[obm-l] Re: [obm-l] Progressões
Bruna, A resposta é C, visto que se (a,f,n) é uma PA e uma PG (com termos não negativos) implica que os três termos são iguais (veja o meu argumento abaixo!), o que é impossível pois o avô o filho e o neto não podem evidentemnte ter a mesma idade! Sejam a, f , n três números que nesta ordem formam uma PA e uma PG simultâneamente, então Se (a,f,n) é uma PA == f -a = n - f == f = (a+n)/2 Se (a,f,n) é uma PG == f/a = n/f == f^2 =a.n == f= sqrt(a.n) , pois estamos supondo f0. Assim, temos que f = (a+n)/2 e f= sqrt(a.n) == sqrt(a.n)=(a+n)/2 , noutras palavras a média geometrica entre a e n e a media aritmética entre a e n são iguais! É um fato bem conhecido que essa igualdade só ocorre se os números a e n forem iguais. Assim temos que a=n. Como f = (a+n)/2 = (a+a)/2 = a. Logo a=f=n. Obs. Para mostrar que sqrt(x.y)=(x+y)/2 == x = y. Faça o seguinte sqrt(x.y)=(x+y)/2 == 2.sqrt(x.y) = x+y == [sqrt(x)]^2 - 2.sqrt(x).sqrt(y) + [sqrt(y)]^2 = 0 == [sqrt(x)-sqrt(x)]^2=0 == sqrt(x)=sqrt(y) == x=y. A recíproca é óbvia! Cgomes - Original Message - From: Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, February 05, 2007 8:09 PM Subject: [obm-l] Progressões Um senhor tem a anos de idade, seu filho tem f anos de idade e seu neto, n. Sobre estes valores, podemos afirmar: (A) É impossível que a, f e n estejam em progressão aritmética. (B) É impossível que a, f e n estejam em progressão geométrica. (C) É impossível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão aritmética e geométrica. (D) É possível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão aritmética e geométrica. (E) É possível que a, f e n estejam em progressão aritmética, mas é impossível que estejam em progressão geométrica. -- Bjos, Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.26/670 - Release Date: 5/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Progressões
Ola Rafael ! Seja BI(N,P)=N!/[P!*(N-P)!]. Se NP, considere BI(N,P)=0. TEOREMA Se elevarmos os termos de uma PAr a s-esima potencia teremos uma PArs. (r, s inteiros nao negativos quaisquer ) Nos casos abaixo temos os termos de uma PA1 elevados ao quadrado e ao cubo. As somas sao : Para uma PA1*2=PA2 : Sn=A1*BI(N,1)+(A2-A1)*BI(N,2)+(A3-2*A2+A1)*BI(N,3) Para uma PA1*3=PA3 : Sn=A1*BI(N,1)+(A2-A1)*BI(N,2)+(A3-2*A2+A1)*BI(N,3)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N,4) Basta entao encontrar os coeficientes. Vou fazer os itens h e i : h) A1=1, A2=9 e A3=25. Logo : Sn=BI(N,1) + 8*BI(N,2) + 8*BI(N,3) i)A1=1, A2=27 e A3=125 e A4=343. Logo : Sn=BI(N,1) + 26*BI(N,2) + 72*BI(N,3) + 48*BI(N,4) Note que (x,x,x,...) e uma PA0 - PA de ordem zero - e nao uma PA1. So assim o teorema que enunciei implicitamente acima fica consistente. Um Abraco Paulo Santa Rita 3,0904,100505 On 5/9/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal ! 1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas indicadas a) (1 + 2 + 3 + ...) b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...) c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...) d) (2 + 4 + 6 + ...) e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...) f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...) g) (1 + 3 + 5 + ...) h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...) i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...) Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver. []`s Rafael _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Progressões
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 9 May 2005 18:31:55 EDT Assunto: [obm-l] Progressões Olá, pessoal !1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas indicadasa) (1 + 2 + 3 + ...)b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...)c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...) Chame as somas (a), (b) e (c) acima de S1(n), S2(n) e S3(n), respectivamente. d) (2 + 4 + 6 + ...) = 2*S1(n)e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...) = 4*S2(n)f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...) = 8*S3(n)g) (1 + 3 + 5 + ...) = S1(2n) - 2*S1(n)h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...) = S2(2n) - 4*S2(n)i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...) = S3(2n) - 8*S3(n) []s, Claudio. Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver.[]`sRafael
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Progressões
Ola Pessoal,
Pode ser que a mensagem abaixo nao tenha ficado suficientemente clara. Vou
complementa-la agora.
Uma PA e uma sequencia A1,A2,A3, ... tal que Ai+1 - Ai e constante para todo
i=1,2,... Adotando esta definicao e considerando que em muitas
circunstancias surgem PA's de ordem superior, seria desejavel extender este
conceito de forma que pudessemos preservar aquilo que ja sabemos e ampliar a
nossa compreensao.
Entao fazemos assim :
Uma PA1 e uma sequencia A1,A2,A3,... tal que Ai+1 - Ai = constante = K, K
diferente de zero, para todo i=1,2,3, Uma PA2 e uma sequencia
A1,A2,A3,... tal que Ai+2 - 2*Ai+1 + Ai=constante=K,
K diferente de zero, para todo i=1,2,3,... De maneira geral :
Uma PAn e uma sequencia A1,A2,A3,... tal que :
Somatorio(j=0 ate N){ [(-1)^j]*BI(N,j)*Ai+N-j } = constante = K, K diferente
de zero, para todo i=1,2,3,...
Note que esta definicao absorve bem o que ja sabemos e amplia, ao menos, o
nosso poder de computacao. De fato. Com base na definicao acima mostre que,
em particular :
Numa PA2 :
TERMO GERAL An=A1*BI(N-1,0) + (A2-A1)*BI(N-1,1) + (A3 - 2*A2+A1)*BI(N-1,2)
SOMA DOS TERMOS Sn=A1*BI(N,1) + (A2-A1)*BI(N,2) + (A3 - 2*A2+A1)*BI(N,3)
Aqui, em particular :
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2 = BI(N,1)+3*BI(N,2)+2*BI(N,3)
Numa PA3 :
TERMO GERAL :
An=A1*BI(N-1,0)+(A2-A1)*BI(N-1,1)+(A3 -
2*A2+A1)*BI(N-1,2)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N-1,3)
SOMA DOS TERMOS :
Sn=A1*BI(N,1) + (A2-A1)*BI(N,2) + (A3 -
2*A2+A1)*BI(N,3)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N,4)
Aqui, em particular :
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3=BI(N,1)+7*BI(N,2)+20*BI(N,3)+6*BI(N,4)
Usando a Definicao Geral Acima e considerando que uma sequencia de
constantes e uma PA0 ( PA zero ) prove a afirmacao seguinte : Se A1, A2,
A3,... e uma PAr e B1, B2, B3, ... e uma PAs entao A1*B1, A2*B2, A3*B3,... e
uma PAr+s. Daqui Conclua o Teorema que enunciei na mensagem abaixo : Se
elevarmos cada termo de uma PAr a s-esima potencia obteremos uma PArs
Tudo isso e muito simples. Talvez mais interessante e verificar que se
partirmos de uma PAn qualquer A1, A2, A3, ... e definirmos :
Tn-1,j=Aj+1 - Aj e Tn+1,j=A1+..+Aj
Conforme n for variando teremos todos os triangulos aritmeticos Tipo
Pascal, cada qual caracterizado univocamente por um numero, o NIC do
triangulo. Se voce partir de uma PAn o polinomio em NIC :
P(NIC) = NIC^P + BI(P,1)*NIC^(p-1) + ...
Tem raizes tais que permitem definer o Triangulo harmonico conjugado, vale
dizer, as colunas negativas do triangulo de Pascal associado ou, o que
tambem da no mesmo, as PAr, r inteiro negativo. Aqui, P é o menor primo
maior que NIC. Bom, mas isso e outra historia e acabei fugindo do tema.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,1120,100505
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Progressões
Date: Tue, 10 May 2005 12:07:02 +
Ola Rafael !
Seja BI(N,P)=N!/[P!*(N-P)!]. Se NP, considere BI(N,P)=0. TEOREMA Se
elevarmos os termos de uma PAr a s-esima potencia teremos uma PArs. (r,
s inteiros nao negativos quaisquer ) Nos casos abaixo temos os termos de
uma PA1 elevados ao quadrado e ao cubo. As somas sao :
Para uma PA1*2=PA2 :
Sn=A1*BI(N,1)+(A2-A1)*BI(N,2)+(A3-2*A2+A1)*BI(N,3)
Para uma PA1*3=PA3 :
Sn=A1*BI(N,1)+(A2-A1)*BI(N,2)+(A3-2*A2+A1)*BI(N,3)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N,4)
Basta entao encontrar os coeficientes. Vou fazer os itens h e i :
h) A1=1, A2=9 e A3=25. Logo :
Sn=BI(N,1) + 8*BI(N,2) + 8*BI(N,3)
i)A1=1, A2=27 e A3=125 e A4=343. Logo :
Sn=BI(N,1) + 26*BI(N,2) + 72*BI(N,3) + 48*BI(N,4)
Note que (x,x,x,...) e uma PA0 - PA de ordem zero - e nao uma PA1. So assim
o teorema que enunciei implicitamente acima fica consistente.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,0904,100505
On 5/9/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá, pessoal !
1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas
indicadas
a) (1 + 2 + 3 + ...)
b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...)
c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...)
d) (2 + 4 + 6 + ...)
e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...)
f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...)
g) (1 + 3 + 5 + ...)
h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...)
i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...)
Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não
precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver.
[]`s
Rafael
_
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
On Thu, Jul 17, 2003 at 01:08:25AM -0300, Alexandre Daibert wrote: Aonde eu consigo o download deste programa aí??? q programas q tem amis bom de matemática??? alguém pode me ajudar? O maple e o mathematica sao programas comerciais e voce nao pode fazer um download gratuito legal. Existem outros programas que fazem algumas das coisas que o maple e o mathematica fazem e que podem ser obtidos gratuitamente, inclusive alguns que sao software livre (no sentido gnu). O mupad est comercial mas existe uma versao que pode ser usada legalmente sem abrir a carteira. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
Em minha opinião o melhor software desse tipo eh o Matlab... Não sei para os Matemáticos, mas para os engenheiros com certeza é. Ele também é comercial. Existe um software chamado Scilab (livre, licensa publica GNU) que é parecido, mas não tem tantos toolkits quanto o Matlab. []s David - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, July 17, 2003 9:52 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE... On Thu, Jul 17, 2003 at 01:08:25AM -0300, Alexandre Daibert wrote: Aonde eu consigo o download deste programa aí??? q programas q tem amis bom de matemática??? alguém pode me ajudar? O maple e o mathematica sao programas comerciais e voce nao pode fazer um download gratuito legal. Existem outros programas que fazem algumas das coisas que o maple e o mathematica fazem e que podem ser obtidos gratuitamente, inclusive alguns que sao software livre (no sentido gnu). O mupad est comercial mas existe uma versao que pode ser usada legalmente sem abrir a carteira. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
Caro Morgado, gostaria de pedir desculpas, mas naum tive acesso à questão original, a questão foi me passada desta forma, com a afirmação S(12000)=10 (com o sinal de igual!) por isso eu achei o problema extremamente estranho e esquisito. Gostaria se alguém tivesse o enunciado original da questão pudesse me passar para verificação da questão original, pois da forma q eu coloquei aos senhores, a questão está muito mal colocada. A. C. Morgado escreveu: Eh claro que S(12 000) nao eh igual a 10 exatamente, Alexandre. Conforme o esboço de prova abaixo, S(n) nao pode ser inteiro para n1. Alem disso, me inclua fora do voces. Quando voce nao gostar de um problema, por favor, replique a mensagem original. O problema que introduzi na discussao eh muito interessante e foi de uma das primeiras OBM. Foi introduzido na discussao porque o Artur nao conhecia o resultado. Voce esta reclamando de um problema que uma leitura superficial do enunciado revelava conter hipoteses falsas. Meus comentarios a respeito do problema estao explicitos nas duas mensagens que enviei. Repetindo, eh impossivel, para n1, que S(n) seja inteiro. Alexandre Daibert wrote: Espera aí, vcs estão dizendo q a resposta do problema é q simplesmente não há reposta??? Não é por nada não, disseram q o problema é interessante, mas se eu entendi direito o problema é uma porcaria, está na cara q não existe S(k)=100 , mas ele dá a entender que quer um número q seja, digamos, muito próximo a 100. Gostaria de lançar outro problema então. O mesmo problema, mas agora utilizando ao invés de S(k)=100, S(k)o mais próximo de100. Alguém teria alguma solução?? Outra dúvida, S(12000) é realmente igual a 10 exatamente Espero alguma resposta dos colegas :) Alexandre Daibert A. C. Morgado escreveu: Tome a fração cujo denominador fatorado contem a maior potencia de 2, 2^p. Essa fraçao eh unica (prove por absurdo!). Some as fraçoes, reduzindo-as ao denominador que seja o MMC dos denominadores. Tal MMC serah (2^p)*impar . Constate, com imensa alegria, que o numerador da soma eh impar. Conclua. Artur Costa Steiner wrote: (nao sei se existe algum inteiro k que leve a S(k) = 100) Eu sei. Isso foi um problema de uma das primeiras OBM. Prove que nao existe n1 tal que soma de 1/k com k variando de 1 a n seja inteiro. O problema eh interessante, inclusive pporque parece ser mais dificil do que verdadeiramente eh. Oi Morgado! Poderia dar uma deixa de como provar isso? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
Eh claro que S(12 000) nao eh igual a 10 exatamente, Alexandre. Segundo o Maple, S(12000) = 9,969919260. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
Eh claro que S(12 000) nao eh igual a 10 exatamente, Alexandre. Conforme o esboço de prova abaixo, S(n) nao pode ser inteiro para n1. Alem disso, me inclua fora do voces. Quando voce nao gostar de um problema, por favor, replique a mensagem original. O problema que introduzi na discussao eh muito interessante e foi de uma das primeiras OBM. Foi introduzido na discussao porque o Artur nao conhecia o resultado. Voce esta reclamando de um problema que uma leitura superficial do enunciado revelava conter hipoteses falsas. Meus comentarios a respeito do problema estao explicitos nas duas mensagens que enviei. Repetindo, eh impossivel, para n1, que S(n) seja inteiro. Alexandre Daibert wrote: Espera aí, vcs estão dizendo q a resposta do problema é q simplesmente não há reposta??? Não é por nada não, disseram q o problema é interessante, mas se eu entendi direito o problema é uma porcaria, está na cara q não existe S(k)=100 , mas ele dá a entender que quer um número q seja, digamos, muito próximo a 100. Gostaria de lançar outro problema então. O mesmo problema, mas agora utilizando ao invés de S(k)=100, S(k)o mais próximo de100. Alguém teria alguma solução?? Outra dúvida, S(12000) é realmente igual a 10 exatamente Espero alguma resposta dos colegas :) Alexandre Daibert A. C. Morgado escreveu: Tome a fração cujo denominador fatorado contem a maior potencia de 2, 2^p. Essa fraçao eh unica (prove por absurdo!). Some as fraçoes, reduzindo-as ao denominador que seja o MMC dos denominadores. Tal MMC serah (2^p)*impar . Constate, com imensa alegria, que o numerador da soma eh impar. Conclua. Artur Costa Steiner wrote: (nao sei se existe algum inteiro k que leve a S(k) = 100) Eu sei. Isso foi um problema de uma das primeiras OBM. Prove que nao existe n1 tal que soma de 1/k com k variando de 1 a n seja inteiro. O problema eh interessante, inclusive pporque parece ser mais dificil do que verdadeiramente eh. Oi Morgado! Poderia dar uma deixa de como provar isso? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
Gozado, recebi a resposta do Artur, mas nao recebi a mensagem original. Mas esta minha mensagem nao eh a respeito disso e sim a respeito de um comentario do Artur: (nao sei se existe algum inteiro k que leve a S(k) = 100) Eu sei. Isso foi um problema de uma das primeiras OBM. Prove que nao existe n1 tal que soma de 1/k com k variando de 1 a n seja inteiro. O problema eh interessante, inclusive pporque parece ser mais dificil do que verdadeiramente eh. Artur Costa Steiner wrote: Nao eh preciso usar este tipo de linguagem. Vamos evitar a baixaria nesta lista. De qualquer forma, temos que a funcao definida para x=1 por f(x) =1/x eh positiva e estritamente decrescente. Logo, quanto maior k, mais a soma parcial para k da serie Soma 1/k estarah proxima da integral de 1 a k de dx/x = ln(k). Assim, se S(k) for igual a um nmero prximo de 100 (nao sei se existe algum inteiro k que leve a S(k) = 100), teremos k da ordem de e^100 =~= 2,69 X 10^43 (segundo a planilha Excel). A proposito, temos que S(12000) =~ 9,96991926 (valor obtido com o Excel utilizando uma macro em Visual Basic For Application). Outra forma de calcular isto eh preencher as celulas A1 a A12000 com os numeros 1,2.12, colocar =A1 em B1, =B1+1/A2 em B2 e copiar esta formula ateh B12000. Em B12000 teremos o valor desejado com a aproximacao do Excel. Artur Temos a sequncia: S(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n S(12000) = 10 qual a ordem de grandeza de k, sendo S(k) = 100 ? obs: acho q S(12000) no eh exatamente 10, mas um nmero prximo de 10 :) Espero respostas dos dignos companheiros Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
(nao sei se existe algum inteiro k que leve a S(k) = 100) Eu sei. Isso foi um problema de uma das primeiras OBM. Prove que nao existe n1 tal que soma de 1/k com k variando de 1 a n seja inteiro. O problema eh interessante, inclusive pporque parece ser mais dificil do que verdadeiramente eh. Oi Morgado! Poderia dar uma deixa de como provar isso? Abracos Artur
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
Tome a frao cujo denominador fatorado contem a maior potencia de 2, 2^p. Essa fraao eh unica (prove por absurdo!). Some as fraoes, reduzindo-as ao denominador que seja o MMC dos denominadores. Tal MMC serah (2^p)*impar . Constate, com imensa alegria, que o numerador da soma eh impar. Conclua. Artur Costa Steiner wrote: (nao sei se existe algum inteiro k que leve a S(k) = 100) Eu sei. Isso foi um problema de uma das primeiras OBM. Prove que nao existe n1 tal que soma de 1/k com k variando de 1 a n seja inteiro. O problema eh interessante, inclusive pporque parece ser mais dificil do que verdadeiramente eh. Oi Morgado! Poderia dar uma deixa de como provar isso? Abracos Artur
[obm-l] Re: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE FODA!!!!!!! URGENTEEE!!!
E aí, tudo certo? Acho que há um erro na definição S(12000)=10 O que eu tenho certeza é que a série sum(1/n) é divergente e assim ela realmente pode apresentar vários valores! - Original Message - From: Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, July 12, 2003 8:20 PM Subject: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE FODA!!! URGENTEEE!!! Temos a sequência: S(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n S(12000) = 10 qual a ordem de grandeza de k, sendo S(k) = 100 ? obs: acho q S(12000) não eh exatamente 10, mas um número próximo de 10 :) Espero respostas dos dignos companheiros Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
Nao eh preciso usar este tipo de linguagem. Vamos evitar a baixaria nesta lista. De qualquer forma, temos que a funcao definida para x=1 por f(x) =1/x eh positiva e estritamente decrescente. Logo, quanto maior k, mais a soma parcial para k da serie Soma 1/k estarah proxima da integral de 1 a k de dx/x = ln(k). Assim, se S(k) for igual a um número próximo de 100 (nao sei se existe algum inteiro k que leve a S(k) = 100), teremos k da ordem de e^100 =~= 2,69 X 10^43 (segundo a planilha Excel). A proposito, temos que S(12000) =~ 9,96991926 (valor obtido com o Excel utilizando uma macro em Visual Basic For Application). Outra forma de calcular isto eh preencher as celulas A1 a A12000 com os numeros 1,2.12, colocar =A1 em B1, =B1+1/A2 em B2 e copiar esta formula ateh B12000. Em B12000 teremos o valor desejado com a aproximacao do Excel. Artur Temos a sequência: S(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n S(12000) = 10 qual a ordem de grandeza de k, sendo S(k) = 100 ? obs: acho q S(12000) não eh exatamente 10, mas um número próximo de 10 :) Espero respostas dos dignos companheiros Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
