[obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante
x-r+x+x+r=180 x=60 (y-w)a+y(b)+(y+w)c=acrq3/2 b^2=a^2+c^2-ac sen(60-r)=h1/b 2015-02-21 13:39 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Espero que alguém goste assim como eu gostei: As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em PA e as medidas das alturas do mesmo triângulo estão em PA.Prove que o triângulo é equilátero. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante
x-r+x+x+r=180 x=60 (y-w)a+y(b)+(y+w)c=acrq3/2 b^2=a^2+c^2-ac sen(60-r)=h2/b=h3/a sen(60+r)=h1/b=h3/c h3/h2=a/b h3/h1=c/b h1/h2=a/c (h3-h2)/h2=(a-b)/b (h2-h1)/h1=(c-a)/a w/h2=(a-b)/b w/h1=(c-a)/a h1/h2=(a-b)a/(c-a)b=a/c (c-a)b=(a-b)c cb-ab=ac-bc 2bc=ac+ab b^2=a^2+c^2-ac b^2=4b^2c^2/(b+c)^2 +c^2-2bc^2/(b+c) b^2/c^2 (b+c)^2=4b^2+b^2+c^2 -2b^2=3b^2+c^2 b^2(b^2+2bc+c^2)=c^4+3b^2c^2 b^4+2b^3c=c^4+2b^2c^2 b=c uma das respostas logo a=b=c triângulo equilátero -02-22 15:26 GMT-03:00 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com: x-r+x+x+r=180 x=60 (y-w)a+y(b)+(y+w)c=acrq3/2 b^2=a^2+c^2-ac sen(60-r)=h1/b 2015-02-21 13:39 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Espero que alguém goste assim como eu gostei: As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em PA e as medidas das alturas do mesmo triângulo estão em PA.Prove que o triângulo é equilátero. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] questão interessante
Existem x e y inteiros positivos não nulos tais que z=( 9*x^2 + 50*x*y + 9*y^2)^1/2 seja também um número inteiro. Sim, e dado que a expressão para z é simétrica em relação a x e y e homogênea (de grau 2) podemos nos ater a pares (x,y) tais que x y e MDC(x,y) = 1, já que se (x,y) é solução (isto é, produz um z inteiro), então (y,x) e (k*x,k*y) (k inteiro) também são. Por exemplo, (1,5), (4,5), (9,13) produzem z = 22, 37 e 90, respectivamente. A fim de determinar todas as soluções, uma idéia é elevar tudo ao quadrado e completar o quadrado do lado direito. z^2 = 9x^2 + 50xy + 9y^2 == z^2 = (3x)^2 + 2*(3x)*(25y/3) + 625y^2/9 - 544y^2/9 == z^2 = ( 3x + 25y/3 )^2 - 34*(4y/3)^2 == (3z)^2 = ( 9x + 25y )^2 - 34*(4y)^2 Fazendo as substituições u = 9x + 25y e v = 4y, teremos: u^2 - 34*v^2 = (3z)^2() Assim, para cada z inteiro e positivo, a equação () acima será uma equação de Pell (apesar de alguns autores chamarem de eq. de Pell apenas aquelas onde o lado direito = 1 (z =1/3 no nosso caso)), a qual pode ou não ter solução. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] En: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Na minha última mensagem sobre este problema, eu comecei dizendo Temo estar
dizendo tremendas bobagens. Se estiver, sejam discretos ao apontar meus
erros.
Eu estava e VV foram.
Em vez de simplesmente me mandar ler o enunciado do problema, onde está dito
com todas as letras: O indivíduo X, o mais baixo dentre as 10 pessoas mais
altas em suas colunas, MEDE UMA ALTURA DIFERENTE do indivíduo Y, o mais
alto dentro as 10 pessoas mais baixas em suas linhas [o destaque é meu],
ambos usaram argumentos formais: o Pedro foi sucinto e o Santa Rita quase
apresentou uma nova demonstração do Último Teorema de Fermat.
Obrigado, fico devendo esta.
JF
-Mensagem Original-
De: Pedro Antonio Santoro Salomão [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 14 de Agosto de 2002 17:56
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
O enunciado diz que X é diferente de Y, por isso a conclusão de que X Y.
Senão, realmente não tinha como concluir.
Talvez você argumente que o enunciado do problema possa apresentar algum
problema, ou seja, que tenhamos que provar que nem sempre X = Y. Mas para
isso, bastaria construir um exemplo de um tabuleiro 10 x 10 com a
propriedade X Y. E é simples fazer isso, ou seja, o enunciado está
correto.
Um abraço. Pedro.
-Mensagem Original-
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 14 de Agosto de 2002 17:08
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Ola Pessoal,
Eu esbocei uma solucao, que esta correta. Talvea eu tenha sido muito
sucinto. Vou, agora, ser mais prolixo :
1) Para cada coluna i, seja Y(i) a altura da pessoal mais alta que esta
na
coluna i. Isto cria o conjunto : { Y(1),Y(2),...,Y(10) }
formado pelas pessoas mais altas em cada coluna.
Por Definiçao :
Y=MIN{ Y(1),Y(2),...,Y(10) }, isto é, Y e a altura do individuo mais
baixo
entre os dez mais altos em cada coluna.
2) Igualmente, para cada linha j, seja X(j) a altura da pessoa mais
baixa
que esta na linha j. Isto cria o conjunto :
{X(1),X(2),...,X(10)} formado pelas pessoas mais baixas em cada linha.
Por definição :
X=MAX{X(1),X(2),...,X(10)}, isto é, X e a altura do individuo mais alto
entre os dez mais baixos em cada linha.
O enunciado afirma que X é diferente de Y. Então so pode ser X Y
ou Y X. Vamos mostrar que X Y conduz a um absurdo :
3) Se X Y entao, sendo X o mais baixo em sua linha, segue
necessariamente
que todos que estao na linha onde X esta sao mais altos que Y. E isto
implica que Y nao esta linha onde X esta. Por que ?
Porque se Y estivesse na linha onde X esta, Y seria o menor da linha, mas,
por definicao, o menor da linha onde X esta e o X, logo, deveriamos ter
Y=X,
um absurdo, pois estamos supondo que X Y.
Vemos portanto que supor que Y esta linha que X esta conduz a um absurdo.
So
resta uma possibilidade : Y esta em outra linha !
Bom, neste caso, a linha onde X esta tem, evidentemente, uma interseccao
com
a coluna onde Y esta. Como, pelo que vimos em 3), todos os elementos da
linha onde X esta sao mais altos que o Y, segue a intersecao abriga uma
pessoa mais alta que Y, e isto entra em contradicao com o fato de Y ser o
mais alto de sua coluna, isto e, chegamos a um novo absurdo.
COMPUTO FINAL : Se supormos que X Y, estando Y na linha onde X esta ou
estando Y em outra linha, chegamos a um absurdo. Logo, a tese de que X Y
é
insustentavel e somos obrigados a admitir que Y X.
sobre a solucao acima, o que o Prof Morgado pode dizer e que e uma solucao
correta.
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
- Original Message -
From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, August 14, 2002 3:51 PM
Subject: [obm-l] Questão interessante.
Temo estar dizendo tremendas bobagens. Se estiver, sejam discretos ao
apontar meus erros.
JF
PS: O que o Morgado, o Ainda Vivo, que deve conhecer o problema, já que
corrigiu a nacionalidade e idade dele, tem a dizer disso tudo?
(...)
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
JF, No braço deu para ver um caso. Na matriz 3 x 3. 9,2,4; 6,8,1; 3,5,7. X=7 Y=3 Ou seja, se fosse para chutar e sabendo que X é diferente de Y, chutaria X Y. SDS, Marcos Melo. -- Mensagem original --- De : [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l [EMAIL PROTECTED] Cc : Data: Tue, 13 Aug 2002 15:42:25 -0300 Assunto : [obm-l] Questão interessante. Não estou conseguindo partir. Tentando resolver no braço - afinal de contas, para que existem computadores? - estou achando que o mais baixo entre os mais altos das suas colunas é também o mais alto entre os mais baixo s das suas linhas. Dá para fornecer uma um ponto de partida? JF -Mensagem Original- De: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 8 de Agosto de 2002 11:06 Assunto: Re: [obm-l] Questão interessante. Na verdade, o problema é russo e de data anterior a 1966. Mas é mu ito bonito. Morgado Em Wed, 7 Aug 2002 22:13:01 -0300, Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] disse: Olá pessoal! Compartilho com vocês esta questão que, tenho certeza, todos vão adorar. (Inglaterra - 1966) Cem pessoas de diferentes alturas são acomodadas num grande tabuleiro 10 x 10. O indivíduo X, o mais baixo dentre as 10 pessoas mais altas em suas colunas, mede uma altura diferente do indivíd uo Y, o mais alto dentro as 10 pessoas mais baixas em suas linhas. Quem é mai s baixo: X ou Y? Eduardo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Talvez essa seja uma solução mais rigorosa.
Para i,k no conjunto {1,2,...,10}
Seja a_ik a altura da pessoa na linha i e coluna k do tabuleiro.
Chame de X_k a altura da pessoa mais alta na coluna k.
Chame de Y_i a altura da pessoa mais baixa na linha i.
Agora observe que X_k = a_ik=Y_i para todo i,k em {1,2,...,10}
Logo X=min{X_k}=max{Y_i}=Y.
Como X é diferente de Y, então XY.
Abraço. Pedro.
- Original Message -
From: Marcos Melo [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, August 14, 2002 9:01 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
JF,
No braço deu para ver um caso.
Na matriz 3 x 3.
9,2,4;
6,8,1;
3,5,7.
X=7 Y=3
Ou seja, se fosse para chutar e sabendo que X é diferente de Y,
chutaria X Y.
SDS,
Marcos Melo.
-- Mensagem original ---
De : [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Cc :
Data: Tue, 13 Aug 2002 15:42:25 -0300
Assunto : [obm-l] Questão interessante.
Não estou conseguindo partir. Tentando resolver no braço -
afinal de contas,
para que existem computadores? -
estou achando que o mais baixo entre os
mais altos das suas colunas é também o mais alto entre os mais baixo
s das
suas linhas. Dá para fornecer uma um ponto de partida?
JF
-Mensagem Original-
De: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quinta-feira, 8 de Agosto de 2002 11:06
Assunto: Re: [obm-l] Questão interessante.
Na verdade, o problema é russo e de data anterior a 1966. Mas é mu
ito
bonito.
Morgado
Em Wed, 7 Aug 2002 22:13:01 -0300, Eduardo Casagrande Stabel
[EMAIL PROTECTED] disse:
Olá pessoal!
Compartilho com vocês esta questão que, tenho certeza, todos vão
adorar.
(Inglaterra -
1966) Cem pessoas de diferentes alturas são acomodadas num
grande tabuleiro 10 x 10. O indivíduo X, o mais baixo dentre as
10
pessoas
mais altas em suas colunas, mede uma altura diferente do indivíd
uo Y, o
mais
alto dentro as 10 pessoas mais baixas em suas linhas. Quem é mai
s baixo:
X
ou Y?
Eduardo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
==
===
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
==
===
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Ola Pessoal,
Eu esbocei uma solucao, que esta correta. Talvea eu tenha sido muito
sucinto. Vou, agora, ser mais prolixo :
1) Para cada coluna i, seja Y(i) a altura da pessoal mais alta que esta na
coluna i. Isto cria o conjunto : { Y(1),Y(2),...,Y(10) }
formado pelas pessoas mais altas em cada coluna.
Por Definiçao :
Y=MIN{ Y(1),Y(2),...,Y(10) }, isto é, Y e a altura do individuo mais baixo
entre os dez mais altos em cada coluna.
2) Igualmente, para cada linha j, seja X(j) a altura da pessoa mais baixa
que esta na linha j. Isto cria o conjunto :
{X(1),X(2),...,X(10)} formado pelas pessoas mais baixas em cada linha.
Por definição :
X=MAX{X(1),X(2),...,X(10)}, isto é, X e a altura do individuo mais alto
entre os dez mais baixos em cada linha.
O enunciado afirma que X é diferente de Y. Então so pode ser X Y
ou Y X. Vamos mostrar que X Y conduz a um absurdo :
3) Se X Y entao, sendo X o mais baixo em sua linha, segue necessariamente
que todos que estao na linha onde X esta sao mais altos que Y. E isto
implica que Y nao esta linha onde X esta. Por que ?
Porque se Y estivesse na linha onde X esta, Y seria o menor da linha, mas,
por definicao, o menor da linha onde X esta e o X, logo, deveriamos ter Y=X,
um absurdo, pois estamos supondo que X Y.
Vemos portanto que supor que Y esta linha que X esta conduz a um absurdo. So
resta uma possibilidade : Y esta em outra linha !
Bom, neste caso, a linha onde X esta tem, evidentemente, uma interseccao com
a coluna onde Y esta. Como, pelo que vimos em 3), todos os elementos da
linha onde X esta sao mais altos que o Y, segue a intersecao abriga uma
pessoa mais alta que Y, e isto entra em contradicao com o fato de Y ser o
mais alto de sua coluna, isto e, chegamos a um novo absurdo.
COMPUTO FINAL : Se supormos que X Y, estando Y na linha onde X esta ou
estando Y em outra linha, chegamos a um absurdo. Logo, a tese de que X Y é
insustentavel e somos obrigados a admitir que Y X.
sobre a solucao acima, o que o Prof Morgado pode dizer e que e uma solucao
correta.
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,1706,140802
From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Questão interessante.
Date: Wed, 14 Aug 2002 15:51:12 -0300
Temo estar dizendo tremendas bobagens. Se estiver, sejam discretos ao
apontar meus erros.
JF
PS: O que o Morgado, o Ainda Vivo, que deve conhecer o problema, já que
corrigiu a nacionalidade e idade dele, tem a dizer disso tudo?
-Mensagem Original-
De: Pedro Antonio Santoro Salomão [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 14 de Agosto de 2002 11:53
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Talvez essa seja uma solução mais rigorosa.
Para i,k no conjunto {1,2,...,10}
Seja a_ik a altura da pessoa na linha i e coluna k do tabuleiro.
Chame de X_k a altura da pessoa mais alta na coluna k.
Chame de Y_i a altura da pessoa mais baixa na linha i.
Agora observe que X_k = a_ik=Y_i para todo i,k em {1,2,...,10}
Logo X=min{X_k}=max{Y_i}=Y.
Como X é diferente de Y, então XY.
Abraço. Pedro.
***
O enunciado do problema nao diz que XY. Ele diz que os indivíduos têm
alturas diferentes. Usando sua notação, não existem duas a_ik iguais.
Por exemplo, na matriz 2x2
5, 20
10, 15
X_k={10,20} logo X=min(X_k)=10
Y_i={5,10} logo Y=max(Y_i)=10
e temos X=Y (leia-se o indivíduo que é o mais baixo entre os mais altos
das
colunas é também o mais alto entre os mais baixos das linhas)
***
- Original Message -
From: Marcos Melo [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, August 14, 2002 9:01 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
JF,
No braço deu para ver um caso.
Na matriz 3 x 3.
9,2,4;
6,8,1;
3,5,7.
X=7 Y=3
Ou seja, se fosse para chutar e sabendo que X é diferente de Y,
chutaria X Y.
SDS,
Marcos Melo.
***
Mas se alterarmos um pouco sua matriz,
19, 2, 4
6, 8, 1
10, 9, 7
teremos X=min{19,9,7} e Y=max{2,1,7}
logo X=Y=7 (leia-se o indivíduo que é o mais baixo entre os mais
altos...)
(é a mesma Síndrome do menor-dos-maiores=maior-dos-menores)
***
-Mensagem Original-
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Terça-feira, 13 de Agosto de 2002 18:00
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Y é menor que X.
X é o mais baixo entre os 10 mais altos em suas colunas, isto é, em cada
coluna i nos encontramos Ci, o mais alto na coluna i. Isto fornece um
conjunto {C1, C2, ...,C10}. Daqui : X=min{ C1,C2, ...,C10 }
Y é o mais alto entre os 10 mais baixos em suas linhas, isto é, em cada
linha j nos encontramos Lj, o mais baixo na linha j. Isto fornece um
conjunto {L1,L2,...,L10}. Daqui : Y
[obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
O enunciado diz que X é diferente de Y, por isso a conclusão de que X Y.
Senão, realmente não tinha como concluir.
Talvez você argumente que o enunciado do problema possa apresentar algum
problema, ou seja, que tenhamos que provar que nem sempre X = Y. Mas para
isso, bastaria construir um exemplo de um tabuleiro 10 x 10 com a
propriedade X Y. E é simples fazer isso, ou seja, o enunciado está
correto.
Um abraço. Pedro.
- Original Message -
From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, August 14, 2002 3:51 PM
Subject: [obm-l] Questão interessante.
Temo estar dizendo tremendas bobagens. Se estiver, sejam discretos ao
apontar meus erros.
JF
PS: O que o Morgado, o Ainda Vivo, que deve conhecer o problema, já que
corrigiu a nacionalidade e idade dele, tem a dizer disso tudo?
-Mensagem Original-
De: Pedro Antonio Santoro Salomão [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 14 de Agosto de 2002 11:53
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Talvez essa seja uma solução mais rigorosa.
Para i,k no conjunto {1,2,...,10}
Seja a_ik a altura da pessoa na linha i e coluna k do tabuleiro.
Chame de X_k a altura da pessoa mais alta na coluna k.
Chame de Y_i a altura da pessoa mais baixa na linha i.
Agora observe que X_k = a_ik=Y_i para todo i,k em {1,2,...,10}
Logo X=min{X_k}=max{Y_i}=Y.
Como X é diferente de Y, então XY.
Abraço. Pedro.
***
O enunciado do problema nao diz que XY. Ele diz que os indivíduos têm
alturas diferentes. Usando sua notação, não existem duas a_ik iguais.
Por exemplo, na matriz 2x2
5, 20
10, 15
X_k={10,20} logo X=min(X_k)=10
Y_i={5,10} logo Y=max(Y_i)=10
e temos X=Y (leia-se o indivíduo que é o mais baixo entre os mais altos
das
colunas é também o mais alto entre os mais baixos das linhas)
***
- Original Message -
From: Marcos Melo [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, August 14, 2002 9:01 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
JF,
No braço deu para ver um caso.
Na matriz 3 x 3.
9,2,4;
6,8,1;
3,5,7.
X=7 Y=3
Ou seja, se fosse para chutar e sabendo que X é diferente de Y,
chutaria X Y.
SDS,
Marcos Melo.
***
Mas se alterarmos um pouco sua matriz,
19, 2, 4
6, 8, 1
10, 9, 7
teremos X=min{19,9,7} e Y=max{2,1,7}
logo X=Y=7 (leia-se o indivíduo que é o mais baixo entre os mais
altos...)
(é a mesma Síndrome do menor-dos-maiores=maior-dos-menores)
***
-Mensagem Original-
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Terça-feira, 13 de Agosto de 2002 18:00
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Y é menor que X.
X é o mais baixo entre os 10 mais altos em suas colunas, isto é, em cada
coluna i nos encontramos Ci, o mais alto na coluna i. Isto fornece um
conjunto {C1, C2, ...,C10}. Daqui : X=min{ C1,C2, ...,C10 }
Y é o mais alto entre os 10 mais baixos em suas linhas, isto é, em cada
linha j nos encontramos Lj, o mais baixo na linha j. Isto fornece um
conjunto {L1,L2,...,L10}. Daqui : Y=max{ L1,L2,...,L10 }
Como, pelo enunciado, nao pode ser Y = X , então só há duas
possibilidades.
Vamos supor que :
TESE : Y X
Seja Y=Lj e X=Ci. Agora veja :
Lj Ci = O mais baixo da linha j (Lj) é mais alto que o mais alto da
coluna i = todos da linha j sao mais altos que o mais alto da coluna i
=
Ci nao pode estar na linha j, pois entao ele seria o mais baixo, logo,
deveria ser igual a Lj (ABSURDO !) = na intersecao da linha j com a
coluna
i ha um cara mais alto que Ci = Ci nao é o mais alto em sua coluna ...
OUTRO ABSURDO !!
A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que
Y X
***
O enunciado NÃO diz que nao pode ser Y = X. Ele diz que indivíduos têm
alturas diferentes. Logo, há três e não apenas duas possibilidades: (1)
XY;
(2) X=Y; e (3) XY. V provou que a (3) é absurda. Tente provar que a (2)
também é. V não vai conseguir. Se conseguir, existe algo errado com a sua
prova, como os contra exemplos acima mostram.
***
-- Mensagem original ---
De : [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Cc :
Data: Tue, 13 Aug 2002 15:42:25 -0300
Assunto : [obm-l] Questão interessante.
Não estou conseguindo partir. Tentando resolver no braço -
afinal de contas,
para que existem computadores? -
estou achando que o mais baixo entre os
mais altos das suas colunas é também o mais alto entre os mais baixo
s das
suas linhas. Dá para fornecer uma um ponto de partida?
JF
[obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Y é menor que X.
X é o mais baixo entre os 10 mais altos em suas colunas, isto é, em cada
coluna i nos encontramos Ci, o mais alto na coluna i. Isto fornece um
conjunto {C1, C2, ...,C10}. Daqui : X=min{ C1,C2, ...,C10 }
Y é o mais alto entre os 10 mais baixos em suas linhas, isto é, em cada
linha j nos encontramos Lj, o mais baixo na linha j. Isto fornece um
conjunto {L1,L2,...,L10}. Daqui : Y=max{ L1,L2,...,L10 }
Como, pelo enunciado, nao pode ser Y = X , então só há duas possibilidades.
Vamos supor que :
TESE : Y X
Seja Y=Lj e X=Ci. Agora veja :
Lj Ci = O mais baixo da linha j (Lj) é mais alto que o mais alto da
coluna i = todos da linha j sao mais altos que o mais alto da coluna i =
Ci nao pode estar na linha j, pois entao ele seria o mais baixo, logo,
deveria ser igual a Lj (ABSURDO !) = na intersecao da linha j com a coluna
i ha um cara mais alto que Ci = Ci nao é o mais alto em sua coluna ...
OUTRO ABSURDO !!
A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que
Y X
From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Questão interessante.
Date: Tue, 13 Aug 2002 15:42:25 -0300
Não estou conseguindo partir. Tentando resolver no braço - afinal de
contas,
para que existem computadores? - estou achando que o mais baixo entre os
mais altos das suas colunas é também o mais alto entre os mais baixos das
suas linhas. Dá para fornecer uma um ponto de partida?
JF
-Mensagem Original-
De: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quinta-feira, 8 de Agosto de 2002 11:06
Assunto: Re: [obm-l] Questão interessante.
Na verdade, o problema é russo e de data anterior a 1966. Mas é muito
bonito.
Morgado
Em Wed, 7 Aug 2002 22:13:01 -0300, Eduardo Casagrande Stabel
[EMAIL PROTECTED] disse:
Olá pessoal!
Compartilho com vocês esta questão que, tenho certeza, todos vão
adorar.
(Inglaterra - 1966) Cem pessoas de diferentes alturas são acomodadas
num
grande tabuleiro 10 x 10. O indivíduo X, o mais baixo dentre as 10
pessoas
mais altas em suas colunas, mede uma altura diferente do indivíduo Y,
o
mais
alto dentro as 10 pessoas mais baixas em suas linhas. Quem é mais
baixo:
X
ou Y?
Eduardo.
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