[obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Olá Cláudio ( obrigado por ter dado atenção às minhas questoes) e demais
COLEGAS da lista ( por colegas entendo aqueles que, de alguma forma, estão
realmenteinteressados na discussão sobre a Matemática e suas belezas
contribuindo efetivamente para a manutenção e o desenvolvimento da cultura
matemática neste país.).
Correto. Concordo com as três soluções. Entretanto para o segundo exercício
podemos dar uma solução mais rápida:
como a^2b^2c^2 + ab +ac + bc >= wabcpara todo a, b, c positivos ,
fazendo a=b=c=1, temos:
w<=4 .
Resta provar que w=4 satisfaz a condição imposta no enunciado. Para tanto,
usamos novamente, a desigualdade entere as médias, MA >= MG:
(a^2b^2c^2+ab+ac+bc)/4 >= (a^2b^2c^2abacbc)^{1/4} = (a^4b^4c^4)^{1/4}=abc
=>
(abc)^2+ab+ac+bc >= 4abc.
Um grande abraço,
Frederico.
From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Questões Divertidas
Date: Tue, 19 Aug 2003 15:08:27 -0300
Oi, Frederico:
Jah que ninguem mais respondeu, aqui vai...
> (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) >= 2
Supondo que x (mod 2Pi) esteja em (0,Pi/2) U (Pi,3Pi/2), o resultado eh
consequencia de que (tg(x) - 1)^2 >= 0.
>
> (2) Encontre o maior número real w tal que wabc <= (abc)^2
+ ab
> + ac + bc , para todo a,b,c >0 .
>
O problema equivale a achar o valor minimo de:
F(a,b,c) = abc + 1/a + 1/b + 1/c, com a,b,c > 0.
Esse deu um certo trabalho, mas consegui descobrir uma solucao sem usar
calculo.
Media Geometrica >= Media Harmonica ==>
(abc)^(1/3) >= 3/(1/a + 1/b + 1/c) ==>
abc >= 27/(1/a + 1/b + 1/c)^3 ==>
F(a,b,c) >= 27/(1/a +1/b + 1/c)^3 + (1/a + 1/b + 1/c),
com igualdade <==> a = b = c, ou seja:
F(a,b,c) eh minimo quando a = b = c
Mas, fazendo x = 1/a + 1/b + 1/c, teremos:
F(a,b,c) >= 27/x^3 + x = 4*[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4
Media Aritmetica >= Media Geometrica ==>
[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4 >= [(27/x^3)*(x/3)*(x/3)*(x/3)]^(1/4) = 1 ==>
27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3 = 27/x^3 + x >= 4,
com igualdade <==> 27/x^3 = x/3 <==> x = 3 <==> 1/a + 1/b + 1/c = 3, ou
seja:
F(a,b,c) eh minimo quando 1/a + 1/b + 1/c = 3.
Assim, o valor minimo de F(a,b,c) eh atingido quando:
a = b = c e 1/a + 1/b + 1/c = 3 <==> a = b = c = 1
e nesse caso F(a,b,c) = 4
Conclusao: o maior w eh igual a 4.
> (3) V ou F:O produto da soma de nos reais positivos pela soma de
seus
> inversos é >= ao quadrado da quantidade de números.
V - consequencia da desigualdade entre a media harmonica e a media
geometrica de numeros positivos.
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Tres coisas: 1)O enunciado nao dizia sobre os quadrantes,logo esta errado! 2)voce queria que ele resolvesse como???E claro que ele tem que gatrantir que as passagens sao equivalencias.Ou se voce nao viu o problema começaria diferente se usassemos a desigualdade das medias? 3)mecher e nao MEXER --- Frederico Reis Marques de Brito <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá Alexandre. É bastante "perigoso" tentarmos > demonstrar uma > desigualdadeou mesmo uma igualdade "mechendo" > nos dois membros da mesma. Ao > chegarmos numa conclusão verdadeira, como a que > vc chegou, é necessário > checar se os passos são treversíveis, pois > afinal de contas vc partiu da > hipótese. Além disso, senx . cos x pode ser > negativo , o que ocorre > precisamente nos quadrantes pares, onde a tese > é falsa, mas vc não se deu > conta disso. > Uma sugestão, olhe os outros problemas e tente > achar a idéia comum aos três; > > > Um abraço, > Frederico. > > > >From: "Aleandre Augusto da Rocha" > <[EMAIL PROTECTED]> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questões > Divertidas > >Date: Mon, 18 Aug 2003 15:33:52 -0400 > > > > > >- Original Message - > >From: "Frederico Reis Marques de Brito" > <[EMAIL PROTECTED]> > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM > >Subject: [obm-l] Questões Divertidas > > > > > > > > > > Caros colegas. As questões que se seguem > são todas simples, desde que > > > pensemos na "coisa certa". Como gostei > delas resolvi partilhá-las com > >vcs: > > > > > > (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) >= 2 > . > > > > > > >tg(x) + cotg(x) >= 2 > >sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) >= 2 > >(sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) >= 2 > >1 >= 2sen(x)cos(x) > >1>=sen(2x) > > > > > > > > Abraços, > > > Frederico. > > > >-Auggy > > > > > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >= > > _ > MSN Messenger: converse com os seus amigos > online. > http://messenger.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = ___ Desafio AntiZona - Um emocionante desafio de perguntas e respostas que te dá um Renault Clio, kits de eletrônicos, computadores, notebooks e mochilas. Cadastre-se, participe e concorra! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Olá Alexandre. É bastante "perigoso" tentarmos demonstrar uma desigualdadeou mesmo uma igualdade "mechendo" nos dois membros da mesma. Ao chegarmos numa conclusão verdadeira, como a que vc chegou, é necessário checar se os passos são treversíveis, pois afinal de contas vc partiu da hipótese. Além disso, senx . cos x pode ser negativo , o que ocorre precisamente nos quadrantes pares, onde a tese é falsa, mas vc não se deu conta disso. Uma sugestão, olhe os outros problemas e tente achar a idéia comum aos três; Um abraço, Frederico. From: "Aleandre Augusto da Rocha" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas Date: Mon, 18 Aug 2003 15:33:52 -0400 - Original Message - From: "Frederico Reis Marques de Brito" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM Subject: [obm-l] Questões Divertidas > > Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que > pensemos na "coisa certa". Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: > > (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) >= 2 . > tg(x) + cotg(x) >= 2 sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) >= 2 (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) >= 2 1 >= 2sen(x)cos(x) 1>=sen(2x) > > Abraços, > Frederico. -Auggy = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Olá a todos. Realmente, este fato só é válido nos quadrantes ímpares. Achei que já tinha mandado esta errata para a lista mas pelo visto devo ter respondido a algum email pessoal. De qq forma, obrigado Morgado. Abraços, Frederico. From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas Date: Mon, 18 Aug 2003 18:54:42 -0300 (EST) Epa, isso so eh verdade no primeiro e no terceiro quadrantes. Morgado Em Mon, 18 Aug 2003 15:33:52 -0400, Aleandre Augusto da Rocha <[EMAIL PROTECTED]> disse: > > - Original Message - > From: "Frederico Reis Marques de Brito" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM > Subject: [obm-l] Questões Divertidas > > > > > > Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que > > pensemos na "coisa certa". Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: > > > > (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) >= 2 . > > > > tg(x) + cotg(x) >= 2 > sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) >= 2 > (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) >= 2 > 1 >= 2sen(x)cos(x) > 1>=sen(2x) > > > > > Abraços, > > Frederico. > > -Auggy > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Epa, isso so eh verdade no primeiro e no terceiro quadrantes. Morgado Em Mon, 18 Aug 2003 15:33:52 -0400, Aleandre Augusto da Rocha <[EMAIL PROTECTED]> disse: > > - Original Message - > From: "Frederico Reis Marques de Brito" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM > Subject: [obm-l] Questões Divertidas > > > > > > Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que > > pensemos na "coisa certa". Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: > > > > (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) >= 2 . > > > > tg(x) + cotg(x) >= 2 > sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) >= 2 > (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) >= 2 > 1 >= 2sen(x)cos(x) > 1>=sen(2x) > > > > > Abraços, > > Frederico. > > -Auggy > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
- Original Message - From: "Frederico Reis Marques de Brito" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM Subject: [obm-l] Questões Divertidas > > Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que > pensemos na "coisa certa". Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: > > (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) >= 2 . > tg(x) + cotg(x) >= 2 sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) >= 2 (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) >= 2 1 >= 2sen(x)cos(x) 1>=sen(2x) > > Abraços, > Frederico. -Auggy = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
