[obm-l] Re: [obm-l] Problema de álgebra

2017-09-15 Por tôpico Carlos Nehab 
Oi, Leonardo (e Ralph)

Resolvi postar meu "rabisco de tentativa de solução" pois acho (e com
certeza Ralph tb) que isso enriquece o aprendizado da gurizada (sorry pelo
gurizada, mas me formei em 1969...).

Fiz o seguinte:
(Supondo numa primeira abordagem que x, y e z fossem >= -1, prá ver onde
isso poderia parar).

Calculei MG e MA entre (1+x), (1+y) e (1+z).

A razão desse aparente coelho da cartola, Leonardo, é que o tal do x+y+z =
1, o xy+xz+yz e o xyz do seu enunciado me deram uma coceira num "produtinho
não tão notável, mas útil, que já matou inúmeros problemas, qual seja:

(1+x)(1+y)(1+z) = 1 + (x+y+z) + (xy+yz+xz) + xyz, que, nesse seu caso, vale
2 + a + xyz

Então, prosseguindo:

MA >= MG, acarreta 4/3 >= (2 + a + xyz)^1/3, ou seja, xyz <= (10/27 - a),
que aliás, é positivo, pois  a < 1/3).

Mas esse rabisco não funciona pois não conseguimos garantir que o xyz
atinge o valor (10/27) - a, até porque isso só ocorreria se x = y = z o que
não é o caso, conforme a criativa solução do Ralph.

Abs de um colega mais velho que a lista (rsrsrs)...
Nehab

Em 15 de setembro de 2017 15:13, Leonardo Joau 
escreveu:

> Dados os reais x, y,z, tais que:
>
> x+y+z = 1
>
> xy+xz+yz = a  0
> Calcule o max{xyz} em função de a.
>
>
> Att,
> Leonardo Joau
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de álgebra

2017-09-15 Por tôpico Leonardo Joau 
On Fri, 15 Sep 2017 at 18:42 Ralph Teixeira  wrote:

> Bom, suponho que queremos alguma solucao que nao use tecnicas de Calculo?
>
> Que tal assim: x, y e z sao raizes do polinomio:
>
> t^3-t^2+at-P=0
>
> onde P eh o que voce quer maximizar.
>
> O polinomio f(t)=t^3-t^2+at-P sempre tem pelo menos uma raiz real (grau
> 3). Quando voce muda P, voce translada o grafico de f(t) para cima (ou para
> baixo). Assim, a ideia eh levar o grafico para cima o maximo possivel,
> mantendo sempre 3 raizes reais -- isto eh, o P maximo acontece quando temos
> uma raiz dupla!
>
> Assim, podemos supor spdg x=y=r no P maximo, e portanto z=1-2r. Jogue isso
> em xy+xz+yz=a para descobrir esse r otimo em termos de a (confira que esse
> r eh real, garantindo a existencia das 3 raizes de fato), e calcule
> P=r.r.(1-2r) para descobrir o tal produto maximo.
>
> Abraco, Ralph.
>
>
> 2017-09-15 15:13 GMT-03:00 Leonardo Joau :
>
>> Dados os reais x, y,z, tais que:
>>
>> x+y+z = 1
>>
>> xy+xz+yz = a  0>
>> Calcule o max{xyz} em função de a.
>>
>>
>> Att,
>> Leonardo Joau
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



Eu criei essa questão pensando exatamente nesse polinômio e na translação
do gráfico.
Acredito que fica bem dificil usando somente as desigualdades classicas.

Att,
Leonardo

>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Problema de álgebra

2017-09-15 Por tôpico Ralph Teixeira 
Bom, suponho que queremos alguma solucao que nao use tecnicas de Calculo?

Que tal assim: x, y e z sao raizes do polinomio:

t^3-t^2+at-P=0

onde P eh o que voce quer maximizar.

O polinomio f(t)=t^3-t^2+at-P sempre tem pelo menos uma raiz real (grau 3).
Quando voce muda P, voce translada o grafico de f(t) para cima (ou para
baixo). Assim, a ideia eh levar o grafico para cima o maximo possivel,
mantendo sempre 3 raizes reais -- isto eh, o P maximo acontece quando temos
uma raiz dupla!

Assim, podemos supor spdg x=y=r no P maximo, e portanto z=1-2r. Jogue isso
em xy+xz+yz=a para descobrir esse r otimo em termos de a (confira que esse
r eh real, garantindo a existencia das 3 raizes de fato), e calcule
P=r.r.(1-2r) para descobrir o tal produto maximo.

Abraco, Ralph.


2017-09-15 15:13 GMT-03:00 Leonardo Joau :

> Dados os reais x, y,z, tais que:
>
> x+y+z = 1
>
> xy+xz+yz = a  0
> Calcule o max{xyz} em função de a.
>
>
> Att,
> Leonardo Joau
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra

2014-10-29 Por tôpico Mariana Groff 
Perdão,
Invés de n ser o produto de dois inteiros positivos, n é o produto de dois
inteiros positivos consecutivos.

Em 29 de outubro de 2014 20:03, g...@impa.br escreveu:

Cara Mariana,
Acho que há algum problema com o enunciado. Seja n=122=2.61. Se
 escrevemos dois algarismos após o algarismo das unidades de n obtemos um
 número entre 12200 e 12299. Como 110^2=1210012200 e 111^2=1232112299,
 nenhum desses números é um quadrado perfeito.
Abraços,
  Gugu

 Quoting Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com:

  Boa tarde,
 Não consigo resolver o problema a seguir, alguém poderia me ajudar?

 O inteiro n é o produto de dois inteiros positivos. Prove que

 (a) é possível escrever dois algarismos após os algarismos das unidades
 deste número de modo que o inteiro resultante seja um quadrado perfeito.

 (b) se n12 então só existe uma maneia de escolher estes algarismos.

 Obrigada!

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.





 
 This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



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 acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


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[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra

2014-10-29 Por tôpico saulo nilson 
a) 729
b) 9216=(96)^2
94^2=8836
tem mais de uma manneira se n12


2014-10-29 18:56 GMT-02:00 Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com:

 Boa tarde,
 Não consigo resolver o problema a seguir, alguém poderia me ajudar?

 O inteiro n é o produto de dois inteiros positivos. Prove que

 (a) é possível escrever dois algarismos após os algarismos das unidades
 deste número de modo que o inteiro resultante seja um quadrado perfeito.

 (b) se n12 então só existe uma maneia de escolher estes algarismos.

 Obrigada!



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[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra

2014-10-20 Por tôpico Pacini Bores 
Oi Mariana,

Observe que c =-(a+b) e levando na expressão original teremos :

a^4+b^4 + c^4 = a^4+b^4+(a+b)^4. Desenvolvendo esta expressão , teremos
como resultado :

2(a^4+b^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3) = 2(a^2+b^2+ab)^2, ok ?

Abraços

Pacini

Em 20 de outubro de 2014 17:41, Mariana Groff 
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde,
 Não consigo resolver o seguinte problema, alguém poderia me ajudar?

 Sejam a,b e c números inteiros tais que a+b+c=0. Prove que a^4+b^4+c^4 é o
 dobro de um quadrado perfeito.


 Obrigada!

 --
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra

2014-10-20 Por tôpico Mariana Groff 
Entendi,
Muito obrigada!

Em 20 de outubro de 2014 18:12, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:

 Oi Mariana,

 Observe que c =-(a+b) e levando na expressão original teremos :

 a^4+b^4 + c^4 = a^4+b^4+(a+b)^4. Desenvolvendo esta expressão , teremos
 como resultado :

 2(a^4+b^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3) = 2(a^2+b^2+ab)^2, ok ?

 Abraços

 Pacini

 Em 20 de outubro de 2014 17:41, Mariana Groff 
 bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde,
 Não consigo resolver o seguinte problema, alguém poderia me ajudar?

 Sejam a,b e c números inteiros tais que a+b+c=0. Prove que a^4+b^4+c^4 é
 o dobro de um quadrado perfeito.


 Obrigada!

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.

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