Re: [obm-l] Volume de um Toroide

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Bernardo!
Muito obrigado pela sua resposta!
Sim, estou estudando Cálculo 1.
Já li suas instruções e vou colocar tudo no papel.
Já percebi que errei, por exemplo, nos extremos das integrais.
Escrevo novamente se novas dúvidas surgirem.
Abraços!
Luiz


Em qui, 30 de jan de 2020 12:59 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> Olá,
>
> On Thu, Jan 30, 2020 at 11:21 AM Luiz Antonio Rodrigues
>  wrote:
> > Estou tentando resolver um problema há alguns dias e não estou
> conseguindo chegar numa resposta correta.
> > O problema é o seguinte:
> >
> > Qual a integral que representa o volume do disco
> >
> > ((x-b)^2)+y^2 >
> > que gira em torno do eixo y?
> > Considere 0
> Eu imagino que você esteja fazendo Cálculo.  Provavelmente, cálculo 1.
> E não vou responder, mas espero te ajudar a entender isso.
>
> Pense num retângulo bem pequeno, no ponto (x,y), de lados (dx,dy).
> Agora, RODE este quadradinho em torno do eixo y.
> 1) Visualize o sólido gerado por esta rotação.  E depois desenhe.
> Desenhe mais de um, inclusive, para ver como eles ficam quando mudar o
> x, o y, ou os dois.  Também faça um mudando dx ou dy.  Se familiarize
> com o problema!
> 2) Dê uma APROXIMAÇÃO para o volume deste sólido, em função de (x, y,
> dx, dy).  Repare que deve ser algo "pequeno".  Se um dos lados tender
> a zero, o volume deve zerar também, então deve ser alguma coisa que
> COMEÇA com dx * dy.  Deve ter termos "de mais alto grau" (tipo
> dx*dx*dy, ou dx*dy*dy*dy), mas estes a gente vai poder jogar fora
> depois.  Se preocupe com o termo que vai aparecer multiplicando o
> dx*dy - esta será sua aproximação.
> 3) Agora, faça um monte de retângulos (ou quadrados, se é você quem
> escolhe!!) dentro do círculo.  Se você rodar cada um, vai dar um
> volume.  Se você somar todos os volumes, dá o volume do círculo
> rodado.
> - Mas peraí: não dá para preencher o círculo com quadrados do mesmo
> tamanho.  É verdade.  Vai sobrar (ou faltar) um treco no bordo.  Mas
> isso deve (também!) tender a zero quando você diminuir o lado do
> quadrado.
> 4) Isso que você escreveu é uma "soma de Riemann" (que alguns gregos -
> tipo Arquimedes - já sabiam fazer) para o volume do seu sólido de
> rotação.  É uma soma dupla (tem quadradinhos nas duas direções), vai
> virar uma integral dupla.
> 5) Faça de novo um desenho: agora, de como você vai calcular a soma
> dupla, somando na horizontal ou na vertical primeiro.  Repare que o
> número de quadradinhos muda em cada "fatia", aumentando e depois
> diminuindo.  Este MESMO desenho te diz como vão ser os limites de
> integração da integral dupla.
> - Poxa, eu ainda estou em Cálculo 1, e você vem falar de integrais
> duplas.  É.  Acho que é mais natural montar o problema assim.  Porque
> eu acho que a grande ideia do cálculo é justamente dividir em trecos
> minúsculos, aproximar, somar.  A integral que vai aparecer, apareceu.
> Note que, só neste problema, você já vai ver uma das coisas mais
> legais de integrais duplas: que os limites de integração "de dentro"
> dependem da variável de integração "de fora" - já que tem mais
> quadradinhos no centro do disco do que nos bordos.
> 6) A integral, fazendo dx e dy serem "infinitesimais", também faz com
> que as aproximações sejam cada vez melhores, e que o erro no bordo
> também seja cada vez menor.  Se você quiser pensar mais nisso, ótimo:
> você quer fazer (um tipo de) análise.
> 7) Agora, basta calcular a integral.  Essa é a parte FÁCIL: o
> importante é entender como sair do problema "real" (ou matemático) e
> chegar na integral.
>
> > Primeiro eu preciso resolver usando dx e depois dy.
> > Por fim, o problema pede o valor do volume em termos de a e b.
>
> Fazer "primeiro com dx" de "depois com dy" é só "resolver a integral
> dupla" primeiro em y, ou primeiro em x.  Também pode ser pensado
> "fatiando" o seu círculo não em retângulos pequenos nas duas direções,
> mas em apenas uma.  Mas eu acho isso mais complicado do que precisa (e
> dá uns nomes estilosos tipo "cascas cilíndricas" e tal, mas não acho
> que seja muito iluminador se você não entendeu estes quadradinhos...)
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Volume de um Toroide

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Olá,

On Thu, Jan 30, 2020 at 11:21 AM Luiz Antonio Rodrigues
 wrote:
> Estou tentando resolver um problema há alguns dias e não estou conseguindo 
> chegar numa resposta correta.
> O problema é o seguinte:
>
> Qual a integral que representa o volume do disco
>
> ((x-b)^2)+y^2
> que gira em torno do eixo y?
> Considere 0 Primeiro eu preciso resolver usando dx e depois dy.
> Por fim, o problema pede o valor do volume em termos de a e b.

Fazer "primeiro com dx" de "depois com dy" é só "resolver a integral
dupla" primeiro em y, ou primeiro em x.  Também pode ser pensado
"fatiando" o seu círculo não em retângulos pequenos nas duas direções,
mas em apenas uma.  Mas eu acho isso mais complicado do que precisa (e
dá uns nomes estilosos tipo "cascas cilíndricas" e tal, mas não acho
que seja muito iluminador se você não entendeu estes quadradinhos...)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Volume de um Toroide

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, pessoal!
Tudo bem?
Estou tentando resolver um problema há alguns dias e não estou conseguindo
chegar numa resposta correta.
O problema é o seguinte:

Qual a integral que representa o volume do disco

((x-b)^2)+y^2

Re: [obm-l] Volume do Comprimido

[Daniel Rocha]

Muito Obrigado, Carlos !!!

Em 10 de junho de 2016 17:14, Carlos Gomes  escreveu:

> Olá Daniel...a resposta é outra!
>
> O volume nesse caso é a soma do volume de um cilíndo mais duas
> semiesferas, assim,
>
> V=V(cilindro)+2V(semiesfera)=pi.R^2.h+4/3.pi.R^3=pi.(1/4)^2.2+4.3.pi.(1/4)^3=7.pi/48
> cm^3.
>
>
>
> Em 10 de junho de 2016 13:50, Daniel Rocha 
> escreveu:
>
>> Alguém, por favor, poderia solucionar a questão abaixo:
>>
>> Considere um comprimido que tem forma cilíndrica, comprimento 2
>> centímetros, com hemisférios de diâmetro 0,5 centímetro cada extremidade.
>> Qual é o volume desse comprimido (em cm^3) ?
>>
>> Gabarito: 11Pi/96
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Volume do Comprimido

[Carlos Gomes]

Olá Daniel...a resposta é outra!

O volume nesse caso é a soma do volume de um cilíndo mais duas semiesferas,
assim,

V=V(cilindro)+2V(semiesfera)=pi.R^2.h+4/3.pi.R^3=pi.(1/4)^2.2+4.3.pi.(1/4)^3=7.pi/48
cm^3.



Em 10 de junho de 2016 13:50, Daniel Rocha 
escreveu:

> Alguém, por favor, poderia solucionar a questão abaixo:
>
> Considere um comprimido que tem forma cilíndrica, comprimento 2
> centímetros, com hemisférios de diâmetro 0,5 centímetro cada extremidade.
> Qual é o volume desse comprimido (em cm^3) ?
>
> Gabarito: 11Pi/96
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Volume do Comprimido

[Daniel Rocha]

Alguém, por favor, poderia solucionar a questão abaixo:

Considere um comprimido que tem forma cilíndrica, comprimento 2
centímetros, com hemisférios de diâmetro 0,5 centímetro cada extremidade.
Qual é o volume desse comprimido (em cm^3) ?

Gabarito: 11Pi/96

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Volume da pirâmide

[Carlos Nehab]

Oi, Pedro Angelo,

Revendo as mensagens deste mês com mais tempo nestes feriados revi a sua.
Ai vai a dica clássica em belo e riquíssimo site:

http://myweb.lsbu.ac.uk/~whittyr/MathSci/TheoremOfTheDay/GeometryAndTrigonometry/EuclidsPrism/TotDEuclidsPrism.pdf

Você verá que o site http://www.theoremoftheday.org/; é uma bela 
referência.


Abraços
Nehab

Em 02/04/2012 22:16, Pedro Angelo escreveu:

Oi,
eu tentei bastante, mas não consegui mostrar que o volume do tetraedroé um 
terço do volume do prisma. Eu consigo dividir o prisma em trêstetraedros, sendo 
que dois deles são idênticos (cada um com uma dasbases do prisma), mas o 
terceiro tetraedro fica sempre diferente dosoutros, e aí eu não consigo mostrar 
que o volume dos três é igual.
2012/3/28 Paulo Césarpcesa...@gmail.com:  Olá Pedro.  Uma forma mais elementar consiste em se calcular o volume de um tetraedro a partir de um prisma triangular. Em 
seguida, aplica-se o Princípio de Cavalieri para uma pirâmide de base qualquer porém de mesma altura que o tetraedro. Dessa forma, conclui-se que o volume é de fato um terço do produto da 
área da base pela altura.  Att.  Paulo Cesar Sampaio Jr.  Enviado via iPad  Em 27/03/2012, às 21:04, Pedro Angelopedro.fon...@gmail.com  
escreveu:  Olá,  Sei que é possível achar o volume de uma pirâmide usando cálculo  integral, mas eu queria saber se há alguma demonstração mais  
elementar, como dizer que o triângulo tem a área igual a metade da  área do paralelogramo, que é base vezes altura. Eu podia jurar que eu  vi, um dia, o nosso amigo Nehab 
desenhar uma figurinha um tanto  elucidativa mas não consigo lembrar de jeito nenhum como era!  um abraço,  Pedro Ang!

elo  !

=  Instruções para entrar na lista, sair 
da lista e usar a lista em  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html  
=  
=  Instru�ões para entrar na lista, 
sair da lista e usar a lista em  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html  
=
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=




=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Volume da pirâmide

[Pedro Angelo]

Opa,
Eu achei a demonstração com o cubo mais fácil de visualizar, mas areferência do 
Nehab é excelente!
muito obrigado
2012/4/9 Carlos Nehab carlos.ne...@gmail.com: Oi, Pedro Angelo, Revendo as 
mensagens deste mês com mais tempo nestes feriados revi a sua. Ai vai a dica 
clássica em belo e riquíssimo site: 
http://myweb.lsbu.ac.uk/~whittyr/MathSci/TheoremOfTheDay/GeometryAndTrigonometry/EuclidsPrism/TotDEuclidsPrism.pdf
 Você verá que o site http://www.theoremoftheday.org/; é uma bela 
referência. Abraços Nehab Em 02/04/2012 22:16, Pedro Angelo escreveu: 
Oi, eu tentei bastante, mas não consegui mostrar que o volume do tetraedroé 
um terço do volume do prisma. Eu consigo dividir o prisma em 
trêstetraedros, sendo que dois deles são idênticos (cada um com uma dasbases 
do prisma), mas o terceiro tetraedro fica sempre diferente dosoutros, e aí eu 
não consigo mostrar que o volume dos três é igual. 2012/3/28 Paulo 
Césarpcesa...@gmail.com:  Olá Pedro.  Uma forma mais elementar consiste 
em se calcular o volume de um tetraedro a partir de um!
 prisma triangular. Em seguida, aplica-se o Princípio de Cavalieri para uma 
pirâmide de base qualquer porém de mesma altura que o tetraedro. Dessa forma, 
conclui-se que o volume é de fato um terço do produto da área da base pela 
altura.  Att.  Paulo Cesar Sampaio Jr.  Enviado via iPad  Em 
27/03/2012, às 21:04, Pedro Angelopedro.fon...@gmail.com  escreveu:  
Olá,  Sei que é possível achar o volume de uma pirâmide usando cálculo  
integral, mas eu queria saber se há alguma demonstração mais  elementar, 
como dizer que o triângulo tem a área igual a metade da  área do 
paralelogramo, que é base vezes altura. Eu podia jurar que eu  vi, um dia, 
o nosso amigo Nehab desenhar uma figurinha um tanto  elucidativa mas 
não consigo lembrar de jeito nenhum como era!  um abraço,  Pedro Ang! 
elo  ! 
=  
Instruções pa!
ra entrar na lista, sair da lista e usar a lista em  htt!
p://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html  
=  
=  
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em  
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html  
= 
= 
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
= 
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
=
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Volume da pirâmide

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/4/3 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com:
 Oi,
 eu tentei bastante, mas não consegui mostrar que o volume do tetraedroé um 
 terço do volume do prisma. Eu consigo dividir o prisma em trêstetraedros, 
 sendo que dois deles são idênticos (cada um com uma dasbases do prisma), mas 
 o terceiro tetraedro fica sempre diferente dosoutros, e aí eu não consigo 
 mostrar que o volume dos três é igual.

A forma que eu conheço divide um CUBO em três pirâmides de base
quadrangular. Se eu não me engano, você escolhe um vértice do cubo
para ser o topo das três pirâmides, e as bases serão as três faces
que passam pelo vértice oposto.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Volume da pirâmide

[Pedro Angelo]

Oi,
eu tentei bastante, mas não consegui mostrar que o volume do tetraedroé um 
terço do volume do prisma. Eu consigo dividir o prisma em trêstetraedros, sendo 
que dois deles são idênticos (cada um com uma dasbases do prisma), mas o 
terceiro tetraedro fica sempre diferente dosoutros, e aí eu não consigo mostrar 
que o volume dos três é igual.
2012/3/28 Paulo César pcesa...@gmail.com: Olá Pedro. Uma forma mais 
elementar consiste em se calcular o volume de um tetraedro a partir de um 
prisma triangular. Em seguida, aplica-se o Princípio de Cavalieri para uma 
pirâmide de base qualquer porém de mesma altura que o tetraedro. Dessa forma, 
conclui-se que o volume é de fato um terço do produto da área da base pela 
altura. Att. Paulo Cesar Sampaio Jr. Enviado via iPad Em 27/03/2012, às 
21:04, Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com escreveu: Olá, Sei que é 
possível achar o volume de uma pirâmide usando cálculo integral, mas eu 
queria saber se há alguma demonstração mais elementar, como dizer que o 
triângulo tem a área igual a metade da área do paralelogramo, que é base 
vezes altura. Eu podia jurar que eu vi, um dia, o nosso amigo Nehab desenhar 
uma figurinha um tanto elucidativa mas não consigo lembrar de jeito 
nenhum como era! um abraço, Pedro Angelo !
= Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
= 
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
=
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Volume da pirâmide

[Paulo César]

Olá Pedro.

Uma forma mais elementar consiste em se calcular o volume de um tetraedro a 
partir de um prisma triangular. Em seguida, aplica-se o Princípio de Cavalieri 
para uma pirâmide de base qualquer porém de mesma altura que o tetraedro. Dessa 
forma, conclui-se que o volume é de fato um terço do produto da área da base 
pela altura. 


Att.
Paulo Cesar Sampaio Jr.
Enviado via iPad

Em 27/03/2012, às 21:04, Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com escreveu:

 Olá,
 
 Sei que é possível achar o volume de uma pirâmide usando cálculo
 integral, mas eu queria saber se há alguma demonstração mais
 elementar, como dizer que o triângulo tem a área igual a metade da
 área do paralelogramo, que é base vezes altura. Eu podia jurar que eu
 vi, um dia, o nosso amigo Nehab desenhar uma figurinha um tanto
 elucidativa mas não consigo lembrar de jeito nenhum como era!
 
 um abraço,
 Pedro Angelo
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Volume da pirâmide

[Pedro Angelo]

Olá,

Sei que é possível achar o volume de uma pirâmide usando cálculo
integral, mas eu queria saber se há alguma demonstração mais
elementar, como dizer que o triângulo tem a área igual a metade da
área do paralelogramo, que é base vezes altura. Eu podia jurar que eu
vi, um dia, o nosso amigo Nehab desenhar uma figurinha um tanto
elucidativa mas não consigo lembrar de jeito nenhum como era!

um abraço,
Pedro Angelo

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] volume entre dois cilindros

[Carlos Alberto da Silva Victor]

Olá  Rafael ,
Esta questão pode ser resolvida usando  o cálculo  integral , mas vamos a
uma idéia sem o cálculo .
Supondo que  h seja maior que  r ,pense no seguinte : imagine 1/8 do volume
pedido que é um sólido de base quadrada , duas faces que são setores de
círculo e duas faces que são partes de superfícies cilíndricas .Depois
usando  o princípio de Cavaliere conclua que o volume pedido é igual 16r^3/3
. Vou pensar se haverá alguma alteração caso h seja menor do  que r .

Abraços

Carlos Victor



2010/9/5 Rafael Antunes de Andrade rafael.antunes2...@gmail.com

 Como eu calculo o volume da intersecção de dois cilindros iguais (com os
 eixos perpendiculares) de raio da base igual a r e altura igual a h?
 obrigado

Re: [obm-l] volume entre dois cilindros

[Rafael Antunes de Andrade]

Entendi, obrigado pela resposta.
Como se faz usando calculo integral?
Acho que você foi o meu professor ano passado. Você dava aula na turma
IME/ITA do colégio pH?


Em 6 de setembro de 2010 10:56, Carlos Alberto da Silva Victor 
victorcar...@globo.com escreveu:

 Olá  Rafael ,
 Esta questão pode ser resolvida usando  o cálculo  integral , mas vamos a
 uma idéia sem o cálculo .
 Supondo que  h seja maior que  r ,pense no seguinte : imagine 1/8 do
 volume  pedido que é um sólido de base quadrada , duas faces que são setores
 de círculo e duas faces que são partes de superfícies cilíndricas .Depois
 usando  o princípio de Cavaliere conclua que o volume pedido é igual 16r^3/3
 . Vou pensar se haverá alguma alteração caso h seja menor do  que r .

 Abraços

 Carlos Victor



 2010/9/5 Rafael Antunes de Andrade rafael.antunes2...@gmail.com

 Como eu calculo o volume da intersecção de dois cilindros iguais (com os
 eixos perpendiculares) de raio da base igual a r e altura igual a h?
 obrigado

[obm-l] volume entre dois cilindros

[Rafael Antunes de Andrade]

Como eu calculo o volume da intersecção de dois cilindros iguais (com os
eixos perpendiculares) de raio da base igual a r e altura igual a h?
obrigado

Re: [obm-l] volume de solido de revoluçao

[saulo nilson]

acho melhor transladar o eixo x para (0,1)
fazendo y´=y-1
y´+1=x+x^2
y´+1=-1+x^2
x=0
obtemos novas curvas, omitindo o sinal  ´.
y=x^2+x-1
y=-2+x^2
x=0
intercessao entre as duas curvas
-2=x-1
x=-1
As duas parabolas tem concavidade para cima, a regiao vai de -1 a + e -00,
tem alguma coisa errada.




On 7/23/07, giovani ferrera [EMAIL PROTECTED] wrote:



  Ola pessoal, estou com problemas para resolver encontrar o volume do
solido de revoluçao gerado pela rotaçao da regiao de  y = x + x^2; y = -1
+
x^2; x = 0; ao redor da reta y = 1.
  Por favor, se alguem souber como resolver, agradeço.
  Abraço...

_
Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e
outras
ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] volume de solido de revoluçao

[giovani ferrera]

  Ola pessoal, estou com problemas para resolver encontrar o volume do 
solido de revoluçao gerado pela rotaçao da regiao de  y = x + x^2; y = -1 + 
x^2; x = 0; ao redor da reta y = 1.

  Por favor, se alguem souber como resolver, agradeço.
  Abraço...

_
Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras 
ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm


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=

Re: [obm-l] volume de solido de revoluçao

[Marcelo Salhab Brogliato]

Ola Giovani,

nao sei qual regiao vc deseja rotacionar.. se fizer o grafico, vera
que temos 4 possibilidades ou mais..
mas para achar o volume do solido de revolucao de f(x) em torno de
y=0, basta calcular:

integral pi*f(x)^2 dx ... e tem que colocar os intervalos desejados..

como vc quer em torno da reta y=1, acho que a dica é transladar a
curva e rotaciona-la em torno de y=0..

abracos,
Salhab


On 7/23/07, giovani ferrera [EMAIL PROTECTED] wrote:


   Ola pessoal, estou com problemas para resolver encontrar o volume do
solido de revoluçao gerado pela rotaçao da regiao de  y = x + x^2; y = -1 +
x^2; x = 0; ao redor da reta y = 1.
   Por favor, se alguem souber como resolver, agradeço.
   Abraço...

_
Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras
ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm

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Re: [obm-l] Volume incliando de cilindro.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Um tonel, sem tampa, 
cheio de água tem 10dm de altura e 5 dm de raio da base. Inclinando o tonel de 
45º, o volume de água derramada é, aproximadamente: 



Vejamos: Com um ângulo de 45 grausa 
algura da água
derramada (quando o cilindro está inclinado é 
igualao
diâmetroda base) para vc entender o que 
eue estou
falando é só pegar um copo cilíndrico com água na 
cozinha
e incliná-lo 45 graus.

Neste caso basta dividir o volume do cilindro de 
altura
5dm por dois para saber a qtdede água 
derramada:

pi*25 * 5 = 125*pi = 392 dm cúbicos.

Bem... vou deixar o pessoal pensar o caso em que 
o
ângulo é 60 graus...

[obm-l] Volume incliando de cilindro.

[Robÿffffe9rio Alves]

Um tonel, sem tampa, cheio de água tem 10dm de altura e 5 dm de raio da base. Inclinando o tonel de 45º, o volume de água derramada é, aproximadamente:   ( a ) 145dm cúbicos  ( b ) 155dm cúbicos  ( c ) 263dm cúbicos  ( d ) 353dm cúbicos  ( e ) 392dm cúbicos  PERGUNTA: E SE O ÂNGULO FOSSE DE 60º , COMO SERIA RESOLVIDO ?  
		 
Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. 

[obm-l] Volume incliando de cilindro.

[Robÿffffe9rio Alves]

Um tonel, sem tampa, cheio de água tem 10dm de altura e 5 dm de raio da base. Inclinando o tonel de 45º, o volume de água derramada é, aproximadamente:   ( a ) 145dm cúbicos  ( b ) 155dm cúbicos  ( c ) 263dm cúbicos  ( d ) 353dm cúbicos  ( e ) 392dm cúbicos  PERGUNTA: E SE O ÂNGULO FOSSE DE 60º , COMO SERIA RESOLVIDO ?  
		 
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[obm-l] volume tronco de piramide

[niski lista]

Olá colegas. Me deparei com o problema de determinar aonde devo marcar
uma reta num tronco de piramide quadrangular de tal forma que que os
troncos formados acima e abaixo desta reta tenham volume iguais. De
modo mais preciso dado um tronco de piramide quadrangular com area de
base menor A1, area de base maior A2 e altura H, partindo da base
maior onde (h) eu devo cortar o tronco de cone?

Bom inicialmente eu pensei em usar as razoes em solidos semelhantes
sejam V1 o volume do tronco original e V2 o volume do tronco que quero
que tenha metade do volume, imponho V1/V2 = 2 e (H/h)^3 = (V1/V2) isso
implicaria que o tronco deveria ter altura h = H/cbrt(2). O que
impiricamente percebi que era falso. Mas nao entendi pq aquela relacao
nao se aplica. Os dois troncos nao sao semelhantes? Pq? Como determino
quando dois solidos sao semelhantes?

Depois tomei outra atitude que acredito estar correta.Antes me
perguntei: Dado um trapezio isosceles ABCD se passo uma reta com
distancia h da base maior AB determinando os pontos E no lado AD e I
no lado CB qual é o tamanho da base menor do novo trapezio formado?
Isto é quando mede EI em funcao de h sendo dados AB, DC e H?
Cheguei que EI = (AB*H + DC*h - AB*h)/H

Sabendo que o volume do tronco de piramide quadrangular é dado por
(1/3)*h[tronco]*(A1+A2 + sqrt(A1*A2))
Para determinar o meu h eu resolvi a equacao

[(1/3)*H*(A1+A2 + sqrt(A1*A2))]/[(1/3)*h*((EI^2)+A2 + sqrt((EI^2)*A2))] = 2
em funcao de h.

onde A1 = DC^2 e A2 = AB^2
Alias se essa formula estiver correta ela determina a altura que
devemos cortar um tronco de cone para determinar um outro que tenha
qualquer relacao de volume com o original basta mudar o 2. O problema
é que isolar o h dessa expressao é muito complicado. Alguem conhece um
outro meio?

Um abraco

Niski

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Re: [obm-l] Volume de Sólido

[Henrique Rennó]

Olá Bruno!!!

Agradeço a resposta.

Abraços

--
Henrique

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[obm-l] Volume de Sólido

[Henrique Rennó]

Olá pessoal da lista!!!

Qual o volume do sólido formado pelos vetores A(2,4,1), B(3,1,1) e C(1,3,5)?

(a) 30
(b) 35
(c) 35/2
(d) 44
(e) 21

Abraços

--
Henrique

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Re: [obm-l] Volume de Sólido

[Bruno França dos Reis]

Faça o produto misto: |A*B.C| = |(3,1,-10) . (1,3,5)| = |3+3-50| = 44, se eu não errei em conta.

Abraço
BrunoOn 2/8/06, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal da lista!!!Qual o volume do sólido formado pelos vetores A(2,4,1), B(3,1,1) e C(1,3,5)?(a) 30(b) 35(c) 35/2(d) 44(e) 21Abraços--Henrique=
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-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: 
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] volume!!

[niski]

obrigao claudio!

Claudio Buffara wrote:

  on 19.08.03 15:46, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:

  
  
pessoal..por favor me ajudem nessa daqui:

Calcule o volume da regiao comum a dois cilindros, ambos de raio r, e
cujos eixos sao ortogonais

resp: 16r3/3

obs: n vale usar integrais duplas ou triplas.


  
  Oi, Niski:

Suponha que os eixos dos cilindros sejam as retas:
x = y   e   x = -y.

Considere as secoes da regiao desejada paralelas ao plano z = 0 (ou seja, o
plano-xy).

Todas elas serao quadrados (voce consegue ver isso?)

A ideia agora eh determinar o lado da secao em funcao da coordenada z =
L(z).

O volume desejado serah igual a Integral(-r a +r) L(z)^2*dz (espero que
integrais simples possam ser usadas).

Considere o plano x = 0 (plano yz), o qual faz um angulo de 45 graus com os
eixos dos cilindros e produz, em cada um, uma secao eliptica, cuja equacao
eh: 
y^2/(2r^2) + z^2/r^2 = 1 ==
y^2 = 2*(r^2 - z^2) ==
y = +ou- raiz(2)*raiz(r^2-z^2) ==
na coordenada z (-r = z = r), a largura dessa secao serah igual a:
2*raiz(2)*raiz(r^2 - z^2).

Mas essa largura eh justamente igual a diagonal da secao quadrada, ou seja:
L(z) = 2*raiz(r^2 - z^2) ==
L(z)^2 = 4*(r^2 - z^2) ==
Integral(-r a r) L(z)^2*dz = 4*Integral(-r a r) (r^2 - z^2)*dz =
= 4*r^3 - 4r^3/3 - 4(-r)^3 + 4(-r)^3/3 = 16r^3/3.

Um abraco,
Claudio.

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[obm-l] volume!!

[niski]

pessoal..por favor me ajudem nessa daqui:

Calcule o volume da regiao comum a dois cilindros, ambos de raio r, e 
cujos eixos sao ortogonais

resp: 16r3/3

obs: n vale usar integrais duplas ou triplas.

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Re: [obm-l] volume!!

[Claudio Buffara]

on 19.08.03 15:46, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 pessoal..por favor me ajudem nessa daqui:
 
 Calcule o volume da regiao comum a dois cilindros, ambos de raio r, e
 cujos eixos sao ortogonais
 
 resp: 16r3/3
 
 obs: n vale usar integrais duplas ou triplas.
 
Oi, Niski:

Suponha que os eixos dos cilindros sejam as retas:
x = y   e   x = -y.

Considere as secoes da regiao desejada paralelas ao plano z = 0 (ou seja, o
plano-xy).

Todas elas serao quadrados (voce consegue ver isso?)

A ideia agora eh determinar o lado da secao em funcao da coordenada z =
L(z).

O volume desejado serah igual a Integral(-r a +r) L(z)^2*dz (espero que
integrais simples possam ser usadas).

Considere o plano x = 0 (plano yz), o qual faz um angulo de 45 graus com os
eixos dos cilindros e produz, em cada um, uma secao eliptica, cuja equacao
eh: 
y^2/(2r^2) + z^2/r^2 = 1 ==
y^2 = 2*(r^2 - z^2) ==
y = +ou- raiz(2)*raiz(r^2-z^2) ==
na coordenada z (-r = z = r), a largura dessa secao serah igual a:
2*raiz(2)*raiz(r^2 - z^2).

Mas essa largura eh justamente igual a diagonal da secao quadrada, ou seja:
L(z) = 2*raiz(r^2 - z^2) ==
L(z)^2 = 4*(r^2 - z^2) ==
Integral(-r a r) L(z)^2*dz = 4*Integral(-r a r) (r^2 - z^2)*dz =
= 4*r^3 - 4r^3/3 - 4(-r)^3 + 4(-r)^3/3 = 16r^3/3.

Um abraco,
Claudio.

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Re: [obm-l] volume n-dimensional.

[Nicolau C. Saldanha]

On Sat, Jul 12, 2003 at 12:47:37PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 alguém pode me ajudar a calcular o volume do polígono n-dimensional cujos
 vértices são 
 (0,0..,0),(1,0,..,0),(0,1,0,..,0),...,(0,..,0,1)

Isto n~ao se chama um pol'igono, isto 'e chamado de politopo.

Seja f(n) o volume deste s'olido. Temos f(n) = 1/(n!).
Vamos provar este fato por indu,c~ao em n.
Voc^e deve observar que o caso n = 1 'e trivial,
o caso n = 2 'e elementar ('area de um tri^angulo)
e o caso n = 3 'e conhecido (volume de um tetraedro).

Primeiro observe que supondo o resultado para n temos
que o volume do s'olido em R^n de v'ertices 
(0,0,...,0), (t,0,...,0), (0,t,...,0), ... (0,0,...,t)
est igual a (t^n)/(n!) pois 'e obtido a partir do original
por uma homotetia de raz~ao t. O s'olido em R^(n+1) de v'ertices
(0,0..,0,0),(1,0,..,0,0),(0,1,0,..,0,0),...,(0,..,0,1,0),(0,...,0,0,1)
pode ser fatiado usando a 'ultima coordenada, vamos cham'a-la de s.
A fatia correspondente a s 'e de dimens~ao n e est o s'olido acima
para t = (1-s). Assim o volume desejado 'e a integral de 0 a 1
do volume da fatia o que d'a 1/(n+1)!.

Uma solu,c~ao totalmente sem c'alculo 'e a seguinte.
Seja p uma permuta,c~ao de {1,2,...,n} e defina Sp como
sendo o s'olido em R^n de v'ertices v0, v1, ..., vn
onde vk 'e o vetor com coordenada 1 na posi,c~ao p(i), i = k
e coordenada 0 na posi,c~ao p(i), i  k
(assim v0 = (0,0,...,0) e vn = (1,1,...,1) para qualquer p).
Os n! s'olidos Sp t^em interiores disjuntos, s~ao levados uns
nos outros por isometrias de R^n (logo t^em o mesmo volume)
e sua uni~ao 'e o cubo unit'ario (que tem volume 1 por defini,c~ao).
Assim o volume de cada Sp 'e igual a 1/(n!).
N~ao 'e dif'icil ver que cada Sp tem o volume do seu s'olido (Cavalieri).

[]s, N.


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[obm-l] volume n-dimensional.

[ghaeser]

alguém pode me ajudar a calcular o volume do polígono n-dimensional cujos
vértices são 
(0,0..,0),(1,0,..,0),(0,1,0,..,0),...,(0,..,0,1)

Obrigado !

Mathematicus nascitur, non fit
Matemáticos não são feitos, eles nascem
---
Gabriel Haeser
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[obm-l] volume

[elton francisco ferreira]

A altura de uma caixa tem 3 m a mais que o seu
comprimento, e a largura 3 m a menos q o comprimento.
Um cubo cuja aresta é igual ao comprimento da caixa
tem 90 m cúbicos a amis de capacidade. Qual é o volume
em litros de cada sólido?

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Re: [obm-l] volume

[A. C. Morgado]

Comprimento = c
Volume da caixa= (c-3)c(c+3) = c^3 - 9c
Volume do cubo = c^3
c^3 = c^3 - 9c + 90
c = 10
Volume do cubo = 1000 metros cubicos
Volume da caixa = 910 metros cubicos
Obs; 1 metro cubico = 1 000 litros
elton francisco ferreira wrote:

A altura de uma caixa tem 3 m a mais que o seu
comprimento, e a largura 3 m a menos q o comprimento.
Um cubo cuja aresta é igual ao comprimento da caixa
tem 90 m cúbicos a amis de capacidade. Qual é o volume
em litros de cada sólido?
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[obm-l] volume

[Mário Pereira]

Por favor ajudem a resolver: 

Um tonel em forma de um cilindro regular 
encontra-se deitado no solo, com um certo volume de óleo dentro. 
O diametro base é 1,90 metros e o comprimento do 
tonel (altura) é 5,5 metros. Estando deitado, a altura do líquido dentro do 
tonel equivale a 1,13 metros.
Qual o volume de óleo dentro do tonel?

Obrigado, 
Mário





  
  

  





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Re: [obm-l] volume

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] volume



on 01.04.03 18:11, Mário Pereira at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Por favor ajudem a resolver: 
 
Um tonel em forma de um cilindro regular encontra-se deitado no solo, com um certo volume de óleo dentro. 
O diametro base é 1,90 metros e o comprimento do tonel (altura) é 5,5 metros. Estando deitado, a altura do líquido dentro do tonel equivale a 1,13 metros.
Qual o volume de óleo dentro do tonel?
 
Obrigado, 
Mário
 
Oi, Mario:

O volume de liquido (desprezando a espessura das paredes, ou considerando as medidas como sendo do volume interno) eh igual ao volume de um cilindro reto cuja altura eh 5,5 m e cuja base eh um segmento circular de raio 0,95 m e altura 1,13 m.

A area da base do cilindro liquido tambem eh igual a diferenca entre a area de um circulo de raio 0,95 m e a area de um segmento deste circulo de altura igual a 1,90 - 1,13 = 0,77 m.

O angulo central A compreendido pelo segmento circular de altura 0,77 m eh tal que cos(A/2) = (0,95-0,77)/0,95 = 0,18/0,95 = 18/95

A area deste segmento eh igual a:
(1/2)*0,95^2*(A - sen(A))

cos(A/2) = 18/95 == 
cos(A) = 2cos^2(A/2) - 1 = 2*18^2/95^2 - 1 = -0,928199 ==
sen(A) = raiz(1 - cos^2(A)) = 0,372083 ==
A = arccos(-0,928199) = 2,760341 radianos ==
 
Area do segmento = (1/2)*0,95^2*(2,760341 - 0,372083) = 1,077701 m^2 ==

Area da base do Liquido = Pi*0,95^2 - 1,077701 = 1,757586 m^2 ==

Volume do Liquido = 1,757586 * 5,5 = 9,666723 m^3. 
 

Um abraco,
Claudio. 

[obm-l] Volume

[elton francisco ferreira]

A área de um cubo de aresta a é a soma das áreas das
seis faces: 6a^2. Queremos construir duas caixas
cúbicas de madeira. A aresta de uma delas mede 5dm a
mais que a aresta da outra, por isso necessitamos de
450 dm^2 a amis de madeira para sua costrução. Qual é
ovolume, em litros, de cada caixa? 

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Re: [obm-l] Volume

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

6(a+5)^2 -6a^2 =450
(a+5)^2 - a^2 =75
10a + 25 =75
a=5
Uma tem aresta 5dm e a outra, 10dm
Os volumes sao 125dm^3 = 125 L  e 1000 dm^3 = 1000L





Em Mon, 10 Feb 2003 20:41:51 -0300 (ART), elton francisco ferreira 
[EMAIL PROTECTED] disse:

 A área de um cubo de aresta a é a soma das áreas das
 seis faces: 6a^2. Queremos construir duas caixas
 cúbicas de madeira. A aresta de uma delas mede 5dm a
 mais que a aresta da outra, por isso necessitamos de
 450 dm^2 a amis de madeira para sua costrução. Qual é
 ovolume, em litros, de cada caixa? 
 
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