OK,
Bom, o Marcio Cohen sugeriu analisar a convergencia de uma outra serie
interessante: Soma (n =2, oo) 1/(l(n)^ln(n)). Pensei em aplicar o fato de que
esta serie converge sse Soma k=1, oo) s_k = Soma 2^k a_(2^k) convergir.
Para todo n, s_k = 2^k/(ln(2^k)^ln(2^k)). O denominador eh ln(2^k)^ln(2^k) =
(k* ln(2))^(k*ln(2)) = [(k*ln(2))^ln(2)]^k . Logo,
s_k = [2/[(k*ln(2))^ln(2)]^k. Quando k - oo, (k*ln(2))^ln(2) - oo, pois ln(2)
0. Assim, para k suficientemente grande temos (k*ln(2))^ln(2) 4 e,
portanto, 0 s_k (2/4)^k =(1/2)^k. Como a serie geometrica Soma (1/2)^k
converge, Soma s_k tambem converge.
Logo, Soma (n=2, oo) a_n comverge
[Artur Costa Steiner]
gem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo
Enviada em: quarta-feira, 11 de abril de 2007 14:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas
Na verdade eu gosto bastante de integrais. A solução do problema que postei
por integrais já era conhecida minha, mas eu sabia que havia outra solução que
se parecia com a demonstração da divergência da série harmônica. Porém não
lembrava...
Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes
simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a
area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da escada
que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente
decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica).
Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda!
Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh
monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se
Soma 2^k a_(2^k) converge.
So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a
sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou
complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que
|f_n| = M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente
para alguma funcao f.
O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 = a_n = b_n para todo n e Soma
b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n
diverge.
Abracos
artur
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