[obm-l] Re: [obm-l] existe uma solução mais simples?
Nicolau , a duvida permanece. No caso da matriz A ser real o polinômio 3x^3 +2x +1 não pode ser fatorado em fatores lineares e da i a matriz A não é diagonalizavel. Você sabe como proceder neste caso ? *Acho* que, para A real, não há nada o que ser feito. Se você considerasse o corpo complexo, essa matriz poderia ser escrita na forma triangular. No caso complexo há ainda a forma canônica de Jordan. O fato de ela ser diagonalizável, como o Nicolau mostrou ser o caso, é um forma particular da forma de Jordan. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?
On Fri, Feb 27, 2004 at 08:27:21PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote:
Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou
(x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Observe que estes possíveis autovalores complexos têm módulo
menor do que 1. Mais do que isso, como este polinômio só tem raízes
simples a matriz A é necessariamente diagonalizável.
Qual a implicação do módulo ser menor que 1?
Se um número complexo z tem módulo menor do que 1
então lim_{n - +infinito} z^n = 0.
E o que você chama de raízes simples?
Raiz simples do polinômio, que não é dupla. Por exemplo, 1 é raiz simples
de p(x) = 3x^3 - x^2 - x - 1 pois p é múltiplo de (x-1) mas não é múltiplo
de (x-1)^2. Ou, equivalentemente, p(1) = 0 mas p'(1) é diferente de zero.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?
Ah, certo, obrigado pela luz aí.
Não ouvia o termo raiz simples há algum tempo...
Henrique.
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From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, February 28, 2004 2:24 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais
simples?
On Fri, Feb 27, 2004 at 08:27:21PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna
Branco wrote:
Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou
(x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Observe que estes possíveis autovalores complexos têm módulo
menor do que 1. Mais do que isso, como este polinômio só tem raízes
simples a matriz A é necessariamente diagonalizável.
Qual a implicação do módulo ser menor que 1?
Se um número complexo z tem módulo menor do que 1
então lim_{n - +infinito} z^n = 0.
E o que você chama de raízes simples?
Raiz simples do polinômio, que não é dupla. Por exemplo, 1 é raiz simples
de p(x) = 3x^3 - x^2 - x - 1 pois p é múltiplo de (x-1) mas não é múltiplo
de (x-1)^2. Ou, equivalentemente, p(1) = 0 mas p'(1) é diferente de zero.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?
On Fri, Feb 27, 2004 at 05:23:46PM -0300, Danilo notes wrote:
Seja A uma matriz quadrada n x n tal que 3A^3=A^2+ A + I prove que
(A^k) converge para B tal que B^2=B . k é numero natural.
Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou
(x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Observe que estes possíveis autovalores complexos têm módulo
menor do que 1. Mais do que isso, como este polinômio só tem raízes
simples a matriz A é necessariamente diagonalizável. Assim
A = M^{-1} D M onde M é uma matriz inversível e D é uma matriz
diagonal com entradas todas iguais a 1 ou - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Claramente o limite de D^k quando k tende a infinito é uma matriz
diagonal D' com entradas 1 e 0. Assim o limite de A^k é M^{-1} D' M.
[]s, N.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?
Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou (x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3. Observe que estes possíveis autovalores complexos têm módulo menor do que 1. Mais do que isso, como este polinômio só tem raízes simples a matriz A é necessariamente diagonalizável. Nicolau, Qual a implicação do módulo ser menor que 1? E o que você chama de raízes simples? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
