Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Análise_I
Meu caro Fellipe, não tinha me ligado nessa questão. Obrigado pela observação. Vou reescrever minha dúvida:
ii) Sejaf:J --R de classe C^2.Dado a em J, defina g: J -- R por g(x) =[f(x) f(a)]/(x a) sexfor difereentedea e g(a) = f´(a). Prove que g é de classe C^1. Usando o pol. de Taylor com resto deLagrange para f, cheguei que: lim{x--a}g´(x) = [f´´(a)]/2 . Mas não estou conseguindo concluir que g é de classe C^1.
Notação: lim{x--b} f(x) = limite de f(x) quando x tende a b
Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caro Éder,
Muitos usuários desta lista possuem sistemas que não suportam certos tipos de símbolos.
Se puder, utilize apenas notações simples.
P.ex: escreva 2 elevado a 3 como 2^3, etc...
Assim, todos poderão entender a questão! =)
Abraços
- Original Message -
From: Lista OBM
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, May 30, 2004 9:26 AM
Subject: Re: [obm-l] Análise I
Meu caro Morgado, de fato você tem razão, não fui claro na minha dúvida. Vou tentar ser mais claro:
i) Seja f: J -- R de classe C infinito no intervalo J. Suponha que exista K 0 t.q. |f(n)(x)| = K para todoo x em J e todo n natural. Prove que, para x_o, x em J quaisquer vale f(x) = Somatório_[n = 0...infinito]{[f(n)(x_o)]/n!}(x - x_o)^n.
Início da solução: chamei f(x) = p_n(x) + r_n(x), onde p_n é o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x_o e, pela Fórmula de Taylor comResto de Lagrange, existe c entre x e x_o t.q. r_n(x) =[f(n+1)(c).(x - x_o)]/(n+1)!, o que implica que |r_n(x)| = [K|x-xo|n+1]/(n + 1)!. Daí tenho que provar que limn®¥ r_n(x) = 0.Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote:
Parece (os simbolos estao incompreensiveis) que se quer ptovar que o modulo de (x-a)^n / n! tende a 0 quando n tende a infinito. Pense nisso como o termo geral de uma serie, prove pelo criterio da razao de D'Alembert que ela eh convergente (a razao a(n+1)/a(n) tende a 0) e conclua que o termo geral tende a 0. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent:
Sat, 29 May 2004 17:05:44 -0300 (ART) Subject: [obm-l] Análise I Gostaria de saber sealguém pode me ajudar com os "dois problemas" abaixo: i) Sendo | r(x) | £ [K|x-xo|n+1]/(n + 1)!, onde K 0, prove que limn®¥ r(x) = 0;ii) Seja f: I à R de classe
C2. Dado a em I, defina g: I ! à R por g(x) = [f(x) f(a)]/(x a) sex ¹ a e g(a) = f´(a). Prove que g é de classe C1. Usando o pol. de Taylor com resto deLagrange para f, cheguei que: limx®a g´(x) = [f´´(a)]/2 . Mas não estou conseguindo concluir que g é de classe C1.> $1 Grato desde já com a possível ajuda de vocês.
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Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Análise_I
On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco
medeiros wrote:
Não existe uma função real (i.e., de R em R)
contínua que transforme
todo número racional num irracional e vice-versa.
Naum sei se jah responderam aa sua pergunta
(provavelmente jah), passei uns dias sem poder olhar a
lista. Mas uma forma de mostrarmos o resultado
desejado eh considerarmos o fato, consequencia do
Teorema de Baire, de que o conjunto dos irracionais
nao eh F-sigma, isto eh, naum pode ser dado por uma
uniao enumeravel de conjuntos fechados de R.
Supondo-se que exista uma funcao f conforme a
especificada, temos pelas hipoteses feitas que I =
f^(-1)(Q), isto eh, os irracionais sao a imagem
inversa dos racionais sob a funcao f. Temos ainda que,
por ser enumeravel, Q ={q_1,...q_n...} = Uniao {q_n}.
Conforme sabemos, cada {q_n} eh um fechado com
interior vazio. As propriedades da imagem inversa de
funcoes leva-nos entao a que I = Uniao f^(-1)({q_n}, e
a continuidade de f implica que cada f^(-1)({q_n})
seja fechado em R. Concluimos assim que I eh F-sigma,
condicao a que I, comprovadamente, naum satisfaz.
Desta contradicao concluimos que naum existe uma
funcao com as caracteristicas dadas.
Eh facil ver que I nao pode ser F-sigma. Inicialmente,
verificamos que, por ser enumeravel, Q eh magro (em
R, assim como em todo espaco metrico completo que naum
contenha pontos isolados, conjuntos enumeraveis sao
sempre magros, isto eh, sao dados por uma uniao
enumeravel de conjuntos cujos fechos tem interior
vazio). Como R nao eh magro (eh um aberto nao vazio em
um espaco de Baire) e R = Q Uniao I, temos que I nao
pode ser magro, ou R tambem o seria (unioes
enumeraveis ou finitas de conjuntos magros sao
magras). Se I for dado por uma uniao enumeravel {F_n}
de fechados, entao, como I tem interior vazio, o mesmo
necessariamente sucede para todos os F_n (se um deles
contivesse um aberto nao vazio, entao a uniao deles
tambem conteria este aberto e, desta forma, nao
poderia se igualar a I). Como cada F_n, por ser
fechado, confude-se com o seu fecho, concluimos que I
eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos cujos
fechos tem interior vazio. Logo, I eh magro,
contradizendo o fato que anteriormente demonstramos.
Temos, portanto, que I nao eh F-sigma.
Artur
__
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Análise_I
On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco
medeiros wrote:
Não existe uma função real (i.e., de R em R)
contínua que transforme
todo número racional num irracional e vice-versa.
Naum sei se jah responderam aa sua pergunta
(provavelmente jah), passei uns dias sem poder olhar a
lista. Mas uma forma de mostrarmos o resultado
desejado eh considerarmos o fato, consequencia do
Teorema de Baire, de que o conjunto dos irracionais
nao eh F-sigma, isto eh, naum pode ser dado por uma
uniao enumeravel de conjuntos fechados de R.
Supondo-se que exista uma funcao f conforme a
especificada, temos pelas hipoteses feitas que I =
f^(-1)(Q), isto eh, os irracionais sao a imagem
inversa dos racionais sob a funcao f. Temos ainda que,
por ser enumeravel, Q ={q_1,...q_n...} = Uniao {q_n}.
Conforme sabemos, cada {q_n} eh um fechado com
interior vazio. As propriedades da imagem inversa de
funcoes leva-nos entao a que I = Uniao f^(-1)({q_n}, e
a continuidade de f implica que cada f^(-1)({q_n})
seja fechado em R. Concluimos assim que I eh F-sigma,
condicao a que I, comprovadamente, naum satisfaz.
Desta contradicao concluimos que naum existe uma
funcao com as caracteristicas dadas.
Eh facil ver que I nao pode ser F-sigma. Inicialmente,
verificamos que, por ser enumeravel, Q eh magro (em
R, assim como em todo espaco metrico completo que naum
contenha pontos isolados, conjuntos enumeraveis sao
sempre magros, isto eh, sao dados por uma uniao
enumeravel de conjuntos cujos fechos tem interior
vazio). Como R nao eh magro (eh um aberto nao vazio em
um espaco de Baire) e R = Q Uniao I, temos que I nao
pode ser magro, ou R tambem o seria (unioes
enumeraveis ou finitas de conjuntos magros sao
magras). Se I for dado por uma uniao enumeravel {F_n}
de fechados, entao, como I tem interior vazio, o mesmo
necessariamente sucede para todos os F_n (se um deles
contivesse um aberto nao vazio, entao a uniao deles
tambem conteria este aberto e, desta forma, nao
poderia se igualar a I). Como cada F_n, por ser
fechado, confude-se com o seu fecho, concluimos que I
eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos cujos
fechos tem interior vazio. Logo, I eh magro,
contradizendo o fato que anteriormente demonstramos.
Temos, portanto, que I nao eh F-sigma.
E como uma corolario de tal fato, temos que Q naum eh
G-delta (dado por uma interseccao enumeravel de
conjuntos abertos). Se Q fosse G-delta, as leis de De
Morgan implicariam que I = complementar de Q fosse
F-sigma, o que, como vimos, naum ocorre.
Artur
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