Pessoal,
Preciso de ajuda nesse.
Sendo X_1, ..., X_n uma amostra aleatória de uma N(mu, tau^2), calcule
Var(sigma^2), onde sigma^2 = (1/n * Sum_{i = 1}^n (X_i - Xbarra) é o
estimador de máxima verossimilhança da variância.
Vamos primeiro interpretar o problema proposto:
Você tem uma gaussiana (para quem não sabe: é uma função cujo gráfico é uma
curva f:R--R em forma de sino , se for unidimensional. Se for bidimensional
f: R^2 -- R o leitor pode pensar que de fato o gráfico dela
é mesmo um sino :-) , claro que a grosso
modo) com média mu e variância tau^2 no caso unidimensional. No caso
bidimensional ela é definida por algo chamado matriz de covariância. Mas
como isso não foi mencionado suponho tudo unidimensional.
Daí você *amostra* (ou seja, discretiza)
essa função em diversas amostras discretas X_1, X_2,..., X_n obtendo
portanto
um conjunto discreto.
A partir desse conjunto discreto você quer estimar *parâmetros* para
uma
distribuição que você supõe ser desconhecida. Pelo que eu entendi, a
distribuição que você quer reconstruir é novamente *gaussiana* e
também unidimensional.
Essa distribuição terá uma média digamos nu e uma variância
que você diz ser sigma^2.
Muito bem. Vamos agora *qualitativamente* entender o que
acontece.
Quanto mais amostras você tomar, maior será a estimativa dos parâmetros
que definem a densidade (no caso sua densidade é gaussiana e os parâmetros
são média e variância). Assim quando N -- \infty sigma^2 -- tau^2
e nu -- mu.Portanto espera-se que a estimativa de sigma^2
essencialmente:
1) Dependa de N.
Mas como quem *essencialmente* define a geometria da
gaussiana é a variância (no caso unidimensional) é de se esperar
que a estimativa de sigma^2 também:
2) Dependa de tau^2.
Com essas intuições vamos pensar. sigma^2 é uma variável aleatória.
Temos que evidentemente supor que no estado mais randômico essa
variável tenha distribuição gaussiana. Se N=1 então não há o que estimar:
A gaussiana tem variância zero, isto é, ela é um delta de Dirac.
Se N=\infty sigma^2 tem variância tau^2.
Então sigma^2 é uma variável aleatória (função) cuja distribuição toma
valores entre
0 e tau^2 dependendo de N. Agora eu quero uma expressão analítica
para a função (variável aleatória) sigma^2. Bem, eu já tenho:
sigma^2 = (1/n * Sum_{i = 1}^n (X_i - mu)
basta substituir X_i pela sua expressão gaussiana e calcular a soma para
valores igualmente espaçados de X_i. Esta soma dependerá de N e
(possivelmente)
de mu.
Agora empaquei... Mas acho que qualitativamente é isso.
Se a variância da soma for igual à soma das variâncias então não
haverá
mu na fórmula e provavelmente
o resultado será (não fiz as contas... o sono subiu à cabeça)...
Var(sigma^2) = (N-1) tau^2/ N
espero ter dado a luz... pelo menos se eu disse algum absurdo
(como esse), alguém vai dar a luz lendo hahahaha... . :-) risos
[]s a todos
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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