Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-30 Por tôpico Claudio Buffara 
Análise complexa é um tópico sobre o qual eu tenho pouca intuição. Deve ter a 
ver com a minha inabilidade de visualizar gráficos em 4-d. Preciso passar mais 
tempo pensando a respeito e resolvendo problemas.

Por exemplo, não acho nem um pouco óbvio que o gráfico de y^2 = x^3 - x (x e y 
complexos) seja um toro.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 30 de mar de 2018, à(s) 10:14, Artur Steiner  
escreveu:

> Obrigado. Levei meses pra sacar ests prova. Já vi uma com um argumento na 
> linha do seu no Yahoo Answers em Inglês. Mas é bem mais complicada. Vou ver 
> se acho.
> 
> Na reta real não vale. É por causa da rigidez que vc mencionou para 
> funções holomorfas. Por exemplo, na reta real é muito complicado dar 
> exemplo de uma função contínua em toda a reta e não diferenciável em 
> ponto nenhum. No plano, é muito simples: a função f(z) = conjugado(z) tem 
> estas características. Em nenhum complexo satisfaz às equações de Cauchy 
> Riemman.
> 
> Abraços
> Artur
> 
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> Em Sex, 30 de mar de 2018 08:36, Claudio Buffara  
> escreveu:
>> Beleza! Como dizia Einstein, tudo deve ser o mais simples possível, mas 
>> não mais simples.
>> E a minha tentativa foi simples demais.
>> 
>> Gostei da ideia (obvia em retrospecto): f é afim <==> f' é constante. E, 
>> é claro (também em retrospecto), as ubíquas estimativas de Cauchy...
>> 
>> Valeu, Artur!
>> 
>> ***
>> 
>> Ainda assim, será que há alguma demonstração direta (sem usar a fórmula 
>> integral de Cauchy) de:
>> SE f(z) é expressa por uma série de Taylor convergente em todo ponto E f 
>> é uniformemente contínua, ENTÃO f é afim ?
>> 
>> Na reta isso não é verdade. Tome x --> sen(x), por exemplo.
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> 2018-03-29 23:40 GMT-03:00 Artur Costa Steiner :
>>> Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - 
>>> f(z)| < 1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e 
>>> definindo-se g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada 
>>> por 1 no disco fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de 
>>> Cauchy, temos então que |g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, 
>>> leva a que |f’(z)| <= 1/d. Como z é arbitrário e d independe de z, 
>>> concluímos que f’ é limitada (por 1/d) em todo o plano complexo.
>>> 
>>> Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de 
>>> Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um 
>>> mapeamento afim.
>>> 
>>> Artur
>>> 
>>> Enviado do meu iPad
>>> 
>>> Em 29 de mar de 2018, Ã (s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
>>>  escreveu:
>>> 
>>> > 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>> >> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na 
>>> >> origem e que
>>> >> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui 
>>> >> singularidades
>>> >> exceto possivelmente no infinito).
>>> >>
>>> >> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...
>>> >>
>>> >> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser 
>>> >> uniformemente
>>> >> contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.
>>> >
>>> > Hum, e porque, exatamente?  Acho que você gostaria de dizer que a
>>> > derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria 
>>> > uniformemente
>>> > contínua.  Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que 
>>> > a
>>> > derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos
>>> > poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos
>>> > para te ajudar a compensar...
>>> >
>>> > Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"...
>>> >
>>> > Abraços,
>>> > --
>>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> > =
>>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> > =
>>> 
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-30 Por tôpico Artur Steiner 
Obrigado. Levei meses pra sacar ests prova. Já vi uma com um argumento na
linha do seu no Yahoo Answers em Inglês. Mas é bem mais complicada. Vou ver
se acho.

Na reta real não vale. É por causa da rigidez que vc mencionou para funções
holomorfas. Por exemplo, na reta real é muito complicado dar exemplo de uma
função contínua em toda a reta e não diferenciável em ponto nenhum. No
plano, é muito simples: a função f(z) = conjugado(z) tem estas
características. Em nenhum complexo satisfaz às equações de Cauchy Riemman.

Abraços
Artur


Artur Costa Steiner

Em Sex, 30 de mar de 2018 08:36, Claudio Buffara 
escreveu:

> Beleza! Como dizia Einstein, tudo deve ser o mais simples possível, mas
> não mais simples.
> E a minha tentativa foi simples demais.
>
> Gostei da ideia (obvia em retrospecto): f é afim <==> f' é constante. E, é
> claro (também em retrospecto), as ubíquas estimativas de Cauchy...
>
> Valeu, Artur!
>
> ***
>
> Ainda assim, será que há alguma demonstração direta (sem usar a fórmula
> integral de Cauchy) de:
> SE f(z) é expressa por uma série de Taylor convergente em todo ponto E f é
> uniformemente contínua, ENTÃO f é afim ?
>
> Na reta isso não é verdade. Tome x --> sen(x), por exemplo.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-03-29 23:40 GMT-03:00 Artur Costa Steiner :
>
>> Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) -
>> f(z)| < 1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e
>> definindo-se g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por
>> 1 no disco fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy,
>> temos então que |g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que
>> |f’(z)| <= 1/d. Como z é arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é
>> limitada (por 1/d) em todo o plano complexo.
>>
>> Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de
>> Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um
>> mapeamento afim.
>>
>> Artur
>>
>> Enviado do meu iPad
>>
>> Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>
>> > 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> >> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na
>> origem e que
>> >> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui
>> singularidades
>> >> exceto possivelmente no infinito).
>> >>
>> >> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...
>> >>
>> >> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser
>> uniformemente
>> >> contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.
>> >
>> > Hum, e porque, exatamente?  Acho que você gostaria de dizer que a
>> > derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente
>> > contínua.  Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a
>> > derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos
>> > poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos
>> > para te ajudar a compensar...
>> >
>> > Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"...
>> >
>> > Abraços,
>> > --
>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> =
>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >
>> =
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-30 Por tôpico Claudio Buffara 
Beleza! Como dizia Einstein, tudo deve ser o mais simples possível, mas não
mais simples.
E a minha tentativa foi simples demais.

Gostei da ideia (obvia em retrospecto): f é afim <==> f' é constante. E, é
claro (também em retrospecto), as ubíquas estimativas de Cauchy...

Valeu, Artur!

***

Ainda assim, será que há alguma demonstração direta (sem usar a fórmula
integral de Cauchy) de:
SE f(z) é expressa por uma série de Taylor convergente em todo ponto E f é
uniformemente contínua, ENTÃO f é afim ?

Na reta isso não é verdade. Tome x --> sen(x), por exemplo.

[]s,
Claudio.


2018-03-29 23:40 GMT-03:00 Artur Costa Steiner :

> Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) -
> f(z)| < 1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e
> definindo-se g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por
> 1 no disco fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy,
> temos então que |g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que
> |f’(z)| <= 1/d. Como z é arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é
> limitada (por 1/d) em todo o plano complexo.
>
> Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de
> Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um
> mapeamento afim.
>
> Artur
>
> Enviado do meu iPad
>
> Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
> > 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> >> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na
> origem e que
> >> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui
> singularidades
> >> exceto possivelmente no infinito).
> >>
> >> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...
> >>
> >> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser
> uniformemente
> >> contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.
> >
> > Hum, e porque, exatamente?  Acho que você gostaria de dizer que a
> > derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente
> > contínua.  Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a
> > derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos
> > poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos
> > para te ajudar a compensar...
> >
> > Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"...
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > 
> =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > 
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-29 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - f(z)| < 
1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e definindo-se 
g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por 1 no disco 
fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy, temos então que 
|g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que |f’(z)| <= 1/d. Como z é 
arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é limitada (por 1/d) em todo o 
plano complexo.

Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de 
Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um 
mapeamento afim.

Artur

Enviado do meu iPad

Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 escreveu:

> 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na origem e 
>> que
>> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui 
>> singularidades
>> exceto possivelmente no infinito).
>> 
>> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...
>> 
>> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser 
>> uniformemente
>> contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.
> 
> Hum, e porque, exatamente?  Acho que você gostaria de dizer que a
> derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente
> contínua.  Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a
> derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos
> poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos
> para te ajudar a compensar...
> 
> Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"...
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-29 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - f(z)| < 
1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e definindo-se 
g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por 1 no disco 
fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy, temos então que 
|g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que |f’(z)| <= 1/d. Como z é 
arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é limitada (por 1/d) em todo o 
plano complexo.

Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de 
Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um 
mapeamento afim.

Artur

Enviado do meu iPad

Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 escreveu:

> 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na origem e 
>> que
>> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui 
>> singularidades
>> exceto possivelmente no infinito).
>> 
>> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...
>> 
>> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser 
>> uniformemente
>> contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.
> 
> Hum, e porque, exatamente?  Acho que você gostaria de dizer que a
> derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente
> contínua.  Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a
> derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos
> poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos
> para te ajudar a compensar...
> 
> Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"...
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-29 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na origem e que
> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui singularidades
> exceto possivelmente no infinito).
>
> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...
>
> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser uniformemente
> contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.

Hum, e porque, exatamente?  Acho que você gostaria de dizer que a
derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente
contínua.  Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a
derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos
poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos
para te ajudar a compensar...

Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"...

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-29 Por tôpico Claudio Buffara 
A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na origem e
que converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui
singularidades exceto possivelmente no infinito).

Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...

Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser uniformemente
contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.

Tá certo isso?

[]s,
Claudio.


2018-03-29 20:49 GMT-03:00 Carlos P. :

> Esta problema foi citado numa lista sobre análise complexa. Alguém pode
> dar uma sugestão de como ptovar isso?. Parece que não é um fato muito
> conhecido..
>
> Obrigado.
>
> Carlos
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-29 Por tôpico Carlos P. 
Esta problema foi citado numa lista sobre análise complexa. Alguém pode dar uma 
sugestão de como ptovar isso?. Parece que não é um fato muito conhecido..

Obrigado.

Carlos

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.