[obm-l] Re:[obm-l] Dúvida em equações polinomiais - As deduções estão erradas??? (Dúvida muito suga!)

2003-09-26 Por tôpico claudio.buffara 

Qual a raiz racional de x^3 - 2 = 0?

Nao eh verdade que uma equacao polinomial de coeficientes inteiros tem um numero par de raizes irracionais.

Por outro lado, uma equacao com coeficientes reais tem de fato um numero par de raizes complexas (e pode-se dizer mais ainda: se a + b*i eh raiz, entao a - b*i tambem serah raiz).

Um abraco,
Claudio.





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Fri, 26 Sep 2003 20:13:28 -0300




Assunto:
[obm-l] Dúvida em equações polinomiais - As deduções estão erradas??? (Dúvida muito suga!)






 Estou com uma dúvida cruel em equações polinomiais e gostaria da ajuda 
 dos senhores.
 
 Consideremos uma equação polinomial de coeficientes inteiros (A0, A1, 
 A2, A3, ..., An).
 Sabe-se q toda equação tem um número par de raízes complexas e um número 
 par de raízes irracionais.
 Logo, toda equação de grau ímpar terá ao menos uma raiz racional.
 Sabe-se que todas as raízes racionais são da forma p/q tal que:
 p e q são primos entre si
 p é divisor de An
 q é divisor de A0
 
 Consideremos a equação:
 3x^3 + 5x - 18 = 0
 
 É uma equação de grau 3, logo terá ao menos uma raiz racional.
 Porém, traçando-se o gráfico pelo Grafeq temos q há apenas uma raiz 
 real, e esta raiz tem valor aproximado 1,514735
 Esta raiz é única, portanto deveria ser racional, não obedece à lei de 
 formação p/q, portanto parece não ser racional. A raiz multiplicada por 
 3 deveria ser um número inteiro.
 O q aconteceu afinal Onde está o erro Todas as raízes racionais 
 são realmente da forma p/q (Caso isto seja falso, peço uma 
 demonstração de que existem raízes racionais que não obedecem a esta lei 
 de formação, pois eu tenho uma demonstração q afirma q as raízes 
 obedecem a esta lei)
 
 Aguardo respostas extremamente urgentes!!!
 
 Alexandre Daibert - Juiz de Fora
 
 
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em equações polinomiais - As deduções estão erradas??? (Dúvida muito suga!)

2003-09-26 Por tôpico Henrique Patrício Sant'Anna Branco 
 Consideremos uma equação polinomial de coeficientes inteiros (A0, A1,
 A2, A3, ..., An).
 Sabe-se q toda equação tem um número par de raízes complexas e um número
 par de raízes irracionais.

É errado dizer que toda equação tem um número par de raízes racionais. De
fato, ela tem um número par de raízes complexas (uma raiz complexa e seu
conjugado). Qualquer equação de grau impar tem, pelo menos, uma raiz real.
Portanto, pode ser racional ou irracional.

O teorema que você invoca (Teorema das Raízes Racionais) diz que, SE a
equação tiver raízes racionais, elas serao da forma p/q com p dividindo o
termo independente e q dividindo o coeficiente dominante, mas nada assegura
que você tenha sempre raizes racionais dessa forma. Elas são possíveis
candidatas a raízes, mas nem sempre são raízes, de fato.

Abraço,
Henrique.

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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