Re: [obm-l] Conjuntos finitos
ou seja, {X}-{o} e {Y}-{d}.
Desculpe. X-{o} e Y-{d}
--
Henrique
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
No livro Introduction to Algorithms, Cormen et al, na parte que fala
sobre fluxo máximo em grafos, ele utiliza, por exemplo, f(X,Y) onde X
e Y são conjuntos de vértices do grafo e f é o somatório dos fluxos
dos vértices que partem do conjunto X para aqueles no conjunto Y.
Geralmente, em uma rede, um grafo dirigido com pesos nas arestas, na
qual se quer encontrar o fluxo máximo, define-se um vértice como a
origem e outro como destino. Caso seja necessário desconsiderar esses
vértices no cálculo do fluxo poderíamos representar por f(X-o, Y-d),
onde o e d são origem e destino, respectivamente, e X-o seria o
conjunto X sem o elemento o e Y-d o conjunto Y sem o elemento d,
ou seja, {X}-{o} e {Y}-{d}.
Esse seria um exemplo de utilizar conjuntos e somatórios em uma única
representação através de função.
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Marcelo \o/
vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática
costuma-se definir
somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),
só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
sim, definir da seguinte maneira
somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
se n0, n natural e se n=0
somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
, i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
inferior inteiro e superior inteiro
somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
se p0, p natural e se p=0
somatorio k=a até a f(k)=f(a)
com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à a
então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.
para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
somatorio k=b até a f(k) =0 se ab (i.e se o limite superior é menor
que o limite inferior)
com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
somatorios como
somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
se s=a e b=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
geral de certo modo)
mas ai estava pensando em definir somatorios em outros conjuntos
finitos, por exemplo, definir formalmente somatorio sobre primos em
um intervalo etc...
na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
tendo sobre esse assunto
abraços
Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...
Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))
um abraço,
Salhab
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| = 1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
Se existe n, tal que s(n)=vazio
então n é finito e tem n elementos?
e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
(relaçao de se e somente se).
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Olá Rodrigo,
pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...
Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))
um abraço,
Salhab
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe
n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
Se existe n, tal que s(n)=vazio
então n é finito e tem n elementos?
e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
(relaçao de se e somente se).
=
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=
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Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Olá Marcelo \o/
vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática
costuma-se definir
somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),
só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
sim, definir da seguinte maneira
somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
se n0, n natural e se n=0
somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
, i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
inferior inteiro e superior inteiro
somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
se p0, p natural e se p=0
somatorio k=a até a f(k)=f(a)
com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à a
então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.
para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
somatorio k=b até a f(k) =0 se ab (i.e se o limite superior é menor
que o limite inferior)
com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
somatorios como
somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
se s=a e b=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
geral de certo modo)
mas ai estava pensando em definir somatorios em outros conjuntos
finitos, por exemplo, definir formalmente somatorio sobre primos em
um intervalo etc...
na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
tendo sobre esse assunto
abraços
Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...
Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))
um abraço,
Salhab
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe
n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se
[obm-l] Conjuntos finitos
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
Se existe n, tal que s(n)=vazio
então n é finito e tem n elementos?
e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
(relaçao de se e somente se).
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| = 1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
Se existe n, tal que s(n)=vazio
então n é finito e tem n elementos?
e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Conjuntos finitos
Olá pessoal, nao consegui resolver o problema abaixo. Alguem pode tentar pra mim, por favor? Seja F(X;Y) o conjunto das funcoes com dominio em X e imagem em Y. Se cardX=m e cardY=n, prove que cardF(X;Y)=n^m. Tertuliano Carneiro. De Salvador. ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Seja F(X;Y) o conjunto das funcoes com dominio em X e imagem em Y. Se cardX=m e cardY=n, prove que cardF(X;Y)=n^m. seja f: X -- Y sejam x1, x2, ..., xm os elementos de X e y1, y2, ..., yn os elementos de Y f(x1) tem n possíveis valores f(x2) tem n possíveis valores ... f(xm) tem n possíveis valores como consideramos duas funções de F iguais se, para todo valor do domínio é associado a um mesmo valor na imagem, fica simples verificar que existem n.n.n...n = n^m possíveis funções distintas, logo cardF(X;Y) = n^m = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: [obm-l] Conjuntos finitos
Seja X = { x1, x2, x3, ... , xm } e Y = { y1, y2, y3, ... , yn }
Uma função f:X-Y pode ser definida pela enumeração dos valores de f(x1),
... , f(xm)
Cada um desses valores pode ser qualquer elemento de Y
Assim para cada elemento xi de X existem n possíveis valores de f(xi)
Pelo princípio multiplicativo temos: n * n * n * ... * n (m vezes) = n^m
diferentes funções.
Portando a cardinalidade do conjunto F(X;Y) é n^m
-Mensagem original-
De: Tertuliano Carneiro de Souza Neto [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em: quarta-feira, 15 de janeiro de 2003 16:06
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Conjuntos finitos
Olá pessoal, nao consegui resolver o problema abaixo.
Alguem pode tentar pra mim, por favor?
Seja F(X;Y) o conjunto das funcoes com dominio em X e
imagem em Y. Se cardX=m e cardY=n, prove que
cardF(X;Y)=n^m.
Tertuliano Carneiro.
De Salvador.
___
Yahoo! GeoCities
Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e
acessórios.
http://br.geocities.yahoo.com/
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Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Dadoum elemento qualquer pertencente a X,temos n posssibilidades de correspondência com algum outroelemento de Y.Pode-se dizer o mesmo para demais elementos de X.Daí,o total de sequências depares ordenados que podem ser formadas será n*n*n...*n,m vezes,sendo que cada sequência de pares ordenados representa um função em particular.Acho que isso mostra que cardF(X,Y)=n^m Corrijam-me se eu tiver cometido algum equívoco. Eder - Original Message - From: Tertuliano Carneiro de Souza Neto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 15, 2003 5:05 PM Subject: [obm-l] Conjuntos finitos Olá pessoal, nao consegui resolver o problema abaixo.Alguem pode tentar pra mim, por favor?Seja F(X;Y) o conjunto das funcoes com dominio em X eimagem em Y. Se cardX=m e cardY=n, prove que cardF(X;Y)=n^m.Tertuliano Carneiro.De Salvador. ___Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]=
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
BEM EU ACHO ISSO QUASE TRIVIAL.TENTE COLOCAR m BOLAS DE CORES DIFERENTES EM nCAIXAS DIFERENTES.FAÇA UMA INDUÇAO(PODE AJUDAR) Tertuliano Carneiro de Souza Neto [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, nao consegui resolver o problema abaixo.Alguem pode tentar pra mim, por favor?Seja F(X;Y) o conjunto das funcoes com dominio em X eimagem em Y. Se cardX=m e cardY=n, prove que cardF(X;Y)=n^m.Tertuliano Carneiro.De Salvador. ___Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
