[obm-l] Re: [obm-l] Série
Em sex., 29 de abr. de 2022 às 23:09, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: > > Alguém aí consegue calcular o limite contida no arquivo desse link logo > abaixo? > https://www.overleaf.com/project/624ee701e9cd2d14986e6f48 > Link indisponível. obrigado... > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Série de Taylor
Acho que dá pra provar, usando geometria do círculo, que o sen(x)/x tende a 1 quando x tende a 0, o que é o mesmo que dizer que sen(x)=0+x+o(x), onde o(x)/x tende a 0 quando x tende a 0, o que é o mesmo que dizer que sen(0)=0 e sen'(0)=1, o que é um bom primeiro passo. Obs: Ok não querer usar derivadas, mas, falando de uma série infinita, acho que você tem que estar disposto no mínimo a usar limites abraços 2015-08-04 20:36 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com: Alguém conhece alguma demonstração da série de Taylor do seno sem usar derivadas?Ou conhece algum livro ou competição matemática que pede para se provar a série de Taylor do seno sem usar derivadas?A propósito, quem foi o primeiro matemático a encontrar a série de Taylor do seno, ele usou derivadas? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Série de Taylor
Oi, João. Bom, você já deve ter feito: a) sin(x^2)=SUM (-1)^n.x^(4n+2))/(2n+1)! = x^2 -x^6/3! +x^10/5! -x^14/7!... para todo x real (o somatório começa em n=0) b) Podemos integrar séries de Potência termo-a-termo, então Int (0 a x) sin(u^2) du = SUM (-1)^n.x^(4n+3)/[(4n+3).(2n+1)!] = x^3/3 - x^7/(7.3!) +x^11/(11.5!) - x^15/(15.7!) para todo x real c) Botando x=1, vem que a integral pedida é A= SUM (-1)^n.x^(4n+3)/[(4n+3).(2n+1)!] = 1/3 - 1/(7.3!) +1/(11.5!) -1/(15.7!) +... Agora: d) Isto é uma série alternada! Se os termos da série forem decrescentes em módulo (que é o caso aqui) e forem para 0 (idem), dá para ver que, quando você trunca a série, a diferença entre a série truncada e a série completa é, em módulo, NO MÁXIMO, o primeiro termo descartado! Como 15.7! = 75600 1, você pode parar no terceiro termo. Ou seja, a resposta é 1/3-1/42+1/1320 com erro menor que 1/75600. Abraço, Ralph P.S.: Para provar o que eu falei sobre a série alternada: suponha a série é alternada, com termos decrescentes em módulo indo para 0, (s.p.d.g, suponha que o primeiro termo é positivo). Sendo s1, s2, ... ,sn as somas parciais, e L o limite da série, é fácil ver que 0s2s4s6...s(2n)...L...s(2n+1)...s5s3s1. Então, em particular, |L-s(2n)||s(2n+1)-s(2n)| e |s(2n+1)-L||s(2n+1)-s(2n+2)|, que é o que eu disse ali em cima. Isto é um escólio do Teorema de Leibniz, que prova que essa mesma série converge. 2014-06-25 14:31 GMT-03:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Alguém pode me ajudar na seguinte questão? Ache uma aproximação para Integral (0x1) de sen(x²).dx com erro menor que 10^(-4) Eu achei a expansão de Taylor dessa integral, mas não consegui achar (e provar) um erro que fosse menor que 10^(-4) Tem como alguém me dar uma ajuda? []'s Joao -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Série convergente, com soma inferior a 1
Sabemos que a série geométrica 9/10 + 9/(10^2) + ... a_n / (10^n) + ... converge para 1. Quando um termo a_n desta série é substituído por outro menor (b_n), a nova série obtida também será convergente, com soma 1 - d, sendo d = a_n - b_n. Assim, a nova série tem soma inferior a 1. Se algum termo desta nova série for diferente de zero, pode-se concluir ainda, que sua soma será maior do que zero. Essas conclusões resultam imediatamente da definição de série convergente. Abraços do Ennius! De: Pedro Chaves brped...@hotmail.com Enviada: Quarta-feira, 4 de Dezembro de 2013 08:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Série convergente, com soma inferior a 1 Dada a sucessão a_1, a_2, ... , a_n, ... , cujos termos são números inteiros pertencentes ao intervalo [0,9], nem todos iguais a 9, mostrar que a série a_1 / 10 + a_2 /(10^2) + ... a_n / (10^n) + ... converge para um número real menor do que 1. Abraços do Pedro Chaves. ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Série numérica
Oi Bernardo e Douglas, Muito agradecido. --- Em dom, 4/3/12, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Série numérica Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 4 de Março de 2012, 14:33 2012/3/4 Fabio Bernardo prof_fabioberna...@yahoo.com.br Preciso de uma ajuda: O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2005 - 1/2006 é igual a: a) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2006 b) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2006 c) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2007 d) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2007 e) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2005 Menor idéia... Mas um problema como esse obviamente não tem nada a ver com 2006. Vamos trocar isso por números menores então! 1 - 1/2 = 1/2 (fácil) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/2 + 1/12 (fácil, mas 12 é meio grande) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 = 1/2 + 1/12 + 1/30 (hum, não vai simplificar) Bom, infelizmente, isso não tem chance de dar muito certo porque os denominadores estão muito maiores. Pensando outra vez. O primeiro deu 1 - 1/2 = 1/2, ou seja, pegamos o último elemento. Será que dá pra melhorar o segundo? Dá sim: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/3 + 1/2 - 1/4 = 1/3 + 1/4. Legal, pegamos os dois últimos. E tem de 1 até 2*2 no denominador. Será que dá pra generalisar? Deveria, né? Chame S_n = 1 - 1/2 + ... +1/(2n -1) - 1/(2n). A gente provou que S_1 = 1/2 S_2 = 1/3 + 1/4 e fazendo as contas, S_3 = 1/4 + 1/5 + 1/6 Seja então R_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) Temos S_n = R_n para n = 1, 2, 3. Vejamos a indução: S_(n+1) = S_n + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = R_n + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) Mas R_n começa com 1/(n+1), que absorve o 1/(2n+2) tornando-o positivo. Assim, S_(n+1) = R_n - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) = R_(n+1) Acabou !! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Série de Laurent - Ajuda, por favor ?
Muito obrigado pela atenção, felizmente eu consegui desenrolar a questão, mas
agora estou com dúvida quanto a outra série f(z) = 1/[z(z²+1)] em torno da
singularidade z= i. A minha dúvida é se eu posso fazer f(z) = 1/(z-i) *
[1/[z*(z+i)], desenrolar a série em potências de (z-i) para a função g(z) =
1/[z*(z+i)] e depois multiplicar o resultado por 1/(z-i). Se for possível eu
terei resolvido a questão, caso contrário...
--- Em dom, 12/10/08, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RE: [obm-l] Série de Laurent - Ajuda, por favor?
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 12 de Outubro de 2008, 17:30
Tente fazer u=z-1. Entao, pela definicao, 1/u 1. Agora, substitua na
serie,
f(z)= 1/z - 1/z^2 = 1/z(1-1/z)
f(u) = (1/u+1)(1-1/(u+1))
Agora, repare que
1/(u+1) = 1/u(1+1/u) = (1/u)[(1-(1/u)+(1/u)^2 + ] =
sum(n=1)(infty)(-1)^(n)* (1/u)^(n).
Substitua isso em f(u) agora,
f(u)= 1(u+1) [1 - sum_{n=0}^{\infty}(-1)^(n)* (1/u)^(n)]
Como estamos tirando 1 da soma, e temos o sinal de (-), todos termos trocam
de sinal, entao (-1)^n becomes (-1)^(n+1) e o somatorio comeca por n=1,
f(u) = 1/(u+1)[ sum _{n=1}^{\infty}(-1)^(n+1)*(1/u)^(n)
f(z)=1/z [ sum_{n=1}^{\infty}(-1)^(n+1)*(z-1)*(-n)]
Encontrei a resposta diferente, mas tente fazer de novo. Eu nao tinha lapis
e caneta aqui. Estou num Starbucks aqui em Irvine, California. Mas, a
solucao e por ai. Sempre que tiver isso, faca uma substituicao do tipo que
eu fiz, pois voce tem que encaixar o resultado da soma geometrica infinita
sempre que a razao q 1.
Leandro.
From: César Santos [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Série de Laurent - Ajuda, por favor?
Date: Sun, 12 Oct 2008 07:19:45 -0700 (PDT)
Determinar a série de Laurent no domínio |z-1| 1
para f(z) = (z-1)/z²
Poderia explicar passo a passo a resolução?
A resposta é somatório, com n variando de 1 ao infinito, de
(-1)^(n+1)*n*(z-1)^(-n)
onde a^b significa 'a' elevado a 'b' e * indica
multiplicação.
Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com
a
sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
=
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[obm-l] Re: [obm-l] Série
Use transformada Z para resolver a equação diferença, depois faça n ir ao infinito. - Original Message - From: Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 31, 2006 7:04 PM Subject: [obm-l] Série Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila: João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma dessas experiências consistia em escolher um número x1 qualquer, somar 5 e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,., xn Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações, João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que número era esse? É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa, mostrar que xn se aproxima sempre de 5. Muito obrigado pela atenção. _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.7/435 - Release Date: 31/8/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Série
Olá, bom, vc esta fazendo o seguinte: criando um sequencia, tal que: x_(n+1) = [ x_n + 5 ] / 2, onde x1 é o numero inicial vamos primeiramente supor que converge.. entao: lim x_n = a logo: lim x_(n+1) = lim [ x_n + 5 ] / 2 = [ lim x_n + 5 ] / 2 ... logo: a = (a + 5) / 2 ... a = 5! legal.. agora só precisamos mostrar que a série converge... se escolhermos um x1 = 5, está obvido que x_n é constante e igual a 5... agora, se x1 5, temos que: 5 x2 = (x1 + 5) / 2 x1 5 x3 = (x2 + 5) / 2 x2 ... assim, x_n é uma sequencia decrescente... logo, monótona... mas... 0 x_n = x1 logo, limitada... portanto: converge! agora, se x1 5, temos que x1 x2 = (x1 + 5) / 2 5 x2 x3 = (x2 + 5) / 2 5 assim, x_n é uma sequencia crescente ... logo, monótona... mas... x1 = x_n 5 . logo, limitada... portanto: converge! bom, nao fui nada formal.. mas acho que isso é uma coisa tranquila de se mostrar... basta saber que a media aritmetica de 2 numeros esta entre estes um abraço, Salhab - Original Message - From: Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 31, 2006 7:04 PM Subject: [obm-l] Série Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila: João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma dessas experiências consistia em escolher um número x1 qualquer, somar 5 e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,., xn Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações, João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que número era esse? É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa, mostrar que xn se aproxima sempre de 5. Muito obrigado pela atenção. _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.7/434 - Release Date: 30/8/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] série de inversos curiosa
Um probleminha para começar o ano: Considere todos os números naturais cuja representação decimal não possua nenhum dígito 9. Prove que a soma dos inversos desses números converge. Seja a_n o inverso do n-gesimo inteiro postivo em cuja representacao decimal nao hah 9. Temos entao que as somas parciais de Soma(a_n))formam uma sequencia montonicamente crescente. Assim, se atraves da introducao de parenteses em Soma(a_n) obtivermos uma serie Soma(b_m) que seja convergente, a serie original convergirah para o mesmo limite. Agrupemos em parenteses os termos correspondentes aos numeros inteiros positivos de k=1 algarismos em cuja representacao decimal nao aparece o 9. Seja S_k eh a soma dos inversos destes numeros. Se p eh um destes numeros, entao p dah origem a 9 numeros de k+1 algarismos conforme o desejado, ou seja, p origina, em ordem crescente, 10p+0, 10p+1, ...10p+8. Logo, a soma dos inversos dos numeros originados por p eh 9*(10*p + 0) = (9/10)*p, o que implica automaticamente que S_(k+1) (9/10)*S_k. Eh entao facil concluir por inducao que, se b_m eh soma dos termos do m_gesimo parentesis, entao 0 b_m = (9/10)^(m-1)*S_1, com igualdade apenas para m=1. Como Soma((9/10)^(m-1)*S_1) converge, pois eh uma serie geometrica de razao 9/10 1, concluimos por comparacao que Soma(b_m) converge. E esta convergindo, Soma(a_n) converge para o mesmo limite. O mesmo argumento aplica-se a qualquer inteiro 1,2...9. Para o zero precisamos modificar um pouco o argumento. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
