havera varios coeficientes impares alem do de
x^(p1+p2+...+pn)=x^n e do 1 -- por exemplo, o coeficiente de
x^(p1+p2), que eh impar e nao cancela com ninguem. Entao se n nao eh
potencia de 2, a linha n nao eh 11, e portanto a linha n+1
nao eh 11...111.

De fato, note que TODOS os monomios que aparecem quando voce abre Q(x)
sao distintos (os expoentes de x sao somas de potencias distintas de
2, e o unico jeito de duas somas darem o mesmo numero eh se a LISTA de
potencias for a mesma!). Entao o que o Terence provou eh que:

O numero de coeficientes impares em (a+b)^n eh 2^d onde d eh o numero
de digitos 1 quando voce escreve n em base 2.

Abraco,
  Ralph

2013/1/25 Vanderlei * vanderma...@gmail.com:
 Caros amigos, já apareceu na lista, mas não me convenceu. Se alguém tiver
 uma solução, agradeço!

 Seja n um inteiro positivo. Demonstrar que todos os coeficientes do
 desenvolvimento do binômio de Newton (a+b)^n são ímpares se, e somente se, n
 é da forma 2^s - 1.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Binômio de Newton

[marcone augusto araújo borges]

 o fato de q ,fora os extremos,todos os elementos da linha n+1=m sao 
pares,podemos justificar pela relação de stifel.
m é par,pois  Cm,1 é par...a patir dai,oq eu tentei não funcionou
 
 



Date: Wed, 18 Jan 2012 22:53:21 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Binômio de Newton
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Pense no triangulo de Pascal modulo 2, isto eh, soh marcando pares (0) e 
impares (1):
 
1
11
101

10001
110011
1010101

 
...
 
Etc. Ha varios padroes a serem explorados ali, varias repeticoes de triangulos 
anteriores, que podem ser demonstradas por inducao, por exemplo.
Em particular, voce soh pode ter ...1 na linha n se tiver 1001 na 
linha n+1. Entao voce pode tentar mostrar que 1...0001 ocorre sse na linha 
n=2^s.
 
Ajuda?
 
Abraco,
 Ralph
  
2012/1/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Seja n um inteiro positivo.Demonstrar que todos os coeficientes do
 desenvolvimento do binomio de Newton (a+b)^n sao impares se,e somente se,n
 é da forma 2^s - 1.
 Agradeço a quem puder ajudar

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Binômio de Newton

[terence thirteen]

Vou fazer mais que isto: quantos coeficientes ímpares aparecem em (1+x)^n?

Aqui, trataremos apenas de polinômios de coeficientes naturais.

Temos (1+x)^2 = 1 +2x+x^2 =1+x^2+2p(x), em que p é um polinômio qualquer.
Novamente, (1+x)^4=(1+x^2+2p(x))^2 = (1+x^2)^2+2p(x), em que p é um
polinômio qualquer.
Assim, (1+x)^4=1+x^4+2p(x).

Por uma indução fácil, (1+x)^(2^n)=1+x^(2^n)+2p(x) em que p é um
polinômio qualquer.
Provamos então o que o Ralph disse. Mas vamos além, como prometi.

Se n=2^a+2^b, temos (1+x)^(2^a)*(1+x)^(2^b) =
(1+x^A+2M)(1+x^B+2N)=(1+x^A+x^B+x^AB+2P).

Por indução, o tanto de coeficientes ímpares será justamente o tanto
de 1s na representação binária de n.

Em 18 de janeiro de 2012 22:53, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
 Pense no triangulo de Pascal modulo 2, isto eh, soh marcando pares (0) e
 impares (1):

 1
 11
 101
 
 10001
 110011
 1010101
 

 ...

 Etc. Ha varios padroes a serem explorados ali, varias repeticoes de
 triangulos anteriores, que podem ser demonstradas por inducao, por exemplo.
 Em particular, voce soh pode ter ...1 na linha n se tiver 1001
 na linha n+1. Entao voce pode tentar mostrar que 1...0001 ocorre sse na
 linha n=2^s.

 Ajuda?

 Abraco,
  Ralph

 2012/1/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Seja n um inteiro positivo.Demonstrar que todos os coeficientes do
 desenvolvimento do binomio de Newton (a+b)^n sao impares se,e somente se,n
 é da forma 2^s - 1.
 Agradeço a quem puder ajudar



-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Binômio de Newton

[marcone augusto araújo borges]

Seja n um inteiro positivo.Demonstrar que todos os coeficientes do 
desenvolvimento do binomio de Newton (a+b)^n sao impares se,e somente se,n é da 
forma 2^s - 1.
Agradeço a quem puder ajudar  

[obm-l] Re: [obm-l] Binômio de Newton

[Ralph Teixeira]

Pense no triangulo de Pascal modulo 2, isto eh, soh marcando pares (0) e
impares (1):

1
11
101

10001
110011
1010101


...

Etc. Ha varios padroes a serem explorados ali, varias repeticoes de
triangulos anteriores, que podem ser demonstradas por inducao, por exemplo.
Em particular, voce soh pode ter ...1 na linha n se tiver 1001
na linha n+1. Entao voce pode tentar mostrar que 1...0001 ocorre sse na
linha n=2^s.

Ajuda?

Abraco,
 Ralph

2012/1/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Seja n um inteiro positivo.Demonstrar que todos os coeficientes do
 desenvolvimento do binomio de Newton (a+b)^n sao impares se,e somente se,n
 é da forma 2^s - 1.
 Agradeço a quem puder ajudar

[obm-l] Binômio de Newton

[Pedro Júnior]

Qual o *termo máximo* do binômio (1+1/3)^65?
Agradeço desde já aos colegas da Lista 2007!!!
Abraços
Pedro Jr

Re: [obm-l] Binômio de Newton

[Paulo Santa Rita]

Ola Pedro e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Os termos do desenvolvimento de (1 + (1/3) )^65, ordenados segundo as
potencias crescentes de (1/3),  podem ser calculados pela expressao
BINOM( 65,i )*(1^(65-i))*((1/3)^i) = BINOM( 65,i )*( (1/3)^i ), onde i
= 0,1,2, ..., 65 e BINOM(65,i) e o numero binomial de numerador 65 e
denominador i, vale dizer :

Ti = BINOM( 65,i ) = 65! /( (i!)*( (65-i)! ) )

Facamos Ti = BINOM( 65,i )*((1/3)^i ). E claro que um termo seguinte
Ti+1 so sera maior que o termo anterior Ti se ocorrer que  (Ti+1 /
Ti) = 1, ou seja, quando ocorrer  :

(65 - i) / ( (i+1)*3)  = 1   =  i = 15.5  ( i e inteiro )  = i = 15

O maior termo obtem-se, portanto, com i = 16. Pelas potencias
crescentes de (1/3) - que iniciam em zero - trata-se do decimo-setimo
termo.

Agora, considere a seguinte expressao :

( 1 + (1/3) + (1/5) )^200

O termo geral no desenvolvimento desta expressao ( formula de
Leibniz ) e dado por  :

T(A,B,C) = [ 200 ! / (A! * B! * C!) ]*( (1^A)* ((1/3)^B )*((1/5)^C)  )
onde A, B e C sao INTEIROS NAO NEGATIVOS e solucao da equacao A + B +
C = 200. Podemos por :

Caracterize ( diga quem sao A, B e C ) os termos maximo e minimo.


Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
5,081A,140907


Em 20/09/07, Pedro Júnior[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Qual o termo máximo do binômio (1+1/3)^65?
 Agradeço desde já aos colegas da Lista 2007!!!
 Abraços
 Pedro Jr

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Binômio de Newton

[Pedro Júnior]

Muito borigado caro colega Paulo!
Vou estudar para resolver o seu teste!
abraços


Em 20/09/07, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Ola Pedro e demais colegas
 desta lista ... OBM-L,

 Os termos do desenvolvimento de (1 + (1/3) )^65, ordenados segundo as
 potencias crescentes de (1/3),  podem ser calculados pela expressao
 BINOM( 65,i )*(1^(65-i))*((1/3)^i) = BINOM( 65,i )*( (1/3)^i ), onde i
 = 0,1,2, ..., 65 e BINOM(65,i) e o numero binomial de numerador 65 e
 denominador i, vale dizer :

 Ti = BINOM( 65,i ) = 65! /( (i!)*( (65-i)! ) )

 Facamos Ti = BINOM( 65,i )*((1/3)^i ). E claro que um termo seguinte
 Ti+1 so sera maior que o termo anterior Ti se ocorrer que  (Ti+1 /
 Ti) = 1, ou seja, quando ocorrer  :

 (65 - i) / ( (i+1)*3)  = 1   =  i = 15.5  ( i e inteiro )  = i = 15

 O maior termo obtem-se, portanto, com i = 16. Pelas potencias
 crescentes de (1/3) - que iniciam em zero - trata-se do decimo-setimo
 termo.

 Agora, considere a seguinte expressao :

 ( 1 + (1/3) + (1/5) )^200

 O termo geral no desenvolvimento desta expressao ( formula de
 Leibniz ) e dado por  :

 T(A,B,C) = [ 200 ! / (A! * B! * C!) ]*( (1^A)* ((1/3)^B )*((1/5)^C)  )
 onde A, B e C sao INTEIROS NAO NEGATIVOS e solucao da equacao A + B +
 C = 200. Podemos por :

 Caracterize ( diga quem sao A, B e C ) os termos maximo e minimo.


 Um Abraco a Todos !
 Paulo Santa Rita
 5,081A,140907


 Em 20/09/07, Pedro Júnior[EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Qual o termo máximo do binômio (1+1/3)^65?
  Agradeço desde já aos colegas da Lista 2007!!!
  Abraços
  Pedro Jr

 =
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 =

[obm-l] Binômio de Newton

[cleber vieira]

Olá amigos gostaria da atenção de vocês na seguinte questão sobre Binômio, poisminha resposta ficou diferente do gabarito .Vamos lá .O termo em x^3 no desenvolvimento de P(x) =[ (2x - 3)^4 ] * [ (x+2)^5 ].  Minha solução ...   [C 4,p (2x)^p * (-3)^4-p]* [C 5,k (x)^k * (2)^5-k] portanto, x^(p+k) = x^ 3logo, p+k = 3 . se p = 0 então k = 3 e o coeficiente será [C4,0 * (2 ^0) * ( -3)^4] * C 5,3 * (2^2)   = 81* 40 = 3240 .   se p = 1 então k = 2 e o coeficiente será [ C4,1 * (2) * (-27) ] * C5,2 * (8)   =-216 * 80 = -17280   se p = 2 então k = 1 e o coeficiente será [ C4,2 * (4) * (9) ] * C5,1 * 16   = 216 * 80 = 17280   se p = 3 então k = 0 e o coeficiente será [C4,3 * (8) * (-3) ] * C5,0 * 32   = -96 * 32 = -3072 como o coeficiente de x^3 é a
 soma de todos os coeficientes possíveis então o coeficiente será 168 .   De acordo com o gabaritoa resposta certa é -32 . Muito Obrigado !  
 Cleber  
		 
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[obm-l] Re: [obm-l] binômio de newton

[Wagner]

Oi pessoal!

-notação: C(a,b) = combinações de a tomados b a b.

Seja (a + x)^n. Em que x é muito pequeno. Para n=2 temos a^2 + 2ax + x^2. Se
(a + x)^n é aproximadamente a + nx, Então:
a^2 + 2ax + x^2 = a + 2x .  x^2 é irrelevante para uma aproximação, logo:
a(a + 2x) = a + 2x, logo se n=2, (a + x)^n = a + nx, somente se a=1.
Agora vamos provar pelo binômio de Newton. Considerando a=1, x como pequeno
mas relevante e x^y irrelevante para y=2. Temos para n natural
(1 + x)^n = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 + C(n,3)x^3 + ... . Mas C(n,2)x^2 +
C(n,3)x^3 + ... é irrelevante, logo pela aproximação:
(1 + x)^n = 1 + nx .Agora tomemos (1 + x)^(1/n) com n natural, aplicando o
processo inverso temos (1 + x)^(1/n) = 1 + x/n, pois se x é muito pequeno,
x/n também é muito pequeno, logo (1 + x/n)^n = 1 + x, então o processovale
para todo número real positivo (como se trata de uma aproximação também vale
para os irracionais). Logo se (a + x)^n = a + xn  para n = -1, vale para
todo n0 e logo para todo n real. (a + x)^(-1) = a - x = (a + x).(a - x) =
1 = a^2 - x^2 = 1 . Como x^2 é desprezível, a^2 = 1 = a = 1  CQD.
Para a diferente de 1, (a + x)^n = (a^n).(1 + x/a)^n = (a^n).(1 + nx/a) =
( a + x )^n = a^n + n.x.(a^(n-1))
A aproximação vale sempre que (a^(n-2))(x^2) for considerado desprezível (
para |a|  1)

André T.


- Original Message -
From: pichurin [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, November 03, 2002 12:13 PM
Subject: Re: [obm-l] binômio de newton


 Ok, mas se a=1, as  regras são válidas?
 Por quê?




  --- Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED]
 escreveu:  Não, só se a=1.
 
  pichurin wrote:
 
  (a + x)^n
  x é um número bem pequen0(entre zero e um)
  Ex: (1 + 0,05)^32
  
  Como calcular isso pelo Binômio de Newton(calcular
  o
  valor aproximado)
  
  essa aproximação pode ser dada por a + nx?
  
 
 ___
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Re: [obm-l] binômio de newton

[Augusto César Morgado]

Não, só se a=1.

pichurin wrote:


(a + x)^n
x é um número bem pequen0(entre zero e um)
Ex: (1 + 0,05)^32

Como calcular isso pelo Binômio de Newton(calcular o
valor aproximado)

essa aproximação pode ser dada por a + nx?

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[obm-l] Re: [obm-l] binômio de newton

[ghaeser]

(a+x)^n = a^n + n.a^(n-1).x + n.(n-1).a^(n-2).x²/2! + ..


como x é pequeno vc pode aproximar por:

(a+x)^n = a^n + n.a^(n-1).x

-- Mensagem original --

(a + x)^n
x é um número bem pequen0(entre zero e um)
Ex: (1 + 0,05)^32

Como calcular isso pelo Binômio de Newton(calcular o
valor aproximado)

essa aproximação pode ser dada por a + nx?

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Mathematicus nascitur, non fit
Matemáticos não são feitos, eles nascem
---
Gabriel Haeser
www.gabas.cjb.net


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[obm-l] binômio de newton

[pichurin]

(a + x)^n
x é um número bem pequen0(entre zero e um)
Ex: (1 + 0,05)^32

Como calcular isso pelo Binômio de Newton(calcular o
valor aproximado)

essa aproximação pode ser dada por a + nx?

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