Olá Thelio e Mestre Ralph
Muito pertinentes os comentários do Ralph. Realmente, deve haver extremo
esmero na formulação dos enunciados, sobretudo quando o assunto é
probabilidades, que costuma causar confusão justamente por causa das
ambiguidades nos enunciados.
Bem, não custa, agora, apresentar uma solução diferente para esta questão:
Exibir um resultado é uma tarefa que pode ser realizada em 3 etapas
sucessivas:
1ª Etapa) Escolha das 3 frutas que irão comparecer no resultado: C(6,3)=20;
2ª Etapa) Escolha da fruta que comparecerá 2 vezes no resultado: C(3,1)=3;
3ª Etapa) Escolha das 2 posições destinadas às frutas desiguais: A(4,2)=12
Pelo Princípio Fundamental da Contagem há: 20 X 3 X 12 = 720 possíveis
resultados, e, como escreveu o Ralph, já que eles são todos igualmente
prováveis, a probabilidade pedida
é 720/1296=5/9.
Vale notar que a 3ª etapa poderia ser: posicionar as 4 frutas, ou seja,
fazer uma permutação de 4 elementos, sendo 2 repetidos, o que equivaleria
exatamente a calcular os anagramas da palavra BALA. (B de Banana, A de
Amora, L de Laranja e A de Ameixa)
Então (só para o Thelio ter uma visão geral) o que se quer nesse problema,
em última análise, é fazer uma permutação de 4 elementos, sendo que dois
deles são iguais entre si. Mas antes de fazer essa permutação com elementos
repetidos, precisamos escolher as frutas, o que foi feito nas etapas 1 e 2.
Finalmente, acho que um enunciado que seria aprovado pelo Mestre Ralph seria
assim:
(corrija-me se estiver errado, mestre, porque quero aplicar essa questão em
um simulado)
Numa máquina de caça-níquel, cada resultado é formado por 4 quaisquer de 6
frutas diferentes. Supondo que um resultado pode apresentar frutas
repetidas, calcule a probabilidade de um resultado apresentar duas frutas
iguais e duas outras frutas diferentes entre si.
Abraços,
Palmerim
2009/5/8 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Oi, Thelio.
Vamos fazer as seguintes hipóteses:
a) O resultado é formado por 4 símbolos; (isto está bem explícito em
4 quaisquer...)
b) Cada símbolo pode ser uma de seis frutas, que designarei por A, B,
C, D, E, F (também razoavelmente explícito em de 6 frutas
diferentes...);
c) Um resultado pode apresentar símbolos iguais (por exemplo, pode ser
AADE) -- isto está dito, mas com um português ligeiramente ambíguo;
digo isso pois **gramaticalmente** podendo haver repetição poderia
se referir a 4 símbolos ou a 6 frutas... mas faz mais sentido se
for 4 símbolos, podendo haver repetição, que é a minha
interpretação; a outra interpretação, 6 frutas diferentes, podendo
haver repetição é meio contraditória...
d) Em cada símbolo, cada fruta tem a mesma probabilidade de aparecer
(razoável, mas não é nem um pouco óbvio; aliás, só vou supor isso
porque tenho que resolver o problema e ele não indicou as
probabilidades de cada fruta; num caça-níqueis de verdade, isto não
costuma ser verdadeiro);
e) Os 4 símbolos são independentes entre si, isto é, o símbolo que
aparece na primeira janela não afeta de maneira alguma o símbolo da
segunda (bem razoável, mas também não é certo no caso geral).
f) O que o enunciado quer é a probabilidade de aparecerem 3 frutas
distintas, sendo uma delas repetida (se eu quisesse ser muito muito
chato, diria que AABB tem duas frutas AA iguais e duas frutas BB
desiguais **da primeira** -- não acho que era isso que o enunciado
tinha em mente, acho que eles querem dizer, duas frutas iguais e
duas OUTRAS, desiguais ENTRE SI.). Em linguagem de pôquer: qual é a
chance de dar um par?
Agora sim, com tudo destrinchado, eu consigo resolver o problema. Há
6.6.6.6=1296 possíveis resultados, todos igualmente prováveis graças a
(d) e (e). Quantos são da forma XXYZ (ou permutações)?
i) Primeiro, vou escolher as frutas que vão aparecer na minha
sequencia: note que X é bem distinto de Y e Z, que são intercambiáveis
neste momento. Há 6 maneiras de escolher X; agora, há C(5,2) maneiras
de escolher as frutas Y e Z. Então há 6.C(5,2)=60 maneiras de escolher
as frutas que aparecerão no meu resultado.
ii) Mas ainda temos que determinar a ordem em que as frutas aparecerão
no resultado. Há 4 lugares para Y, restam 3 lugares para Z e os outros
têm de ser X. Ou seja, para cada escolha das frutas X, Y e Z que vão
aparecer (onde X é a letra a ser repetida), há 4.3=12 maneiras de
posicioná-las.
iii) Juntando tudo, são 60.12=720 possíveis resultados do tipo um
par. Como eles são todos igualmente prováveis, a probabilidade pedida
é 720/1296=5/9.
Bom, espero não ter errado bobagens, estou meio sem tempo para
conferir o que escrevi.
Abraço,
Ralph
2009/5/7 Thelio Gama teliog...@gmail.com:
Bom dia Professores,
estou bastante confuso com o seguinte problema e agradeço se puderem
fazer a
gentileza de explicá-lo :
Numa máquina de caça-níquel, cada resultado é formado por 4 quaisquer de
6
frutas diferentes, podendo haver repetição. Calcule a probabilidade de um
resultado apresentar duas frutas iguais e
