Re: [obm-l] inteiros positivos
Bom dia! 7^3 ≡ 4*7 ≡ 1 (mod9) e não 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9) Em 27 de maio de 2015 09:52, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! Douglas, há valores ímpares de x que atendem 7^x≡ 4 (mod9) 7^2 ≡ 4 (mod9) == x ≡ 2 (mod3) 7^1 ≡ 7 (mod9) 7^2 ≡4 (mod9) 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9) == 7^(2+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9) -- Mensagem encaminhada -- De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com Data: 26 de maio de 2015 23:37 Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior ou igual a 2, teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x é par da forma 2k, logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3 cuja diferença vale 4. Assim só existe uma solução. Abraço. Douglas Oliveira Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Fwd: [obm-l] inteiros positivos
Bom dia! Douglas, há valores ímpares de x que atendem 7^x≡ 4 (mod9) 7^2 ≡ 4 (mod9) == x ≡ 2 (mod3) 7^1 ≡ 7 (mod9) 7^2 ≡4 (mod9) 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9) == 7^(2+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9) -- Mensagem encaminhada -- De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com Data: 26 de maio de 2015 23:37 Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior ou igual a 2, teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x é par da forma 2k, logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3 cuja diferença vale 4. Assim só existe uma solução. Abraço. Douglas Oliveira Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] inteiros positivos
Pense que x só pode assumir 4 formas, 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3. Em 27/05/2015 10:05, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! 7^3 ≡ 4*7 ≡ 1 (mod9) e não 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9) Em 27 de maio de 2015 09:52, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! Douglas, há valores ímpares de x que atendem 7^x≡ 4 (mod9) 7^2 ≡ 4 (mod9) == x ≡ 2 (mod3) 7^1 ≡ 7 (mod9) 7^2 ≡4 (mod9) 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9) == 7^(2+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9) -- Mensagem encaminhada -- De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com Data: 26 de maio de 2015 23:37 Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior ou igual a 2, teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x é par da forma 2k, logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3 cuja diferença vale 4. Assim só existe uma solução. Abraço. Douglas Oliveira Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] inteiros positivos
Douglas, em certo momento da sua demonstração, você diz o seguinte: ...7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4)... Porém, a primeira equação é satisfeita, por exemplo, por x = 5 (7^5 - 4 é múltiplo de 9!!!) não sendo, portanto, x côngruo a 2 mod4... Estou errado na minha avaliação? Em 27 de maio de 2015 10:58, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Pense que x só pode assumir 4 formas, 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3. Em 27/05/2015 10:05, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! 7^3 ≡ 4*7 ≡ 1 (mod9) e não 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9) Em 27 de maio de 2015 09:52, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! Douglas, há valores ímpares de x que atendem 7^x≡ 4 (mod9) 7^2 ≡ 4 (mod9) == x ≡ 2 (mod3) 7^1 ≡ 7 (mod9) 7^2 ≡4 (mod9) 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9) == 7^(2+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9) -- Mensagem encaminhada -- De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com Data: 26 de maio de 2015 23:37 Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior ou igual a 2, teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x é par da forma 2k, logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3 cuja diferença vale 4. Assim só existe uma solução. Abraço. Douglas Oliveira Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] inteiros positivos
Pensei em algo assim: 7 = -1 mod4 3 = -1 mod4 para que 7^x - 3^y = 4 = x, y devem ter a mesma paridade. Então caso 1 ambos pares x = 2k e y = 2m (k,m inteiros positivos) 7^2k - 3^2m = 4 = (7^k - 3^m)(7^k + 3^m) = 4 não é possível pois o produto é maior do que 4 (em função do segundo fator). caso 2 ambos ímpares x = 2k+1 e y = 2m+1 (k,m inteiros não negativos) para k=m=0 temos uma solução. quem continua? Em 27 de maio de 2015 15:09, Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu: Douglas, em certo momento da sua demonstração, você diz o seguinte: ...7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4)... Porém, a primeira equação é satisfeita, por exemplo, por x = 5 (7^5 - 4 é múltiplo de 9!!!) não sendo, portanto, x côngruo a 2 mod4... Estou errado na minha avaliação? Em 27 de maio de 2015 10:58, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Pense que x só pode assumir 4 formas, 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3. Em 27/05/2015 10:05, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! 7^3 ≡ 4*7 ≡ 1 (mod9) e não 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9) Em 27 de maio de 2015 09:52, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! Douglas, há valores ímpares de x que atendem 7^x≡ 4 (mod9) 7^2 ≡ 4 (mod9) == x ≡ 2 (mod3) 7^1 ≡ 7 (mod9) 7^2 ≡4 (mod9) 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9) == 7^(2+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9) -- Mensagem encaminhada -- De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com Data: 26 de maio de 2015 23:37 Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior ou igual a 2, teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x é par da forma 2k, logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3 cuja diferença vale 4. Assim só existe uma solução. Abraço. Douglas Oliveira Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] inteiros positivos
Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] inteiros positivos
Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior ou igual a 2, teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x é par da forma 2k, logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3 cuja diferença vale 4. Assim só existe uma solução. Abraço. Douglas Oliveira Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros positivos
n2^(n-1)=(m-1)(m+1) n=2^zw m-1=2^xk m+1=2^yu w2^(n+z-1)=2^(x+y)ku ku=w n+z-1=x+y 1=2^(y-1)u-2^(x-1)k soluçoes u=29 y=1 k=7 x=3 w=203 n+z=5 2014-12-26 1:16 GMT-02:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Ficou subentendido que m e n sao naturais positivos. n=1 nao serve, entao o lado direito eh par. Entao m eh impar, digamos, m=2k+1. Entao fica n.2^(n-1)=4k(k+1). Como n=2 nao serve, podemos escrever n.2^(n-3)=k(k+1). Note que n=4 nao serve, e n=5 dah aquela solucao. Agora, o problema eh que um dos dois fatores do lado direito eh impar, entao tem que dividir o fator n do lado esquerdo. Isto significa que n=k, o que diz que o lado esquerdo vai ser muito grande, e a igualdade nao vai valer. Mais exatamente, prove primeiro por inducao que 2^s 2s para s=3. Entao, se n=6, temos k(k+1) = n.2^(n-3) n.2.(n-3) = 2k(k-3). Daqui vem k+12k-6, isto eh, k7. Teste os poucos casos que sobram e acabou. Abraco, Ralph. P.S.: Ou teste n=6 que nao dah nada; depois mostre que 2^s = 4s para s=4; e use agora k(k+1) = n.2^(n-3) = n.4.(n-3) = 4k(k-3). Daqui vem k+1=4k-12, isto eh, k=4, e nao ha mais nada para testar. 2014-12-25 23:03 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: n.2^(n-1) + 1 = m^2.Como resolver? n = 5 e m = 9.Outras soluções? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Inteiros positivos
n.2^(n-1) + 1 = m^2.Como resolver?n = 5 e m = 9.Outras soluções? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros positivos
Ficou subentendido que m e n sao naturais positivos. n=1 nao serve, entao o lado direito eh par. Entao m eh impar, digamos, m=2k+1. Entao fica n.2^(n-1)=4k(k+1). Como n=2 nao serve, podemos escrever n.2^(n-3)=k(k+1). Note que n=4 nao serve, e n=5 dah aquela solucao. Agora, o problema eh que um dos dois fatores do lado direito eh impar, entao tem que dividir o fator n do lado esquerdo. Isto significa que n=k, o que diz que o lado esquerdo vai ser muito grande, e a igualdade nao vai valer. Mais exatamente, prove primeiro por inducao que 2^s 2s para s=3. Entao, se n=6, temos k(k+1) = n.2^(n-3) n.2.(n-3) = 2k(k-3). Daqui vem k+12k-6, isto eh, k7. Teste os poucos casos que sobram e acabou. Abraco, Ralph. P.S.: Ou teste n=6 que nao dah nada; depois mostre que 2^s = 4s para s=4; e use agora k(k+1) = n.2^(n-3) = n.4.(n-3) = 4k(k-3). Daqui vem k+1=4k-12, isto eh, k=4, e nao ha mais nada para testar. 2014-12-25 23:03 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: n.2^(n-1) + 1 = m^2.Como resolver? n = 5 e m = 9.Outras soluções? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
