Rafael, você está correto, eu havia visto essa falha, na verdade existe uma
restrição para que c seja resíduo quadrático módulo 2^m, se bem me lembro ele
deve ser da forma 4^n(8m + 1)**
quando você diz:
"digamos, apenas para ilustrar, que eu nao tenha percebido que quadrados
impares sao da forma 8a+1, e que eu apenas utilizasse que sao da forma 4a+1.
Nao deixa de estar correto, certo?"
essa conclusão está errada, os quadrados ímpares só podem ser da forma 8a + 1,
logo os números no intervalo seriam necessariamente desta forma
o que faltou na resolução foi considerar que realmente não são todos os números
da forma 8a + 1, e sim os tais que "a" é um número triangular, pois 8a + 1 é
quadrado se e somente se "a" é triangular, e devem ser resíduos quadráticos,
assim tb os múltiplos de 4, isto é, os números da forma 4^n(8m + 1) tais que m
seja triangular e os números sejam resíduo quadrático (então falta demonstrar
os que são resíduo quadrático, senão, como você disse, será somente uma quota
superior)
estou certo?
**link do wikipedia com esta afirmação
http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue
- Original Message -
From: Rafael Ando
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, June 13, 2008 5:48 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – Nà VEL 3
-- 2ª questão
hm... Rodrigo, no item 2, acho que na verdade vc quis dizer:
8 divide c+1, entao c assume valores tais que c+1 seja multiplo de 8 e no
intervalo [-2006, 2008] (pois eh c+1...). Conta-se o zero sim, pois ele nao foi
contado anteriormente c+1=0 eh o caso c = -1, afinal... e como temos o 2008
(c = 2007) a mais tb, sua resposta seria 1505.
Segundo, e mais importante desculpe mas nao estou convencido que sua
resolucao funcione digamos, apenas para ilustrar, que eu nao tenha
percebido que quadrados impares sao da forma 8a+1, e que eu apenas utilizasse
que sao da forma 4a+1. Nao deixa de estar correto, certo? Eu chegaria a
conclusao que na verdade temos umas 2000 solucoes se a sua resposta eh
correta, entao essa tem que estar errada, mas onde estaria o erro? Na realidade
acredito que vc encontrou apenas um limitante superior para a solucao
usando que quadrados impares sao 4a+1 daria um limitante maior, o que eh
natural adicionando informacao (passando de 4a pra 8a) teriamos um
intervalo mais preciso, mas nao incompativel.
Dizer que 4 (ou 8) divide c (ou c+1) eh correto, mas a partir disso nao
podemos afirmar que c (ou c+1) pode valer TODOS os multiplos possiveis o
que voces acham?
On Fri, May 30, 2008 at 2:14 AM, douglas paula <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ?
abraços
Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo:
como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007
partimos de duas constatações:
a) um quadrado perfeito par é divisÃvel por 4
**prova: tome x^2 par ==> x é par ==> x = 2k ==: x^2 = 4k^2
b) um quadrado perfeito Ãmpar é da forma 8a + 1
**prova: tome x^2 Ãmpar ==> x é Ãmpar ==> x é da forma 2n+1 ==> x^2 =
(2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um
deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a ==> 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2
1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 ==> c = w2^2007 -
4k^2, como 4 divide 2^2007 ==> 4 divide w2^2007 - 4k^2 ==> 4 divide c, logo c
assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma
com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007), incluindo o
zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501
partes, mesmo raciocÃnio para 3 - 2007)
2 ) no caso em que x^2 é Ãmpar, temos que x^2 = 8a + 1 ==> c + 8a + 1 =
w2^2007 ==> c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a ==> 8 divide c +
1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo
[-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja
divisÃvel por 2^2007, mesmo raciocÃnio), excluindo o zero pois já foi
contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes,
mesmo raciocÃnio para 7 - 2007)
RESP: para 1503 inteiros c
- Original Message -
From: douglas paula
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 --
2ª questão
rodrigo,
 ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não
é necessariamente igual à 2^n
venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir
muito resultado ...
[EMAIL PROTECTED] escreveu:

vou tentar,
2^n - x^2 = c tal qque 1< n < 2007, como