Re: [obm-l] Equações trigonometricas
Ola, a) tgx + cotgx = senx/cosx + cosx/senx = 2/sen(2x) = 2sen(6x) logo: sen(2x)*sen(6x) = 1 para o produto ser igual a 1, temos que ter: sen(2x) e sen(6x) iguais a 1 ou -1.. se sen(2x) = 1, entao: 2x = pi/2 + 2kpi, entao: 6x = 3pi/2 + 6kpi ... sen(6x) = sen(3pi/2) = -1... opa! esse nao pode ser solucao... se sen(2x) = -1, entao: 2x = -pi/2 + 2kpi, entao 6x = -3pi/2 + 6kpi... sen(6x) = sen(-3pi/2) = 1... opa! tb nao pode ser.. logo, nao tem solucao! b) (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5 todos os termos sao positivos e menores que 1 (inclusive) vamos supor que |senx| 1.. entao a expressao acima é menor que 5.. logo, nunca teremos a igualdade! entao a unica solucao pode ser qdo |senx| = 1...de fato, temos uma solucao! portanto: senx = +- 1 ... x = +-pi/2 + 2kpi abracos, Salhab On 4/11/07, Felipe Régis [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal da lista, Alguém pode me ajudar a determinar a solução de algumas equações trigonométricas. Aqui vão elas: 1) tgx + cotgx = 2sen6x 2) (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5 Obrigado, Felipe Régis. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equações trigonometricas
Olá pessoal da lista, Alguém pode me ajudar a determinar a solução de algumas equações trigonométricas. Aqui vão elas: 1) tgx + cotgx = 2sen6x 2) (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5 Obrigado, Felipe Régis.
Re: [obm-l] Equações trigonometricas
On 4/11/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: 2) (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5 Essa aqui é bem sacada. Note que senx = 1 resolve a equação. Ok. Bom agora temos que y = senx = 1 é solução de y^2 + y^4 + y^6 + y^8 +y^10 = 5 então divida a equação por y-1 e procure agora soluções entre [-1,1[ ... bom... a fome me chama :) Bom... continuando: y = -1 também é solução então podemos dividir o polinômio y^2 + y^4 + y^6 + y^8 +y^10 - 5 por y^2 - 1 daí resulta: y^8 + 2y^6 + 3y^4 + 4 y^2 +5 = 0 y^8 + 2y^6 + 3y^4 + 4 y^2 = -5 Bom... agora esse polinônio não pode ter raízes reais pois a soma de potências pares de números reais é sempre real e positivo. Então y = -1 e y = 1 são as únicas soluções para y = senx e x = +- pi/2 + k*pi, da equação com k inteiro []s []s Obrigado, Felipe Régis. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
Re: [obm-l] Equações trigonometricas
tgx + cotgx = 2sen6x (sen²x+cos²x)/senxcosx = 2sen6x sen6x*2senxcosx=1 sen6x.sen2x=1 sen6x=sen2x=1 ou sen6x=sen2x=-1 2x=pi/2 + kpi x=pi/4 + kpi/2 On 4/11/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: On 4/11/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: 2) (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5 Essa aqui é bem sacada. Note que senx = 1 resolve a equação. Ok. Bom agora temos que y = senx = 1 é solução de y^2 + y^4 + y^6 + y^8 +y^10 = 5 então divida a equação por y-1 e procure agora soluções entre [-1,1[ ... bom... a fome me chama :) Bom... continuando: y = -1 também é solução então podemos dividir o polinômio y^2 + y^4 + y^6 + y^8 +y^10 - 5 por y^2 - 1 daí resulta: y^8 + 2y^6 + 3y^4 + 4 y^2 +5 = 0 y^8 + 2y^6 + 3y^4 + 4 y^2 = -5 Bom... agora esse polinônio não pode ter raízes reais pois a soma de potências pares de números reais é sempre real e positivo. Então y = -1 e y = 1 são as únicas soluções para y = senx e x = +- pi/2 + k*pi, da equação com k inteiro []s []s Obrigado, Felipe Régis. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
