Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problemas interessantes de análise complexa

2018-03-27 Por tôpico Artur Costa Steiner 
acho que vou comprar esse livro. Eu tenho Complex Made Simple, de David UlrichArtur Costa Steiner Em 27 de mar de 2018 15:52, Claudio Buffara  escreveu:

A rigidez à qual eu me referia me parece ter mais a ver com o fato de que uma função analítica, por também ser conforme, transforma um "quadrado infinitesimal" em outro "quadrado infinitesimal", enquanto que uma função que é apenas real-diferenciável (no sentido da análise no R^n, olhando C como R^2) transforma um tal quadrado num "paralelogramo infinitesimal", que em geral, nem retângulo é.Isso tá bem ilustrado no livro Visual Complex Analysis, que eu mencionei antes.

[]s,Claudio.2018-03-27 14:12 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa :2018-03-27 13:36 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> Os problemas 1, 3 e 4 me parecem ser consequências da "rigidez" que a
> diferenciabilidade complexa impõe às funções analíticas e que, pra mim, está
> longe de ser algo intuitivo.

É, a estrutura complexa é muito impressionante.  Parte da rigidez é
puramente algébrica (como abaixo), mas existem fenômenos para os quais
eu não encontro um análogo algébrico legal (como o próximo |f| <= |g|
...)

> Por exemplo, no problema 1, se g(z) = exp(z), então a conclusão decorre do
> teorema de Liouville.
> No caso geral, temos que lidar com os zeros de g e Liouville não se aplica
> (pelo menos não diretamente).
> No entanto, se g(z) = 0, então f(z) = 0 pela desigualdade |f(z)| <= |g(z)|.
> Será que essa desigualdade garante que os zeros de g(z) são singularidades
> removíveis de f(z)/g(z)?

Sim: a forma canônica multiplicativa de f e g em torno de um zero,
mais a desigualdade, dá que a ordem de f é pelo menos igual à de g.  O
fato de haver uma ordem *inteira* de anulação é o que eu chamo de
"algebrização".

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problemas interessantes de análise complexa

2018-03-27 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Em Ter, 27 de mar de 2018 13:50, Claudio Buffara 
escreveu:

> Os problemas 1, 3 e 4 me parecem ser consequências da "rigidez" que a
> diferenciabilidade complexa impõe às funções analíticas e que, pra mim,
> está longe de ser algo intuitivo.
>
> Por exemplo, no problema 1, se g(z) = exp(z), então a conclusão decorre do
> teorema de Liouville.
> No caso geral, temos que lidar com os zeros de g e Liouville não se aplica
> (pelo menos não diretamente).
> No entanto, se g(z) = 0, então f(z) = 0 pela desigualdade |f(z)| <= |g(z)|.
> Será que essa desigualdade garante que os zeros de g(z) são singularidades
> removíveis de f(z)/g(z)?
>

Garante sjm, porque f/g é limitada (por 1) perto dos zeros de g. E isto
garante que os zeros sejam singularidades removíveis

>
> No problema 2, fazendo w = 1/z, obtemos o polinômio w^(n+1) + 2w - 1 e o
> problema passa a ser o de provar que este tem uma única raiz no interior de
> D(0,1).
> (também é preciso mostrar que P(z) não tem raízes com |z| = 1, mas isso é
> relativamente simples: se P(z) = 0 e |z| = 1, então z^n(z-2) = 1 ==> |z-2|
> = 1 ==> z = 1. Mas P(1) = -2 <> 0).
> O teorema de Rouché diz que, se f e g forem analíticas no fecho de D(0,1)
> e que se |g(w)| < |f(w)| para |w| = 1, então f e f+g têm o mesmo número de
> raízes no interior de D(0,1).
> Tomemos f(w) = 2w - 0,5  e  g(w) = w^(n+1) - 0,5.
> Então:
> f(w) tem uma única raiz (igual a 0,25) no interior de D(0,1);
> f(w) + g(w) = w^(n+1) + 2w - 1;
> para |w| = 1,
> |g(w)| = |w^(n+1) - 0,5| <= 1 + 0,5 = 1,5, com igualdade sss w for uma
> raiz (n+1)-ésima de -1,
> |f(w)| = |2w - 0,5| >= 2 - 0,5 = 1,5, com igualdade sss w = 1.
> Como 1 não é uma raiz (n+1)-ésima de -1, teremos sempre a desigualdade
> estrita |g(w)| < |f(w)| para |w| = 1.
> Assim, as condições do teorema de Rouché são satisfeitas e, portanto,
> w^(n+1) + 2w - 1 tem o mesmo número de raízes (a saber, 1) que 2w - 0,5 no
> interior de D(0,1).
>

OK!

E para determinar a integral em função do único zero em fora de D(0,1),
podemos invocar o teorema das raízes interiores e exteriores. Como edta
raiz é simples, o resíduo de 1/p nela é 1/p'(r)

Artur

>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
>
>
>
>
> 2018-03-21 16:32 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> 1) Mostre que, se f e g são funções inteiras tais que |f(z)| <= |g(z)|
>> para todo complexo z, então, também para todo z, f(z) = k g(z), onde k é
>> uma constante complexa.
>>
>> 2) Mostre que o polinômio P(z) = z^n (z - 2) - 1, n inteiro positivo, tem
>> exatamente n raízes (contando multiplicidades) no disco aberto D(0, 1).
>>
>> 3) Mostre que se f é inteira e injetora, então f é um mapeamento afim não
>> constante (logo, f é bijetora)
>>
>> 4) Mostre que uma função inteira é uniformemente contínua no plano se, e
>> somente se, for um mapeamento afim.
>>
>> Artur
>>
>> Enviado do meu iPad(
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problemas interessantes de análise complexa

2018-03-27 Por tôpico Claudio Buffara 
 A rigidez à qual eu me referia me parece ter mais a ver com o fato de que
uma função analítica, por também ser conforme, transforma um "quadrado
infinitesimal" em outro "quadrado infinitesimal", enquanto que uma função
que é apenas real-diferenciável (no sentido da análise no R^n, olhando C
como R^2) transforma um tal quadrado num "paralelogramo infinitesimal", que
em geral, nem retângulo é.
Isso tá bem ilustrado no livro Visual Complex Analysis, que eu mencionei
antes.

[]s,
Claudio.


2018-03-27 14:12 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> 2018-03-27 13:36 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> > Os problemas 1, 3 e 4 me parecem ser consequências da "rigidez" que a
> > diferenciabilidade complexa impõe às funções analíticas e que, pra mim,
> está
> > longe de ser algo intuitivo.
>
> É, a estrutura complexa é muito impressionante.  Parte da rigidez é
> puramente algébrica (como abaixo), mas existem fenômenos para os quais
> eu não encontro um análogo algébrico legal (como o próximo |f| <= |g|
> ...)
>
> > Por exemplo, no problema 1, se g(z) = exp(z), então a conclusão decorre
> do
> > teorema de Liouville.
> > No caso geral, temos que lidar com os zeros de g e Liouville não se
> aplica
> > (pelo menos não diretamente).
> > No entanto, se g(z) = 0, então f(z) = 0 pela desigualdade |f(z)| <=
> |g(z)|.
> > Será que essa desigualdade garante que os zeros de g(z) são
> singularidades
> > removíveis de f(z)/g(z)?
>
> Sim: a forma canônica multiplicativa de f e g em torno de um zero,
> mais a desigualdade, dá que a ordem de f é pelo menos igual à de g.  O
> fato de haver uma ordem *inteira* de anulação é o que eu chamo de
> "algebrização".
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problemas interessantes de análise complexa

2018-03-27 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2018-03-27 13:36 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> Os problemas 1, 3 e 4 me parecem ser consequências da "rigidez" que a
> diferenciabilidade complexa impõe às funções analíticas e que, pra mim, está
> longe de ser algo intuitivo.

É, a estrutura complexa é muito impressionante.  Parte da rigidez é
puramente algébrica (como abaixo), mas existem fenômenos para os quais
eu não encontro um análogo algébrico legal (como o próximo |f| <= |g|
...)

> Por exemplo, no problema 1, se g(z) = exp(z), então a conclusão decorre do
> teorema de Liouville.
> No caso geral, temos que lidar com os zeros de g e Liouville não se aplica
> (pelo menos não diretamente).
> No entanto, se g(z) = 0, então f(z) = 0 pela desigualdade |f(z)| <= |g(z)|.
> Será que essa desigualdade garante que os zeros de g(z) são singularidades
> removíveis de f(z)/g(z)?

Sim: a forma canônica multiplicativa de f e g em torno de um zero,
mais a desigualdade, dá que a ordem de f é pelo menos igual à de g.  O
fato de haver uma ordem *inteira* de anulação é o que eu chamo de
"algebrização".

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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