Re: [obm-l] Problema estranho

[Anderson Torres]

Bora lá...


Pelo que a galera já demonstrou, o resultado vale se todos os números
da sequência forem racionais. Agora, falta cobrir os irracionais.

Considere

- real eps>0
- inteiro m>0
- inteiros p_1, p_2, ... p_(2n+1)

tais que, para todo i, vale |p_i-mx_i| < eps.

A ideia é que se eps for bem pequenininho, os p_i e os x_i terão a
mesma propriedade (se tirar um, dá para rachar ao meio).

De fato, fixando i:

soma(j <> i)(a_ij * m* x_j) = 0 , para alguma combinação de a_ij em
{-1,+1} (tente imaginar uma balança: se o número x_j está no prato
direito, usamos -1; caso contrário, +1).

Ou também

soma(j <> i)(a_ij * (m* x_j-p_j)) =  - soma(j <> i)(a_ij * p_j)

Passa o módulo:

| soma(j <> i)(a_ij * p_j) | = | soma(j <> i)(a_ij * (m* x_j-p_j)) | <= 2n * eps

Mas olha só, o | soma(j <> i)(a_ij * p_j) | é um inteiro positivo
arbitrariamente pequeno! Isso na minha terra tem um nome: ZERO!

LOGO, como os ilustres colegas da lista mostraram, todos esse p_i
devem ser iguais.

LOGO, para todo K grandão existem inteiros n_K e p_K tais que |p_K  -
n_K * x_i| <= 1/K

Como pelo menos um dos caras é irracional, é fácil ver que n_K pode
ser arbitrariamente grande. Mas 2/N > |n_K| * max |x_i-x_j|, e isso
implica max |x_i-x_j| = 0.

That's it!





Em 15 de julho de 2017 20:21, Anderson Torres
 escreveu:
> Uma ideia pode ser tentar aproximar os reais para racionais e usar o
> argumento das potências, não?
>
> Em 11 de julho de 2017 18:21, Matheus Secco  escreveu:
>> Oi Ralph, tava sem tempo de escrever, mas vou aproveitar a deixa porque você
>> já fez quase tudo. Acho que dá pra fazer o caso geral usando que os reais
>> admitem uma base considerando como um espaço vetorial sobre os racionais.
>>
>> Em ter, 11 de jul de 2017 às 18:18, Ralph Teixeira 
>> escreveu:
>>>
>>> Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um
>>> jeito de usar isso para o caso geral...
>>>
>>> A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do
>>> conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma
>>> certa constante a todos eles.
>>>
>>> Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos
>>> eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg.
>>>
>>> Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos
>>> eles, menos qualquer um deles, é um número par.
>>>
>>> Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento,
>>> **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos
>>> pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então
>>> some 1 de novo, repita e enxágue.
>>>
>>> Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo
>>> até até até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando
>>> x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor
>>> absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja, em
>>> tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1.
>>>
>>> Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são
>>> todos 0, ou todos 1.
>>>
>>> ---///---
>>>
>>> Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de
>>> desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos
>>> eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros
>>> (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para
>>> mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos
>>> "comensuráveis" e daí matar o problema.
>>>
>>> Abraço, Ralph.
>>>
>>>
>>>
>>> 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali :

 Uma prova por indução me parece o melhor caminho.
 O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar
 provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver
 o problema assim que puder.

 Abraços, Nowras.

 Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo 
 escreveu:
>
>
> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa  mas de
> qualquer forma obrigado
>
> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >  escreveu:
> >
> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos
> > n=1
> > e n=2 "no braço" para ter a intuição.  E, na verdade, o enunciado
> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
> > eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
> > repetidos).
> >
> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3.  Tomando os elementos
> > a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a
> > soma
> > igual.  Logo 

Re: [obm-l] Problema estranho

[Anderson Torres]

Uma ideia pode ser tentar aproximar os reais para racionais e usar o
argumento das potências, não?

Em 11 de julho de 2017 18:21, Matheus Secco  escreveu:
> Oi Ralph, tava sem tempo de escrever, mas vou aproveitar a deixa porque você
> já fez quase tudo. Acho que dá pra fazer o caso geral usando que os reais
> admitem uma base considerando como um espaço vetorial sobre os racionais.
>
> Em ter, 11 de jul de 2017 às 18:18, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>>
>> Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um
>> jeito de usar isso para o caso geral...
>>
>> A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do
>> conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma
>> certa constante a todos eles.
>>
>> Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos
>> eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg.
>>
>> Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos
>> eles, menos qualquer um deles, é um número par.
>>
>> Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento,
>> **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos
>> pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então
>> some 1 de novo, repita e enxágue.
>>
>> Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo
>> até até até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando
>> x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor
>> absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja, em
>> tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1.
>>
>> Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são
>> todos 0, ou todos 1.
>>
>> ---///---
>>
>> Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de
>> desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos
>> eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros
>> (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para
>> mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos
>> "comensuráveis" e daí matar o problema.
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>>
>>
>> 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali :
>>>
>>> Uma prova por indução me parece o melhor caminho.
>>> O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar
>>> provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver
>>> o problema assim que puder.
>>>
>>> Abraços, Nowras.
>>>
>>> Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo 
>>> escreveu:


 Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa  mas de
 qualquer forma obrigado

 > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa
 >  escreveu:
 >
 > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos
 > n=1
 > e n=2 "no braço" para ter a intuição.  E, na verdade, o enunciado
 > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
 > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
 > eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
 > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
 > repetidos).
 >
 > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3.  Tomando os elementos
 > a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a
 > soma
 > igual.  Logo a_1 = a_2.  Por simetria, a_1 = a_3, e acabou.  Para n=2,
 > dá mais trabalho.
 >
 > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo
 > :
 >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim
 >> ( passei muito tempo nela já kkk):
 >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números
 >> reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
 >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em
 >> dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um
 >> desses dois conjuntos de n elementos são iguais.
 >>   Prove que todos os elementos de A são iguais."
 >>
 >>
 >>
 >>
 >>
 >>
 >>
 >> --
 >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 >> acredita-se estar livre de perigo.
 >>
 >>
 >>
 >> =
 >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 >>
 >> =
 >
 >
 >
 > --
 > Bernardo Freitas Paulo da Costa
 >
 > --
 > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 > acredita-se estar livre de perigo.
 >

Re: [obm-l] Problema estranho

[Matheus Secco]

Oi Ralph, tava sem tempo de escrever, mas vou aproveitar a deixa porque
você já fez quase tudo. Acho que dá pra fazer o caso geral usando que os
reais admitem uma base considerando como um espaço vetorial sobre os
racionais.
Em ter, 11 de jul de 2017 às 18:18, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um
> jeito de usar isso para o caso geral...
>
> A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do
> conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma
> certa constante a todos eles.
>
> Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos
> eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg.
>
> Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos
> eles, menos qualquer um deles, é um número par.
>
> Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento,
> **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos
> pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então
> some 1 de novo, repita e enxágue.
>
> Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo
> até até até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando
> x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor
> absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja,
> em tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1.
>
> Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são
> todos 0, ou todos 1.
>
> ---///---
>
> Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de
> desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos
> eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros
> (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para
> mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos
> "comensuráveis" e daí matar o problema.
>
> Abraço, Ralph.
>
>
>
> 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali :
>
>> Uma prova por indução me parece o melhor caminho.
>> O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar
>> provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver
>> o problema assim que puder.
>>
>> Abraços, Nowras.
>>
>> Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>>
>>> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa  mas de
>>> qualquer forma obrigado
>>>
>>> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>> >
>>> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos
>>> n=1
>>> > e n=2 "no braço" para ter a intuição.  E, na verdade, o enunciado
>>> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
>>> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
>>> > eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
>>> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
>>> > repetidos).
>>> >
>>> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3.  Tomando os elementos
>>> > a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a
>>> soma
>>> > igual.  Logo a_1 = a_2.  Por simetria, a_1 = a_3, e acabou.  Para n=2,
>>> > dá mais trabalho.
>>> >
>>> > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo >> >:
>>> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim
>>> ( passei muito tempo nela já kkk):
>>> >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números
>>> reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>>> >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em
>>> dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um
>>> desses dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>> >>   Prove que todos os elementos de A são iguais."
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> =
>>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> >>
>>> =
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> >
>>> =
>>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> >
>>> =
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi 

Re: [obm-l] Problema estranho

[Ralph Teixeira]

Ah, melhor ainda: depois que seus números forem inteiros, some uma certa
constante a todos eles de forma que um deles seja 0. Agora divida por 2,
quantas vezes você quiser (eles vão ser sempre todos pares pelo argumento
de paridade anterior!). Então são todos inteiros divisíveis por poências
arbitrariamente grandes de 2 Pode isso, Arnaldo? Bom, pode, mas só tem
um jeito -- são todos 0.

2017-07-11 18:01 GMT-03:00 Ralph Teixeira :

> Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um
> jeito de usar isso para o caso geral...
>
> A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do
> conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma
> certa constante a todos eles.
>
> Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos
> eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg.
>
> Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos
> eles, menos qualquer um deles, é um número par.
>
> Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento,
> **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos
> pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então
> some 1 de novo, repita e enxágue.
>
> Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo
> até até até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando
> x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor
> absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja,
> em tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1.
>
> Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são
> todos 0, ou todos 1.
>
> ---///---
>
> Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de
> desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos
> eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros
> (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para
> mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos
> "comensuráveis" e daí matar o problema.
>
> Abraço, Ralph.
>
>
>
> 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali :
>
>> Uma prova por indução me parece o melhor caminho.
>> O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar
>> provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver
>> o problema assim que puder.
>>
>> Abraços, Nowras.
>>
>> Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>>
>>> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa  mas de
>>> qualquer forma obrigado
>>>
>>> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>> >
>>> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos
>>> n=1
>>> > e n=2 "no braço" para ter a intuição.  E, na verdade, o enunciado
>>> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
>>> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
>>> > eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
>>> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
>>> > repetidos).
>>> >
>>> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3.  Tomando os elementos
>>> > a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a
>>> soma
>>> > igual.  Logo a_1 = a_2.  Por simetria, a_1 = a_3, e acabou.  Para n=2,
>>> > dá mais trabalho.
>>> >
>>> > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo >> >:
>>> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim
>>> ( passei muito tempo nela já kkk):
>>> >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números
>>> reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>>> >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em
>>> dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um
>>> desses dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>> >>   Prove que todos os elementos de A são iguais."
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> >> 
>>> =
>>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> >> 
>>> =
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> > 
>>> =
>>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> > 

Re: [obm-l] Problema estranho

[Ralph Teixeira]

Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um jeito
de usar isso para o caso geral...

A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do
conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma
certa constante a todos eles.

Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos eles
por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg.

Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos
eles, menos qualquer um deles, é um número par.

Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento,
**todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos
pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então
some 1 de novo, repita e enxágue.

Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo
até até até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando
x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor
absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja,
em tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1.

Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são
todos 0, ou todos 1.

---///---

Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de
desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos
eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros
(tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para
mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos
"comensuráveis" e daí matar o problema.

Abraço, Ralph.



2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali :

> Uma prova por indução me parece o melhor caminho.
> O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar
> provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver
> o problema assim que puder.
>
> Abraços, Nowras.
>
> Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>>
>> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa  mas de
>> qualquer forma obrigado
>>
>> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>> >
>> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos n=1
>> > e n=2 "no braço" para ter a intuição.  E, na verdade, o enunciado
>> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
>> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
>> > eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
>> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
>> > repetidos).
>> >
>> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3.  Tomando os elementos
>> > a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a soma
>> > igual.  Logo a_1 = a_2.  Por simetria, a_1 = a_3, e acabou.  Para n=2,
>> > dá mais trabalho.
>> >
>> > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo :
>> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim
>> ( passei muito tempo nela já kkk):
>> >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais,
>> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>> >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois
>> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses
>> dois conjuntos de n elementos são iguais.
>> >>   Prove que todos os elementos de A são iguais."
>> >>
>> >>
>> >>
>> >>
>> >>
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >> 
>> =
>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >> 
>> =
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> > 
>> =
>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> > 
>> =
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema estranho

[Nowras Ali]

Uma prova por indução me parece o melhor caminho.
O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar
provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver
o problema assim que puder.

Abraços, Nowras.

Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo 
escreveu:

>
> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa  mas de
> qualquer forma obrigado
>
> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
> >
> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos n=1
> > e n=2 "no braço" para ter a intuição.  E, na verdade, o enunciado
> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
> > eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
> > repetidos).
> >
> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3.  Tomando os elementos
> > a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a soma
> > igual.  Logo a_1 = a_2.  Por simetria, a_1 = a_3, e acabou.  Para n=2,
> > dá mais trabalho.
> >
> > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo :
> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim (
> passei muito tempo nela já kkk):
> >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais,
> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
> >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois
> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses
> dois conjuntos de n elementos são iguais.
> >>   Prove que todos os elementos de A são iguais."
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> 
> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >> 
> =
> >
> >
> >
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > 
> =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > 
> =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema estranho

[Otávio Araújo]

Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa  mas de qualquer 
forma obrigado

> Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
>  escreveu:
> 
> Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos n=1
> e n=2 "no braço" para ter a intuição.  E, na verdade, o enunciado
> deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
> necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
> eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
> (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
> repetidos).
> 
> Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3.  Tomando os elementos
> a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a soma
> igual.  Logo a_1 = a_2.  Por simetria, a_1 = a_3, e acabou.  Para n=2,
> dá mais trabalho.
> 
> 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo :
>> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( 
>> passei muito tempo nela já kkk):
>> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, 
>> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois 
>> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses 
>> dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>   Prove que todos os elementos de A são iguais."
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
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> 
> 
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Problema estranho

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos n=1
e n=2 "no braço" para ter a intuição.  E, na verdade, o enunciado
deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
(evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
repetidos).

Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3.  Tomando os elementos
a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a soma
igual.  Logo a_1 = a_2.  Por simetria, a_1 = a_3, e acabou.  Para n=2,
dá mais trabalho.

2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo :
> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei 
> muito tempo nela já kkk):
> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não 
> necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois 
> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses dois 
> conjuntos de n elementos são iguais.
>Prove que todos os elementos de A são iguais."
>
>
>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =



-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Problema estranho

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Francisco!
Eu também pensei nisso, mas vou consultar o site que o Bruno indicou...
Muito obrigado e um abraço!
Luiz

On Jul 8, 2017 9:13 PM, "Francisco Barreto" 
wrote:

>
> On Sat, 8 Jul 2017 at 20:21 Otávio Araújo 
> wrote:
>
>>
>> O enunciado original eu não vi, quem me falou desse problema foi um amigo
>> meu. assim me perdoe pelo erro grosseiro. Mas considerando esse A um
>> multiconjunto, essa questão é verdadeira ou se tem um contra-exemplo?
>>
>> Em 8 de jul de 2017, às 19:47, Bruno Visnadi 
>> escreveu:
>>
>> Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números
>> repetidos. O correto seria Multiconjunto:Â https://pt.wikipedia.org/wiki/
>> Multiconjunto
>>
>> Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>
>> Luiz, arrisco dizer que pode, mas é equivalente a {1,2,3}. Alguem me
> corrija se eu estiver errado, por favor.
>
>> Olá, Otávio!
>>> Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas
>>> quero aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a
>>> faculdade: pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único?
>>> Um abraço!
>>>
>>
> Luiz
>>>
>>> On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo" 
>>> wrote:
>>>
>>> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim (
>>> passei muito tempo nela já kkk):
>>> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais,
>>> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>>> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois
>>> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses
>>> dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>>    Prove que todos os elementos de A são iguais."
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema estranho

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Bruno!
Muito obrigado pelo esclarecimento!
Um abraço!
Luiz

On Jul 8, 2017 8:01 PM, "Bruno Visnadi"  wrote:

> Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números repetidos.
> O correto seria Multiconjunto: https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiconjunto
>
> Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues  > escreveu:
>
>> Olá, Otávio!
>> Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas quero
>> aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a faculdade:
>> pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único?
>> Um abraço!
>> Luiz
>>
>> On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo" 
>> wrote:
>>
>> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim (
>> passei muito tempo nela já kkk):
>> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não
>> necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois
>> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses
>> dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>Prove que todos os elementos de A são iguais."
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema estranho

[Francisco Barreto]

On Sat, 8 Jul 2017 at 20:21 Otávio Araújo  wrote:

>
> O enunciado original eu não vi, quem me falou desse problema foi um amigo
> meu. assim me perdoe pelo erro grosseiro. Mas considerando esse A um
> multiconjunto, essa questão é verdadeira ou se tem um contra-exemplo?
>
> Em 8 de jul de 2017, às 19:47, Bruno Visnadi 
> escreveu:
>
> Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números
> repetidos. O correto seria Multiconjunto:Â
> https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiconjunto
>
> Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues  > escreveu:
>
> Luiz, arrisco dizer que pode, mas é equivalente a {1,2,3}. Alguem me
corrija se eu estiver errado, por favor.

> Olá, Otávio!
>> Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas
>> quero aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a
>> faculdade: pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único?
>> Um abraço!
>>
>
Luiz
>>
>> On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo" 
>> wrote:
>>
>> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim (
>> passei muito tempo nela já kkk):
>> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais,
>> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois
>> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses
>> dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>    Prove que todos os elementos de A são iguais."
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>
> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema estranho

[Francisco Barreto]

On Sat, 8 Jul 2017 at 17:35 Otávio Araújo  wrote:

> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei
> muito tempo nela já kkk):
> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não
> necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois
> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses
> dois conjuntos de n elementos são iguais.
>Prove que todos os elementos de A são iguais."
>
>
>
> Pegue o conjunto de 2n elementos, ordene de tal forma que você pega pares,
> o menor e o maior, o segundo menor e o segundo maior.

Vai colocando um elemento de cada par em uma urna distinta. Minha primeira
fungada no problema seria lembrar da soma dos n primeiros termos de uma
sequencia. Espero que faça sentido. Fui

>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema estranho

[Otávio Araújo]

O enunciado original eu não vi, quem me falou desse problema foi um amigo meu. 
assim me perdoe pelo erro grosseiro. Mas considerando esse A um multiconjunto, 
essa questão é verdadeira ou se tem um contra-exemplo?

> Em 8 de jul de 2017, às 19:47, Bruno Visnadi  
> escreveu:
> 
> Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números repetidos. 
> O correto seria Multiconjunto:Â https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiconjunto
> 
> Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues  
> escreveu:
>> Olá, Otávio!
>> Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas quero 
>> aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a faculdade: 
>> pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único?
>> Um abraço!
>> Luiz
>> 
>> On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo"  wrote:
>> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( 
>> passei muito tempo nela já kkk):
>> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, 
>> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois 
>> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses 
>> dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>    Prove que todos os elementos de A são iguais."
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema estranho

[Bruno Visnadi]

Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números repetidos. O
correto seria Multiconjunto: https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiconjunto

Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues 
escreveu:

> Olá, Otávio!
> Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas quero
> aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a faculdade:
> pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único?
> Um abraço!
> Luiz
>
> On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo"  wrote:
>
> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei
> muito tempo nela já kkk):
> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não
> necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois
> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses
> dois conjuntos de n elementos são iguais.
>Prove que todos os elementos de A são iguais."
>
>
>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema estranho

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Otávio!
Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas quero
aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a faculdade:
pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único?
Um abraço!
Luiz

On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo"  wrote:

Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei
muito tempo nela já kkk):
" Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não
necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
- Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois
conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses
dois conjuntos de n elementos são iguais.
   Prove que todos os elementos de A são iguais."







--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Problema estranho

[Otávio Araújo]

Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei muito 
tempo nela já kkk):
" Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não 
necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
- Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois 
conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses dois 
conjuntos de n elementos são iguais.
   Prove que todos os elementos de A são iguais."







-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] problema estranho

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com:
 Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V -  V
 Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T = T*
 (adjunto)

 Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V
 portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V
 agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V
Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é
ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a
mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v)
passear.

Acontece que v,A(v) tem mais informação do que só isso, justamente
por ligar v e a sua imagem.

Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que
está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você
pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores
próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio
associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim,
u, Au = u, lambda*u = lambda*u,u = lambda *||u||^2. Se v, Av =
0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui
que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é
nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se
você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe)

Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que
v, Av mede o quanto A dilata os vetores. Sendo mais claro, se
||v|| = 1, você tem que v, Av pertence ao intervalo delimitado pelos
menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que u,
Au = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim,
quando eu me lembrei disso, eu pensei Puxa, na verdade T - T* dilata
sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí.

O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por
auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é
importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é
anti-auto-adjunta, A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda
consegue diagonalizar sobre C.

 Pois daí T = T*

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] problema estranho

[Samuel Wainer]

Olá, 
Obrigado pelo esclarecimento,
mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu 
operador não tem vetor próprio diferente de zero?
Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v em 
V. Mas se eu tenho um vetor prórpio (T-T*)(vp),vp = 0 =( T - T*)(vp) = 0.
Estou um pouco perdido.
Obrigado 
 
 Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200
 Subject: Re: [obm-l] problema estranho
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com:
  Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V -  V
  Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T = T*
  (adjunto)
 
  Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V
  portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V
  agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V
 Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é
 ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a
 mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v)
 passear.
 
 Acontece que v,A(v) tem mais informação do que só isso, justamente
 por ligar v e a sua imagem.
 
 Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que
 está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você
 pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores
 próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio
 associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim,
 u, Au = u, lambda*u = lambda*u,u = lambda *||u||^2. Se v, Av =
 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui
 que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é
 nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se
 você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe)
 
 Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que
 v, Av mede o quanto A dilata os vetores. Sendo mais claro, se
 ||v|| = 1, você tem que v, Av pertence ao intervalo delimitado pelos
 menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que u,
 Au = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim,
 quando eu me lembrei disso, eu pensei Puxa, na verdade T - T* dilata
 sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí.
 
 O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por
 auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é
 importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é
 anti-auto-adjunta, A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda
 consegue diagonalizar sobre C.
 
  Pois daí T = T*
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

Re: [obm-l] problema estranho

[jones colombo]

Vamos continuar o seu raciocínio.
Seja b(z) o conjugado do número complexo z.
Sabemos que vale Tu,v=u,T*v para u,v em V. Se fizermos u=v temos
Tv,v=v,T*v=b(T*v,v)=T*v,v e obtemos que
Tv-T*v,v=0 para todo v em V, esta é a parte do seu raciocínio. Faça
B=T-T*, e queremos verificar que B=0 observe primeiro que B*=(T-T*)*=-B.

E sabemos que Bv,v=0 para todo v em V.  Suponha que v=u+w então
0=Bv,v=B(u+w),u+w=Bu,w+Bw,u e daí Bu,w=-Bw,u=-Bw,u=B*w,u,
para todo u,w em V. Por outro lado como Bu,w=u,B*w para todo u, w em V.
Comparando as duas igualdades temos que Bu,w é real para todo u e w em V.

E daí Bu,w=w,Bu para todo u,w em V e faça  w=iBu, i é o número
complexo.
e temos -||Bu||^2=||Bu||^2, logo Bu=0 para todo u em V. E portanto B=0=T-T*
e temos T=T*.

[]
Jones


2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com

  Olá,
 Obrigado pelo esclarecimento,
 mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu
 operador não tem vetor próprio diferente de zero?
 Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v
 em V. Mas se eu tenho um vetor prórpio (T-T*)(vp),vp = 0 =( T - T*)(vp) =
 0.
 Estou um pouco perdido.
 Obrigado

  Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200
  Subject: Re: [obm-l] problema estranho
  From: bernardo...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br

 
  2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com:
   Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V -  V
   Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T =
 T*
   (adjunto)
  
   Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V
   portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V
   agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v
 em V
  Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é
  ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a
  mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v)
  passear.
 
  Acontece que v,A(v) tem mais informação do que só isso, justamente
  por ligar v e a sua imagem.
 
  Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que
  está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você
  pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores
  próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio
  associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim,
  u, Au = u, lambda*u = lambda*u,u = lambda *||u||^2. Se v, Av =
  0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui
  que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é
  nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se
  você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe)
 
  Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que
  v, Av mede o quanto A dilata os vetores. Sendo mais claro, se
  ||v|| = 1, você tem que v, Av pertence ao intervalo delimitado pelos
  menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que u,
  Au = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim,
  quando eu me lembrei disso, eu pensei Puxa, na verdade T - T* dilata
  sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí.
 
  O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por
  auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é
  importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é
  anti-auto-adjunta, A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda
  consegue diagonalizar sobre C.
 
   Pois daí T = T*
 
  Abraços,
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =

RE: [obm-l] problema estranho

[Danilo Barros]

O que vc tem que mostrar é que x,Ty = 0 para todo x E para todo y. Uma 
maneira de fazer isso é trocar v por x+y, depois por x+iy e ver o que aparece :)

From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] problema estranho
Date: Sat, 7 May 2011 20:08:20 +








Olá, 

Obrigado pelo esclarecimento,

mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu 
operador não tem vetor próprio diferente de zero?

Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v em 
V. Mas se eu tenho um vetor prórpio (T-T*)(vp),vp = 0 =( T - T*)(vp) = 0.

Estou um pouco perdido.

Obrigado 
 

 Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200
 Subject: Re: [obm-l] problema estranho
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com:
  Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V -  V
  Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T = T*
  (adjunto)
 
  Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V
  portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V
  agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V
 Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é
 ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a
 mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v)
 passear.
 
 Acontece que v,A(v) tem mais informação do que só isso, justamente
 por ligar v e a sua imagem.
 
 Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que
 está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você
 pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores
 próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio
 associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim,
 u, Au = u, lambda*u = lambda*u,u = lambda *||u||^2. Se v, Av =
 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui
 que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é
 nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se
 você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe)
 
 Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que
 v, Av mede o quanto A dilata os vetores. Sendo mais claro, se
 ||v|| = 1, você tem que v, Av pertence ao intervalo delimitado pelos
 menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que u,
 Au = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim,
 quando eu me lembrei disso, eu pensei Puxa, na verdade T - T* dilata
 sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí.
 
 O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por
 auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é
 importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é
 anti-auto-adjunta, A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda
 consegue diagonalizar sobre C.
 
  Pois daí T = T*
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

[obm-l] problema estranho

[Samuel Wainer]

Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V -  V
Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* 
(adjunto)

Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V
portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V
agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V

Pois daí T = T*
  

Re: [obm-l] Problema estranho..

[Angelo Barone Netto]

Caro Cloves Jr [EMAIL PROTECTED]:

Claro que se a soma dos elementos de cada fila e 12 a soma dos
nove elementos da matriz e 36.
Por outro lado, se os nove elemntos sao naturais sua soma e, no minimo,
0+1+2+3+4+5+6+7+8=36, os naturais tem que incluir o zero (nada mais natural)
e sao necessariamente os que figuram na linha acima.
Existem poucas matrizes que satisfazem isto (calcule seu 3),
uma delas e
048
561
723.
Augurios.


Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] Problema estranho..

[Cloves Jr]

Augurios,

Eu tb achava que naum tinha solucao da maneira que o professor passou... Eu
cheguei em uma solucao igual e dai resolvi colocar em discussao na lista pra
ver se alguem tinha alguma ideia diferente que talvez resolvese o
problema... A todos que ajudaram meu mto obrigado..

[]s

Cloves Jr

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Angelo Barone Netto
Enviada em: quinta-feira, 25 de março de 2004 16:45
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Problema estranho..


Caro Cloves Jr [EMAIL PROTECTED]:

Claro que se a soma dos elementos de cada fila e 12 a soma dos
nove elementos da matriz e 36.
Por outro lado, se os nove elemntos sao naturais sua soma e, no minimo,
0+1+2+3+4+5+6+7+8=36, os naturais tem que incluir o zero (nada mais natural)
e sao necessariamente os que figuram na linha acima.
Existem poucas matrizes que satisfazem isto (calcule seu 3),
uma delas e
048
561
723.
Augurios.


Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Problema estranho..

[Cloves Jr]

Olá pessoal, eu 
normalmentenaum ajudo muito nas discussoes por estar ainda no primeiro ano 
da facu mas estou precisando da ajuda de vcs...

Eu sei que eh um 
problema basico mas eu naum consegui resolver:

Dada uma matriz 3x3, 
encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha e cada coluna seja 12. Os 
coeficientes não podem ser repetidos e todos são naturais.

Eu acho que eh 
impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor gostaria de saber 
como...

[]s

ClovesJr
ICQ: 148686592 

RE: [obm-l] Problema estranho..

[João Gilberto Ponciano Pereira]

Se vc considerar o 0 como natural, dá para fazer assim:
 
0 8 4
7 3 2
5 1 6
 
Mas o legal mesmo é fazer este exercício para uma matriz 20x20. Quem
advinha?

-Original Message-
From: Cloves Jr [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, March 23, 2004 4:37 PM
To: Grupo OBM
Subject: [obm-l] Problema estranho..


Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas discussoes por estar ainda
no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs...
 
Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver:
 
Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha
e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são
naturais.
 
Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor
gostaria de saber como...
 
[]s
 
Cloves Jr

ICQ: 148686592   http://web.icq.com/whitepages/online?icq=148686592img=21


 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Problema estranho..

[Artur Costa Steiner]

De fato, eh impossivel. As suas condicoes implicam que
cada termo da matriz seja de, no maximo, 9. Se um
termo a_i_j for maior que 9, entao, como os termos sao
naturais distintos 2 a 2, na linha dele havera, no
caso mais favoravel, os numeros 1 e 2 e a soma serah
maior que 12.  Assim, o conjunto viavel do qual voce
pode escolher termos para a matriz eh {1, 29}.
Como naum pode haver repeticao e a matriz eh 3 x 3, os
9 numeros serao escolhidos uma unica vez. Na linha em
que houver o 9, os outros dois numeros serao
necessariamente 1 e 2. Nenhuma outra escolha (a menos
de ordem) eh possivel. Mas isto impossibilita que, na
coluna do 9, tenhamos soma 12 (a soma serah maior). 
Logo, o problema nao tem solucao.
Artur 

--- Cloves Jr [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas
 discussoes por estar ainda
 no primeiro ano da facu mas estou precisando da
 ajuda de vcs...
 
 Eu sei que eh um problema basico mas eu naum
 consegui resolver:
 
 Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal
 que a soma de cada linha
 e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser
 repetidos e todos são
 naturais.
 
 Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir
 resolver por favor
 gostaria de saber como...
 
 []s
 
 Cloves Jr
 ICQ: 148686592
 
 


__
Do you Yahoo!?
Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time.
http://taxes.yahoo.com/filing.html
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Problema estranho..

[Artur Costa Steiner]

Eh, aih dah. Mas se vc seguir a convencao usual de que o 0 nao eh natural,
entao o problema eh impossivel.
Artur

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: '[EMAIL PROTECTED]' [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RE: [obm-l] Problema estranho..
Data: 23/03/04 23:53

Se vc considerar o 0 como natural, dá para fazer assim:

0 8 4
7 3 2
5 1 6

Mas o legal mesmo é fazer este exercício para uma matriz 20x20. Quem
advinha?

-Original Message-
From: Cloves Jr [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, March 23, 2004 4:37 PM
To: Grupo OBM
Subject: [obm-l] Problema estranho..


Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas discussoes por estar ainda
no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs...

Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver:

Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha
e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são
naturais.

Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor
gostaria de saber como...

[]s

Cloves Jr

ICQ: 148686592 http://web.icq.com/whitepages/online?icq=148686592img=21





=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Problema estranho..

[João Gilberto Ponciano Pereira]

Aliás, é um problema interessante. Eu sei que para qualque matriz N x N  com
n ímpar é possível montar a tal da matriz. A formulação tradicional é para
os Naturais SEM o zero, e a soma das linhas ou colunas seria sempre igual a
N * ( N^2 + 1) / 2. (No caso da 3x3, a soma seria 15)

Agora, quando N é par...

-Original Message-
From: Artur Costa Steiner [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, March 23, 2004 6:03 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Problema estranho..


Eh, aih dah. Mas se vc seguir a convencao usual de que o 0 nao eh natural,
entao o problema eh impossivel.
Artur

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: '[EMAIL PROTECTED]' [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RE: [obm-l] Problema estranho..
Data: 23/03/04 23:53

Se vc considerar o 0 como natural, dá para fazer assim:

0 8 4
7 3 2
5 1 6

Mas o legal mesmo é fazer este exercício para uma matriz 20x20. Quem
advinha?

-Original Message-
From: Cloves Jr [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, March 23, 2004 4:37 PM
To: Grupo OBM
Subject: [obm-l] Problema estranho..


Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas discussoes por estar ainda
no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs...

Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver:

Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha
e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são
naturais.

Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor
gostaria de saber como...

[]s

Cloves Jr

ICQ: 148686592 http://web.icq.com/whitepages/online?icq=148686592img=21





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=


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