[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais
sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
e^x + e^y = 1
senxcosy+cosxseny=senx+seny
senx(1-cosy)=seny(cosx-1)
tgx/2=tgy/2
tgx/2=-tgy/2
x/2=y/2+npi
x=y+2npi
e^y=1/(e^2npi+1)
y=-ln(e^2npi+1)
2013/7/26 Marcos Martinelli
> Verdade! Comi uma mosca nessa parte:
>
> "sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi"
>
> Na verdade, temos:
>
> "sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi ou x + y = -
> 2k . pi"
>
> Obrigado, Nehab! Bom problema!
>
>
> Em 26 de julho de 2013 15:29, Artur Costa Steiner
> escreveu:
>
> Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos
>> parou. Acho que há ainda outras soluções.
>>
>> O Marcos concluiu, da 1a equação, que
>>
>> sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0
>>
>> Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele
>> usou, obtemos
>>
>> sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0
>>
>> sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0
>>
>> Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se,
>> pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita:
>>
>> sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
>> sen(x/2) = 0, x = 2kπ
>> sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ
>>
>> As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos
>>
>> Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que
>>
>> e^x + e^(2kπ - x) = 1
>>
>> (e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0
>>
>> Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que
>> esta equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma
>> condição necessária é que
>>
>> 1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é
>> inteiro, isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x =
>> (1 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos
>> os casos, o segundo membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1
>> - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x.
>>
>> Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes
>> conjuntos
>>
>> A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro, x ∈ R}
>>
>> B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro}
>>
>> C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k
>> < 0, k inteiro}
>>
>> D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k
>> < 0, k inteiro}
>>
>> Dê uma conferida.
>>
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli
>> escreveu:
>>
>> Da segunda equação, devemos ter: x < 0 e y < 0 (*). Suponhamos, sem perda
>> de generalidade, que x >= 0 -> e^x >= 1 -> e^y = (1 - e^x) <= 0. Absurdo,
>> pois e^y > 0 para qualquer y real.
>>
>> I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) -> sen (x + y) - sen(x) = sen(y) -> 2 .
>> sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
>> hipóteses:
>>
>> I.i) sen (y/2) = 0 -> y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
>> valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
>> (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 -> x = ln(1
>> - e^(- 2k . pi)).
>>
>> I.ii) sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi (com k
>> natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =
>> ln(1 - e^(- 2k . pi)).
>>
>> Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 -
>> e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]
>>
>>
>> Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M escreveu:
>>
>>> Bom dia a todos
>>>
>>> Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.
>>>
>>> Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:
>>>
>>> sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
>>> e^x + e^y = 1
>>>
>>> Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
>>> complicada.
>>>
>>> Obrigada.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais
Ótimo, muito obrigada a todos. Amanda Date: Fri, 26 Jul 2013 13:21:46 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Da segunda equação, devemos ter: x < 0 e y < 0 (*). Suponhamos, sem perda de generalidade, que x >= 0 -> e^x >= 1 -> e^y = (1 - e^x) <= 0. Absurdo, pois e^y > 0 para qualquer y real. I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) -> sen (x + y) - sen(x) = sen(y) -> 2 . sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas hipóteses: I.i) sen (y/2) = 0 -> y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 -> x = ln(1 - e^(- 2k . pi)). I.ii) sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi (com k natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y = ln(1 - e^(- 2k . pi)). Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 - e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.] Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M escreveu: Bom dia a todos Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida. Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema: sen(x + y) = sen(x) + sen(y) e^x + e^y = 1 Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente complicada. Obrigada. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais
Verdade! Comi uma mosca nessa parte:
"sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi"
Na verdade, temos:
"sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi ou x + y = - 2k
. pi"
Obrigado, Nehab! Bom problema!
Em 26 de julho de 2013 15:29, Artur Costa Steiner
escreveu:
> Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos
> parou. Acho que há ainda outras soluções.
>
> O Marcos concluiu, da 1a equação, que
>
> sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0
>
> Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele
> usou, obtemos
>
> sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0
>
> sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0
>
> Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se,
> pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita:
>
> sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
> sen(x/2) = 0, x = 2kπ
> sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ
>
> As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos
>
> Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que
>
> e^x + e^(2kπ - x) = 1
>
> (e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0
>
> Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que
> esta equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma
> condição necessária é que
>
> 1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é
> inteiro, isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x =
> (1 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos
> os casos, o segundo membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1
> - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x.
>
> Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes
> conjuntos
>
> A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro, x ∈ R}
>
> B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro}
>
> C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k <
> 0, k inteiro}
>
> D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k <
> 0, k inteiro}
>
> Dê uma conferida.
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli
> escreveu:
>
> Da segunda equação, devemos ter: x < 0 e y < 0 (*). Suponhamos, sem perda
> de generalidade, que x >= 0 -> e^x >= 1 -> e^y = (1 - e^x) <= 0. Absurdo,
> pois e^y > 0 para qualquer y real.
>
> I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) -> sen (x + y) - sen(x) = sen(y) -> 2 .
> sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
> hipóteses:
>
> I.i) sen (y/2) = 0 -> y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
> valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
> (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 -> x = ln(1
> - e^(- 2k . pi)).
>
> I.ii) sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi (com k
> natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =
> ln(1 - e^(- 2k . pi)).
>
> Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 -
> e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]
>
>
> Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M escreveu:
>
>> Bom dia a todos
>>
>> Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.
>>
>> Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:
>>
>> sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
>> e^x + e^y = 1
>>
>> Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
>> complicada.
>>
>> Obrigada.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais
Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos parou.
Acho que há ainda outras soluções.
O Marcos concluiu, da 1a equação, que
sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0
Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele usou,
obtemos
sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0
sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0
Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se, pelo
menos uma das seguintes condições for satisfeita:
sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
sen(x/2) = 0, x = 2kπ
sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ
As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos
Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que
e^x + e^(2kπ - x) = 1
(e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0
Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que esta
equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma condição
necessária é que
1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é inteiro,
isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x = (1 - sqrt(1 -
4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos os casos, o segundo
membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) ou x =
e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x.
Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes conjuntos
A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro, x ∈ R}
B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro}
C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k < 0, k
inteiro}
D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k < 0, k
inteiro}
Dê uma conferida.
Artur Costa Steiner
Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli escreveu:
> Da segunda equação, devemos ter: x < 0 e y < 0 (*). Suponhamos, sem perda de
> generalidade, que x >= 0 -> e^x >= 1 -> e^y = (1 - e^x) <= 0. Absurdo, pois
> e^y > 0 para qualquer y real.
>
> I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) -> sen (x + y) - sen(x) = sen(y) -> 2 .
> sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
> hipóteses:
>
> I.i) sen (y/2) = 0 -> y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
> valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
> (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 -> x = ln(1 -
> e^(- 2k . pi)).
>
> I.ii) sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi (com k
> natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y = ln(1
> - e^(- 2k . pi)).
>
> Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 - e^(-
> 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]
>
>
> Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M escreveu:
>> Bom dia a todos
>>
>> Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.
>>
>> Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:
>>
>> sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
>> e^x + e^y = 1
>>
>> Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
>> complicada.
>>
>> Obrigada.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais
Da segunda equação, devemos ter: x < 0 e y < 0 (*). Suponhamos, sem perda de generalidade, que x >= 0 -> e^x >= 1 -> e^y = (1 - e^x) <= 0. Absurdo, pois e^y > 0 para qualquer y real. I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) -> sen (x + y) - sen(x) = sen(y) -> 2 . sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas hipóteses: I.i) sen (y/2) = 0 -> y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 -> x = ln(1 - e^(- 2k . pi)). I.ii) sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi (com k natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y = ln(1 - e^(- 2k . pi)). Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 - e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.] Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M escreveu: > Bom dia a todos > > Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida. > > Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema: > > sen(x + y) = sen(x) + sen(y) > e^x + e^y = 1 > > Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente > complicada. > > Obrigada. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
