Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1
Meu caro Cláudio, achei muito legal a forma com que você resolveu o problema, mas não consegui enteder o por quê de definir inicialmente f(0) = 0. Além disso, não consegui enteder também sua conclusão, ou seja, dada f:[a,b] - Rde classe C^1, basta considerarmos a função: F:[0,1] - R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que recairemos no caso provado anteriormente. De fato, recaímos no caso anterior, mas o que nos garante que f(x) = g(x) + r(x), ondeg é não crescente e r é não decrescente. OBS.:Ao invés dedefinir h(x) = (M+1)x não seria melhor definir h(x) = Mx ? Poisassimteríamos h não descrescente e, consequentemente, k não cresecente, comopedido no problema. Isso foi só uma pergunta!!!, não sei se estou certo.Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Interessante esse problema! Suponhamos, inicialmente, que o intervalo é [0,1] e que f(0) = 0. Como fé C^1 em [0,1], f' existe e é contínua em [0,1]. Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x em [0,1]). Então g também é contínua em [0,1] e, portanto, atinge seu valor máximo, igual a M,nesse intervalo. É claro que M = 0. Seja h:[0,1] - R dada por: h(x) = (M+1)x. h é claramente crescente em [0,1] e h(0) = 0. Seja k:[0,1] - R dada por: k(x) = f(x) - (M+1)x. k eh de classe C^1 e k(0) = 0. Além disso, para todo x em [0,1], k'(x) = f'(x) - (M+1) = |f'(x)| - (M+1) 0. Logo, k eh decrescente em [0,1]. É claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) + k(x). Ou seja, o resultado está provado para uma funçao definida em [0,1] com f(0) = 0. A generalização para o caso geral é fácil. Se f:[a,b] - R é de classe C^1, basta considerar a função: F:[0,1] - R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que você recai no caso provado acima. É claro que F é de classe C^1 em [0,1] e F(0) = 0. []s, Claudio. - Original Message - From: Lista OBM To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 31, 2004 8:50 AM Subject: [obm-l] função de classe C^1 Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o seguite problema: Mostre que se f: [a,b] -- é de classe C^1, então f pode escrita como a soma de uma função não crescente com uma uma função não decrescente.> Grato, Éder. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1
Title: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1 Oi, Eder: Aqui vai uma solucao simplificada que leva em conta seus comentarios, alias, todos pertinentes. Seja M = valor maximo atingido pela funcao |f'| no intervalo [a,b]. Obviamente, M = 0. Seja h:[a,b] - R definida por: h(x) = f(a) + M(x - a) Entao: h(a) = 0 e h'(x) = M = 0, para todo x em [a,b] == h eh nao-decrescente. Seja k:[a,b] - R definida por: k(x) = f(x) - h(x) Entao: k(a) = f(a) - h(a) = f(a) e k'(x) = f'(x) - h'(x) = |f'(x)| - M = M - M = 0 == k eh nao-crescente. Alem disso, f = h + k. []s, Claudio. on 01.06.04 08:36, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: Meu caro Cláudio, achei muito legal a forma com que você resolveu o problema, mas não consegui enteder o por quê de definir inicialmente f(0) = 0. Além disso, não consegui enteder também sua conclusão, ou seja, dada f:[a,b] - R de classe C^1, basta considerarmos a função: F:[0,1] - R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que recairemos no caso provado anteriormente. De fato, recaímos no caso anterior, mas o que nos garante que f(x) = g(x) + r(x), onde g é não crescente e r é não decrescente. OBS.: Ao invés de definir h(x) = (M+1)x não seria melhor definir h(x) = Mx ? Pois assim teríamos h não descrescente e, consequentemente, k não cresecente, como pedido no problema. Isso foi só uma pergunta!!!, não sei se estou certo. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Interessante esse problema! Suponhamos, inicialmente, que o intervalo é [0,1] e que f(0) = 0. Como f é C^1 em [0,1], f' existe e é contínua em [0,1]. Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x em [0,1]). Então g também é contínua em [0,1] e, portanto, atinge seu valor máximo, igual a M, nesse intervalo. É claro que M = 0. Seja h:[0,1] - R dada por: h(x) = (M+1)x. h é claramente crescente em [0,1] e h(0) = 0. Seja k:[0,1] - R dada por: k(x) = f(x) - (M+1)x. k eh de classe C^1 e k(0) = 0. Além disso, para todo x em [0,1], k'(x) = f'(x) - (M+1) = |f'(x)| - (M+1) 0. Logo, k eh decrescente em [0,1]. É claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) + k(x). Ou seja, o resultado está provado para uma funçao definida em [0,1] com f(0) = 0. A generalização para o caso geral é fácil. Se f:[a,b] - R é de classe C^1, basta considerar a função: F:[0,1] - R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que você recai no caso provado acima. É claro que F é de classe C^1 em [0,1] e F(0) = 0. []s, Claudio. - Original Message - From: Lista OBM mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 31, 2004 8:50 AM Subject: [obm-l] função de classe C^1 Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o seguite problema: Mostre que se f: [a,b] -- é de classe C^1, então f pode escrita como a soma de uma função não crescente com uma uma função não decrescente. Grato, Éder.
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1
Meu caro Cláudio, essa solução ficou muito legal, mas muito legal mesmo. Obrigado mais uma vez. PS.: Só uma curiosidade minha: você é aluno (ou professor) de qual universidade?Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Eder:Aqui vai uma solucao simplificada que leva em conta seus comentarios, alias, todos pertinentes.Seja M = valor maximo atingido pela funcao |f'| no intervalo [a,b].Obviamente, M = 0.Seja h:[a,b] - R definida por:h(x) = f(a) + M(x - a)Entao:h(a) = 0 e h'(x) = M = 0, para todo x em [a,b] == h eh nao-decrescente.Seja k:[a,b] - R definida por:k(x) = f(x) - h(x)Entao:k(a) = f(a) - h(a) = f(a) ek'(x) = f'(x) - h'(x) = |f'(x)| - M = M - M = 0 == k eh nao-crescente.Alem disso, f = h + k.[]s,Claudio.on 01.06.04 08:36, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: Meu caro Cláudio,achei muito legal a forma com que você resolveu o problema, mas não consegui enteder o por quê de definir inicialmente f(0) = 0. Além disso, não consegui enteder também sua conclusão, ou seja, dada f:[a,b] - R de classe C^1, basta considerarmos a função: F:[0,1] - R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que recairemos no caso provado anteriormente. De fato, recaímos no caso anterior, mas o que nos garante que f(x) = g(x) + r(x), onde g é não crescente e r é não decrescente. OBS.: Ao invés de definir h(x) = (M+1)x não seria melhor definir h(x) = Mx ? Pois assim teríamos h não descrescente e, consequentemente, k não cresecente, como pedido no problema. Isso foi só uma pergunta!!!, não sei se estou certo.Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Interessante esse problema!Suponhamos, inicialmente, que o intervalo é [0,1] e que f(0) = 0.Como f é C^1 em [0,1], f' existe e é contínua em [0,1].Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x em [0,1]).Então g também é contínua em [0,1] e, portanto, atinge seu valor máximo, igual a M, nesse intervalo.É claro que M = 0.Seja h:[0,1] - R dada por:h(x) = (M+1)x.h é claramente crescente em [0,1] e h(0) = 0.Seja k:[0,1] - R dada por:k(x) = f(x) - (M+1)x.k eh de classe C^1 e k(0) = 0.Além disso, para todo x em [0,1], k'(x) = f'(x) - (M+1) = |f'(x)| - (M+1) 0.Logo, k eh decrescente em [0,1].É claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) + k(x).Ou seja, o resultado está provado para uma funçao definida em [0,1] com f(0) = 0.A generalização para o caso geral é fácil. Se f:[a,b] - R é de classe C^1, basta considerar a função:F:[0,1] - R dada por:F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a)que você recai no caso provado acima.É claro que F é de classe C^1 em [0,1] e F(0) = 0.[]s,Claudio. - Original Message - From: Lista OBM mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 31, 2004 8:50 AMSubject: [obm-l] função de classe C^1Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o seguite problema:Mostre que se f: [a,b] -- é de classe C^1, então f pode escrita como a soma de uma função não crescente com uma uma função não decrescente.Grato, Éder. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1
Meu caro Cláudio, estava olhando com detalhes essa sua última solução e acho que há dois pequeníssemos erros, os quais não interferem na solução, pelo menos é o que acho: Se h:[a,b] - R é definida por h(x) = f(a) + M(x - a) tem-se que h(a) = f(a) e não h(a) = 0 e como k:[a,b] -- R foi definida como k(x) = f(x) - h(x), tem-se que k(a) = f(a) - h(a) = f(a) - f(a) = 0 e não k(a) = f(a). PS.: Acho que esses pequeníssemos errossão despresíveis em relação a sua bela solução, até porque nãoconsigui vê a necessidade de se analisar os valores queh e k assumemem a. Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Eder:Aqui vai uma solucao simplificada que leva em conta seus comentarios, alias, todos pertinentes.Seja M = valor maximo atingido pela funcao |f'| no intervalo [a,b].Obviamente, M = 0.Seja h:[a,b] - R definida por:h(x) = f(a) + M(x - a)Entao:h(a) = 0 e h'(x) = M = 0, para todo x em [a,b] == h eh nao-decrescente.Seja k:[a,b] - R definida por:k(x) = f(x) - h(x)Entao:k(a) = f(a) - h(a) = f(a) ek'(x) = f'(x) - h'(x) = |f'(x)| - M = M - M = 0 == k eh nao-crescente.Alem disso, f = h + k.[]s,Claudio.on 01.06.04 08:36, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: Meu caro Cláudio,achei muito legal a forma com que você resolveu o problema, mas não consegui enteder o por quê de definir inicialmente f(0) = 0. Além disso, não consegui enteder também sua conclusão, ou seja, dada f:[a,b] - R de classe C^1, basta considerarmos a função: F:[0,1] - R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que recairemos no caso provado anteriormente. De fato, recaímos no caso anterior, mas o que nos garante que f(x) = g(x) + r(x), onde g é não crescente e r é não decrescente. OBS.: Ao invés de definir h(x) = (M+1)x não seria melhor definir h(x) = Mx ? Pois assim teríamos h não descrescente e, consequentemente, k não cresecente, como pedido no problema. Isso foi só uma pergunta!!!, não sei se estou certo.Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Interessante esse problema!Suponhamos, inicialmente, que o intervalo é [0,1] e que f(0) = 0.Como f é C^1 em [0,1], f' existe e é contínua em [0,1].Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x em [0,1]).Então g também é contínua em [0,1] e, portanto, atinge seu valor máximo, igual a M, nesse intervalo.É claro que M = 0.Seja h:[0,1] - R dada por:h(x) = (M+1)x.h é claramente crescente em [0,1] e h(0) = 0.Seja k:[0,1] - R dada por:k(x) = f(x) - (M+1)x.k eh de classe C^1 e k(0) = 0.Além disso, para todo x em [0,1], k'(x) = f'(x) - (M+1) = |f'(x)| - (M+1) 0.Logo, k eh decrescente em [0,1].É claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) + k(x).Ou seja, o resultado está provado para uma funçao definida em [0,1] com f(0) = 0.A generalização para o caso geral é fácil. Se f:[a,b] - R é de classe C^1, basta considerar a função:F:[0,1] - R dada por:F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a)que você recai no caso provado acima.É claro que F é de classe C^1 em [0,1] e F(0) = 0.[]s,Claudio. - Original Message - From: Lista OBM mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 31, 2004 8:50 AMSubject: [obm-l] função de classe C^1Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o seguite problema:Mostre que se f: [a,b] -- é de classe C^1, então f pode escrita como a soma de uma função não crescente com uma uma função não decrescente.Grato, Éder. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1
Title: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1 Tem razao! Basta por h(x) = M(x - a). Como eu comecei supondo que o intervalo era [0,1] e f(0) = 0, a minha h original era da forma h(x) = kx. Acho que por causa disso eu cismei que h(0) tinha que ser 0, mas isso eh claramente desnecessario. Nada como duas cabecas pensando juntas! []s, Claudio. on 01.06.04 10:29, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: Meu caro Cláudio, estava olhando com detalhes essa sua última solução e acho que há dois pequeníssemos erros, os quais não interferem na solução, pelo menos é o que acho: Se h:[a,b] - R é definida por h(x) = f(a) + M(x - a) tem-se que h(a) = f(a) e não h(a) = 0 e como k:[a,b] -- R foi definida como k(x) = f(x) - h(x), tem-se que k(a) = f(a) - h(a) = f(a) - f(a) = 0 e não k(a) = f(a). PS.: Acho que esses pequeníssemos erros são despresíveis em relação a sua bela solução, até porque não consigui vê a necessidade de se analisar os valores que h e k assumem em a. Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Eder: Aqui vai uma solucao simplificada que leva em conta seus comentarios, alias, todos pertinentes. Seja M = valor maximo atingido pela funcao |f'| no intervalo [a,b]. Obviamente, M = 0. Seja h:[a,b] - R definida por: h(x) = f(a) + M(x - a) Entao: h(a) = 0 e h'(x) = M = 0, para todo x em [a,b] == h eh nao-decrescente. Seja k:[a,b] - R definida por: k(x) = f(x) - h(x) Entao: k(a) = f(a) - h(a) = f(a) e k'(x) = f'(x) - h'(x) = |f'(x)| - M = M - M = 0 == k eh nao-crescente. Alem disso, f = h + k. []s, Claudio.
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1
Title: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1 Foi um prazer ajudar. Eu achei o problema interessante. Eu tenho feito uns cursos na USP como ouvinte e, se for aceito, pretendo comecar um mestrado em matematica pura lah em agosto. E voce? O que faz? []s, Claudio. on 01.06.04 10:11, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: Meu caro Cláudio, essa solução ficou muito legal, mas muito legal mesmo. Obrigado mais uma vez. PS.: Só uma curiosidade minha: você é aluno (ou professor) de qual universidade?
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1
Ao definir f(0)=0, a generalidade nao se perde pois o desenho de y=f(x) e igual ao desenho de y-a=f(x-b). Tudo nao passa de uma translaçao de eixos.Lista OBM [EMAIL PROTECTED] wrote: Meu caro Cláudio, achei muito legal a forma com que você resolveu o problema, mas não consegui enteder o por quê de definir inicialmente f(0) = 0. Além disso, não consegui enteder também sua conclusão, ou seja, dada f:[a,b] - Rde classe C^1, basta considerarmos a função: F:[0,1] - R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que recairemos no caso provado anteriormente. De fato, recaímos no caso anterior, mas o que nos garante que f(x) = g(x) + r(x), ondeg é não crescente e r é não decrescente. OBS.:Ao invés dedefinir h(x) = (M+1)x não seria melhor definir h(x) = Mx ? Poisassimteríamos h não descrescente e, consequentemente, k não cresecente, comopedido no problema. Isso foi só uma pergunta!!!, não sei se estou certo.Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Interessante esse problema! Suponhamos, inicialmente, que o intervalo é [0,1] e que f(0) = 0. Como fé C^1 em [0,1], f' existe e é contínua em [0,1]. Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x em [0,1]). Então g também é contínua em [0,1] e, portanto, atinge seu valor máximo, igual a M,nesse intervalo. É claro que M = 0. Seja h:[0,1] - R dada por: h(x) = (M+1)x. h é claramente crescente em [0,1] e h(0) = 0. Seja k:[0,1] - R dada por: k(x) = f(x) - (M+1)x. k eh de classe C^1 e k(0) = 0. Além disso, para todo x em [0,1], k'(x) = f'(x) - (M+1) = |f'(x)| - (M+1) 0. Logo, k eh decrescente em [0,1]. É claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) + k(x). Ou seja, o resultado está provado para uma funçao definida em [0,1] com f(0) = 0. A generalização para o caso geral é fácil. Se f:[a,b] - R é de classe C^1, basta considerar a função: F:[0,1] - R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que você recai no caso provado acima. É claro que F é de classe C^1 em [0,1] e F(0) = 0. []s, Claudio. - Original Message - From: Lista OBM To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 31, 2004 8:50 AM Subject: [obm-l] função de classe C^1 Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o seguite problema: Mostre que se f: [a,b] -- é de classe C^1, então f pode escrita como a soma de uma função não crescente com uma uma função não decrescente.> Grato, Éder. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede)Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1
Sougraduando em Matemática e estou no 7.º semestre. MeuCaro Cláudio, achei tão legal a solução do problemaque fiquei olhando-a por algum tempo e estou começando a achar outra coisa: h:[a,b] -- R pode ser definida apenas como h(x) = Mx, pois não vejo porque evaluar h e k em a. Dê olhadinha pra vê se estou certo ou equivocado!!! Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Tem razao! Basta por h(x) = M(x - a). Como eu comecei supondo que o intervalo era [0,1] e f(0) = 0, a minha h original era da forma h(x) = kx. Acho que por causa disso eu cismei que h(0) tinha que ser 0, mas isso eh claramente desnecessario.Nada como duas cabecas pensando juntas![]s,Claudio.on 01.06.04 10:29, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: Meu caro Cláudio,estava olhando com detalhes essa sua última solução e acho que há dois pequeníssemos erros, os quais não interferem na solução, pelo menos é o que acho:Se h:[a,b] - R é definida por h(x) = f(a) + M(x - a) tem-se que h(a) = f(a) e não h(a) = 0 e como k:[a,b] -- R foi definida como k(x) = f(x) - h(x), tem-se que k(a) = f(a) - h(a) = f(a) - f(a) = 0 e não k(a) = f(a).
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1
Title: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1 on 01.06.04 14:42, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: Sou graduando em Matemática e estou no 7.º semestre. Meu Caro Cláudio, achei tão legal a solução do problema que fiquei olhando-a por algum tempo e estou começando a achar outra coisa: h:[a,b] -- R pode ser definida apenas como h(x) = Mx, pois não vejo porque evaluar h e k em a. Dê olhadinha pra vê se estou certo ou equivocado!!! Voce estah certissimo! h(x) = Mx e k(x) = f(x) - Mx funcionam perfeitamente. Eu eh que involuntariamente adicionei a condicao (inocua mas desnecessaria) de que h precisava ser nao-negativa em [a,b] (alem de nao-decrescente). Um problema relacionado: e se o dominio de f for toda a reta? Ainda vai existir uma decomposicao f = h + k, com h nao-decrescente e k nao-crescente? []s, Claudio.
