[obm-l] Re: [obm-l] t. dos nºs
Obs: o teorema anterior afirma que existem INTEIROS a e b. No problema p^2= a^2 + b^2 tem (0, p) como soluções inteiras. Se formos procurar soluções naturais, deveremos ter p|a^2 + b^2 . Suponha que p não divide a. Então seja c o inverso de a mod. p ( que existe, pois (a, p) ). Daí, p|(ac)^2 + (bc)^2, donde (bc)^2 = -1 ( mod p ). Mas o símbolo de Legendre (-1/p) é igual a (-1)^[(p-1)/2], que é -1 ( pois (p-1)/2 é ímpar ), absurdo!! Logo, p|a e p|b e assim, se a e b são maiores que zero, temos a^2 + b^2 p^2. -- Mensagem original -- O primeiro problema so pode ter solucao se p=4n+1. Para ver isso, observe que a deve ser par e b impar. Logo a^2+b^2 e da forma: 4c^2+4d^2+4c+1, que e da forma 4n+1. De fato todo primo da forma 4n+1 se escreve de um unico jeito como a soma de 2 quadrados. Tem um livro chamado 100 great elementary problems: Their history and solutions Heinrich Dorrie, que tem essa prova e muitas outras bacanas. Alias esse livro apresenta as melhores provas de cada problema. E da Dover e nao e dificil de achar. Abraco, Salvador On Tue, 11 Jun 2002, Adherbal Rocha Filho wrote: ajuda: Mostrar q se o primo p é tal q p==3(mod4), então a equação p^2= a^2 +b^2 possui solução inteira mostre q todo quadrado perfeito pode ser representado como soma dos quadrados de racionais ,naum inteiros, r e s. valeu! _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] t. dos nºs
Foi mal, nao vi que p ia ao quadrado... Desculpem, Salvador On Tue, 11 Jun 2002 [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Salvador, Vc confundiu o problema. A equação é p^2= a^2 = b^2 e não p= a^2 = b^2 De fato, no livro Introdução à Teoria dos Números, capítulo 7, existe um teorema que diz que um inteiro n é representado como soma de dois quadrados se e somente se os expoentes dos primos congruentes a 3 mod 4 que dividem n são pares. Logo, p^2 pode ser representado dessa forma Ateh mais -- Mensagem original -- O primeiro problema so pode ter solucao se p=4n+1. Para ver isso, observe que a deve ser par e b impar. Logo a^2+b^2 e da forma: 4c^2+4d^2+4c+1, que e da forma 4n+1. De fato todo primo da forma 4n+1 se escreve de um unico jeito como a soma de 2 quadrados. Tem um livro chamado 100 great elementary problems: Their history and solutions Heinrich Dorrie, que tem essa prova e muitas outras bacanas. Alias esse livro apresenta as melhores provas de cada problema. E da Dover e nao e dificil de achar. Abraco, Salvador On Tue, 11 Jun 2002, Adherbal Rocha Filho wrote: ajuda: Mostrar q se o primo p é tal q p==3(mod4), então a equação p^2= a^2 +b^2 possui solução inteira mostre q todo quadrado perfeito pode ser representado como soma dos quadrados de racionais ,naum inteiros, r e s. valeu! _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] t. dos nºs
On Tue, Jun 11, 2002 at 04:43:41AM +, Adherbal Rocha Filho wrote: ajuda: Mostrar q se o primo p é tal q p==3(mod4), então a equação p^2= a^2 +b^2 possui solução inteira Deve haver um engano, vale o contrário: se p é da forma 4k+1 (e não 4k+3) então p pode ser escrito da forma p = a^2 + b^2. Isto segue de um estudo dos inteiros de Gauss. Note que a equação p^2 = a^2 + b^2 sempre admite a solução trivial a = p, b = 0. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
