[obm-l] Conjunto denso em R
Em agosto/setembro de 2003 um assunto deste tipo foi discutido aqui (motivado
pelo sumido Claudio Buffara). Eu apresentei uma prova, baseada no principio da
casa dos pombos, de que, se p eh irracional, entao o conjunto A = {m*p + n | m
e n sao inteiros} eh denso em R.
Estou agora querendo provar que, novamente para p irracional, B = {m*p +n | m
eh inteiro, n eh inteiro positivo} tambem eh denso em R. Talvez haja uma
solucao simples, baseada na conclusao anterior, mas ainda nao consegui nenhuma
prova. Alguem pode dar uma sugestao?
Abracos
Artur
Re:[obm-l] Conjunto denso em R
Bem legal esta prova!
Interessante que com este problema me ocorreu uma prova para um fato que foi
discutido aqui hah uns 3 meses: se uma funca nao constante f for continua
periodica em R, entao g(x) = f(x^2) nao eh periodica.
Suponhamos, para facilitar, que o periodo de f seja 1 e admitamos que g seja
periodica com periodo fundamental p0. Para todo inteiro positivo n, temos
que g(raiz(n)) = f(n) = f(0). Para todo inteiro m, temos entao que g(raiz(n)
+ m*p) = g(raiz(n)) = g(0). Como o conjunto {raiz(n) + m*p} eh denso em R e
g eh continua, concluimos que g(x+ = g(0) para todo real x, de modo que g eh
constante. Logo, f tambem eh constante, contraiamente aa hipotese.
Se o periodo de f for t1, entao f(T*x) tem periodo 1, e como T eh
arbitrario, chegamos aa mesma conclusao.
Artur
- Mensagem Original
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re:[obm-l] Conjunto denso em R
Data: 28/12/04 16:05
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Tue, 28 Dec 2004 12:22:40 -0200
Assunto:[obm-l] Conjunto denso em R
Um problrma que me pareceu interessante: mostre que, para todo real p0,
o
conjunto A = {raiz(n) + m*p | n=0 e m sao inteiros} eh denso em R.
Artur
Se p for irracional, recairemos num resultado que jah foi muito discutido
aqui na lista.
Pra mim, o interessante eh o caso p = 1, que mostra que {raiz(n)} = parte
fracionaria de raiz(n) eh densa em [0,1], um fato que eu desconhecia, mas
que nao me parece tao absurdo assim.
Sabemos que x(n) = raiz(n) - raiz(n-1) - 0 quando n - infinito
Mas raiz(n) - raiz(n-1) = {raiz(n)} - {raiz(n-1)} + [raiz(n)] - [raiz(n-1)].
Tomando a subsequencia x(n^2), teremos:
x(n^2) = 1 - {raiz(n^2-1)} - 0 quando n - infinito.
Ou seja, a sequencia {raiz(n^2-1)} - 1 quando n - infinito.
Por outro lado, x(n^2+1) = {raiz(n^2+1)} - 0 quando n - infinito.
Ou seja, 0 e 1 sao valores de aderencia da sequencia {raiz(n)}.
Um pouco de reflexao e esforco mental (no banheiro) me fez pensar na
sequencia:
y(n) = raiz(n^2 + 2*a*n) - n.
Nao eh dificil ver que y(n) - a quando n - infinito.
Alem disso, podemos escrever:
y(n) = {raiz(n^2 + 2*a*n)} + [raiz(n^2 + 2*a*n)] - n
Suponhamos que a seja um racional de (0,1], ou seja, a = p/q onde p e q sao
inteiros positivos e p = q.
Nesse caso, n^2 + 2*a*n = n^2 + 2*(p/q)*n eh inteiro sempre que n for um
multiplo de q e [raiz(n^2 + 2*a*n)] = n. Portanto, concluimos que:
y(q*n) = {raiz(q^2*n^2 + 2*p*n)} - p/q quando n - infinito.
Ou seja, todo racional de [0,1] eh valor de aderencia de {raiz(n)}.
Agora, tome um intervalo qualquer I de [0,1]. Sabemos que I contem, em seu
interior, algum racional e que este racional eh limite de alguma
subsequencia de {raiz(n)}. Logo, I conterah todos os termos desta
subsequencia com indices suficientemente grandes, ou seja, {raiz(n)} eh
densa em [0,1].
***
Com pequenas adaptacoes, o argumento acima resolve o problema original
proposto pelo Artur.
[]s,
Claudio.
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Conjunto denso em R
Um problrma que me pareceu interessante: mostre que, para todo real p0, o
conjunto A = {raiz(n) + m*p | n=0 e m sao inteiros} eh denso em R.
Artur
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Re:[obm-l] Conjunto denso em R
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 28 Dec 2004 12:22:40 -0200
Assunto:
[obm-l] Conjunto denso em R
Um problrma que me pareceu interessante: mostre que, para todo real p0, o
conjunto A = {raiz(n) + m*p | n=0 e m sao inteiros} eh denso em R.
Artur
Se p for irracional, recairemos num resultado que jah foi muito discutido aqui na lista.
Pra mim, o interessante eh o caso p = 1, quemostra que {raiz(n)} = parte fracionaria de raiz(n) eh densa em [0,1], um fato que eu desconhecia, mas que nao me parece tao absurdo assim.
Sabemos que x(n) = raiz(n) - raiz(n-1) - 0 quando n - infinito
Mas raiz(n) - raiz(n-1) = {raiz(n)} - {raiz(n-1)} + [raiz(n)] - [raiz(n-1)].
Tomando a subsequencia x(n^2), teremos:
x(n^2) = 1 - {raiz(n^2-1)} - 0 quando n - infinito.
Ou seja, a sequencia {raiz(n^2-1)} - 1 quando n - infinito.
Por outro lado, x(n^2+1) = {raiz(n^2+1)} - 0 quando n - infinito.
Ou seja, 0 e 1 sao valores de aderencia da sequencia {raiz(n)}.
Um pouco de reflexao eesforco mental (no banheiro) me fez pensar na sequencia:
y(n) = raiz(n^2 + 2*a*n) - n.
Nao eh dificil ver que y(n) - a quando n - infinito.
Alem disso, podemos escrever:
y(n) = {raiz(n^2 + 2*a*n)} + [raiz(n^2 + 2*a*n)] - n
Suponhamos que a seja um racional de (0,1], ou seja, a = p/q onde p e q sao inteiros positivos e p = q.
Nesse caso, n^2 + 2*a*n = n^2 + 2*(p/q)*n eh inteiro sempre que n for um multiplo de q e [raiz(n^2 + 2*a*n)]= n. Portanto, concluimos que:
y(q*n) = {raiz(q^2*n^2+ 2*p*n)} -p/q quando n - infinito.
Ou seja, todo racional de [0,1] ehvalor de aderencia de {raiz(n)}.
Agora, tome um intervalo qualquer I de [0,1]. Sabemos que I contem, em seu interior,algum racional e que este racional eh limite de alguma subsequencia de {raiz(n)}.Logo, I conterah todos os termos desta subsequencia com indices suficientemente grandes, ou seja, {raiz(n)} eh densa em [0,1].
***
Com pequenas adaptacoes, o argumento acima resolve o problema original proposto pelo Artur.
[]s,
Claudio.
RE: [obm-l] Conjunto denso em R
O que significa intersecao nao trivial?
A definicao que eu ja vi em varios livros, relativa a espacos
topologicos, e
que Y eh denso em X se o fecho de Y for o proprio X.
Eu deveria ter escrito não vazia em vez de não trivial.
A sua definição é equivalente à que eu dei.
Ah! Obrigado. O Eduardo Casagrande tambem fez esta observacao.
Com relacao ao topico original deste asunto, o problema apresentado pelo
Claudio, eu andei pensando nele (no original, aquele que aparece no livro do
Erlon). O Claudio disse que a prova baseada no pricipio da casa dos pombos
estava errada, mas eu creio que eh possivel e provar com base neste
principio. Penguei assim um gancho na ideia do Claudio, que me pareceu OK.
Queremos mostrar que, se a eh irracional, entao A= {n*a+m | m e n sao
inteiros} eh denso em R. Para facilitar, observemos que:
(1) Eh suficiente mostrar que, para todo eps0, A intersecta (0, eps) --
Pois, se x pertence a A interseccao (0, eps), entao a sequencia {x, 2x,
3x...} estah em A eh e uma PA de razao eps. Logo, para todo real r existe um
inteiro k tal que kx estah em (r, r+eps)
(2) Em virtude de (1), basta mostrar que existem u e v em A tais que
|u-v|eps. Pois A eh fechado com relacao aa soma. A existencia destes u e v
implica, portanto, a existencia de um w em A tal que |w|eps. E como w em A
acarreta -w em A, a conclusao decorre.
Para todo real x=0, definamos frac(x) como a parte fracionaria de x, de
modo que x = Ix + frac(x), com 0=frac(x)1. Ix eh o piso de x, o maior
inteiro = x. Temos entao que S = {frac(na) | m eh natural} eh infinito.
Para ver isto, observemos que se mn entao frac(ma)frac(na). Pois, se
frac(ma)=frac(na) para nn, entao ma - na = Im - In, com Im e In inteiros.
Segue-se entao que, contrariamente aa hipotese basica, a eh racional. Isto
nos mostra que os termos da sequencia {frac(na)} sao distintos 2 a 2, o que
implica que S eh numeravel e infinito.
Tomemos agora [0,1] e o dividamos em um numero finito de intervalos fechados
de comprimento eps (para todo eps0, isto eh possivel). Eh imediato que S
eh um subconjunto infinito de [0,1]. E eh aqui que entra em cena o pricipio
da casa dos pombos. Logo, pelo menos um dos subintervalos em que dividimos
[0,1] tem que conter 2 ou mais elementos de S. Na realidade, tem que conter
infinitos elementos de S. Existem assim uma infinidade de naturais p e q
para os quais |frac(pa) - frac(qa)|eps. Mas, da definicao de A e de
frac(x), isto acarreta a existencia de uma infinidade de elementos u e v de
A satisfazendo a |u-v|eps. Basta observar que, somando-se um inteiro m a
frac(pa) e frac(qa), obtemos elementos de A conforme, desejado.
Considerado-se agora (1) e (2), o teorema fica demonstrado. A menos de
equivoco, estah absolutamento certo
Um detalhe interessante: a hipotese de que A eh irracional e realmente
fundamental. Se a for racional, o conjunto S sera sempre finito e o
principio da casa dos pombos deixa de ser aplicavel. N realidade, se a for
racional, entao A nunca eh denso em R.
Estou pensando naquele outro problema, um tanto mas sutil que o Claudio
apesentou. Ainda nao consegui provar, mas me parece que com uma modificacao
dos argumentos aqui apresentados eh possivel usar o principio da casa dos
pombos.
Um abraco
Artur
attachment: winmail.dat
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
On Wed, Sep 10, 2003 at 05:32:01PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Seja X um espaço topológico e Y um subconjunto de X: Y é denso em X se para todo aberto Z contido em X a interseção de Y com Z é não trivial. O que significa intersecao nao trivial? A definicao que eu ja vi em varios livros, relativa a espacos topologicos, e que Y eh denso em X se o fecho de Y for o proprio X. Eu deveria ter escrito não vazia em vez de não trivial. A sua definição é equivalente à que eu dei. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R - Domingos
Se x for um ponto de acumulacao de C, entao existe uma seq. de elementos
distintos de C convergindo para x. Mas qualquer seq. de elementos de C vai
para infinito, ne? Logo me parece que nao temos pontos de acumulacao.
Abraco,
Salvador
Agora, uma questao interessante:
Se a eh um irracional positivo e C = {n*a + m; m,n: inteiros nao-negativos},
serah que C tem algum ponto de acumulacao ou todos os seus pontos sao
isolados?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto denso em R - Marcio
Mas fraçoes continuas e o que ha pra esse tipo de problema... A soluçao com PCP deve ser parecida...Veja o artigo do Gugu. --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 09.09.03 20:10, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote: Espero que esteja certo, de uma conferida.. Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes continuas de a. Oi, Marcio: Realmente, com fracoes continuas o resultado sai, mas eu estava pensando numa solucao mais elementar, usando apenas o PCP. Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+ e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0, p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... ) com n par satisfazem 0 a - p_n/q_n (1/q_n)^2 Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um eps0 qualquer, escolher n tq 1/q_n eps. Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 (q_n)*a - p_n eps. Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo. Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora olhando para as reduzidas de ordem impar. Esse eh a ideia chave: separar os casos B inter R+ e B inter R-. Obvia, depois que alguem pensa nisso! Vou mandar uma msg com a solucao mais elementar usando essa ideia. Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que eh o algoritmo de euclides). Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma (np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo = 1/q. Em particular, B nao eh denso em R. Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em R. Bom ponto. O Domingos tambem observou isso. Com a negativo, serah que B tem algum ponto de acumulacao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
Conjunto denso e quando entre dois elementos quaisquer sempre ha mais um... --- Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] escreveu: (**) uma questão chata agora é provar que sempre existe p, q que tornem e 0, pois aí teríamos 0 na + m 1/q. pra mim isso parece verdade pois seria extremamente bizarro haver apenas aproximações por cima com a precisão denominador²! nossa, agora que percebi, isso é completamente desnecessário... tome x y em B, então para algum q inteiro positivo tq 1/q y - x. se -1/q² e 0, então -1/q na + m 0 x y + na + m y, e segue que existe um elemento entre x, y em B. no caso de 0 na + m 1/q tomamos x x + na + m y. uma pergunta: eu conheci a definição de conjunto denso com base no que você (Cláudio) me disse, é assim mesmo que se prova que um conjunto é denso ou existe alguma condição adicional? vou pensar na questão dos pontos de acumulação... [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
Conjunto denso e quando entre dois elementos
quaisquer sempre ha mais um... x y + na + m y, e segue que existe um
Pois então, a minha prova (elementar) está correta, vai aqui completa:
Seja B = {na - m | n, m inteiros não negativos, a 0 irracional}
B é fechado em relação a adição, basta ver que:
(na - m) + (ka - l) = (n + k)a - (m + l), com (n + k) e (m + l) inteiros não
negativos.
Teorema: Existem infinitos pares p, q de inteiros tal que |p/q - a| 1/q².
Note que podemos obter valores de q arbitrariamente grandes.
então a = p/q + e, com 0 |e| 1/q²
na - m = n(p/q + e) - m = np/q - m + ne
agora tome n = q, m = p, temos
na - m = ne = qe, e logo |na - m| = |qe| = q|e| 1/q
isso mostra que podemos obter valores arbitrariamente próximos de 0 para
|na - m|.
sendo assim, sejam x y elementos de B.
existe então um par p, q de inteiros que satisfaz 0 |qa - p| y - x.
se qa - p 0 então:
x x + qa - p y, e como provamos B é fechado em relação a adição,
logo existe um elemento entre x e y.
se qa - p 0 então:
x y + qa - p y, e pelo mesmo argumento existe um elem. entre x e y.
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
On Wed, Sep 10, 2003 at 01:05:10PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Conjunto denso e quando entre dois elementos quaisquer sempre ha mais um... Há vários usos para a palavra denso. (a) Seja X um espaço topológico e Y um subconjunto de X: Y é denso em X se para todo aberto Z contido em X a interseção de Y com Z é não trivial. (b) Um conjunto totalmente ordenado X é denso se entre dois pontos de X há sempre um terceiro: x1 x2 implica em que existe x3, x1 x3 x2. (c) Um subconjunto Y de um conjunto totalmente ordenado X é denso em X se para quaisquer x1 x2 em X existir y em Y com x1 y x2. Os significados (a) e (c) são equivalentes para subconjuntos de R mas (c) não faz sentido em R^2, por exemplo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
- Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Conjunto denso em R Data: 10/09/03 14:45 On Wed, Sep 10, 2003 at 01:05:10PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Conjunto denso e quando entre dois elementos quaisquer sempre ha mais um... Há vários usos para a palavra denso. (a) Seja X um espaço topológico e Y um subconjunto de X: Y é denso em X se para todo aberto Z contido em X a interseção de Y com Z é não trivial. O que significa intersecao nao trivial? A definicao que eu ja vi em varios livros, relativa a espacos topologicos, e que Y eh denso em X se o fecho de Y for o proprio X. Obrigado. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Conjunto denso e quando entre dois elementos quaisquer sempre ha mais um... Há vários usos para a palavra denso. (a) Seja X um espaço topológico e Y um subconjunto de X: Y é denso em X se para todo aberto Z contido em X a interseção de Y com Z é não trivial. O que significa intersecao nao trivial? A definicao que eu ja vi em varios livros, relativa a espacos topologicos, e que Y eh denso em X se o fecho de Y for o proprio X. Obrigado. Artur Oi Artur! Na definição do Nicolau, faltou dizer aberto Z não-vazio. Por não trivial, entenda não vazio. A sua definição é equivalente à que o N. deu, tente demonstrar isto, Artur. Abração! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto denso em R
Oi, pessoal:
Um dos resultados mencionados na enquete da beleza matematica foi o seguinte
(27.v):
Se a é irracional, então o conjunto A = {m + n*a; m, n inteiros} é denso
em R (ou seja, qualquer intervalo aberto, por menor que seja, contém algum
elemento de A - de fato, contém uma infinidade de elementos de A).
Esse resultado estah proposto como exercicio no livro de analise do Elon
(Curso de Analise - vol. 1 - capitulo III - ex. 58 da 6a. edicao) e pode ser
demonstrado por meio do PCP, particionando o intervalo [0,1) em n
sub-intervalos iguais (todos da forma [k/n,(k+1)/n) e considerando os n+1
numeros:
0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na], onde [x] = maior inteiro = x.
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
Qualquer ajuda serah bem-vinda.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
x
note que se a -1, então entre {-1, 0} não existe nenhum elemento de B.
que tal impor a condição a 0?
que tal essa idéia?
basicamente B é um conjunto fechado para soma, certo?
pois (na - m) +(ka - l) = (n+k)a - (m+l) e n+k e m+l são inteiros
positivos...
se mostrarmos que é possível obter valores em B tão próximos de zero quanto
se queira, provamos que sempre existe um valor entre dois elementos de B e
logo B é denso.
existem infinitos p, q inteiros positivos (a 0) tq |p/q - a| 1/q² (lindo
teorema!)
sendo assim, para algum |e| 1/q² (**) temos
a = p/q + e
n(p/q + e) - m = np/q - m + ne
tome n = q, m = p, então na + m = ne
|na + m| = |ne| q*1/q² = 1/q
sendo que os valores de q podem crescer a vontade.
(**) uma questão chata agora é provar que sempre existe p, q que tornem e
0, pois aí teríamos 0 na + m 1/q.
pra mim isso parece verdade pois seria extremamente bizarro haver apenas
aproximações por cima com a precisão denominador²!
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
Espero que esteja certo, de uma conferida..
Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes
continuas de a.
Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+ e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0,
p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... )
com n par satisfazem 0 a - p_n/q_n (1/q_n)^2
Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um
eps0 qualquer, escolher n tq 1/q_n eps.
Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 (q_n)*a - p_n eps.
Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum
multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo.
Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora
olhando para as reduzidas de ordem impar.
Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das
relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto
por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado
a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que eh
o algoritmo de euclides).
Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma
(np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo
= 1/q. Em particular, B nao eh denso em R.
Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em
R.
- Original Message -
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 09, 2003 2:08 PM
Subject: [obm-l] Conjunto denso em R
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS}
eh
denso em R.
Qualquer ajuda serah bem-vinda.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
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=
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
on 09.09.03 14:08, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
Obrigado, Domingos e Marcio:
De fato, a precisa ser positivo. Alem disso, ajuda um pouco sem
enfraquecer muito a hipotese supor que m e n sao NAO-NEGATIVOS ao inves de
estritamente positivos.
Mas o mais importante foi a ideia de separar a demonstracao em duas partes:
1) Provar que B inter R+ eh denso em R+
2) Provar que B inter R- eh denso em R-.
Com essa divisao a coisa vai...
Por exemplo, para a parte 1 teriamos os seguintes passos:
a) Particionamos [0,1) = [0,1/n) U [1/n,2/n) U ... U [(n-1)/n,1)
b) Consideramos os n+1 numeros: 0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na] e
usamos o PCP para concluir que dois deles, digamos ra - [ra] e sa - [sa],
com 0 = r s = n, pertencem ao mesmo sub-intervalo.
c) Isso quer dizer que 0 | (sa - [sa]) - (ra - [ra]) | 1/n, ou seja:
0 | (s - r)a - ([sa] - [ra]) | 1/n
d) Mas a 0 e r s == s - r 0 e [sa] - [ra] = 0.
Assim: 0 (s - r)a - ([sa] - [ra]) 1/n.
e) Mas (s - r)a - ([sa] - [ra]) pertence a B. Como n eh arbitrario,
concluimos que inf(B inter R+) = 0.
f) Agora, sejam os reais u, v tais que 0 = u v. Dado n 1/(v - u), vai
existir um elemento de B, digamos pa - q, tal que 0 pa - q v - u.
g) Seja m o menor inteiro positivo tal que m(pa - q) u.
Naturalmente, m(pa - q) = (mp)a - mq pertence a B.
h) Se m(pa - q) = v, entao:
(m - 1)(pa - q) = m(pa - q) - (pa - q) v - (v - u) = u ==
contradicao a definicao de m ==
m(pa - q) v ==
m(pa - q) pertence ao intervalo (u,v) ==
B inter R+ eh denso em R+.
*
Considerando a particao:
[-1,0) = [-1,-(n-1)/n) U [-(n-1)/n,-(n-2)/n) U... U [-1/n,0)
e os n+1 numeros -1, a - ([a]+1), 2a - ([2a]+1), ..., na - ([na]+1)
e raciocinando de forma analoga, concluimos que B inter R- eh denso em R-.
Um abraco,
Claudio.
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[obm-l] Conjunto denso em R - Domingos
on 09.09.03 18:03, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
x
note que se a -1, então entre {-1, 0} não existe nenhum elemento de B.
que tal impor a condição a 0?
Oi, Domingos:
Realmente, voce tem toda a razao. Temos que supor a 0.
Agora, uma questao interessante:
Se a eh um irracional positivo e C = {n*a + m; m,n: inteiros nao-negativos},
serah que C tem algum ponto de acumulacao ou todos os seus pontos sao
isolados?
Um abraco,
Claudio.
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[obm-l] Conjunto denso em R - Marcio
on 09.09.03 20:10, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote: Espero que esteja certo, de uma conferida.. Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes continuas de a. Oi, Marcio: Realmente, com fracoes continuas o resultado sai, mas eu estava pensando numa solucao mais elementar, usando apenas o PCP. Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+ e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0, p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... ) com n par satisfazem 0 a - p_n/q_n (1/q_n)^2 Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um eps0 qualquer, escolher n tq 1/q_n eps. Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 (q_n)*a - p_n eps. Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo. Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora olhando para as reduzidas de ordem impar. Esse eh a ideia chave: separar os casos B inter R+ e B inter R-. Obvia, depois que alguem pensa nisso! Vou mandar uma msg com a solucao mais elementar usando essa ideia. Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que eh o algoritmo de euclides). Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma (np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo = 1/q. Em particular, B nao eh denso em R. Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em R. Bom ponto. O Domingos tambem observou isso. Com a negativo, serah que B tem algum ponto de acumulacao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
(**) uma questão chata agora é provar que sempre existe p, q que tornem e 0, pois aí teríamos 0 na + m 1/q. pra mim isso parece verdade pois seria extremamente bizarro haver apenas aproximações por cima com a precisão denominador²! nossa, agora que percebi, isso é completamente desnecessário... tome x y em B, então para algum q inteiro positivo tq 1/q y - x. se -1/q² e 0, então -1/q na + m 0 x y + na + m y, e segue que existe um elemento entre x, y em B. no caso de 0 na + m 1/q tomamos x x + na + m y. uma pergunta: eu conheci a definição de conjunto denso com base no que você (Cláudio) me disse, é assim mesmo que se prova que um conjunto é denso ou existe alguma condição adicional? vou pensar na questão dos pontos de acumulação... [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto denso em R - FURADA
on 09.09.03 14:08, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
Infelizmente a demonstracao abaixo tem um furo...veja o item (d):
a) Particionamos [0,1) = [0,1/n) U [1/n,2/n) U ... U [(n-1)/n,1)
b) Consideramos os n+1 numeros: 0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na] e
usamos o PCP para concluir que dois deles, digamos ra - [ra] e sa - [sa],
com 0 = r s = n, pertencem ao mesmo sub-intervalo.
c) Isso quer dizer que 0 | (sa - [sa]) - (ra - [ra]) | 1/n, ou seja:
0 | (s - r)a - ([sa] - [ra]) | 1/n
d) Mas a 0 e r s == s - r 0 e [sa] - [ra] = 0.
A PASSAGEM A SEGUIR NAO EH VALIDA
Assim: 0 (s - r)a - ([sa] - [ra]) 1/n.
Isso nao eh sempre verdade. Por exemplo:
a = 1,501..., r = 1, s = 2 ==
(s - r)a = 1,501...
[sa] - [ra] = 3 - 1 = 2 ==
(s - r)a - ([sa] - [ra]) = 0,002... - 1,501... = -0,491... 0
Foi mal!
OBS: A demonstracao mais sofisticada do Marcio, usando a representacao de a
em fracao continua (cujas reduzidas de ordem par sao sempre a), continua
valendo. Ou seja, o resultado eh verdadeiro.
Um abraco,
Claudio.
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