Olá a todos! Esta Lista é realmente muito legal! É com prazer e estímulo que participo dela.
Para mim, o melhor da Lista é que um estudante propõe um problema mais ou menos assim: Paulo tem o dobro da idade de Pedro. Pedro tem 10 anos. Qual é a idade de Paulo? Aí, o primeiro cara responde 20 anos. O segundo pergunta se o aniversário de Pedro coincide com o de Paulo. O terceiro considera que a idade evolui de forma contínua, e não discreta, portanto não há uma resposta "exata", já que os aniversários não podem ser absolutamente coincidentes. O quarto indaga em que sistema (métrica) de numeração estão expressas as idades. O quinto expõe que sendo Paulo um adulto e Pedro uma criança, a massa corporal de Paulo é maior do que a de Pedro, daí, pela Teoria da Relatividade, o tempo evolui mais rapidamente para Pedro do que para Paulo - como as massas de ambos não foram informadas, o problema está indeterminado. O sexto explica que, além da falta da informação referente às massas, Paulo, por ser mais velho, já andou (se deslocou) mais do que Pedro, daí (novamente pela Relatividade de Einstein) o espaço-tempo dos dois é diferente: Paulo já viveu mais do que o dobro do que viveu Pedro. E por aí vai... O que quero dizer é que essa discussão sobre integrais e definições, digamos não ortodoxas, de algumas funções foi bastante interessante. Eu mesmo me lembro que há 10 - 15 anos atrás (como eu já estou ficando velho!) discuti com o Nicolau Saldanha sobre a definição da função Gama. Da mesma forma, tudo começou quando um estudante perguntou o valor numérico do fatorial de "pi" (pi!). Depois de algumas mensagens, o Nicolau quis estender o domínio da função Gama para o R^n (ou mesmo matrizes), mas preservando a correspondência dessa função com o fatorial dos números naturais. Eu já queria definir a função Gama de acordo com as suas propriedades em Relação à Transformada de Laplace - bacana, não? Pois é... Finalizando, acho que não fui claro em um ponto de minhas mensagens anteriores: O que quis dizer foi: ainda não foi descoberto um algoritmo generalizado para o cálculo das integrais indefinidas. Acredito, até, que se possa provar a impossibilidade de um algoritmo assim. Daí, EM PRINCÍPIO, não é possível calcular a integral indefinida de uma função genérica - só é possível calcular a integral indefinida de determinadas famílias de funções. Daí, EM PRINCÍPIO, a integral indefinida de uma certa função não pode ser calculada, até que alguém, por algum método a descubra (aí valendo até a intuição) - é isto. Saudações a todos, Albert Bouskela [email protected] [email protected] > -----Original Message----- > From: [email protected] [mailto:[email protected]] > On Behalf Of Bernardo Freitas Paulo da Costa > Sent: Wednesday, March 25, 2009 4:45 AM > To: [email protected] > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: > [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível? > > Só pra dizer mais umas coisas legais : > > O Elon tem no livro dele (não sei mais se é o Análise Real ou o Curso > de Análise, volume 1, claro) a mesma idéia pra definir senos e > cossenos. Pra quem gosta de cálculo diferencial, esse é um prato cheio > pra lembrar como fazer algumas contas, e, melhor ainda, ver que > realmente seno e cosseno estão bem-definidas e tal: > > 1) seja f'' + f = 0 uma função tal que f(0) = 0, f'(0) = 1 (qualquer > semelhança com o seno é pura coincidência) > 2) Chame (sei lá por quê...) g = f', e note que g'' = f''' = (-f)' = > -f' = -g, logo g'' + g = 0 também, que legal, e g' = f'' = -f > 3) Note que g^2 + f^2 = 1 : derivando, dá 2gg' + 2ff' = -2gf + 2fg = > 0, logo é constante, logo g^2 + f^2 = g(0)^2 + f(0)^2 = 1 + 0 = 1 > 4) Como g(0) = 1 > 1/2, e f' = g, temos que f é monótona crescente num > intervalo em torno de zero. Como g^2 = 1 - f^2, g é monótona > decrescente. > 5) Existe um ponto x > 0 em que g(x) = 0 : senão, g seria sempre maior > do que zero (pois g(0) = 1 > 0, teorema do valor intermediário), logo > f seria sempre crescente. Olhando de novo para f' = g, temos que num > intervalinho em torno do zero, f' > 1/2, logo f > 1/2 * comprimento do > intervalinho. Como g' = -f, além desse intervalinho (digamos [0,a], g > está ABAIXO de uma reta de inclinação -f(a) < -a/2. Logo g *tem que* > cruzar zero. > 6) Chame esse ponto mágico de primeira anulação de g de A (como anulação > !) > Note que g'(A) = 1 ou -1 (porque g' = -f, f(A)^2 = 1 - g(A)^2 !) e > como g é positiva entre 0 e A, temos f crescente, logo f positiva, > logo f(A) = 1, logo g'(A) = -1 > 7) Use isso para ver que -g'(x+A) é uma solução também da equação, com > mesmas condições e o mais. Repetindo duas vezes, você descobrirá que > f(x+4A) = f(x) (atenção pros sinais) > 8) Prove agora as fórmulas mágicas de soma e subtração de senos e > cossenos que você conhece usando derivada, por exemplo : f''(a+x) = > -f(a+x) é solução da equação diferencial, e (f(a)g(x) + f(x)g(a))'' = > f(a)g''(x) + f''(x)g(a) = f(a)(-g(x)) + (-f(x))g(a) = -(f(a)g(x) + > f(x)g(a)) também é solução, e note que f(a+0) = f(a) e f(a)g(0) + > f(0)g(a) = f(a)*1 +0*g(a) = f(a) e a primeira derivada também > coincide, logo as funções são iguais. > 9) Essas funções estão definidas em toda a reta real, f(-x) = -f(x), e > se a gente chamar A = pi/2, temos uma nova definição de pi. > > Uma idéia ainda mais ousada é definir seno e cosseno pela série deles > seno(x) = soma (-1)^n x^(2n+1) / (2n +1)!, convergente em toda a reta > (e normalmente em cada intervalo finito) pelo critério de d'Alembert. > Isso dá imediatamente a equação diferencial (pra provar que ela se > anula e o resto) e a série de Taylor, as derivadas, os limites > sin(x)/x pra x->0 etc. > > Outra coisa : o Liouville provou um teorema descrevendo um algoritmo > de integração que decide se uma função é integrável ou não em "termos > simples" (com uma definição do que sejam "termos simples", claro). Ela > usa uns conceitos de Álgebra pra funcionar, e é bem interessante do > ponto de vista moderno : considerar todas as funções de uma vez só é > permite provar o teorema, enquanto uma análise caso a caso não. Um > link (não achei um pdf com a demo, mas deve dar pra encontrar) : > http://www.sosmath.com/calculus/integration/fant/fant.html > > 2009/3/24 Ralph Teixeira <[email protected]>: > > Oi, Bouskela. Você tem uma certa razão... Mas, sinceramente, o que > > diabos é e^x? Mais espcificamente, o que é e^pi, por exemplo? Dá para > > definir por limites usando números racionais, mas dá um certo > > trabalhinho... > > > > Então tem um pessoal que prefere DEFINIR o logaritmo pela integral, e > > DEFINIR a função e^x como sendo a inversa do ln (assim, este tal de > > "e" por definição seria o número cujo ln é 1!). Neste novo "universo", > > as coisas se encaixam elegantemente (e, de bônus, responde-se a > > pergunta do meu parágrafo anterior). Mais detalhadamente, a ordem > > lógica desse pessoal é: > > > > *Alerta! Texto DENSO a seguir! Nada difícil, mas está denso!* > > > > 0. Não sabemos o que é ln, nunca ouvimos falar de "e", não temos a > > mínima idéia do que seja a^x quando x não é racional. > > 1. Para x em (0,+Inf), definimos ln(x)=Int(1 a x) 1/t dt. Assim, > > d(lnx)/dx=1/x e ln1=0. > > 2. Conclua que ln(x) é crescente (pois a derivada é +). > > (2a. Em particular, note que ln2>ln1=0.) > > 3. Mostre que ln(x^r)=r.ln(x) (pelo menos para r racional) > > -- Um jeito é: tome h(x)=ln(x^r)-rln(x); derivando, usando a Regra da > > Cadeia e (1), vem h'(x)=0. Então h(x)=h(1)=0. > > 4. Usando 2a e 3, temos que ln(2^r)=r.ln2 pode ser tão grande quanto > > quisermos se r for grande, e tão negativo quanto quisermos se r for > > bem negativo. Assim, a imagem desta misteriosa ln(x) é o intervalo > > (-Inf, +Inf). > > 5. Por (2), lnx é monótona, então invertível; vamos chamar sua inversa > > de exp(x):(-Inf, +Inf) -> (0,+Inf) (estes intervalos vêm de (4) e > > (1)). > > 6. Mostre que exp(rx)=exp(x)^r (pelo menos para r racional) > > -- Um jeito: use que exp(rx)=exp(rln(exp(x)))=exp(ln(exp(x)^r))=exp(x)^r. > > 7. DEFINIÇÃO: e=exp(1). Assim, exp(x)=exp(x.1)=exp(1)^x=e^x (pelo > > menos para x racional) > > 8. Agora é o contrário: a gente vai MOSTRAR que e=lim ln(1+1/x)^x > > quando x vai para Inf. Como? Use L´Hôpital nesta indeterminação do > > tipo "1^(+Inf)". > > 9. DEFINIÇÃO: x^y=exp(y.lnx) sempre que x>0, para qualquer y, > > inclusive y irracional. > > > > Parece que dá MUITO mais trabalho (poxa, são uns 10 teoreminhas > > encadeados)... Mas, no processo, a gente prova elegantemente todas as > > propriedades dos logaritmos e das exponenciais (bom, tem algumas que > > eu não pus aqui, mas que saem de maneira similar). > > > > Quando a gente dá Cálculo 1 *para a matemática* aqui na UFF, a gente > > reserva uma aula de 2 horas para falar disso. Eu começo a aula fazendo > > o passo 0. Aí eu pergunto: quanto é ln(a.b)? Quanto é ln(10^6)? Quanto > > vale e? Respostas corretas (antes do passo 1): não tenho ideia, nunca > > vi mais gordoooooo, "é", que "é"? :) :) :) > > > > Abraço a todos, > > Ralph > > > > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > =========================================================== > ============== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================== > ============== ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
