[obm-l] Re: [obm-l] Progressão Aritmetica
*a)*
Seja m = min{f(N)}. (m está bem definido, Boa Ordem)
Seja a tal que f(a) = m(a está bem definido, pois f é injetiva)
Considere agora todas as as progressões (a, a + d, a + 2d). Se para algum d
tivermos f(a + d) < f(a + 2d), acabou.
Suponha que para todo d, tenhamos f(a + d) > f(a + 2d). Então, construímos
uma sequência(infinita) decrescente de naturais.
f(a + 1) > f(a + 2) > f(a + 4) > f(a + 8) > ...
Absurdo (Boa ordem)!
Em 29 de maio de 2016 19:44, Jeferson Almir
escreveu:
> Desde já agradeço qualquer idéia ou ajuda
>
> Seja [image: $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$] uma função Injetiva
>
> a) Mostre que existe uma progressão aritmética de três termos [image:
> $a$], [image: $a+d$], [image: $a+2d$] tal que:
>
> [image: $f(a)
> b) Determinar se há necessariamente uma progressão aritmética de quatro
> termos [image: $a$], [image: $a+d$], [image: $a+2d$], [image: $a+3d$] tal
> que:
>
> [image: $f(a)
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Progressão Aritmetica
Desde já agradeço qualquer idéia ou ajuda
Seja [image: $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$] uma função Injetiva
a) Mostre que existe uma progressão aritmética de três termos [image:
$a$], [image:
$a+d$], [image: $a+2d$] tal que:
[image: $f(a)
[obm-l] Progressão aritmética
Numa progressao aritmetica de numeros inteiros positivos,o oitavo termo é igual ao cubo do primeiro.Sabendo que a segunda e a quarta potencias do primeiro termo pertencem a progressao,determinar o segundo termo. Agradeço antecipadamente a quem puder resolver.
[obm-l] Progressão Aritmética
(1) Pessoal, enviei esta mensagem há mais de 24 horas e ela ainda não chegou à lista, porisso estou enviando novamente. Se chegar em duplicata, me perdoem... Olá pessoal, Esse e-mail é a respeito de um problema quase idêntico ao exercício 1.36, página 11, do livro Progressões e Matemática Financeira (A.C. Morgado, E. Wagner e S.C. Zani), da Coleção do Professor de Matemática da SBM. É dado o seguinte quadro 5x5 de números (os traços representam casas vazias no quadro): __ __ __ __ __ __ 65 __ __ __ __ __ __ __ 130 __ __ 75 __ __ 0 __ __ __ __ Pede-se completar o quadro, com números inteiros e positivos, de modo que se tenha, em todas as linhas e colunas, uma PA. O resumo da minha solução é a seguinte: Tomando a primeira coluna de baixo pra cima, teremos uma PA de razão que chamei de a. Então, essa coluna, lida de cima pra baixo, será 4a, 3a, 2a, a, 0. Feito isso, tomei a linha 4 (poderia ser sido qualquer outra linha que agora já possui 2 termos), calculei a razão (em função de a) e a preenchi. Assim, a última coluna ficou agora com 2 termos também, com 150 - a logo abaixo do 130. Assim, ficou fácil preencher a 5ª coluna: lida de cima pra baixo, ela ficou: 240 - 8a 260 - 9a 130 150 - a 170 - 2a Como o termo central é a média aritmética dos extremos, chega-se em a =15, e com ele completa-se toda a tabela: 60 75 90 105 120 45 65 85 105 125 30 55 80 105 130 15 45 75 105 135 00 35 70 105 140 Nem foi necessário, afinal, procurar garantir a exigência de todo termo do quadro ser inteiro e positivo. A questão é que achei meu processo muito pé-de-boi, vejam que o resumo da solução já ficou extensa... O que quero saber é se algum colega sugere um meio mais tranquilo pra resolver... Muito obrigado, João Luís
[obm-l] RE: [obm-l] Progressão Aritmética
Olá! Faça assim exercícios desse tipo: 3 termos em PA: a-r; a; a+r ... r é a razão da PA Soma = 3a Produto = a(a^2 - r^2) Sds., AB [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of elton francisco ferreira Sent: Tuesday, December 02, 2008 10:12 AM To: olinto; obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Progressao Aritimetrica Olá caros colegas gostaria que vcs ajudassem com os problemas abaixo elencados!!! 1) Obtenha uma P.A de três termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440. 2) Três numeros estao em P.A de tal maneira que a soma entre les é 18 e o produto é 66. Calcule os três termos. 3) Qual a soma dos números inteiros entre 1 até 350? 4) Inscrevendo-se nove meios aritimétricos entre 15 e 45, qual o sexto termo da P.A? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] PROGRESSÃO
 ALGUÃM PODE RESOLVER, POR FAVOR(UnB) Os quatro ângulos de um quadrilátero estão em progressão geométrica e o último termo é 9 vezes o segundo. Então o menor dos ângulos mede 9º ?DESDE Jà AGRADEÃO = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] PROGRESSÃO
Solução: a + ka + k^2 a + k^3 a = 360 ; k^3 a = 9 ka -- k = 3 -- a = 9º Sds., AB! _ De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 27 de junho de 2008 22:59 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] PROGRESSÃO ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR (UnB) Os quatro ângulos de um quadrilátero estão em progressão geométrica e o último termo é 9 vezes o segundo. Então o menor dos ângulos mede 9º ? DESDE JÁ AGRADEÇO = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Fwd: [obm-l] PROGRESSÃO
-- Forwarded message -- From: Bouskela [EMAIL PROTECTED] Date: 2008/6/28 Subject: RES: [obm-l] PROGRESSÃO To: obm-l@mat.puc-rio.br *Solução:* ** *a + ka + k^2 a + k^3 a = 360 ; k^3 a = 9 ka -- k = 3 -- a = 9º* ** *Sds.,* *AB!* -- *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] *Em nome de [EMAIL PROTECTED] *Enviada em:* sexta-feira, 27 de junho de 2008 22:59 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] PROGRESSÃO *ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR (UnB) Os quatro ângulos de um quadrilátero estão em progressão geométrica e o último termo é 9 vezes o segundo. Então o menor dos ângulos mede 9º ? DESDE JÁ AGRADEÇO* = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
Re: [obm-l] PROGRESSÃO
Os ângulos serão: x, xq, xq^2 e xq^3 1) xq^3 = 9xq. Logo q^2 = 9 e q = 3. 2) x + 3x + 9x + 27x = 360º 40x = 360º. Logo x = 9º. Os ângulos são: 9º, 27º, 81º e 243º Abraços
Re: [obm-l] PROGRESSÃO
Caro Arkon, A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360 graus. Sejam os ângulos uma PG de primeiro termo a e razão q: (a, aq, aq^2, aq^3) Do enunciado: aq^3 = 9aq. Como a e q têm que ser diferentes de zero, simplificando: q^2 = 9. Como q 0 (não podemos ter ângulos negativos), q = 3. PG : (a, 3a, 9a, 27a) a+3a+9a+27a = 360 graus 40a = 360 graus a = 9 graus R: Correto Espero ter ajudado. Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED] On Fri, Jun 27, 2008 at 22:58, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: *ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR (UnB) Os quatro ângulos de um quadrilátero estão em progressão geométrica e o último termo é 9 vezes o segundo. Então o menor dos ângulos mede 9º ? DESDE JÁ AGRADEÇO* = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html=
[obm-l] progressão geométrica
saudações a todos da lista, alguém pode me ajudar com estes exercícios de P.G. : 1 - determine 3 números reais em P.G. de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64. resp: (3/8; 3/4; 3/2) 2 - as medidas dos lados de um triângulo são expressas por números inteiros em P.G. e seu produto é 1728. Calcule as medidas dos lados. resp: 12,12,12 ou 8,12,18 ou 6,12,24 ou 4,12,36 desde já, muito obrigado _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Progressão aritmética
2 - Determine uma P.AA de razão 1, sabendo que o número de termos é divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de ordem n/3 é 4. an =a1+3t-1 33 = (2a1+3t-1)*3t/2 at=4 4=a1+t-1 t = 5-a1==+ 2a1+3t-1=14-a1 22=(14-a1)*(5-a1) a1=3 t=2 n=6 3,4,5,6,7,8 1,2,3,4,5,6 1 - Quais as P.A. nas quais as somas de dois termos quaisquer faz parte da progressão? am =a1+(m-1)*r ao=a1+(o-1)*r am+ao = 2a1+r*(m+o-2)=a1+a1+r*(m+o-2) 0=a1+r*(m+o-2)=(n-1)*r 0a1r*(n-m-o+1) minimo de m+o=3 = 1o+2o termo 0a1r(n-2) On 8/12/05, Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] wrote: se alguém puder me ajudar com esses dois exercícios... 1 - Quais as P.A. nas quais as somas de dois termos quaisquer faz parte da progressão? 2 - Determine uma P.AA de razão 1, sabendo que o número de termos é divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de ordem n/3 é 4. valeu _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Progressão aritmética
Os dois termos devem ser diferentes, nao e?
On 8/12/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
1 - Se {a_n}, n=1 , 2, 3 eh uma PA de razao r , entao a_n = a_1 +
(n-1)*r e, para todos inteiros positivos n e m, a_m + a_n = 2*a_1 + (m + n
-2)*r . Se a PA tiver un mumero infinto de termos, isto serah um termo de
{a_n} sse existir um inteiro positivo p tal que 2*a_1 + (m + n -2)*r = a_1 +
(p-1)*r = a_1 = (p - m - n +1)*r, do que deduzimos que a_1 tem que ser um
multiplo inteiro de r. Como, alem disto, a equacao vale para m=n =1, tem que
existir um inteiro p=1 tal que a_1 = (p-1)*r, o que implica que a_1 e r
tenham o mesmo sinal se nenhum deles for nulo. Se r =0, entao a_1 =0, e se
a_1 =0 entao as condicoes requeridas sao automaticamente satisfeitas. Assim,
uma condicao necessaria para o desejado eh que a_1 seja multiplo inteiro e
positivo de r ou que a_1 =0. Se esta condicao vigorar com a_10, entao a_1
= k*r para algum inteiro positivo k e, para todos inteiros positivos m e n,
temos que a_m + a_n = 2*k*r a_1 + (m + n -2)*r = a_1 + (m +n +k -2)*r.
Como m +n +k -2=0, concluimos que a_m + a_ne h termo da PA, de modo que a
condicao dada eh necessria e suficiente.
Se a PA tiver um numero finito de termos, digamos N, entao a condicao so
sera satisfeita (trivialmente) se a_1 = r = 0. De fato. mesmo se a_1 = k*r,
k=1, temos a_N + a_N =a_1 + (2N+k -2)*r. Como 2N + k-2 = 2N -1 = N,
seguese que a_N + a_N nao eh termo da PA.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rodrigo Augusto
Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 15:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Progressão aritmética
se alguém puder me ajudar com esses dois exercícios...
1 - Quais as P.A. nas quais as somas de dois termos quaisquer faz parte da
progressão?
2 - Determine uma P.AA de razão 1, sabendo que o número de termos é
divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de ordem n/3 é 4.
valeu
_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
http://www.msn.com.br/discador
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Progressão aritmética
Bem, numa PA os caras sao da forma ax+b com a e b inteiros e x variando. Assim, se ax_1+b e ax_2+b fazem parte, entao a(x_1+x_2)+2b tambem faz parte. Existe t tal que at+b=a(x_1+x_2)+2b, ou at=a(x_1+x_2)+b, Logo b e multiplo de a, e assim so as PAs contendo o zero satisfazem o enunciado. O segundo eu nao entendi direito... --- Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] escreveu: se alguém puder me ajudar com esses dois exercícios... 1 - Quais as P.A. nas quais as somas de dois termos quaisquer faz parte da progressão? 2 - Determine uma P.AA de razão 1, sabendo que o número de termos é divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de ordem n/3 é 4. valeu _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Progressão aritmética
se alguém puder me ajudar com esses dois exercícios... 1 - Quais as P.A. nas quais as somas de dois termos quaisquer faz parte da progressão? 2 - Determine uma P.AA de razão 1, sabendo que o número de termos é divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de ordem n/3 é 4. valeu _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Progressão aritmética
1 - Se {a_n}, n=1 , 2, 3 eh uma PA de razao r , entao a_n = a_1 +
(n-1)*r e, para todos inteiros positivos n e m, a_m + a_n = 2*a_1 + (m + n
-2)*r . Se a PA tiver un mumero infinto de termos, isto serah um termo de
{a_n} sse existir um inteiro positivo p tal que 2*a_1 + (m + n -2)*r = a_1 +
(p-1)*r = a_1 = (p - m - n +1)*r, do que deduzimos que a_1 tem que ser um
multiplo inteiro de r. Como, alem disto, a equacao vale para m=n =1, tem que
existir um inteiro p=1 tal que a_1 = (p-1)*r, o que implica que a_1 e r
tenham o mesmo sinal se nenhum deles for nulo. Se r =0, entao a_1 =0, e se
a_1 =0 entao as condicoes requeridas sao automaticamente satisfeitas. Assim,
uma condicao necessaria para o desejado eh que a_1 seja multiplo inteiro e
positivo de r ou que a_1 =0. Se esta condicao vigorar com a_10, entao a_1
= k*r para algum inteiro positivo k e, para todos inteiros positivos m e n,
temos que a_m + a_n = 2*k*r a_1 + (m + n -2)*r = a_1 + (m +n +k -2)*r.
Como m +n +k -2=0, concluimos que a_m + a_ne h termo da PA, de modo que a
condicao dada eh necessria e suficiente.
Se a PA tiver um numero finito de termos, digamos N, entao a condicao so
sera satisfeita (trivialmente) se a_1 = r = 0. De fato. mesmo se a_1 = k*r,
k=1, temos a_N + a_N =a_1 + (2N+k -2)*r. Como 2N + k-2 = 2N -1 = N,
seguese que a_N + a_N nao eh termo da PA.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rodrigo Augusto
Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 15:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Progressão aritmética
se alguém puder me ajudar com esses dois exercícios...
1 - Quais as P.A. nas quais as somas de dois termos quaisquer faz parte da
progressão?
2 - Determine uma P.AA de razão 1, sabendo que o número de termos é
divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de ordem n/3 é 4.
valeu
_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Progressão Geométrica.
1) Se o produto dos (2n+1) termos de uma PG é P, então o seu termo central é: 2) Os lados de um triângulo estão em PG. Obter a razão. Onde posso encontrar algum material sobre equações e inequações paramétricas? Desde já agradeço. Yahoo! Mail: agora com 1GB de espaço grátis. Abra sua conta!
Re: [obm-l] Progressão Geométrica.
On Sun, May 08, 2005 at 03:15:40PM -0300, Daniela Yoshikawa wrote: 1) Se o produto dos (2n+1) termos de uma PG é P, então o seu termo central é: P^(1/(2n+1)). Basta para isso ver que se o termo central é c, então o produto de dois termos igualmente distantes do termo central é c^2. 2) Os lados de um triângulo estão em PG. Obter a razão. Este é impossível. A razão pode ser qualquer coisa no intervalo aberto ((sqrt(5)-1)/2, (sqrt(5)+1)/2). Este dois valores vêm de resolver as equações x^2+x=1 e x^2=x+1, respectivamente, casos limites da desigualdade triangular. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Progressão Ge ométrica.
Acho que faltou dizer que o triângulo é retângulo (por exemplo). Nesse caso, os lados sao b, bq e bq^2 (b = medida do menor cateto e q é a razão, que deve ser maior do que 1). Pitágoras implica que 1 + q^2 = q^4 == q = raiz((1 + raiz(5))/2) Mais geralmente, se os lados forem 1 = q = q^2 e oângulo entre os lados de medidas1 e q for t (0 t pi), então a lei dos cossenos resulta em: f(q) = q^4 - q^2 + 2cos(t)q - 1 = 0. Como q = 1, teremos: f(1) = 2cos(t) - 1 f'(q) = 4q^3 - 2q + 2cos(t) = 0, se q = 1. Repare que q = 1 == o triângulo é equilátero == t = pi/3. Em geral, teremos: cos(t) = 1/2 == 0 t = pi/3 ou 2pi/3 = t pi == f(1) = 0 == f(q) terá uma (única) raiz maior ou iguala 1. No caso de um t qualquer, acho que o melhor é usar a fórmula das raízes da equação do 4o. grau e calcular esta raiz. Se cos(t) 1/2, então f(1) 1 e, portanto, f(q) não terá raízes maiores do que 1. Ou seja, nesse casoo problema não terá solução. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 9 May 2005 10:51:13 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Progressão Ge ométrica. On Sun, May 08, 2005 at 03:15:40PM -0300, Daniela Yoshikawa wrote: 1) Se o produto dos (2n+1) termos de uma PG é P, então o seu termo central é: P^(1/(2n+1)). Basta para isso ver que se o termo central é c, então o produto de dois termos igualmente distantes do termo central é c^2. 2) Os lados de um triângulo estão em PG. Obter a razão. Este é impossível. A razão pode ser qualquer coisa no intervalo aberto ((sqrt(5)-1)/2, (sqrt(5)+1)/2). Este dois valores vêm de resolver as equações x^2+x=1 e x^2=x+1, respectivamente, casos limites da desigualdade triangular. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Progressão! Algo errado!
Carlos, um esquema das roseiras: Fonte15m__o_o_o_o_o_o__o Primeira "ida-e-volta"ele anda 15+2+15+2 =34 Segunda ele anda 15+2+3+15+2+3 = 40 Terceira ele anda 15+8+15+8 = 46 e assim vai, formando uma PA de razão=6e 20 termos (60/3) a_20 = 34 + 19*6 = 148 Ele vai andar o somatório das distâncias = (34 +148) * 20/2 = 1820 metros. Espero ter ajudado, Rossi - Original Message - From: Carlos Alberto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 03, 2004 8:08 AM Subject: [obm-l] Progressão! Algo errado! Um jardineiro tem que regar 60 roseiras plantadas ao londo de uma vereda retílinea e distante 1m uma da outra. Ele enche seu regador numa fonte situada na mesma vereda, a 15m da primeira roseira, e a cada viagem rega 3 roseiras. Começando e terminando na fonte, qual é o percurso total que ele terá que caminhar ate regar todas as roseiras? Bom, o resultado da minha solução não está batendo com a do livro. Provavelmente estou cometendo um equívoco, em algum lugar. Desejaria que algum me apontasse o erro. Pois não consigo enchergar onde estou errando. Minha Resolução: Imaginei da seguinte forma, o jardineiro tem que encher o regador percorrer uma distancia regar 3 roseiras, voltar percorrendo a mesma distancia para encher o regador, depois percorrer a distancia anterior mais uma distancia y para regar mais 3 roseiras. Logo as distancias forma uma P.A. P.A. de razão = 6 e a_1 = 34 a_60 = 388 A PA seria: (34,40,46,52,...,388) Logo o percurso seria a soma das distancias percorridas. S_60 = (60(34+388))/2 = 12 660 metros. O livro me dá o Resultado de 1 820 metros. Totalmente distinto da minha resolução. Algum erro grave euprovavelmente estou cometendo. Queria que alguem me ajudasse... Desde já agradeço, Carlos Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] Progressão Aritmética..onde errei??
Pessoal, Aqui vai um probleminha simples de PA que não consigo encontrar a mesma resposta dada no livro..então alguém, por favor, poderia me dizer onde errei ?? (n + 5) Se S 4(x - 3) = An^2 + Bn + C, calcule o valor de A + B (x = 5) 4(5 - 3) + 4(6 - 3) + 4(7 - 3) + ... + 4(n + 5 - 3) = An^2 + Bn + C 8 + 12 + 16 + ... + 4(n + 2) = An^2 + Bn + C S(n + 5) = [(n + 5)(8 + 4n + 8)]/2 = An^2 + Bn + C [(n + 5)(4n + 16)]/2 = An^2 + Bn + C (4n^2 + 36n + 80)/2 = An^2 + Bn + C 2n^2 + 18n + 40 = An^2 + Bn + C A + B = 20 No livro a resposta dada foi A + B = 12 Daniel S. BrazYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Progressão Aritmética..onde errei??
Ola,
Veja:
Se SOMATORIO(de x=5 a (n+5)) [4(x - 3)] = An^2 + Bn + C, calcule o valor de A+B
4(5 - 3) + 4(6 - 3) + 4(7 - 3) + ... + (n + 5) = An^2 + Bn + C
8 + 12 + 16 + ... + (n + 5) = An^2 + Bn + C
S(n + 5) = {[(8 + [(n + 5) + 5)]]*(n + 5)}/2 = An^2 + Bn + C
S(n + 5) = n^2/2 + 23n/2 + 45 = An^2 + Bn + C
A = 1/2 e B = 23/2
A + B = 1/2 + 23/2 = 24/2 = 12
Em uma mensagem de 25/4/2004 23:36:20 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Pessoal,
Aqui vai um probleminha simples de PA que não consigo encontrar a mesma resposta dada no livro..então alguém, por favor, poderia me dizer onde errei ??
(n + 5)
Se S 4(x - 3) = An^2 + Bn + C, calcule o valor de A + B
(x = 5)
4(5 - 3) + 4(6 - 3) + 4(7 - 3) + ... + 4(n + 5 - 3) = An^2 + Bn + C
8 + 12 + 16 + ... + 4(n + 2) = An^2 + Bn + C
S(n + 5) = [(n + 5)(8 + 4n + 8)]/2 = An^2 + Bn + C
[(n + 5)(4n + 16)]/2 = An^2 + Bn + C
(4n^2 + 36n + 80)/2 = An^2 + Bn + C
2n^2 + 18n + 40 = An^2 + Bn + C
A + B = 20
No livro a resposta dada foi A + B = 12
Daniel S. Braz
[obm-l] Re: [obm-l] Progressão Aritmética..onde errei??
Daniel, O seu erro está na contagem do número de termos que está somando. De 5 a (n+5), você tem (n+5)-5+1 termos, isto é, (n+1). S(n+1) = (n+1)(8+4n+8)/2 = (n+1)(2n+8) = 2n^2 + 10n + 8 Logo, A = 2 e B = 10. []s, Rafael - Original Message - From: Daniel Silva Braz To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 11:32 PM Subject: [obm-l] Progressão Aritmética..onde errei?? Pessoal, Aqui vai um probleminha simples de PA que não consigo encontrar a mesma resposta dada no livro..então alguém, por favor, poderia me dizer onde errei ?? (n + 5) Se S 4(x - 3) = An^2 + Bn + C, calcule o valor de A + B (x = 5) 4(5 - 3) + 4(6 - 3) + 4(7 - 3) + ... + 4(n + 5 - 3) = An^2 + Bn + C 8 + 12 + 16 + ... + 4(n + 2) = An^2 + Bn + C S(n + 5) = [(n + 5)(8 + 4n + 8)]/2 = An^2 + Bn + C [(n + 5)(4n + 16)]/2 = An^2 + Bn + C (4n^2 + 36n + 80)/2 = An^2 + Bn + C 2n^2 + 18n + 40 = An^2 + Bn + C A + B = 20 No livro a resposta dada foi A + B = 12 Daniel S. Braz
[obm-l] Progressão
Pessoal, Mais um probleminha simples.. Prove que os termos de uma P.A. qq em que 0 não participa verificam a relação: 1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an = (n-1)/a1an Daniel Silva Braz __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Progressão
Daniel Silva Braz wrote:
Prove que os termos de uma P.A. qq em que 0 não
participa verificam a relação:
1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an =
(n-1)/a1an
Por indução, pra n=1:
1/a1a2=(2-1)/a1a2 (ok)
Supondo válido para an:
{1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an} + 1/an(an+1) =
(n-1)/a1an + 1/an(an+1)=
1/an*( (n-1)/a1 + 1/(an+1) )=
1/an*( (n-1)*(an+1)/a1(an+1) + a1/a1(an+1) )=
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*(an+1) + a1)
Mas:
a1 = a1+0*k
a2 = a1+1*k
a3 = a1+2*k
...
an = a1+(n-1)*k
an+1 = a1+n*k
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*(a1+n*k) + a1) =
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*a1+n(n-1)*k) + a1) =
1/(a1.an.an+1)* (n*a1+n(n-1)*k) =
n/(a1.an.an+1)* (a1+(n-1)*k)=
n/(a1.an.an+1)* an=
n/a1an+1=
((n+1)-1)/a1an+1 (ok)
Tendo a base e passo indutivo ok, então a
proposição é verdadeira.
Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou
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Re: [obm-l] Progressão
Ou entao usando fracoes parciais e observando que:
1/(a_k*a_(k+1)) =
1/((a_1 + (k-1)*r)*(a_1 + k*r)) =
(1/r)*(1/(a + (k-1)*r) - 1/(a + k*r)) =
(1/r)*(1/a_k - 1/a_(k+1))
o que faz com que a soma (de k = 1 ateh n-1) fique telescopica e igual a:
(1/r)*(1/a_1 - 1/a_n) =
(1/r)*(a_n - a_1)/(a_1*a_n) =
(1/r)*((n-1)*r)/(a_1*a_n) =
(n-1)/(a_1*a_n).
[]s,
Claudio.
on 03.04.04 00:17, Ricardo Bittencourt at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Daniel Silva Braz wrote:
Prove que os termos de uma P.A. qq em que 0 não
participa verificam a relação:
1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an =
(n-1)/a1an
Por indução, pra n=1:
1/a1a2=(2-1)/a1a2 (ok)
Supondo válido para an:
{1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an} + 1/an(an+1) =
(n-1)/a1an + 1/an(an+1)=
1/an*( (n-1)/a1 + 1/(an+1) )=
1/an*( (n-1)*(an+1)/a1(an+1) + a1/a1(an+1) )=
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*(an+1) + a1)
Mas:
a1 = a1+0*k
a2 = a1+1*k
a3 = a1+2*k
...
an = a1+(n-1)*k
an+1 = a1+n*k
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*(a1+n*k) + a1) =
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*a1+n(n-1)*k) + a1) =
1/(a1.an.an+1)* (n*a1+n(n-1)*k) =
n/(a1.an.an+1)* (a1+(n-1)*k)=
n/(a1.an.an+1)* an=
n/a1an+1=
((n+1)-1)/a1an+1 (ok)
Tendo a base e passo indutivo ok, então a
proposição é verdadeira.
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[obm-l] Re: [obm-l] progressão harmônica
On Sat, Oct 25, 2003 at 04:07:23PM -0300, Nelson wrote: Olá a todos. Gostaria de ter maiores infomações sobre o que é uma progressão harmônica. Só encontrei uma pequena mensão num livro (chama-se progressão harmônica a uma sequência de termos não nulos, cujos inversos formam uma progressão aritmética.). Gostaria também de saber se já caiu em algum vestibular. Seria bom se você explicasse melhor o que você quer. Afinal você mesmo deu a definição. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] progressão harmônica
Olá a todos. Gostaria de ter maiores infomações sobre o que é uma progressão harmônica. Só encontrei uma pequena mensão num livro ("chama-se progressão harmônica a uma sequência de termos não nulos, cujos inversos formam uma progressão aritmética."). Gostaria também de saber se já caiu em algum vestibular.
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[obm-l] Progressão
Demonstra que um número real x é racional se e somente se a sucessão x; x + 1; x + 2; x + 3; : : : ; x + n; : : : contém, pelo menos, três termos em progressão geométrica. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Progressão
on 10.10.03 17:14, cfgauss77 at [EMAIL PROTECTED] wrote: Demonstra que um número real x é racional se e somente se a sucessão x; x + 1; x + 2; x + 3; : : : ; x + n; : : : contém, pelo menos, três termos em progressão geométrica. Pro problema ter graca, a PG deve ser nao-constante... Se x eh racional, entao x = m/n com m, n inteiros co-primos e n 0. Escolha inteiros p, q, x, y e z tais que: 0 p q, 0 = x y z, m + nx = p^2, m + ny = pq, m + nz = q^2 Isso sempre pode ser feito pois como mdc(m,n) = 1, as congruencias: nx == p^2 (mod m), ny == pq (mod m), nz == q^2 (mod m) tem solucao. Assim, teremos: (m + nz)/(m + ny) = q^2/(pq) = q/p e (m + ny)/(m + nx) = (pq)/p^2 = q/p. Ou seja, (m + nz)/(m + ny) = (m + ny)/(m + nx) == m + nx, m + ny, m + nz estao em PG == m/n + x, m/n + y, m/n + z estao em PG == a sequencia contem uma PG de 3 termos distintos. * Se a sequencia contiver uma PG de 3 termos distintos, entao vao existir inteiros m, n, p tais que 0 = m n p e (x+p)/(x+n) = (x+n)/(x+m) == x^2 + (m+p)x + mp = x^2 + 2nx + n^2 == (m+p-2n)x = n^2-mp Se m+p-2n = 0, entao n^2 - mp = 0 == n = (m+p)/2 = raiz(mp) == m = p == contradicao, pois estamos supondo m p. Logo, soh pode ser m+p-2n 0. Nesse caso, x = (n^2-mp)/(m+p-2n) = racional Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Progressão Aritmética (ajuda)
Title: Re: [obm-l] Progressão Aritmética (ajuda)
on 01.09.03 19:29, Nelson at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá a todos, alguém poderia me dar uma ajuda nessas questão?, eu nem sequer consegui desenvolvê-las direito e o livro não expõe respostas. Desde já agradeço.
1) Prove que, se (a1, a2, a3, ..., an) é P.A., com n 2, então {(a2)^2 - (a1)^2, (a3)^2 - (a2)^2, (a4)^2 - (a3)^2, ..., (an)^2 - [a(n-1)]^2} também é.
Seja r = razao da PA.
a(k+1)^2 - a(k)^2 = (a(k+1) - a(k))*(a(k+1) + a(k)) = r*(a(k+1) + a(k)) (*)
Mas se a(1), a(2), a(3), eh uma PA de razao = r
entao
a(1)+a(2), a(2)+a(3), a(3)+a(4) tambem eh uma PA de razao = 2r
Logo, multiplicando esta ultima PA por r, continuamos com uma PA (de razao 2r^2), que por (*) acima eh igual a sequencia que queremos provar ser uma PA.
*
2) Prove que, se uma P.A. apresenta am = x, an = y e ap = z, então verifica-se a relação:
(n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = 0.
Seja S = (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z
Seja r = razao da PA e ponhamos a(0) = a.
Entao:
a(m) = a + m*r = x == (n-p)x = (n-p)a + (n-p)mr
a(n) = a + n*r = y == (p-m)y = (p-m)a + (p-m)nr
a(p) = a + p*r = z == (m-n)z = (m-n)a + (m-n)pr
Somando as tres equacoes e ja levando em conta que (n-p)a + (p-m)a + (m-n)a = 0, teremos:
S = [(n-p)m + (p-m)n + (m-n)p]r = [nm - pm + pn - mn + mp - np]r = 0r = 0.
**
3) Prove os termos de uma P.A. qualquer em que 0 nã participa verificam a relação:
1/a1.a2 + 1/a2.a3 + 1/a3.a4 + ... + 1/a(n-1).an = (n - 1)/a1.an
Seja r a razao da PA e seja a(0) = a.
Entao, ak = a + kr.
O k-esimo termo da soma serah igual a:
1/(ak.a(k+1)) = 1/((a+kr)(a+(k+1)r)) = (1/r)*(1/(a+kr) - 1/(a+(k+1)r))
(essa eh uma tecnica muito util chamada expansao em fracoes parciais)
Assim:
1/(a1.a2) = (1/r)*(1/(a+r) - 1/(a+2r))
1/(a2.a3) = (1/r)*(1/(a+2r) - 1/(a+3r))
1/(a3.a4) = (1/r)*(1/(a+3r) - 1/(a+4r))
...
1/(a(n-1).an) = (1/r)*(1/(a+(n-1)r) - 1/(a+nr))
Mas entao, a soma tornou-se telescopica, ou seja:
SOMA = (1/r)*(1/(a+r) - 1/(a+nr)) = (1/r)*(n-1)r/((a+r)(a+nr)) =
= (n-1)/(a1.an)
Re: [obm-l] Progressão Aritmética (ajuda)
--- Nelson [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá a todos, alguém poderia me dar uma ajuda nessas
questão?, eu nem sequer consegui desenvolvê-las
direito e o livro não expõe respostas. Desde já
agradeço.
1) Prove que, se (a1, a2, a3, ..., an) é P.A., com n
2, então {(a2)^2 - (a1)^2, (a3)^2 - (a2)^2, (a4)^2
- (a3)^2, ..., (an)^2 - [a(n-1)]^2} também é.
PA(a1, a2, a3, ..., an),
a2 = a1*q, a3 = a1*q^2, .., an = a1*q^(n-1)
=
b1 = a2^2 - a1^2 = (a2 - a1)(a2 + a1)
b2 = a3^2 - a2^2 = (a3 - a2)(a3 + a2) = q(a2 -
a1)*q(a2 + a1) = q^2*b1
bn = (an+1)^2 - an^2 = ((an+1) - an)((an+1) + an) =
bn = q^2(an - (an-1))(an + (an-1)) = q^2*(bn-1) =
PA(b1, b2, b3, ..., bn)
PA(a2^2 - a1^2, a3^2 - a2^2, ..., an^2 - (an-1)^2),
razão q^2
2) Prove que, se uma P.A. apresenta am = x, an = y e
ap = z, então verifica-se a relação:
(n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = 0.
amn - amn + amp - amp + anp - anp = 0 =
xn - my + zm - px + yp - nz = 0 =
x(n-p) + y(p-m) + z(m-n) = 0
3) Prove os termos de uma P.A. qualquer em que 0 não
participa verificam a relação:
1/a1.a2 + 1/a2.a3 + 1/a3.a4 + ... + 1/a(n-1).an = (n
- 1)/a1.an
essa não me ocorreu nada agora, talvez depois.
[]'s,
Hélder
___
Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai
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mais! www.cade.com.br/antizona
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[obm-l] RE: [obm-l] Progressão Aritmética (ajuda)
1) Prove que, se (a1, a2, a3, ..., an) é P.A., com n
2, então {(a2)^2 - (a1)^2, (a3)^2
- (a2)^2, (a4)^2 - (a3)^2, ..., (an)^2 - [a(n-1)]^2} também
é.
Para
todo n=2 temos que b(n)=(a(n))^2 - [a(n-1)]^2 = [a(n) a(n-1)] [a(n)+a(n-1)]
= r [a(n)+a(n-1)], sendo r a razão da PA
original. Logo, b(n+1) b(n) =.. agora fica facil, certo?
2) Prove que, se uma P.A.
apresenta am = x, an = y e ap = z, então verifica-se a relação:
(n-p)x + (p-m)y +
(m-n)z = 0.
Temos
que (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = n(x-z)
+ p(y-x) +m(z-y). Pelas propriedades das PAs, x-z = r(m-p), y-x=r(n-m) e z-y=r(p-n). Logo, (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = r[nm-np+pn-pm+mp-mn]
= 0
3) Prove os termos de uma P.A. qualquer em
que 0 nã participa verificam a relação:
1/a1.a2 + 1/a2.a3 + 1/a3.a4 + ... +1/a(n-1).an =(n - 1)/a1.an
Supondo
r0, Para todo k=1, temos que 1/(a_k+1 . a_k) = 1/(a_k+1 a_k) [1/a_k 1/a_k+1]
= 1/r [1/a_k 1/a_k+1],
Temos
assim uma soma telescopica, ou seja 1/r [1/a_1 1/a_2 +1/a_3 1/a_2.+1/a_n-1
-1/a_n] = 1/r [1/a_1 1/a_n] = (a_n a_1)/(r a_1 a_n). Mas a_n
a_1 = (n-1)r, o que nos leva aa expresao dada.
Se
r=0, os termos da PA sao identicos e a conclusao eh imediata.
Eu
ajudei, mas vc podia pensar um pouco mais, certo?
Artur
[obm-l] Re: [obm-l] Progressão Aritmética (ajuda)
Oi Nelson,
Quero apenas fazer uma analise mais detalhada dessa 3 questao: A ideia basica de se resolver somatorios mais rapidamente, é voce se apoiar em algumaidentidade algebrica previamente obtida, como essa (1/r)[(1/a) - 1/(a+r)] = 1/(a.(a+r)) que lhe pode ser mui-
to util em somas como essa em que voce esta com duvida.
A identidade acima se desdobra em (1/r)[ 1/(a_k) - 1/(a_(k+1)) ] = 1/[(a_k).a_(k+1)] quando os termos a_k formam uma progressao aritmetica {a_1,a_2,..,a_(n-1),a_n} de razao r.
A soma desejada é entao (1/r)[ ( 1/(a_1) - 1/a_2 )+ ( 1/(a_2) - 1/a_3 )+.+ +..+( 1/(a_(n-2)) - 1/a_(n-1) )+( 1/a_(n-1) - 1/a_n ) = S.
Veja que todos termos da PA se anulam exceto os termos a_1 e a_n , sendo que o termo inversode a_n subtrai o termo inverso dea_1, ou seja:((1/a_1) - (1/a_n))(1/r) = S ou
S = (n-1)/( (a_1).a_n ) que é a resposta para o problema.
Um abraço
Felipe Mendonça Vitória-ES
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