Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Oi, Sergio,
Como o Arthur tambm te respondeu, como sempre de forma maravilhosa,
agora voc tem duas respostas diferentes mas complementares para sua
pergunta.
Mas engraado. Voc sacou o "meu" ponto.
O
entusiamo realmente de adolescente quando se trata de fazer os
meninos criarem intuio sobre os conceitos
e o ferramental matemtico. S assim eu acho que criaro "jogo de
cintura" para serem bons "resolvedores de problemas" no futuro E
de fato eu abro mo
mesmo de "formalismos" na primeira (e segunda) apresentao de um
conceito novo.
Meu entendimento (e no estou s nisto, tenho timas companhias... - o
velho Piaget e principalmente o Vigotsky - de quem sou profundo
admirador..., que o mtodo dedutivo s pode ser
usado quando j h alguma intuio desenvolvida na cabea dos
meninos. Por isto, no tenho nenhum constrangimento de ser
"radicalmente intuitivo"...
Mas no tenha dvidas: quando comecei (h uns 40 e tal anos) eu dava
aula para mim, no para os alunos. Tenho esta conscincia crtica. Mas
alguns anos depois (no foi to rpido como eu gostaria...) eu descobri
que tinha que dar aula para os alunos... Acho at que alguns coroas da
lista (rsrsrsrsrs) me pegaram na fase jovem narcsica (aquela em que a
gente d aula para a gente mesmo). Meu trauma foi quando pela
primeira vez tive que ensinar os "epsilons e deltas" de limites...
Caramba, quase fui linchado pelos alunos... E eles tinham razo: eu
bem que merecia um enforcamentozinho...
Mas veja, sou absolutamente favorvel ao formalismo. A questo
apenas em que momento os meninos esto em condies de assimil-lo.
Quanto ao produto de complexos, no h muito o que dizer de
criativo... A gente comea pela lgebra, como de se esperar zw =
(a+bi)(c+di) etc mas o interessante claro, mostrar que se |w | =
1 o que voc tem uma rotao, o que l na frente nos possibilita
matar inmeros problemas clssicos de Geometria usando complexos...
Se voc fissurado neste tema (como eu sou) veja possivelmente o
melhor link atual sobre isto:
http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/ComplexNumbersGeometry.shtml
Abrao
Nehab
PS: Acho que me deu uma certa preguia para detalhar o "acima" mas
mesmo assim acho que sua pergunta original foi respondida... Se voc
discordar, reclame...
Srgio Martins da Silva escreveu:
Nehab,
Gostei do entusiasmo pela didtica.
Aguardo o produto de complexos.
Abraos,
Srgio
-
Original Message -
From:
Carlos Nehab
To:
obm-l@mat.puc-rio.br
Sent:
Wednesday, November 14, 2007 12:05 AM
Subject:
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Oi, Srgio,
Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na
resposta Virou quase uma aula de introduo a como "criar intuio
sobre isto" mas j que escrevi , ai vai :-)
Ficou ENOORME Espero que te
ajuda... e que o majordomo no me "cape"...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Vetores e complexos etc
Sauda,c~oes, E já que estamos nisso. Qual a diferença entre imagem e afixo no plano de Argand-Gauss: (a,b)=a+bi é imagem e/ou afixo ou nada disso? []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Vetores e complexos etcDate: Thu, 15 Nov 2007 14:46:34 -0200 Nehab, Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos. Abraços, Sérgio _ Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com Alertas MSN! É GRÁTIS! http://alertas.br.msn.com/
Re: [obm-l] Vetores e complexos
Artur, Gostei da perspectiva de estruturas algébricas. Obrigado, Sérgio - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 14, 2007 10:20 AM Subject: RES: [obm-l] Vetores e complexos A diferença fundamental entre o plano cartesiano e o plano complexo não reside, na realidade, na natureza de seus componentes. Tanto os elementos de R^2 como os elementos dos complexos C são pares ordenados de números reais. Ate aí, não há absolutamente nenhuma diferença. A diferenca aparece quando deixamos de considera-los apenas como conjuntos e passamos a considera-los como estruturas algebricas. O R^2 eh um espaco vetorial sobre o corpo dos reais, mas o R^2, com a estrutura algebrica nele definida, nao eh um corpo, Nao podemos dois multiplicar elementos de R^2 e obter outro elemento de R^2. O chamado produto escalar, ou interno, nao atende a esta condicao. Nem o chamado produto vetorial, geralmente definido em R^3, na Fisica, e muito usado na mecanica e no eletromagnetismo. Mas, quando equipamos R^2 com as operacoes de soma e multiplicacao, definidas por (a ,b) + (c , d) = (a +b, c + d) e (a ,b) * (c , d) = ((ac - bd) , (ad + bc)), obtemos um corpo. A estrutura algebrica conhecida como corpo e que satisfaz a todos os axiomas que a definem. Assim, vistos meramente como conjuntos, R^2 e C sao identicos. Mas vistos como estruturas algebricas, sao diferentes. De forma rigorosa, ao nos referrimos ao corpo dos complexos, nao deveriamos escrever apenas C, mas sim (C, + , *), para siginificar um corpo com relacao as operacoes de adicao e multiplicacao anteriormente citadas. Uma terna composta pelo conjunto C, formado pelos pares de reais, pela operacao + e pela operacao *, jah citadas. Mas, por uma questao de simplicidade, escreve-se apenas C, estando subentendida estrutura de corpo e as operacoes + e *.. Eh usual representar-se o elemento de C de parte real a e parte imaginaria b por a + bi, e nao por (a, b). Mas eh a mesma coisa. Isso dah aos complexos um sentido mais de numero e podemos entao dizer que os reais sao subconnjunto (ou melhor, sub corpo) de C, formado pelos elementos com parte imaginaria nula. Matematicamente, hah um isomorfismo entre o conjunto dos pares (a, b) e os numeros a + bi, o qual identifica um conjunto com o outro. Por exemplo, o real 1 eh identificado com (1,0) e i é identificado com (0 , 1). Em um bom livro de algebra voce acha estes conceitos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de colombo Enviada em: terça-feira, 13 de novembro de 2007 21:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Vetores e complexos Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos. t+ Jones On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins [EMAIL PROTECTED] wrote: Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Nehab, Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos. Abraços, Sérgio - Original Message - From: Carlos Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 14, 2007 12:05 AM Subject: Re: [obm-l] Vetores e complexos etc Oi, Sérgio, Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na resposta Virou quase uma aula de introdução a como criar intuição sobre isto mas já que escrevi , ai vai :-) Ficou ENOORME Espero que te ajuda... e que o majordomo não me cape...
RES: [obm-l] Vetores e complexos
A diferença fundamental entre o plano cartesiano e o plano complexo não reside, na realidade, na natureza de seus componentes. Tanto os elementos de R^2 como os elementos dos complexos C são pares ordenados de números reais. Ate aí, não há absolutamente nenhuma diferença. A diferenca aparece quando deixamos de considera-los apenas como conjuntos e passamos a considera-los como estruturas algebricas. O R^2 eh um espaco vetorial sobre o corpo dos reais, mas o R^2, com a estrutura algebrica nele definida, nao eh um corpo, Nao podemos dois multiplicar elementos de R^2 e obter outro elemento de R^2. O chamado produto escalar, ou interno, nao atende a esta condicao. Nem o chamado produto vetorial, geralmente definido em R^3, na Fisica, e muito usado na mecanica e no eletromagnetismo. Mas, quando equipamos R^2 com as operacoes de soma e multiplicacao, definidas por (a ,b) + (c , d) = (a +b, c + d) e (a ,b) * (c , d) = ((ac - bd) , (ad + bc)), obtemos um corpo. A estrutura algebrica conhecida como corpo e que satisfaz a todos os axiomas que a definem. Assim, vistos meramente como conjuntos, R^2 e C sao identicos. Mas vistos como estruturas algebricas, sao diferentes. De forma rigorosa, ao nos referrimos ao corpo dos complexos, nao deveriamos escrever apenas C, mas sim (C, + , *), para siginificar um corpo com relacao as operacoes de adicao e multiplicacao anteriormente citadas. Uma terna composta pelo conjunto C, formado pelos pares de reais, pela operacao + e pela operacao *, jah citadas. Mas, por uma questao de simplicidade, escreve-se apenas C, estando subentendida estrutura de corpo e as operacoes + e *.. Eh usual representar-se o elemento de C de parte real a e parte imaginaria b por a + bi, e nao por (a, b). Mas eh a mesma coisa. Isso dah aos complexos um sentido mais de numero e podemos entao dizer que os reais sao subconnjunto (ou melhor, sub corpo) de C, formado pelos elementos com parte imaginaria nula. Matematicamente, hah um isomorfismo entre o conjunto dos pares (a, b) e os numeros a + bi, o qual identifica um conjunto com o outro. Por exemplo, o real 1 eh identificado com (1,0) e i é identificado com (0 , 1). Em um bom livro de algebra voce acha estes conceitos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de colombo Enviada em: terça-feira, 13 de novembro de 2007 21:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Vetores e complexos Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos. t+ Jones On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins [EMAIL PROTECTED] wrote: Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
[obm-l] Vetores e complexos
Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
Re: [obm-l] Vetores e complexos
Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos. t+ Jones On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins [EMAIL PROTECTED] wrote: Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Oi, Srgio, Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na resposta Virou quase uma aula de introduo a como "criar intuio sobre isto" mas j que escrevi , ai vai :-) Ficou ENOORME Espero que te ajuda... e que o majordomo no me "cape"... 0) No fundo no fundo, um "par de eixos" um belo artifcio para modelar inmeros objetos ou situaes em matemtica (e fsica, etc), que ajudam um bocado a gente. Vamos a seu primeiro exemplo, o Plano Cartesiano... (no fundo voc falou pelo menos em 3 abstraes: plano cartesiano, vetores e complexos... vamos devagar... 1) Primeiro pensemos no problema de posicionar um ponto em um plano, usando os dois eixos como "referenciais" (como poderamos estar interessados em posicionar um ponto na Terra, atravs da longitude e latitude; ou a posio de uma casa no jogo de batalha naval, etc). Ai, claro, que dois nmeros (a tal da abscissa e da ordenada) resolvem adequadamente esta situao. Ento conseguimos associar (biunivocamente) um ponto do plano a um par de nmeros e reciprocamente (sem entrar no merito - nem agora nem depois - , que a reta e os reais so amiguinhos). Veja que, concretamente, um ponto (uma abstrao geomtrica) no tem NADA, absolutamente NADA que haver com um par de nmeros (outra abstrao), mas esta "identificao" nos pemite trabalhar em dois "ambientes" diferentes e nos permite associar, portanto, conjunto de pares de nmeros a um conjunto de pontos do plano (que no fundo uma figura - ou seja, um objeto da geometria) Portanto, associamos pares de nmeros a figura da geometria plana. 2) Vejamos, agora outra associao. Dada uma "relao real - uma equao ou inequao" envolvendo duas variveis, por exemplo, y = 2x + 1, podemos imaginar que ela verdadeira para vrios pares de nmeros x e y e como j pensamos em pares de nmeros reais h pouco, poderamos ento imaginar que o conjunto soluo desta "relao" identificvel com um conjunto de pontos do plano... Ento, olha que genial: conseguimos (viva Descartes etc) associar um conjunto de pontos do plano (uma figura geomtrica) a uma equao (uma outra abstrao)... Da, "olhamos" para a equao x^2 + y^2 = 1 e "vemos" uma circunferncia. No brbaro a naturalidade com que fazemos isto sem muitas vezes perceber a brutal abstrao envolvida ? Ah, adoraria que todos os profesores do mundo percebessem como isto um novo paradigma para o(a)s menino(a)s de 7a e 8a srie (agora 8a e 9a)... No a toa que neguinho chega no segundo grau - muitas vezes no vestiba - , e no consegue entender NADA, mas NADA de NADA de NDA de geometria analitica... Foram maltratados l no incio... e tambm no fim :-) . 3) Vetorzinhos da Fsica... A gente aprende que um vetor fica definido quando conhecemos sua direo, sentido e mdulo. Bem, ai adoraramos que as setinhas nos ajudassem (pois setinhas possuem tamanho, direo e sentido...). Mas uma setinha de um ponto A a um ponto B NO um vetor. Verdade que outras setinhas tambm podem ter o mesmo mdulo direo e sentido e ento um vetor identificado com o conjunto das setinhas bl, bl, bl (ta uma boa oportunidade para falar em relaes de equivalncia - entre setinhas, etc, etc) Ento, podemos imaginar que til pr caramba representar um vetor de tal mdulo, direo e sentido por uma setinha na origem de um sistema de eixos (ortogonais). A, d para perceber que suas projees sobre os eixos coincidem com as coordenadas do ponto extremo da setinha anterior... (um pulo do gato!). Ento ficou interessante identificarmos um vetor por um par de nmeros que representam suas projees sobre os dois eixos e ao mesmo tempo tal par de numeros seria (tambm) o ponto extremidade da setinha de origem na origem e que o representa Depois, o professor de Fsica nos ensina como somar vetores, subtrair e a gente fica feliz da vida pois descobrimos que basta somar ou subtaris as componentes dos dois vetores que obtemos o vetor soma. Ou seja, descobrirmos que til imaginar que estamos somando e subtraindo pares de nmeros reais pois isto MUITO til para a Fsica Ento, os pares de nmeros que antes serviam para "localizar" um ponto no plano, tiveram outra funcionalidade. Quando imaginamso que os pares de nmeros representam vetores do plano (suas componentes) j botamos as manguinas de fora e estamos somando e subtarindo pares de nmeros reais PORQUE TILpelo menos pros nossos vetorzinhos... Mas ai (para no me alongar quase infinitamente...) a Fsica vem com o papo que interessante calcular a projeo de um vetor u = (u1, u2) sobre outro vetor v = (v1, v2), por exemplo, onde u1 e v1 so as projees de u e v sobre Ox e u2 e v2 sobre Oy. Ai a gente percebe que a conta a fazer |u|. cos alfa, onde alfa o ngulo entre u e v... e esta conta d u1.v1 + u2.v2 que a Fsica (e ns tambm) adoramos chamar de produto escalar de dois vetores(usando a lei dos cosenos a gente mostra isto). Ento, os tadinhos dos pares de pontos que comearam apenas sendo uma forma til de localizar pontos no plano, alm de j terem sido "somados" e
