RE: [obm-l] FW: PROBLEMAS..... de concurso??
diferem por uma constante quer dizer que um é igual ao outro vezes um k? nesse caso as raizes de um são iguais as raizes do outro From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] FW: PROBLEMAS. de concurso?? Date: Mon, 25 Jun 2012 13:56:08 + Sauda,c~oes, Me mandaram os problemas abaixo com o gabarito. Que tirei para ver as respostas justificadas de vocês, sempre melhores e mais espertas do que as minhas. Faço isso por 3 razões: 1) para me ajudarem; 2) para dar uma melhor resposta ao Fernando; 3) para tirar a lista do silêncio e moviment'a-la um pouco. [ ]'s Lu'is Prezado Luis, Gostaria de sua ajuda para as seguintes questões: 1)Se dois trinômios do 2º grau possuem as mesmas raízes então: a) eles são necessariamente iguais. b) eles assumem necessariamente um mínimo ou um máximo no mesmo ponto. c) eles diferem por uma constante. d) suas concavidades são de mesmo sentido. e) nenhuma das anteriores. R. letra a letra d é f'acil de ser eliminada. hum a letra a também 2)Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas distintas duas a duas, o número de funções quadráticas que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 R.letra .?
Re: [obm-l] FW: PROBLEMAS..... de concurso??
Diferem por uma constante quer dizer: a diferença é uma constante. Em símbolos: sejam P1 e P2 trinômios do segundo grau; dizer que P1 e P2 diferem por uma constante é equivalente a dizer que P1 - P2 = k, k real. Note que um é igual ao outro vezes um k é algo completamente diferente. (ex: P1(x) = x^2 + x + 1 e P2(x) = x^2 + x + 2, temos que (P2 - P1)(x) = 1 (ou seja, diferem por uma constante) e não existe k tal que P2 = kP1). -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2012/6/26 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com diferem por uma constante quer dizer que um é igual ao outro vezes um k? nesse caso as raizes de um são iguais as raizes do outro -- From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] FW: PROBLEMAS. de concurso?? Date: Mon, 25 Jun 2012 13:56:08 + Sauda,c~oes, Me mandaram os problemas abaixo com o gabarito. Que tirei para ver as respostas justificadas de vocês, sempre melhores e mais espertas do que as minhas. Faço isso por 3 razões: 1) para me ajudarem; 2) para dar uma melhor resposta ao Fernando; 3) para tirar a lista do silêncio e moviment'a-la um pouco. [ ]'s Lu'is Prezado Luis, Gostaria de sua ajuda para as seguintes questões: 1)Se dois trinômios do 2º grau possuem as mesmas raízes então: a) eles são necessariamente iguais. b) eles assumem necessariamente um mínimo ou um máximo no mesmo ponto. c) eles diferem por uma constante. d) suas concavidades são de mesmo sentido. e) nenhuma das anteriores. R. letra a letra d é f'acil de ser eliminada. hum a letra a também 2)Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas distintas duas a duas, o número de funções quadráticas que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 R.letra .?
[obm-l] FW: PROBLEMAS..... de concurso??
Sauda,c~oes, Me mandaram os problemas abaixo com o gabarito. Que tirei para ver as respostas justificadas de vocês, sempre melhores e mais espertas do que as minhas. Faço isso por 3 razões: 1) para me ajudarem; 2) para dar uma melhor resposta ao Fernando; 3) para tirar a lista do silêncio e moviment'a-la um pouco. [ ]'s Lu'is Prezado Luis, Gostaria de sua ajuda para as seguintes questões: 1)Se dois trinômios do 2º grau possuem as mesmas raízes então: a) eles são necessariamente iguais. b) eles assumem necessariamente um mínimo ou um máximo no mesmo ponto. c) eles diferem por uma constante. d) suas concavidades são de mesmo sentido. e) nenhuma das anteriores. R. letra a letra d é f'acil de ser eliminada. hum a letra a também 2)Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas distintas duas a duas, o número de funções quadráticas que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 R.letra .?
Re: [obm-l] FW: PROBLEMAS..... de concurso??
Problema 2:
Sejam P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3).
Hipóteses:
(1) P1, P2 e P3 são não-colineares
(2) xi != xj para i != j
Queremos determinar o número de funções f tais que P1, P2, P3 \in {(x,
f(x)); x \in R} da forma f(x) = ax^2 + bx + c.
Sem perda de generalidade, podemos assumir x1 x2 x3, e, também, x1 = y1
= 0 (justificado através da possibilidade de analisar o problema em
qualquer outro sistema de coordenadas que seja um deslocamento do original).
Dessa forma, f(0) = 0 == c = 0. Logo, f é da forma f(x) = ax^2 + bx.
Ora,
y2 = f(x2) = a(x2)^2 + b(x2)
y3 = f(x3) = a(x3)^2 + b(x3)
Temos, então, um sistema linear em (a, b), cuja matriz de coeficientes é M
= [[(x2)^2 (x2)]; [(x3)^2 (x3)]].
Ora, det M = (x2)^2 * (x3) - (x3)^2 * (x2) = (x2)(x3)((x2) - (x3)). Pelas
hipóteses, x2 != 0, x3 != 0 e x2 != x3, logo det M != 0, portanto existe
solução e é única. Assim, existe uma, e apenas uma, parábola passando pelos
3 pontos em questão.
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
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http://brunoreis.com
http://brunoreis.com/tech (en)
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GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2012/6/25 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com
Sauda,c~oes,
Me mandaram os problemas abaixo com o gabarito.
Que tirei para ver as respostas justificadas de vocês,
sempre melhores e mais espertas do que as minhas.
Faço isso por 3 razões:
1) para me ajudarem;
2) para dar uma melhor resposta ao Fernando;
3) para tirar a lista do silêncio e moviment'a-la
um pouco.
[ ]'s
Lu'is
Prezado Luis,
Gostaria de sua ajuda para as seguintes questões:
1)Se dois trinômios do 2º grau possuem as mesmas raízes então:
a) eles são necessariamente iguais.
b) eles assumem necessariamente um mínimo ou um máximo no mesmo ponto.
c) eles diferem por uma constante.
d) suas concavidades são de mesmo sentido.
e) nenhuma das anteriores.
R. letra a letra d é f'acil de ser eliminada. hum
a letra a também
2)Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas
distintas duas a duas, o número de funções quadráticas que podem ser
encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
R.letra .?
Re: [obm-l] FW: PROBLEMAS..... de concurso??
Problema 1:
(a) Sejam P1 um trinômio de 2o. grau e P2 = kP1 (k real não nulo, k != 1)
são dois trinômios de 2o. grau distintos com as mesmas raízes == (a) é
falso
(b) Sejam P1(x) = (x-1)(x-2) e P2 = 2P1 (k real não nulo, k != 1), são dois
trinômios de 2o. grau com as mesmas raízes e extremos distintos (P1: mínimo
em (3/2, -1/4), P2: mínimo em (3/2, -1/2)).
(c) Sejam P1 e P2 = 2P1, P2 - P1 = P1 que não é constante
(d) Sejam P1 e P2 = -P1, concavidades opostas.
Portanto, NDA.
x^2 - 2x + 1
2x - 2 = 0
x = 1
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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e^(pi*i)+1=0
2012/6/25 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Problema 2:
Sejam P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3).
Hipóteses:
(1) P1, P2 e P3 são não-colineares
(2) xi != xj para i != j
Queremos determinar o número de funções f tais que P1, P2, P3 \in {(x,
f(x)); x \in R} da forma f(x) = ax^2 + bx + c.
Sem perda de generalidade, podemos assumir x1 x2 x3, e, também, x1 =
y1 = 0 (justificado através da possibilidade de analisar o problema em
qualquer outro sistema de coordenadas que seja um deslocamento do original).
Dessa forma, f(0) = 0 == c = 0. Logo, f é da forma f(x) = ax^2 + bx.
Ora,
y2 = f(x2) = a(x2)^2 + b(x2)
y3 = f(x3) = a(x3)^2 + b(x3)
Temos, então, um sistema linear em (a, b), cuja matriz de coeficientes é M
= [[(x2)^2 (x2)]; [(x3)^2 (x3)]].
Ora, det M = (x2)^2 * (x3) - (x3)^2 * (x2) = (x2)(x3)((x2) - (x3)). Pelas
hipóteses, x2 != 0, x3 != 0 e x2 != x3, logo det M != 0, portanto existe
solução e é única. Assim, existe uma, e apenas uma, parábola passando pelos
3 pontos em questão.
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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2012/6/25 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com
Sauda,c~oes,
Me mandaram os problemas abaixo com o gabarito.
Que tirei para ver as respostas justificadas de vocês,
sempre melhores e mais espertas do que as minhas.
Faço isso por 3 razões:
1) para me ajudarem;
2) para dar uma melhor resposta ao Fernando;
3) para tirar a lista do silêncio e moviment'a-la
um pouco.
[ ]'s
Lu'is
Prezado Luis,
Gostaria de sua ajuda para as seguintes questões:
1)Se dois trinômios do 2º grau possuem as mesmas raízes então:
a) eles são necessariamente iguais.
b) eles assumem necessariamente um mínimo ou um máximo no mesmo ponto.
c) eles diferem por uma constante.
d) suas concavidades são de mesmo sentido.
e) nenhuma das anteriores.
R. letra a letra d é f'acil de ser eliminada. hum
a letra a também
2)Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas
distintas duas a duas, o número de funções quadráticas que podem ser
encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
R.letra .?
