Olá a todos!
Esta Lista é realmente muito legal! É com prazer e estímulo que participo
dela.
Para mim, o melhor da Lista é que um estudante propõe um problema mais ou
menos assim:
Paulo tem o dobro da idade de Pedro. Pedro tem 10 anos. Qual é a idade de
Paulo?
Aí, o primeiro cara responde 20 anos. O segundo pergunta se o aniversário de
Pedro coincide com o de Paulo. O terceiro considera que a idade evolui de
forma contínua, e não discreta, portanto não há uma resposta exata, já que
os aniversários não podem ser absolutamente coincidentes. O quarto indaga em
que sistema (métrica) de numeração estão expressas as idades. O quinto expõe
que sendo Paulo um adulto e Pedro uma criança, a massa corporal de Paulo é
maior do que a de Pedro, daí, pela Teoria da Relatividade, o tempo evolui
mais rapidamente para Pedro do que para Paulo - como as massas de ambos não
foram informadas, o problema está indeterminado. O sexto explica que, além
da falta da informação referente às massas, Paulo, por ser mais velho, já
andou (se deslocou) mais do que Pedro, daí (novamente pela Relatividade de
Einstein) o espaço-tempo dos dois é diferente: Paulo já viveu mais do que o
dobro do que viveu Pedro. E por aí vai...
O que quero dizer é que essa discussão sobre integrais e definições, digamos
não ortodoxas, de algumas funções foi bastante interessante. Eu mesmo me
lembro que há 10 - 15 anos atrás (como eu já estou ficando velho!) discuti
com o Nicolau Saldanha sobre a definição da função Gama. Da mesma forma,
tudo começou quando um estudante perguntou o valor numérico do fatorial de
pi (pi!). Depois de algumas mensagens, o Nicolau quis estender o domínio
da função Gama para o R^n (ou mesmo matrizes), mas preservando a
correspondência dessa função com o fatorial dos números naturais. Eu já
queria definir a função Gama de acordo com as suas propriedades em Relação à
Transformada de Laplace - bacana, não? Pois é...
Finalizando, acho que não fui claro em um ponto de minhas mensagens
anteriores:
O que quis dizer foi: ainda não foi descoberto um algoritmo generalizado
para o cálculo das integrais indefinidas. Acredito, até, que se possa provar
a impossibilidade de um algoritmo assim. Daí, EM PRINCÍPIO, não é possível
calcular a integral indefinida de uma função genérica - só é possível
calcular a integral indefinida de determinadas famílias de funções. Daí, EM
PRINCÍPIO, a integral indefinida de uma certa função não pode ser calculada,
até que alguém, por algum método a descubra (aí valendo até a intuição) - é
isto.
Saudações a todos,
Albert Bouskela
bousk...@gmail.com
bousk...@ymail.com
-Original Message-
From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]
On Behalf Of Bernardo Freitas Paulo da Costa
Sent: Wednesday, March 25, 2009 4:45 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
[obm-l] Re:
[obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?
Só pra dizer mais umas coisas legais :
O Elon tem no livro dele (não sei mais se é o Análise Real ou o Curso
de Análise, volume 1, claro) a mesma idéia pra definir senos e
cossenos. Pra quem gosta de cálculo diferencial, esse é um prato cheio
pra lembrar como fazer algumas contas, e, melhor ainda, ver que
realmente seno e cosseno estão bem-definidas e tal:
1) seja f'' + f = 0 uma função tal que f(0) = 0, f'(0) = 1 (qualquer
semelhança com o seno é pura coincidência)
2) Chame (sei lá por quê...) g = f', e note que g'' = f''' = (-f)' =
-f' = -g, logo g'' + g = 0 também, que legal, e g' = f'' = -f
3) Note que g^2 + f^2 = 1 : derivando, dá 2gg' + 2ff' = -2gf + 2fg =
0, logo é constante, logo g^2 + f^2 = g(0)^2 + f(0)^2 = 1 + 0 = 1
4) Como g(0) = 1 1/2, e f' = g, temos que f é monótona crescente num
intervalo em torno de zero. Como g^2 = 1 - f^2, g é monótona
decrescente.
5) Existe um ponto x 0 em que g(x) = 0 : senão, g seria sempre maior
do que zero (pois g(0) = 1 0, teorema do valor intermediário), logo
f seria sempre crescente. Olhando de novo para f' = g, temos que num
intervalinho em torno do zero, f' 1/2, logo f 1/2 * comprimento do
intervalinho. Como g' = -f, além desse intervalinho (digamos [0,a], g
está ABAIXO de uma reta de inclinação -f(a) -a/2. Logo g *tem que*
cruzar zero.
6) Chame esse ponto mágico de primeira anulação de g de A (como anulação
!)
Note que g'(A) = 1 ou -1 (porque g' = -f, f(A)^2 = 1 - g(A)^2 !) e
como g é positiva entre 0 e A, temos f crescente, logo f positiva,
logo f(A) = 1, logo g'(A) = -1
7) Use isso para ver que -g'(x+A) é uma solução também da equação, com
mesmas condições e o mais. Repetindo duas vezes, você descobrirá que
f(x+4A) = f(x) (atenção pros sinais)
8) Prove agora as fórmulas mágicas de soma e subtração de senos e
cossenos que você conhece usando derivada, por exemplo : f''(a+x) =
-f(a+x) é solução da equação diferencial, e (f(a)g(x) + f(x)g(a))'' =
f(a)g''(x) + f''(x)g(a) = f(a)(-g(x)) + (-f(x))g(a) = -(f(a)g(x) +
f