[obm-l] Trigonometria - O retorno
Sauda,c~oes, Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor do Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solução acho que do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com esta nova solução. Acho que o Morgado teria gostado de ambas. Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso Vetor. Dava aulas de combinatória (foi aí que comecei a entender a diferença entre combinações e permutações), números complexos e polinômios. Atribuo a ele e suas apostilas meu descobrimento de uma matemática interessante, diferente do que havia visto até então. Tive muita sorte em tê-lo tido como professor. []'s Luís P.S.: imagino que a RPM, SBM, FGV, IMPA etc farão algum necrológio escrito para ele. Sugiro que as declarações nas mensagens desta lista façam parte dele. On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote: cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2) com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo) Oi Luís, Sei que é feriadão. É só pra dizer que realmente sai como falei, mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan. Sejam (A, B, C) ângulos e (a, b, c) lados de um triângulo T. Sabe-se que: 1. Lei dos co-senos: a² = b² + c² - 2bc cosA; (análogo para B e C) 2. Heron: S² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2; 3. raio do círculo circunscrito a T: R = abc/4S raio do círculo inscrito em T: r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) Prova: cos A + cos B + cos C = (b² + c² - a²) / 2bc + (a² + c² - b²) / 2ac + (a² + b² - c²) / 2ab = [2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c) = 1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) Q.E.D. (referência utilizada: Manual de Trigonometria, Luís Lopes) Manda pra lista. Inté+, Edu. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria - O retorno
Oi, Luiz e Eduardo, Ué ! não gostei :-( !!! Achei a solução sugerida inadequada !!! Não entendi o mérito da solução NÃO usar \sum tan = \prod tan mas usar 4 relações que dependem de muito mais conhecimento que a referida relação entre as tangentes. Aliás, a solução que eu sugeri (que não tem nada que haver com as duas anteriores) não possui nenhum mérito, é absolutamente clássica e está em qq livro de trigonometria. Mas não entendo porque vocês acharam a relação r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) mais simples que a relação entre as tangentes, demonstrável em 3 linhas e que usa apenas conhecimento primário de trigonometria ! Abraços, Nehab At 11:02 16/10/2006, you wrote: Sauda,c~oes, Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor do Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solução acho que do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com esta nova solução. Acho que o Morgado teria gostado de ambas. Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso Vetor. Dava aulas de combinatória (foi aí que comecei a entender a diferença entre combinações e permutações), números complexos e polinômios. Atribuo a ele e suas apostilas meu descobrimento de uma matemática interessante, diferente do que havia visto até então. Tive muita sorte em tê-lo tido como professor. []'s Luís P.S.: imagino que a RPM, SBM, FGV, IMPA etc farão algum necrológio escrito para ele. Sugiro que as declarações nas mensagens desta lista façam parte dele. On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote: cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2) com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo) Oi Luís, Sei que é feriadão. É só pra dizer que realmente sai como falei, mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan. Sejam (A, B, C) ângulos e (a, b, c) lados de um triângulo T. Sabe-se que: 1. Lei dos co-senos: a² = b² + c² - 2bc cosA; (análogo para B e C) 2. Heron: S² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2; 3. raio do círculo circunscrito a T: R = abc/4S raio do círculo inscrito em T: r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) Prova: cos A + cos B + cos C = (b² + c² - a²) / 2bc + (a² + c² - b²) / 2ac + (a² + b² - c²) / 2ab = [2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c) = 1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) Q.E.D. (referência utilizada: Manual de Trigonometria, Luís Lopes) Manda pra lista. Inté+, Edu. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria - O retorno
Oi gente, agora que tenho um tempinho posso escrever a outra solução. Considere um triângulo com ângulos internos A/2, B/2 e 90 + C/2. Pela Lei dos Senos, se o circunraio do triângulo é 1/2, seus lados medem sen(A/2), sen(B/2) e sen(90+C/2) = cos(C/2). Pela Lei dos Co-senos, cos^2(C/2) = sen^2(A/2) + sen^2(B/2) - 2sen(A/2)sen(B/2)cos(90+C/2) Como cos(90+C/2) = -sen(C/2), cos^2(x/2) = (1+cosx)/2 e sen^2(x/2) = (1-cosx)/2, obtemos (1+cos C)/2 = (1-cos A)/2 + (1-cos B)/2 + 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2) e aí é só mexer na continha acima para chegar ao resultado. []'s Shine --- Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Luiz e Eduardo, Ué ! não gostei :-( !!! Achei a solução sugerida inadequada !!! Não entendi o mérito da solução NÃO usar \sum tan = \prod tan mas usar 4 relações que dependem de muito mais conhecimento que a referida relação entre as tangentes. Aliás, a solução que eu sugeri (que não tem nada que haver com as duas anteriores) não possui nenhum mérito, é absolutamente clássica e está em qq livro de trigonometria. Mas não entendo porque vocês acharam a relação r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) mais simples que a relação entre as tangentes, demonstrável em 3 linhas e que usa apenas conhecimento primário de trigonometria ! Abraços, Nehab At 11:02 16/10/2006, you wrote: Sauda,c~oes, Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor do Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solução acho que do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com esta nova solução. Acho que o Morgado teria gostado de ambas. Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso Vetor. Dava aulas de combinatória (foi aí que comecei a entender a diferença entre combinações e permutações), números complexos e polinômios. Atribuo a ele e suas apostilas meu descobrimento de uma matemática interessante, diferente do que havia visto até então. Tive muita sorte em tê-lo tido como professor. []'s Luís P.S.: imagino que a RPM, SBM, FGV, IMPA etc farão algum necrológio escrito para ele. Sugiro que as declarações nas mensagens desta lista façam parte dele. On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote: cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2) com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo) Oi Luís, Sei que é feriadão. É só pra dizer que realmente sai como falei, mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan. Sejam (A, B, C) ângulos e (a, b, c) lados de um triângulo T. Sabe-se que: 1. Lei dos co-senos: a² = b² + c² - 2bc cosA; (análogo para B e C) 2. Heron: S² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2; 3. raio do círculo circunscrito a T: R = abc/4S raio do círculo inscrito em T: r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) Prova: cos A + cos B + cos C = (b² + c² - a²) / 2bc + (a² + c² - b²) / 2ac + (a² + b² - c²) / 2ab = [2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c) = 1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) Q.E.D. (referência utilizada: Manual de Trigonometria, Luís Lopes) Manda pra lista. Inté+, Edu. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria - O retorno de Jedi?
Bem, como este exercício está rendendo, pro pessoal de segundo grau ai vai a solucao padrao... Pressupõe-se que conheçam as igualdades básicas cos p + cos q = 2cos(p+q)/2 . cos(p-q)/2 cos p - cos q = -2sen (p+q)/2 . sen(p-q)/2 e 1 - cosp = 2.(sen p/2)^2 Provar que cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2) onde a+b+c = 180 Partindo de cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 , vem: cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = [cos(a) + cos(b)] - [1 - cos(c)] cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = [2cos (a+b)/2 . cos(a-b)/2 ] - [ 2(sen c/2) ^2 ] Como (a+b)/2 = 90-(c/2), segue-se que tais arcos são complementares; logo, cos(a+b)/2 = sen c/2 cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = 2 sen c/2 [ cos(a-b)/2 - cos (a+b)/2 ] cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = 2 sen c/2 . [-2 sen (2a)/2 . sen (-2b)/2] Dai, igualdade provada.. Nehab At 22:09 16/10/2006, you wrote: Oi gente, agora que tenho um tempinho posso escrever a outra solução. Considere um triângulo com ângulos internos A/2, B/2 e 90 + C/2. Pela Lei dos Senos, se o circunraio do triângulo é 1/2, seus lados medem sen(A/2), sen(B/2) e sen(90+C/2) = cos(C/2). Pela Lei dos Co-senos, cos^2(C/2) = sen^2(A/2) + sen^2(B/2) - 2sen(A/2)sen(B/2)cos(90+C/2) Como cos(90+C/2) = -sen(C/2), cos^2(x/2) = (1+cosx)/2 e sen^2(x/2) = (1-cosx)/2, obtemos (1+cos C)/2 = (1-cos A)/2 + (1-cos B)/2 + 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2) e aí é só mexer na continha acima para chegar ao resultado. []'s Shine --- Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Luiz e Eduardo, Ué ! não gostei :-( !!! Achei a solução sugerida inadequada !!! Não entendi o mérito da solução NÃO usar \sum tan = \prod tan mas usar 4 relações que dependem de muito mais conhecimento que a referida relação entre as tangentes. Aliás, a solução que eu sugeri (que não tem nada que haver com as duas anteriores) não possui nenhum mérito, é absolutamente clássica e está em qq livro de trigonometria. Mas não entendo porque vocês acharam a relação r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) mais simples que a relação entre as tangentes, demonstrável em 3 linhas e que usa apenas conhecimento primário de trigonometria ! Abraços, Nehab At 11:02 16/10/2006, you wrote: Sauda,c~oes, Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor do Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solução acho que do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com esta nova solução. Acho que o Morgado teria gostado de ambas. Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso Vetor. Dava aulas de combinatória (foi aí que comecei a entender a diferença entre combinações e permutações), números complexos e polinômios. Atribuo a ele e suas apostilas meu descobrimento de uma matemática interessante, diferente do que havia visto até então. Tive muita sorte em tê-lo tido como professor. []'s Luís P.S.: imagino que a RPM, SBM, FGV, IMPA etc farão algum necrológio escrito para ele. Sugiro que as declarações nas mensagens desta lista façam parte dele. On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote: cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2) com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo) Oi Luís, Sei que é feriadão. É só pra dizer que realmente sai como falei, mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan. Sejam (A, B, C) ângulos e (a, b, c) lados de um triângulo T. Sabe-se que: 1. Lei dos co-senos: a² = b² + c² - 2bc cosA; (análogo para B e C) 2. Heron: S² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2; 3. raio do círculo circunscrito a T: R = abc/4S raio do círculo inscrito em T: r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) Prova: cos A + cos B + cos C = (b² + c² - a²) / 2bc + (a² + c² - b²) / 2ac + (a² + b² - c²) / 2ab = [2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c) = 1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) Q.E.D. (referência utilizada: Manual de Trigonometria, Luís Lopes) Manda pra lista. Inté+, Edu. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
[obm-l] trigonometria - O retorno!
Essa é meio q clássica, vem me perseguindo a meses e nada de sair. cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2) com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo) _ Descubra aqui como mandar Torpedos Messenger! http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria - O retorno!
Olá marinho , Faça o seguinte : A/2+B/2+C/2 = 90° , então cos( A/2+B/2) = sen(C/2) -- cos(A/2).Cos(B/2) - sen(A/2).sen(B/2) = sen(C/2) ; multiplique os dois lados por 4sen(A/2).sen(B/2) , adicione uma unidade ambos os membros , substitua senA =2sen(A/2).cos(B/2) ,senB=2sen(B/2).cos(B/2) e sen(A/2)^2 =(1-cosA)/2 , fazendo o mesmo para sen(B/2)^2 . No final teremos : senA.senB -+cosA+cosB -cosA.cosB = 1 + 4sen(A/2).sen(B/2).sen(C/2) e , como senA.senB-cosA.cosB=cosC chegaremos ao resultado pedido , ok ? []´s Carlos Victor At 20:05 7/10/2006, Marinho Kamiroski wrote: Essa é meio q clássica, vem me perseguindo a meses e nada de sair. cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2) com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo) _ Descubra aqui como mandar Torpedos Messenger! http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria - O retorno!
Bora clássica nisto, Faça(cos a + cos b) - ( 1 - cos c) ... e agora dê uma raladinha... Nehab At 20:05 7/10/2006, you wrote: Essa é meio q clássica, vem me perseguindo a meses e nada de sair. cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2) com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo) _ Descubra aqui como mandar Torpedos Messenger! http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
