Oi, Bouskela. Você tem uma certa razão... Mas, sinceramente, o que
diabos é e^x? Mais espcificamente, o que é e^pi, por exemplo? Dá para
definir por limites usando números racionais, mas dá um certo
trabalhinho...
Então tem um pessoal que prefere DEFINIR o logaritmo pela integral, e
DEFINIR a função e^x como sendo a inversa do ln (assim, este tal de
"e" por definição seria o número cujo ln é 1!). Neste novo "universo",
as coisas se encaixam elegantemente (e, de bônus, responde-se a
pergunta do meu parágrafo anterior). Mais detalhadamente, a ordem
lógica desse pessoal é:
*Alerta! Texto DENSO a seguir! Nada difícil, mas está denso!*
0. Não sabemos o que é ln, nunca ouvimos falar de "e", não temos a
mínima idéia do que seja a^x quando x não é racional.
1. Para x em (0,+Inf), definimos ln(x)=Int(1 a x) 1/t dt. Assim,
d(lnx)/dx=1/x e ln1=0.
2. Conclua que ln(x) é crescente (pois a derivada é +).
(2a. Em particular, note que ln2>ln1=0.)
3. Mostre que ln(x^r)=r.ln(x) (pelo menos para r racional)
-- Um jeito é: tome h(x)=ln(x^r)-rln(x); derivando, usando a Regra da
Cadeia e (1), vem h'(x)=0. Então h(x)=h(1)=0.
4. Usando 2a e 3, temos que ln(2^r)=r.ln2 pode ser tão grande quanto
quisermos se r for grande, e tão negativo quanto quisermos se r for
bem negativo. Assim, a imagem desta misteriosa ln(x) é o intervalo
(-Inf, +Inf).
5. Por (2), lnx é monótona, então invertível; vamos chamar sua inversa
de exp(x):(-Inf, +Inf) -> (0,+Inf) (estes intervalos vêm de (4) e
(1)).
6. Mostre que exp(rx)=exp(x)^r (pelo menos para r racional)
-- Um jeito: use que exp(rx)=exp(rln(exp(x)))=exp(ln(exp(x)^r))=exp(x)^r.
7. DEFINIÇÃO: e=exp(1). Assim, exp(x)=exp(x.1)=exp(1)^x=e^x (pelo
menos para x racional)
8. Agora é o contrário: a gente vai MOSTRAR que e=lim ln(1+1/x)^x
quando x vai para Inf. Como? Use L´Hôpital nesta indeterminação do
tipo "1^(+Inf)".
9. DEFINIÇÃO: x^y=exp(y.lnx) sempre que x>0, para qualquer y,
inclusive y irracional.
Parece que dá MUITO mais trabalho (poxa, são uns 10 teoreminhas
encadeados)... Mas, no processo, a gente prova elegantemente todas as
propriedades dos logaritmos e das exponenciais (bom, tem algumas que
eu não pus aqui, mas que saem de maneira similar).
Quando a gente dá Cálculo 1 *para a matemática* aqui na UFF, a gente
reserva uma aula de 2 horas para falar disso. Eu começo a aula fazendo
o passo 0. Aí eu pergunto: quanto é ln(a.b)? Quanto é ln(10^6)? Quanto
vale e? Respostas corretas (antes do passo 1): não tenho ideia, nunca
vi mais gordoooooo, "é", que "é"? :) :) :)
Abraço a todos,
Ralph
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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