Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
agora sobre o somatório dessas p.as de outras ordens,elas saem fácil
sabendo a propriedade de somatorio de coeficiente binomial
somatorio [x=0 até b] de c(x+c, k) = c(b+c+1, k+1)
dai temos
somatorio [x=0 até n] de c(x-1, k) = c( n-1+1, k+1) =c( n,k+1)
sobre a sequencia { 3, 0, 5, 34 , 135, 452}
já tinham colocado em outro email que, apenas os primeiros termos não
definem uma sequencia, pois existem infinitas fórmulas que os geram,
que tem esses termos em comum, porém uma formula simples pra esses
termos é f(n)=2.3^(n) -7.n +1, a partir de f(0), ai o somatorio
nao sairia pelo metodo do seu email, mas sim o somatorio de termos de
uma p.g 3^n, e de uma p.a -7n +1,
o/
Em 28/02/08, Rodrigo Renji[EMAIL PROTECTED] escreveu:
agora sobre dua dúvida,, sobre o operador E (de expansão?)
o operador E, quando aplicado numa função f(x), faz ela ser deslocada,
sendo tomada f(x+1)
isto é a definição dele é Ef(x)= f(x+1)
as potencias maiores, podem ser definidas
E^k f(x)= f(x+k), k pode ser qualquer real, mas no cálculo de
diferenças finitas estamos apenas interessados quando k é inteiro.
exemplos
E 2^(x) = 2^(x+1)
Esen(x) = sen(x+1)
ai temos o operador delta que vou escrever como D, ele se definine como
Df(x)= f(x+1)-f(x), mas sabemos que f(x+1)= Ef(x), assim escrevemos
Df(x)= Ef(x)-f(x), como seria interessante colocar f(x) em evidencia em
Ef(x)-f(x), definimos a soma de dois operadores (A+B)f(x)=Af(x)+Bf(x)
(e produto pode ser definido tb, bla bla bla, tem que demonstrar um
monte de coisas nisso)
ai tomamos
Df(x)=(E-1) f(x) e dizemos que o operador D=E-1, pois para toda função
em que são aplicadas eles fazem a mesma coisa, tomar f(x+1)-f(x).
sobre os metodos, todos eles são da teoria de diferenças finitas.
abraços o/
Em 28/02/08, Rodrigo Renji[EMAIL PROTECTED] escreveu:
ah sim uma dedução que pode ser feita pra deduzir a formula das p.a de
ordem superior
para as progressões aritmeticas podemos escrever
an=a1+ (n-1).r = c(n-1,0) a1 + c(n-1,1) r
vamos deduzir agora a formula da p.a de ordem 2, montando o seguinte
esquema
o primeiro termo da p.a de ordem 2, vou chamar de b1, o n-esimo termo
vou chamar de bn
então podemos montar o esquema
b1b2--b3b4
b1-b1+a1---b1+2a1+r---b1+3a1 +3r
-a1--a1+r---a1+2r
rr
temos entao
b1=b1
b2=b1+a1
b3=b1+2a1+r
b4=b1+3a1+3r
dai percebemos que nesse casos, aparece sempre b1, com coeficiente 1
entao poderiamos deduzir
bn =b1
analisando os coeficientes de a1, nos bn, temos
b1=0a1
b2=1a1
b3=2a1
b4=3a1
perceba que nos casos tomados, bn, o coeficiente de a1, é sempre (n-1)
então ate agora temos bn =b1+ (n-1)a1
agora vamos deduzir o coeficiente de r
b1=0r
b2=0r
b3=1r
b4=3r
observe que para n=1 e e n=2, os coeficientes de r são zero,
poderiamos escrever entao
(n-1)(n-2).k como coeficiente de r, só que tem que ser válido quando
n=3, se n=3, temos
o coeficiente igual a 1, logo (3-1)(3-2).k=1 2.1.k=1, logo k=1/2
temos então o coeficiente de r igual a (n)(n-1)/2
a forma fica então
bn=b1+(n-1)a1+(n-1)(n-2).r/2
escreva agora essa expressão com coeficiente binomial
bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r
e compare com a p.a escrita com coeficiente binomial
an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r
as duas juntas
bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r
an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r
olhando esse padrão ja daria pra deduzir a formula da p.a de terceira
ordem
cn=c(n-1,0)c1+c(n-1,1)b1+c(n-1,2)a1 +c(n-1,3)r
onde c1, seria a o primeiro termo da p.a de ordem 3
e a de quarta ordem
dn=c(n-1,0)d1+c(n-1,1)c1+c(n-1,2)b1 +c(n-1,3)a1 +c(n-1,4)r
Em 25/02/08, Rodrigo Renji[EMAIL PROTECTED] escreveu:
acho que nao mandei o email inteiro da outra vez, aqui vai completo:
Pedro vou tentar explicar melhor o que eu sei de p.a's de outras
ordens (seguindo uma maneira informal e tentando deduzir a formula
geral)
primeiro as notações que vou usar, o coeficiente binomial n!/k!(n-k)
vou escrever como c(n,k)
vou começar fazendo o seguinte, analisando um polinomio do primeiro
grau, por exemplo...
y=2x+1. tomando valores, de x variando de 0, depois 1, depois 2, vamos
ver o que acontece
x=0 y=2.0+1 =1
x=1 y=2.1+1=3
x=2 y=2.2+1=5
x=3 y=2.3+1=7
vamos alinhar os valores de y em sequencia
1-3---5-7, tirando as diferenças
---2--2---2, ela é sempre constante igual a 2, então temos uma
p.a
mas o que aconteceria se tomassemos diferenças em um polinomio de grau
2? vamos ver o que acontece?, vamos tomar um polinomio simples de grau
2, por exemplo y=x^2
e tomar valores partindo de zero, e pulando de 1 em 1, vamos lá
Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
ah sim uma dedução que pode ser feita pra deduzir a formula das p.a de ordem superior para as progressões aritmeticas podemos escrever an=a1+ (n-1).r = c(n-1,0) a1 + c(n-1,1) r vamos deduzir agora a formula da p.a de ordem 2, montando o seguinte esquema o primeiro termo da p.a de ordem 2, vou chamar de b1, o n-esimo termo vou chamar de bn então podemos montar o esquema b1b2--b3b4 b1-b1+a1---b1+2a1+r---b1+3a1 +3r -a1--a1+r---a1+2r rr temos entao b1=b1 b2=b1+a1 b3=b1+2a1+r b4=b1+3a1+3r dai percebemos que nesse casos, aparece sempre b1, com coeficiente 1 entao poderiamos deduzir bn =b1 analisando os coeficientes de a1, nos bn, temos b1=0a1 b2=1a1 b3=2a1 b4=3a1 perceba que nos casos tomados, bn, o coeficiente de a1, é sempre (n-1) então ate agora temos bn =b1+ (n-1)a1 agora vamos deduzir o coeficiente de r b1=0r b2=0r b3=1r b4=3r observe que para n=1 e e n=2, os coeficientes de r são zero, poderiamos escrever entao (n-1)(n-2).k como coeficiente de r, só que tem que ser válido quando n=3, se n=3, temos o coeficiente igual a 1, logo (3-1)(3-2).k=1 2.1.k=1, logo k=1/2 temos então o coeficiente de r igual a (n)(n-1)/2 a forma fica então bn=b1+(n-1)a1+(n-1)(n-2).r/2 escreva agora essa expressão com coeficiente binomial bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r e compare com a p.a escrita com coeficiente binomial an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r as duas juntas bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r olhando esse padrão ja daria pra deduzir a formula da p.a de terceira ordem cn=c(n-1,0)c1+c(n-1,1)b1+c(n-1,2)a1 +c(n-1,3)r onde c1, seria a o primeiro termo da p.a de ordem 3 e a de quarta ordem dn=c(n-1,0)d1+c(n-1,1)c1+c(n-1,2)b1 +c(n-1,3)a1 +c(n-1,4)r Em 25/02/08, Rodrigo Renji[EMAIL PROTECTED] escreveu: acho que nao mandei o email inteiro da outra vez, aqui vai completo: Pedro vou tentar explicar melhor o que eu sei de p.a's de outras ordens (seguindo uma maneira informal e tentando deduzir a formula geral) primeiro as notações que vou usar, o coeficiente binomial n!/k!(n-k) vou escrever como c(n,k) vou começar fazendo o seguinte, analisando um polinomio do primeiro grau, por exemplo... y=2x+1. tomando valores, de x variando de 0, depois 1, depois 2, vamos ver o que acontece x=0 y=2.0+1 =1 x=1 y=2.1+1=3 x=2 y=2.2+1=5 x=3 y=2.3+1=7 vamos alinhar os valores de y em sequencia 1-3---5-7, tirando as diferenças ---2--2---2, ela é sempre constante igual a 2, então temos uma p.a mas o que aconteceria se tomassemos diferenças em um polinomio de grau 2? vamos ver o que acontece?, vamos tomar um polinomio simples de grau 2, por exemplo y=x^2 e tomar valores partindo de zero, e pulando de 1 em 1, vamos lá x=0, y=0 x=1, y=1 x=2, y=4 x=3, y=9 x=4, y=16 x=5, y=25 vamos tomar entao os resultados y, em sequencia 0-14---916-25 e se tiramos as diferenças, o que acontece?, vamos lá 0-14916-25 1-35---7--9 aparece nas diferenças, uma sequencia que não é constante, vamos então tirar a diferença dessa sequencia que apareceu (diferença das diferenças) (observe que as diferenças são os termos da primeira sequencia considerada, a que surgiu de y=2x+1) tomando as diferenças temos entao 1-35---7--9 --2--22---2 uma constante 2, vimos então que, tomando um polinomio de grau 2 (o y=x^2), e tomando as diferenças, temos uma sequencias onde a diferença é uma p.a e a segunda diferença é constante, e o que aconteceria com um polinomio de grau 3? (vou fazer só mais esse caso) exemplo y=x^3, tomando valores, começando do zero, temos x=0 y=0 x=1, y=1 x=2, y=8 x=3, y=27 x=4 , y=64 x=5, y=125 pondo em ordem e tirando as diferenças temos 0---18-27-64125 ---1---719-37--61 --6---1218--24 -6-6--6 a primeira diferença nao é constante, a segunda diferença não é constante, porém a terceira diferença é constante com isso podemos perceber algumas coisas, como, nos casos analisados, a n diferença de um polinomio de grau n é constante, e como a diferença de constante é zero, temos a n+1 diferença de um polinomio de grau n é zero. dos exemplos, diferença de termos no polinomio de grau 1, 2x+1 ´e constante, a 2 segunda diferença dos termos de um polinomio de grau 2 é constante (no caso testado x^2) a terceira diferença de um polinomio de grau 3 é constante( do caso x^3) mas como definir essas sequencias? a sequencia cuja segunda diferença é constante, é uma p.a de ordem 2, a sequencia cuja terceira diferença é constante é uma p.a de ordem 3, a sequencia onde a n esima diferença é constante, é uma p.a de ordem n ( sendo as constantes diferentes de zero) no proximo email uma dedução das primeiras formulas de p.a e extrapolação pra todos outros casos
Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
agora sobre dua dúvida,, sobre o operador E (de expansão?) o operador E, quando aplicado numa função f(x), faz ela ser deslocada, sendo tomada f(x+1) isto é a definição dele é Ef(x)= f(x+1) as potencias maiores, podem ser definidas E^k f(x)= f(x+k), k pode ser qualquer real, mas no cálculo de diferenças finitas estamos apenas interessados quando k é inteiro. exemplos E 2^(x) = 2^(x+1) Esen(x) = sen(x+1) ai temos o operador delta que vou escrever como D, ele se definine como Df(x)= f(x+1)-f(x), mas sabemos que f(x+1)= Ef(x), assim escrevemos Df(x)= Ef(x)-f(x), como seria interessante colocar f(x) em evidencia em Ef(x)-f(x), definimos a soma de dois operadores (A+B)f(x)=Af(x)+Bf(x) (e produto pode ser definido tb, bla bla bla, tem que demonstrar um monte de coisas nisso) ai tomamos Df(x)=(E-1) f(x) e dizemos que o operador D=E-1, pois para toda função em que são aplicadas eles fazem a mesma coisa, tomar f(x+1)-f(x). sobre os metodos, todos eles são da teoria de diferenças finitas. abraços o/ Em 28/02/08, Rodrigo Renji[EMAIL PROTECTED] escreveu: ah sim uma dedução que pode ser feita pra deduzir a formula das p.a de ordem superior para as progressões aritmeticas podemos escrever an=a1+ (n-1).r = c(n-1,0) a1 + c(n-1,1) r vamos deduzir agora a formula da p.a de ordem 2, montando o seguinte esquema o primeiro termo da p.a de ordem 2, vou chamar de b1, o n-esimo termo vou chamar de bn então podemos montar o esquema b1b2--b3b4 b1-b1+a1---b1+2a1+r---b1+3a1 +3r -a1--a1+r---a1+2r rr temos entao b1=b1 b2=b1+a1 b3=b1+2a1+r b4=b1+3a1+3r dai percebemos que nesse casos, aparece sempre b1, com coeficiente 1 entao poderiamos deduzir bn =b1 analisando os coeficientes de a1, nos bn, temos b1=0a1 b2=1a1 b3=2a1 b4=3a1 perceba que nos casos tomados, bn, o coeficiente de a1, é sempre (n-1) então ate agora temos bn =b1+ (n-1)a1 agora vamos deduzir o coeficiente de r b1=0r b2=0r b3=1r b4=3r observe que para n=1 e e n=2, os coeficientes de r são zero, poderiamos escrever entao (n-1)(n-2).k como coeficiente de r, só que tem que ser válido quando n=3, se n=3, temos o coeficiente igual a 1, logo (3-1)(3-2).k=1 2.1.k=1, logo k=1/2 temos então o coeficiente de r igual a (n)(n-1)/2 a forma fica então bn=b1+(n-1)a1+(n-1)(n-2).r/2 escreva agora essa expressão com coeficiente binomial bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r e compare com a p.a escrita com coeficiente binomial an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r as duas juntas bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r olhando esse padrão ja daria pra deduzir a formula da p.a de terceira ordem cn=c(n-1,0)c1+c(n-1,1)b1+c(n-1,2)a1 +c(n-1,3)r onde c1, seria a o primeiro termo da p.a de ordem 3 e a de quarta ordem dn=c(n-1,0)d1+c(n-1,1)c1+c(n-1,2)b1 +c(n-1,3)a1 +c(n-1,4)r Em 25/02/08, Rodrigo Renji[EMAIL PROTECTED] escreveu: acho que nao mandei o email inteiro da outra vez, aqui vai completo: Pedro vou tentar explicar melhor o que eu sei de p.a's de outras ordens (seguindo uma maneira informal e tentando deduzir a formula geral) primeiro as notações que vou usar, o coeficiente binomial n!/k!(n-k) vou escrever como c(n,k) vou começar fazendo o seguinte, analisando um polinomio do primeiro grau, por exemplo... y=2x+1. tomando valores, de x variando de 0, depois 1, depois 2, vamos ver o que acontece x=0 y=2.0+1 =1 x=1 y=2.1+1=3 x=2 y=2.2+1=5 x=3 y=2.3+1=7 vamos alinhar os valores de y em sequencia 1-3---5-7, tirando as diferenças ---2--2---2, ela é sempre constante igual a 2, então temos uma p.a mas o que aconteceria se tomassemos diferenças em um polinomio de grau 2? vamos ver o que acontece?, vamos tomar um polinomio simples de grau 2, por exemplo y=x^2 e tomar valores partindo de zero, e pulando de 1 em 1, vamos lá x=0, y=0 x=1, y=1 x=2, y=4 x=3, y=9 x=4, y=16 x=5, y=25 vamos tomar entao os resultados y, em sequencia 0-14---916-25 e se tiramos as diferenças, o que acontece?, vamos lá 0-14916-25 1-35---7--9 aparece nas diferenças, uma sequencia que não é constante, vamos então tirar a diferença dessa sequencia que apareceu (diferença das diferenças) (observe que as diferenças são os termos da primeira sequencia considerada, a que surgiu de y=2x+1) tomando as diferenças temos entao 1-35---7--9 --2--22---2 uma constante 2, vimos então que, tomando um polinomio de grau 2 (o y=x^2), e tomando as diferenças, temos uma sequencias onde a diferença é uma p.a e a segunda diferença é constante, e o que aconteceria com um polinomio de grau 3? (vou fazer só mais esse caso) exemplo y=x^3, tomando valores, começando
[obm-l] Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
Rodrigo independe das minhas dúvidas obrigado.Por favor eu não entendi
:Ef(x)= f(x+1), entao podemos escreverD f(x)= Ef(x)-f(x) dá
para explica com número? é possível? desculpe-me minha ignorância e na 2
posso também deduzir uma fórmula usando binomio?
- Original Message -
From: Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, February 24, 2008 8:19 PM
Subject: Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
a fórmula você pode deduzir assim,
vou chamar o operador delta, de D (nao confundir com derivada), o
operador delta faz Df(x)=f(x+1)-f(x), seja o operador E que faz
Ef(x)= f(x+1), entao podemos escrever D f(x)= Ef(x)-f(x) (é possivel
definir operaçãoes analogas a soma, produto , potenciação, com esses
operadores e mostrar que formam um anel , sendo valida tb uma
propriedade similar ao binomio de newton, vou usar ela pra deduzir as
formulas das PA),
podemos escrever D f(x)= (E-1) f(x)
as diferenças de ordem superior são definidas assim
D^0 f(x)=f(x)
D^(k+1) f(x)= D^k f(x+1) - D^kf(x) para k0 , k natural
definindo tb E^k f(x)= f(x+k)
é válido fazer o seguinte
primeiro
D^n f(x)= (E-1)^n f(x) expandindo esse segundo termo por teoremade
binomio de newton
vou escrever o coeficiente binomial como c(n,k)= n!/k!(n-k)!, temos
D^nf(x)= somatorio [k=0 ate n] de c(n,k) E^(n-k) .(-1)^k f(x)
assim voce tem as diferenças escritas em função de valores sucessivos da
função
mas da relação D=E-1, temos D+1=E, tomando potencias n em cada temos
(D+1)^n =E^n, aplicando numa função f(x) temos
E^n f(x)= (D+1)^n f(x) expande por teorema binomial
E^n f(x)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
f(x+n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
se voce fizer x=0 tem
f(n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(0)
se fizer x=1 e n=p-1 temos
f(p-1+1)=f(p)= somatorio [k=0 até p-1] c(p-1,k) D^k f(1)
que é a formula que se quer
Em 31/10/01, Pedro[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de
maneira
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas
que
estão em negritos a abaixo.
1)Seja a PA de ordem 3
1,3,19,61,141,271,... a_i
Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:
2,16,42,80,130Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12 Delta^3 a_i
a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)
S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
Determine o termo geral da sequência { 3, 0, 5, 34 , 135,
452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
Rodrigo independente das minhas dúvidas obrigado.Não entendi Ef(x)= f(x+1),
entao podemos escrever D f(x)= Ef(x)-f(x) , você pode explica com números?
descupe-me minha ignorância.
- Original Message -
From: Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, February 24, 2008 8:19 PM
Subject: Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
a fórmula você pode deduzir assim,
vou chamar o operador delta, de D (nao confundir com derivada), o
operador delta faz Df(x)=f(x+1)-f(x), seja o operador E que faz
Ef(x)= f(x+1), entao podemos escrever D f(x)= Ef(x)-f(x) (é possivel
definir operaçãoes analogas a soma, produto , potenciação, com esses
operadores e mostrar que formam um anel , sendo valida tb uma
propriedade similar ao binomio de newton, vou usar ela pra deduzir as
formulas das PA),
podemos escrever D f(x)= (E-1) f(x)
as diferenças de ordem superior são definidas assim
D^0 f(x)=f(x)
D^(k+1) f(x)= D^k f(x+1) - D^kf(x) para k0 , k natural
definindo tb E^k f(x)= f(x+k)
é válido fazer o seguinte
primeiro
D^n f(x)= (E-1)^n f(x) expandindo esse segundo termo por teoremade
binomio de newton
vou escrever o coeficiente binomial como c(n,k)= n!/k!(n-k)!, temos
D^nf(x)= somatorio [k=0 ate n] de c(n,k) E^(n-k) .(-1)^k f(x)
assim voce tem as diferenças escritas em função de valores sucessivos da
função
mas da relação D=E-1, temos D+1=E, tomando potencias n em cada temos
(D+1)^n =E^n, aplicando numa função f(x) temos
E^n f(x)= (D+1)^n f(x) expande por teorema binomial
E^n f(x)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
f(x+n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
se voce fizer x=0 tem
f(n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(0)
se fizer x=1 e n=p-1 temos
f(p-1+1)=f(p)= somatorio [k=0 até p-1] c(p-1,k) D^k f(1)
que é a formula que se quer
Em 31/10/01, Pedro[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de
maneira
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas
que
estão em negritos a abaixo.
1)Seja a PA de ordem 3
1,3,19,61,141,271,... a_i
Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:
2,16,42,80,130Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12 Delta^3 a_i
a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)
S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
Determine o termo geral da sequência { 3, 0, 5, 34 , 135,
452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
Sauda,c~oes,
Oi Pedro,
Tudo isto está demonstrado no exercício 56 do
Manual de Seq. e Séries Vol II.
[]'s
Luís
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Diferença finita ( de
novo)Date: Thu, 1 Nov 2001 00:23:32 -0200
Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de maneira
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas que
estão em negritos a abaixo.
1)Seja a PA de ordem 31,3,19,61,141,271,... a_iVamos gerar outras PAs
fazendo a_{i+1} - a_i:2,16,42,80,130Delta a_i14,26,38,50 Delta^2
a_i12,12,12 Delta^3 a_ia_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) +
Delta^2 a_1binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)a_i = 1 + 2(i-1) +
14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1S_n = a_1
binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3
binom(n,4)S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
Determine o termo geral da sequência { 3, 0, 5, 34 , 135, 452}
e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
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Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
Pedro vou tentar explicar melhor o que eu sei de p.a's de outras
ordens (seguindo uma maneira informal e tentando deduzir a formula
geral)
primeiro as notações que vou usar, o coeficiente binomial n!/k!(n-k)
vou escrever como c(n,k)
vou começar fazendo o seguinte, analisando um polinomio do primeiro
grau, por exemplo...
y=2x+1. tomando valores, de x variando de 0, depois 1, depois 2, vamos
ver o que acontece
x=0 y=2.0+1 =1
x=1 y=2.1+1=3
x=2 y=2.2+1=5
x=3 y=2.3+1=7
vamos alinhar os valores de y em sequencia
1-3---5-7, tirando as diferenças
---2--2---2, ela é sempre constante igual a 2, então temos uma p.a
mas o que aconteceria se tomassemos diferenças em um polinomio de grau
2? vamos ver o que acontece?, vamos tomar um polinomio simples de grau
2, por exemplo y=x^2
e tomar valores partindo de zero, e pulando de 1 em 1, vamos lá
x=0, y=0
x=1, y=1
x=2, y=4
x=3, y=9
x=4, y=16
x=5, y=25
vamos tomar entao os resultados y, em sequencia
0-14---916-25
e se tiramos as diferenças, o que acontece?, vamos lá
0-14916-25
1-35---7--9
aparece nas diferenças, uma sequencia que não é constante, vamos então
tirar a diferença dessa sequencia que apareceu (diferença das
diferenças) (observe que as diferenças são os termos da primeira
sequencia considerada, a que surgiu de y=2x+1)
tomando as diferenças temos entao
1-35---7--9
--2--22---2
uma constante 2, vimos então que, tomando um polinomio de grau 2 (o
y=x^2), e tomando as diferenças, temos uma sequencias onde a diferença
é uma p.a e a segunda diferença é constante, e o que aconteceria com
um polinomio de grau 3? (vou fazer só mais esse caso)
exemplo y=x^3, tomando valores, começando do zero, temos
x=0 y=0
x=1, y=1
x=2, y=8
x=3, y=27
x=4 , y=64
x=5, y=125
pondo em ordem e tirando as diferenças temos
0---18-27-64125
---1---719-37--61
--6---1218--24
-6-6--6
a primeira diferença nao é constante, a segunda diferença não é
constante, porém a terceira diferença é constante
com isso podemos perceber algumas coisas, como, nos casos analisados,
a n diferença de um polinomio de grau n é constante, e como a
diferença de constante é zero, temos a n+1 diferença de um polinomio
de grau n é zero.
dos exemplos, diferença de termos no polinomio de grau 1, 2x+1 ´e constante,
a 2 segunda diferença dos termos de um polinomio de grau 2 é constante
(no caso testado x^2)
a terceira diferença de um polinomio de grau 3 é constante( do caso x^3)
mas como definir essas sequencias?
a sequencia cuja segunda diferença é constante, é uma p.a de ordem 2,
a sequencia cuja terceira diferença é constante é uma p.a de ordem 3,
a sequencia onde a n esima diferença é constante, é uma p.a de ordem n
( sendo as constantes diferentes de zero)
no proximo email uma dedução das primeiras formulas de p.a e
extrapolação pra todos outros casos
Em 25/02/08, Luís Lopes[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Sauda,c~oes,
Oi Pedro,
Tudo isto está demonstrado no exercício 56 do
Manual de Seq. e Séries Vol II.
[]'s
Luís
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
Date: Thu, 1 Nov 2001 00:23:32 -0200
Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de maneira
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas que
estão em negritos a abaixo.
1)Seja a PA de ordem 3
1,3,19,61,141,271,... a_i
Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:
2,16,42,80,130Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12 Delta^3 a_i
a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)
S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
Determine o termo geral da sequência { 3, 0, 5, 34 , 135,
452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
acho que nao mandei o email inteiro da outra vez, aqui vai completo: Pedro vou tentar explicar melhor o que eu sei de p.a's de outras ordens (seguindo uma maneira informal e tentando deduzir a formula geral) primeiro as notações que vou usar, o coeficiente binomial n!/k!(n-k) vou escrever como c(n,k) vou começar fazendo o seguinte, analisando um polinomio do primeiro grau, por exemplo... y=2x+1. tomando valores, de x variando de 0, depois 1, depois 2, vamos ver o que acontece x=0 y=2.0+1 =1 x=1 y=2.1+1=3 x=2 y=2.2+1=5 x=3 y=2.3+1=7 vamos alinhar os valores de y em sequencia 1-3---5-7, tirando as diferenças ---2--2---2, ela é sempre constante igual a 2, então temos uma p.a mas o que aconteceria se tomassemos diferenças em um polinomio de grau 2? vamos ver o que acontece?, vamos tomar um polinomio simples de grau 2, por exemplo y=x^2 e tomar valores partindo de zero, e pulando de 1 em 1, vamos lá x=0, y=0 x=1, y=1 x=2, y=4 x=3, y=9 x=4, y=16 x=5, y=25 vamos tomar entao os resultados y, em sequencia 0-14---916-25 e se tiramos as diferenças, o que acontece?, vamos lá 0-14916-25 1-35---7--9 aparece nas diferenças, uma sequencia que não é constante, vamos então tirar a diferença dessa sequencia que apareceu (diferença das diferenças) (observe que as diferenças são os termos da primeira sequencia considerada, a que surgiu de y=2x+1) tomando as diferenças temos entao 1-35---7--9 --2--22---2 uma constante 2, vimos então que, tomando um polinomio de grau 2 (o y=x^2), e tomando as diferenças, temos uma sequencias onde a diferença é uma p.a e a segunda diferença é constante, e o que aconteceria com um polinomio de grau 3? (vou fazer só mais esse caso) exemplo y=x^3, tomando valores, começando do zero, temos x=0 y=0 x=1, y=1 x=2, y=8 x=3, y=27 x=4 , y=64 x=5, y=125 pondo em ordem e tirando as diferenças temos 0---18-27-64125 ---1---719-37--61 --6---1218--24 -6-6--6 a primeira diferença nao é constante, a segunda diferença não é constante, porém a terceira diferença é constante com isso podemos perceber algumas coisas, como, nos casos analisados, a n diferença de um polinomio de grau n é constante, e como a diferença de constante é zero, temos a n+1 diferença de um polinomio de grau n é zero. dos exemplos, diferença de termos no polinomio de grau 1, 2x+1 ´e constante, a 2 segunda diferença dos termos de um polinomio de grau 2 é constante (no caso testado x^2) a terceira diferença de um polinomio de grau 3 é constante( do caso x^3) mas como definir essas sequencias? a sequencia cuja segunda diferença é constante, é uma p.a de ordem 2, a sequencia cuja terceira diferença é constante é uma p.a de ordem 3, a sequencia onde a n esima diferença é constante, é uma p.a de ordem n ( sendo as constantes diferentes de zero) no proximo email uma dedução das primeiras formulas de p.a e extrapolação pra todos outros casos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Diferença finita ( de novo)
Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de maneira
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas que
estão em negritos a abaixo.
1)Seja a PA de ordem 3
1,3,19,61,141,271,... a_i
Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:
2,16,42,80,130Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12 Delta^3 a_i
a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)
S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
Determine o termo geral da sequência { 3, 0, 5, 34 , 135, 452}
e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
a fórmula você pode deduzir assim,
vou chamar o operador delta, de D (nao confundir com derivada), o
operador delta faz Df(x)=f(x+1)-f(x), seja o operador E que faz
Ef(x)= f(x+1), entao podemos escrever D f(x)= Ef(x)-f(x) (é possivel
definir operaçãoes analogas a soma, produto , potenciação, com esses
operadores e mostrar que formam um anel , sendo valida tb uma
propriedade similar ao binomio de newton, vou usar ela pra deduzir as
formulas das PA),
podemos escrever D f(x)= (E-1) f(x)
as diferenças de ordem superior são definidas assim
D^0 f(x)=f(x)
D^(k+1) f(x)= D^k f(x+1) - D^kf(x) para k0 , k natural
definindo tb E^k f(x)= f(x+k)
é válido fazer o seguinte
primeiro
D^n f(x)= (E-1)^n f(x) expandindo esse segundo termo por teoremade
binomio de newton
vou escrever o coeficiente binomial como c(n,k)= n!/k!(n-k)!, temos
D^nf(x)= somatorio [k=0 ate n] de c(n,k) E^(n-k) .(-1)^k f(x)
assim voce tem as diferenças escritas em função de valores sucessivos da função
mas da relação D=E-1, temos D+1=E, tomando potencias n em cada temos
(D+1)^n =E^n, aplicando numa função f(x) temos
E^n f(x)= (D+1)^n f(x) expande por teorema binomial
E^n f(x)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
f(x+n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
se voce fizer x=0 tem
f(n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(0)
se fizer x=1 e n=p-1 temos
f(p-1+1)=f(p)= somatorio [k=0 até p-1] c(p-1,k) D^k f(1)
que é a formula que se quer
Em 31/10/01, Pedro[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de maneira
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas que
estão em negritos a abaixo.
1)Seja a PA de ordem 3
1,3,19,61,141,271,... a_i
Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:
2,16,42,80,130Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12 Delta^3 a_i
a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)
S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
Determine o termo geral da sequência { 3, 0, 5, 34 , 135,
452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
