On Sat, Jul 12, 2003 at 12:47:37PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > > alguém pode me ajudar a calcular o volume do polígono n-dimensional cujos > vértices são > (0,0..,0),(1,0,..,0),(0,1,0,..,0),...,(0,..,0,1)
Isto n~ao se chama um pol'igono, isto 'e chamado de politopo. Seja f(n) o volume deste s'olido. Temos f(n) = 1/(n!). Vamos provar este fato por indu,c~ao em n. Voc^e deve observar que o caso n = 1 'e trivial, o caso n = 2 'e elementar ('area de um tri^angulo) e o caso n = 3 'e conhecido (volume de um tetraedro). Primeiro observe que supondo o resultado para n temos que o volume do s'olido em R^n de v'ertices (0,0,...,0), (t,0,...,0), (0,t,...,0), ... (0,0,...,t) est igual a (t^n)/(n!) pois 'e obtido a partir do original por uma homotetia de raz~ao t. O s'olido em R^(n+1) de v'ertices (0,0..,0,0),(1,0,..,0,0),(0,1,0,..,0,0),...,(0,..,0,1,0),(0,...,0,0,1) pode ser fatiado usando a 'ultima coordenada, vamos cham'a-la de s. A fatia correspondente a s 'e de dimens~ao n e est o s'olido acima para t = (1-s). Assim o volume desejado 'e a integral de 0 a 1 do volume da fatia o que d'a 1/(n+1)!. Uma solu,c~ao totalmente sem c'alculo 'e a seguinte. Seja p uma permuta,c~ao de {1,2,...,n} e defina Sp como sendo o s'olido em R^n de v'ertices v0, v1, ..., vn onde vk 'e o vetor com coordenada 1 na posi,c~ao p(i), i <= k e coordenada 0 na posi,c~ao p(i), i > k (assim v0 = (0,0,...,0) e vn = (1,1,...,1) para qualquer p). Os n! s'olidos Sp t^em interiores disjuntos, s~ao levados uns nos outros por isometrias de R^n (logo t^em o mesmo volume) e sua uni~ao 'e o cubo unit'ario (que tem volume 1 por defini,c~ao). Assim o volume de cada Sp 'e igual a 1/(n!). N~ao 'e dif'icil ver que cada Sp tem o volume do seu s'olido (Cavalieri). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================