Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Aff hehehe vindo de vc, entao acho que errei e nem existe isso mesmo
eheheheh brincadeira..
Na verdade eu aprendi isso no cursinho.
Chama Fórmulas de Prostaférese e são as seguintes.
sena + senb = 2sen( (a+b)/2 )*cos( (a-b)/2 )
sena - senb = 2sen( (a-b)/2 )*cos( (a+b)/2)
cosa + cosb = 2cos( (a+b)/2 )*cos( (a-b)/2 )
cosa - cosb = -2sen( (a+b)/2 )*sen( (a-b)/2 )
Qualquer erro me corrijam. E eu tenho a demonstração dessas fórmulas.
Qualquer coisa fala ae que eu mando.
No caso do exercício, vc pularia aquela linha que eu destaquei.
Abraços.
- Original Message -
From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 6:35 PM
Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Caro Afemano:
Desculpe a minha ignorância mas eu não sei o que é prostaferese.
De qualquer forma, como o Dirichlet e o Stabel já falaram, bastava usar a
continuidade de cos(x) para estabelecer a continuidade de sec(x) =
1/cos(x)
(bem entendido, nos pontos em que cos(x) 0). Assim, de certa forma, o
que
eu fiz foi provar que cos(x) é contínua.
Quanto à passagem indicada, eu simplesmente expressei a e x como:
a = (a+x)/2 + (a-x)/2
e
x = (a+x)/2 - (a-x)/2,
em seguida, usei as fórmulas do cosseno da soma e da diferença de ângulos:
cos(A +/- B) = cosAcosB -/+ senAsenB
e simplifiquei, cancelando os termos cos((a+x)/2)*cos((a-x)/2) que tinham
sinais opostos.
Espero ter sido claro.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Afemano [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 5:16 PM
Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Ola, desculpe mas não entendi essa sua passagem que eu destaquei na
solução.
Nao bastava aplicar prostaferese em cos(a) - cos(x) ?? Isso que vc fez é
algum tipo de demonstrãção de prostaferese ??
Abraços.
- Original Message -
From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 3:30 PM
Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
f(x) = sec(x) não é definida para todo x real, mas apenas para os
reais
que
não sejam iguais a múltiplos ímpares de Pi/2.
Assim, se A = R - { (2k+1)*Pi/2, k em Z }, teremos:
f: A -- R
f(x) = sec(x).
Agora, seja a pertencente a A.
Queremos provar que lim(x-a) sec(x) = sec(a), ou seja que:
lim(x-a) [sec(x) - sec(a)] = 0.
sec(x) - sec(a) =
1/cos(x) - 1/cos(a) =
[cos(a) - cos(x)]/[cos(a)*cos(x)] =
[cos((a+x)/2 + (a-x)/2) - cos((a+x)/2 -
(a-x)/2)]/[cos(a)*cos(x)] =
-2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)]
Agora, fazendo x - a, teremos que:
lim(x-a) [sec(x) - sec(a)] =
lim(x-a) -2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)] =
-2*sen(a)*sen(0)/[cos(a)*cos(a)] = 0,
pois sen(0) = 0 e cos(a) = 1/sec(a) 0
Como a é um elemento arbitrário de A, concluímos que lim(x-a) sec(x)
=
sec(a) para todo a em A, ou seja, que f(x) = sec(x) é contínua para
todo
a
em A.
Espero que tenha ficado claro.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Marcelo Francisco da Silva [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 2:08 PM
Subject: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função
f=sec(x).
Obrigado,
Marcelo F. Silva
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador
[obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função f=sec(x). Obrigado, Marcelo F. Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
f(x) = sec(x) não é definida para todo x real, mas apenas para os reais que
não sejam iguais a múltiplos ímpares de Pi/2.
Assim, se A = R - { (2k+1)*Pi/2, k em Z }, teremos:
f: A -- R
f(x) = sec(x).
Agora, seja a pertencente a A.
Queremos provar que lim(x-a) sec(x) = sec(a), ou seja que:
lim(x-a) [sec(x) - sec(a)] = 0.
sec(x) - sec(a) =
1/cos(x) - 1/cos(a) =
[cos(a) - cos(x)]/[cos(a)*cos(x)] =
[cos((a+x)/2 + (a-x)/2) - cos((a+x)/2 - (a-x)/2)]/[cos(a)*cos(x)] =
-2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)]
Agora, fazendo x - a, teremos que:
lim(x-a) [sec(x) - sec(a)] =
lim(x-a) -2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)] =
-2*sen(a)*sen(0)/[cos(a)*cos(a)] = 0,
pois sen(0) = 0 e cos(a) = 1/sec(a) 0
Como a é um elemento arbitrário de A, concluímos que lim(x-a) sec(x) =
sec(a) para todo a em A, ou seja, que f(x) = sec(x) é contínua para todo a
em A.
Espero que tenha ficado claro.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Marcelo Francisco da Silva [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 2:08 PM
Subject: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função
f=sec(x).
Obrigado,
Marcelo F. Silva
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Acho que e a mesma coisa que a cointinuidade de cos. Marcelo Francisco da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função f=sec(x).Obrigado,Marcelo F. Silva=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Ola, desculpe mas não entendi essa sua passagem que eu destaquei na solução.
Nao bastava aplicar prostaferese em cos(a) - cos(x) ?? Isso que vc fez é
algum tipo de demonstrãção de prostaferese ??
Abraços.
- Original Message -
From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 3:30 PM
Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
f(x) = sec(x) não é definida para todo x real, mas apenas para os reais
que
não sejam iguais a múltiplos ímpares de Pi/2.
Assim, se A = R - { (2k+1)*Pi/2, k em Z }, teremos:
f: A -- R
f(x) = sec(x).
Agora, seja a pertencente a A.
Queremos provar que lim(x-a) sec(x) = sec(a), ou seja que:
lim(x-a) [sec(x) - sec(a)] = 0.
sec(x) - sec(a) =
1/cos(x) - 1/cos(a) =
[cos(a) - cos(x)]/[cos(a)*cos(x)] =
[cos((a+x)/2 + (a-x)/2) - cos((a+x)/2 -
(a-x)/2)]/[cos(a)*cos(x)] =
-2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)]
Agora, fazendo x - a, teremos que:
lim(x-a) [sec(x) - sec(a)] =
lim(x-a) -2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)] =
-2*sen(a)*sen(0)/[cos(a)*cos(a)] = 0,
pois sen(0) = 0 e cos(a) = 1/sec(a) 0
Como a é um elemento arbitrário de A, concluímos que lim(x-a) sec(x) =
sec(a) para todo a em A, ou seja, que f(x) = sec(x) é contínua para todo a
em A.
Espero que tenha ficado claro.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Marcelo Francisco da Silva [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 2:08 PM
Subject: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função
f=sec(x).
Obrigado,
Marcelo F. Silva
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Caro Marcelo. A mensagem do Dirichlet contem um vislumbre do que é essencial para a questão, mas eu, particularmente, duvido que ela te sirva de verdade para sanar a sua dúvida. Pois faltam muitos dados - que eu sei que o Dirichlet conhece - e sei que quem conhece também vai entender o que ele está tentando dizer, mas que de fato não está dizendo. Quem não conhece um problema, e faz uma pergunta como a sua, está esperando uma resposta que seja auto-explicativa ou, pelo menos, que dê indicações de como completá-la. Eu aprecio a vontade do Dirichlet de responder a muitos problemas, mas as vezes me frustro um pouco com certas respostas muito curtas e que não ajudam muito quem está tentando resolve-los. Bom, as informações que faltam são as seguintes: Se uma função f:(a,b)-R é contínua num ponto c de seu domínio (espero que você conheça o conceito de continuidade, caso não conheça consulte num livro de análise real) e f(c) é diferente de 0 então podemos definir uma função g(x) = 1/f(x) com domínio num intervalo aberto que contém c e que é contínua em c. No curso de cálculo se diz que a inversa de uma função contínua é contínua. Agora, se voce souber que a função cos(x) é contínua, e souber que sec(x) = 1/cos(x) sabera mostrar que sec(x) é continua em todos os pontos onde está definida, que é o que você está pedindo e que o JP tentou dizer. Abraço, Duda. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Acho que e a mesma coisa que a cointinuidade de cos. Marcelo Francisco da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função f=sec(x). Obrigado, Marcelo F. Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é = Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Excluindo os pontos onde cos(x) toma valores nulos, ou seja, onde x(2k+1)pi/2, k inteiro (Z). -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Sent: Friday, March 21, 2003 11:56 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x) Acho que e a mesma coisa que a cointinuidade de cos. Marcelo Francisco da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função f=sec(x). Obrigado, Marcelo F. Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Caro Afemano:
Desculpe a minha ignorância mas eu não sei o que é prostaferese.
De qualquer forma, como o Dirichlet e o Stabel já falaram, bastava usar a
continuidade de cos(x) para estabelecer a continuidade de sec(x) = 1/cos(x)
(bem entendido, nos pontos em que cos(x) 0). Assim, de certa forma, o que
eu fiz foi provar que cos(x) é contínua.
Quanto à passagem indicada, eu simplesmente expressei a e x como:
a = (a+x)/2 + (a-x)/2
e
x = (a+x)/2 - (a-x)/2,
em seguida, usei as fórmulas do cosseno da soma e da diferença de ângulos:
cos(A +/- B) = cosAcosB -/+ senAsenB
e simplifiquei, cancelando os termos cos((a+x)/2)*cos((a-x)/2) que tinham
sinais opostos.
Espero ter sido claro.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Afemano [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 5:16 PM
Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Ola, desculpe mas não entendi essa sua passagem que eu destaquei na
solução.
Nao bastava aplicar prostaferese em cos(a) - cos(x) ?? Isso que vc fez é
algum tipo de demonstrãção de prostaferese ??
Abraços.
- Original Message -
From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 3:30 PM
Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
f(x) = sec(x) não é definida para todo x real, mas apenas para os reais
que
não sejam iguais a múltiplos ímpares de Pi/2.
Assim, se A = R - { (2k+1)*Pi/2, k em Z }, teremos:
f: A -- R
f(x) = sec(x).
Agora, seja a pertencente a A.
Queremos provar que lim(x-a) sec(x) = sec(a), ou seja que:
lim(x-a) [sec(x) - sec(a)] = 0.
sec(x) - sec(a) =
1/cos(x) - 1/cos(a) =
[cos(a) - cos(x)]/[cos(a)*cos(x)] =
[cos((a+x)/2 + (a-x)/2) - cos((a+x)/2 -
(a-x)/2)]/[cos(a)*cos(x)] =
-2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)]
Agora, fazendo x - a, teremos que:
lim(x-a) [sec(x) - sec(a)] =
lim(x-a) -2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)] =
-2*sen(a)*sen(0)/[cos(a)*cos(a)] = 0,
pois sen(0) = 0 e cos(a) = 1/sec(a) 0
Como a é um elemento arbitrário de A, concluímos que lim(x-a) sec(x) =
sec(a) para todo a em A, ou seja, que f(x) = sec(x) é contínua para todo
a
em A.
Espero que tenha ficado claro.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Marcelo Francisco da Silva [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 2:08 PM
Subject: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função
f=sec(x).
Obrigado,
Marcelo F. Silva
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Magister Aurelius(que foi meu professor)
dixit - Prostaférese (com acento agudo no primeiro 'e') S. f. Diferença entre o
movimento real e o movimento médio de um planeta.
Com humildes pedidos antecipados de desculpas pela
potencial imbecilidade da pergunta, o que tem a prostaférese a ver com cos(a) -
cos(x)?
JF
- Original Message -
From: "Afemano" [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 5:16 PM
Subject: Re: [obm-l] prova por limite da
continuidade da f(x)=sec(x)
Ola, desculpe mas não entendi essa sua passagem que eu destaquei na
solução. Nao bastava aplicar prostaferese em cos(a) - cos(x) ?? Isso que
vc fez é algum tipo de "demonstrãção" de prostaferese ??
Abraços. - Original Message -
From: "Cláudio (Prática)" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, March 21, 2003 3:30 PM Subject: Re:
[obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
f(x) = sec(x) não é definida para todo x real, mas apenas para os
reais que não sejam iguais a múltiplos ímpares de
Pi/2. Assim, se A = R - { (2k+1)*Pi/2, k em Z },
teremos: f: A -- R f(x) = sec(x).
Agora, seja "a" pertencente a A. Queremos provar
que lim(x-a) sec(x) = sec(a), ou seja que: lim(x-a) [sec(x)
- sec(a)] = 0. sec(x) - sec(a) = 1/cos(x)
- 1/cos(a) = [cos(a) - cos(x)]/[cos(a)*cos(x)] =
[cos((a+x)/2 + (a-x)/2) - cos((a+x)/2 - (a-x)/2)]/[cos(a)*cos(x)]
=
-2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)]
Agora, fazendo x - a, teremos que: lim(x-a) [sec(x) -
sec(a)] = lim(x-a) -2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)]
= -2*sen(a)*sen(0)/[cos(a)*cos(a)] = 0, pois sen(0) =
0 e cos(a) = 1/sec(a) 0 Como a é um elemento
arbitrário de A, concluímos que lim(x-a) sec(x) = sec(a) para
todo a em A, ou seja, que f(x) = sec(x) é contínua para todo a em
A. Espero que tenha ficado claro.
Um abraço, Claudio. - Original
Message - From: "Marcelo Francisco da Silva" [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 21, 2003 2:08 PM Subject: [obm-l] prova por
limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função
f=sec(x). Obrigado,
Marcelo F. Silva
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
