Re: [obm-l] treino...
On Mon, May 13, 2002 at 02:24:01PM -0700, Rafael WC wrote: > --- "Nicolau C. Saldanha" > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > On Fri, May 10, 2002 at 10:23:06PM -0400, > > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > 1)prove que na P.A 5, 11, 17, 23, 29, 35,.. , > > há infinitos números > > > primos > > Suponha por absurdo que fossem apenas p1, p2, ..., > > pn. > > Considere N = 6*p1*p2*...*pn - 1. > > Pense em quais podem ser os fatores primos de N... > > > > []s, N. > > Por que 7 não pode dividir N? Pode, mas se *todos* os fatores de N forem da forma 6k+1 temos uma contradição... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino...
--- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > On Fri, May 10, 2002 at 10:23:06PM -0400, > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > 1)prove que na P.A 5, 11, 17, 23, 29, 35,.. , > há infinitos números > > primos > Suponha por absurdo que fossem apenas p1, p2, ..., > pn. > Considere N = 6*p1*p2*...*pn - 1. > Pense em quais podem ser os fatores primos de N... > > []s, N. Por que 7 não pode dividir N? Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience http://launch.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino....
On Fri, May 10, 2002 at 10:23:06PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > 1)prove que na P.A 5, 11, 17, 23, 29, 35,.. , há infinitos números > primos Suponha por absurdo que fossem apenas p1, p2, ..., pn. Considere N = 6*p1*p2*...*pn - 1. Pense em quais podem ser os fatores primos de N... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] treino....
1)prove que na P.A 5, 11, 17, 23, 29, 35,.. , há infinitos números primos 2)Mostre que qualquer P.A não constante, de números inteiros possui uma infinidade de valores compostos. 3) Se a^n-1 é primo, com n>1, então a=2 e n é primo. 4) Calcular a soma de todos os Divisores positivos de n. Valeu.
Re: [obm-l] treino para olimpíadas.....
A não ser que o problema exija (particularmente nunca vi essa exgência), a desigualdade de Cauchy pode ser usada em qualquer problema de olimpíada sem que seja necessária sua demonstração. Aliás, em geral, uma série de teoremas e resultados conhecidos podem ser usados em problemas de olimpíadas de matemática sem a demonstração: - todas as desigualdades elementares (média arit/geom/harm, Cauchy, Tchebychef, Jensen, Holder, etc); - soluções inteiras da equação pitagórica a^2 + b^2 = c^2; - todas aquelas fórmulas para número, soma e produto dos divisores de um inteiro; - forma geral de todo número perfeito par; - forma geral da solução de uma equação diofantina linear; - forma geral da solução (quando existir) de uma equação de Pell; - Teorema de Euler (a^fi(n)) == 1 (mod. n), Teorema Simples de Fermat e Teorema de Wilson; - existência de infinitos primos; - os teoremas sobre raízes inteiras de polinômios; - critérios para verificar se um polinômio é irredutível; - teoremas clássicos de geometria (ceva, menelaus, cálculo das áreas, propriedados dos pontos clássicos de um triângulo, inscrição, circunscrição, potência de ponto, etc). e muitos outros resultados amplamente conhecidos e divulgados na literatura matemática. Deve-se tomar muito cuidado, porém, com geometria plana e grafos, pois existem muitos teoremas (mais avançados) que nem sempre a banca que está corrigindo a prova considera sem a devida demonstração. Tenho inclusive um caso bastante próximo, de um colega meu que participou da IMO de 93, na Turquia, que em uma questão de grafos ele utilizou (corretamente) um teorema que matava a questão rapidinho. Entretanto a banca não considerou que o teorema era um resultado amplamente conhecido, e como estava sem a demonstração, ele acabou ganhando apenas 3 dos 7 pontos da questão. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] treino para olimpíadas. >Date: Tue, 23 Apr 2002 17:11:57 EDT > >Marcelo Rufino...outra pergunta. Vc disse que a desigualdade de cauchy >resolve o problema a+b<=sqrt2*c( a, b :catetos e c hipotenusa). Essa >deiguladade quando usada em problemas de olimpiadas , tem que ser >demonstrada >como lema??? como funciona a coisa?? Muito grato pela sua ajuda...tem sido >de >grande valia. >Crom >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] treino para olimpíadas.....
Marcelo Rufino...outra pergunta. Vc disse que a desigualdade de cauchy resolve o problema a+b<=sqrt2*c( a, b :catetos e c hipotenusa). Essa deiguladade quando usada em problemas de olimpiadas , tem que ser demonstrada como lema??? como funciona a coisa?? Muito grato pela sua ajuda...tem sido de grande valia. Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olimpíadas....
Grande Marcelo Rufino, obrigado pela ajuda. Na lista gigante que tenho em mãos, está escrito ( x-4,5)^4+(x-5,5)^4.o que tenho dúvidas na verdade é do lado direito da igualdade, pois está meio apagado ...parece um um...existe um modo de resolver uma equação desse tipo??...um artíficio?? Valeu mesmo. Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olimpíadas....
> >1)se x+y+z=1, com x,y,z positivos, prove que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27. >2)Seja c comprimento da hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos >são a e b. Prove que a+b<=(sqrt2)*c A desigualdade de Cauchy garante que (a + b)^2 <= 2(a^2 + b^2) Como a^2 + b^2 = c^2 temos que (a + b)^2 <= 2c^2 => a + b <= (sqrt 2).c >3)Mostre que para cada inteiro positivo n, 121^n-25^n+1900^n-(-4)^n é >divisível por 2000. Note inicialmente que 2000 = 2^4.5^3. i) 1900 == - 4 (mod. 2^4) => 1900^n == (- 4)^n (mod. 2^4) => 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4) ii) 121 == 25 (mod. 2^4) => 121^n == 25^n (mod. 2^4) => 121^n - 25^n == 0 (mod. 2^4) Somando estas congruências: 121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4) (*) iii) 1900 == 25 (mod. 5^3) => 1900^n == 25^n (mod. 5^3) => 1900^n - 25^n == 0 (mod. 5^3) iv) 121 == - 4 (mod. 5^3) => 121^n == (- 4)^n (mod. 5^3) => 121^n - (- 4)^n == 0 (mod. 5^3) Somando estas congruências: 121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 5^3) (**) Como mdc (2^4, 5^3) = 1 então podemos transformar as congruências (*) e (**) em: 121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4.5^3) >4) resolva a equação (x-4,5)^4+(x-5,5)^4=1. Não entendi !!!??? x-4,5 significa (2x - 9)/2 ou o número complexo x - 4 + 5.i ??? >5)Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que , >(1/n+1)*(1+1/3+.+1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...1/2n). > Obrigado Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] treino para olimpíadas....
1)se x+y+z=1, com x,y,z positivos, prove que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27. 2)Seja c comprimento da hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos são a e b. Prove que a+b<=(sqrt2)*c 3)Mostre que para cada inteiro positivo n, 121^n-25^n+1900^n-(-4)^n é divisível por 2000. 4) resolva a equação (x-4,5)^4+(x-5,5)^4=1. 5)Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que , (1/n+1)*(1+1/3+.+1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...1/2n). Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olímpiadas....
legal henrique.mas me diga uma coisa...não tenho que provar a desigualdade entre média aritmética e geométrica como lema?? Quando ponho essas questões na lista é pra saber se quem corrige as provas consideraria como correto o uso dessa desigualdade sem demonstra-la. Um abraço, Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olímpiadas....
diga ae man,td blz? questão 3(obm.2001.3 fase) note que (a+b)*(a+c)=a^2+ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc. usando desigualdade entre medias aritmetica e geometrica temos a(a+b+c) +bc>=2(sqrt(a(a+b+c)bc))=2sqrt(abc(a+b+c) logo (a+b)*(a+c)>=2sqrt(abc(a+b+c)) ta ae! []´s Henrique >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] treino para olímpiadas >Date: Sat, 20 Apr 2002 09:45:25 EDT > >Ola rapaziadapreciso conferir essas resoluções para ter certeza que fiz >de forma ótimizadaalguem poderia dar uma força? >1) prove que 1/1999<(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*1997/1999<1/44. >2)Seja n um numero natural que n>=2. Mostre que >(1/n+1)*(1+1/3++1/(2n-1))>(1/n)*(1/2+1/4++1/2n). >3)Prove que(a+b)*(a+c)>=2*sqrt(abc(a+b+c)). >4)mostre que para cada inteiro positivo n, 121^n-25^n+1900^n-(-4)^n é >divisível por 2000. >5)Seja c o comprimento da hipotenusa de um triangulo retangulo cujos >catetos >são a e b. Prove que a+b<=sqrt(2c). Quando a igualdade ocorre? >Sex, y, z são números positivos, mostre que >x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2>=y/x+z/y+x/z. >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] treino para olímpiadas....
Ola rapaziadapreciso conferir essas resoluções para ter certeza que fiz de forma ótimizadaalguem poderia dar uma força? 1) prove que 1/1999<(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*1997/1999<1/44. 2)Seja n um numero natural que n>=2. Mostre que (1/n+1)*(1+1/3++1/(2n-1))>(1/n)*(1/2+1/4++1/2n). 3)Prove que(a+b)*(a+c)>=2*sqrt(abc(a+b+c)). 4)mostre que para cada inteiro positivo n, 121^n-25^n+1900^n-(-4)^n é divisível por 2000. 5)Seja c o comprimento da hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos são a e b. Prove que a+b<=sqrt(2c). Quando a igualdade ocorre? Sex, y, z são números positivos, mostre que x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2>=y/x+z/y+x/z. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olimpíadas....
errei ao dizer soma m^2 e subtrai m^2mas vc pode usar esse tipo de raciocinio... desculpe... Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olimpíadas....
VValeu Marcelo, pelas resoluções...mas acho que uma saída melhor para o problema sobre existencia de inteiros m e n para a equação" 5m^2--6mn+7n^2=1985" seria a seguinte: Multiplicamostoda a equação por 7, somamos m^2 e subtraímos m^2 , concluimos a fatoração e fazemos análiseacho que sai mais fácil!. Agradeço por ter me mandado as soluções, pois foram de muita valia...um abraço. Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olimpíadas....
> > 1)Prove que [n/3]+[(n+2)/6]+[(n+4)/6]=[n/2]+[(n+3)/6], onde [x]=parte >inteira de x. Existem 6 restos ma divisão de n por 6: i) n = 6k => [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k] + [k + 1/3] + [k + 2/3] = 2k + k + k = 4k [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k] + [k + 1/2] = 3k + k = 4k ii) n = 6k + 1 => [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 1/6] + [k + 1/2] + [k + 5/6] = 2k + k + k = 4k [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 1/2] + [k + 2/3] = 3k + k = 4k iii) n = 6k + 2 => [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 2/3] + [k + 2/3] + [k + 1] = 2k + k + k + 1 = 4k + 1 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 1] + [k + 5/6] = 3k + 1 + k = 4k + 1 iv) n = 6k + 3 => [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 1] + [k + 5/6] + [k + 7/6] = 2k + 1 + k + k + 1 = 4k + 2 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 3/2] + [k + 1] = 3k + 1 + k + 1 = 4k + 2 v) n = 6k + 4 => [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 4/3] + [k + 1] + [k + 4/3] = 2k + 1+ k + 1+ k + 1 = 4k + 3 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 2] + [k + 7/6] = 3k + 2+ k + 1 = 4k + 3 vi) n = 6k + 5 => [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 5/3] + [k + 7/6] + [k + 3/2] = 2k + 1+ k + 1+ k + 1= 4k + 3 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 5/2] + [k + 3/2] = 3k + 2+ k + 1 = 4k + 3 Deu trabalho mas acho é isto aí, separando em todos os casos. > 2) Existem inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985? Encare esta equação como sendo uma equação de segundo grau em m. Para que esta equação possua uma solução inteira então seu discriminante deve ser um quadrado perfeito: 36n^2 - 4(5.7n^2 - 1985) = k^2 => 36n^2 - 140n^2 + 4.1985 = k^2 => 4.1985 - 104n^2 = k^2 se n = 0 => k^2 = 4.1985 que não possui solução inteira se n = 1 => k^2 = 7836 que não possui solução inteira se n = 2 => k^2 = 7524 que não possui solução inteira se n = 3 => k^2 = 7004 que não possui solução inteira se n = 4 => k^2 = 6276 que não possui solução inteira se n = 5 => k^2 = 5340 que não possui solução inteira se n = 6 => k^2 = 4196 que não possui solução inteira se n = 7 => k^2 = 2844 que não possui solução inteira se n = 8 => k^2 = 1284 que não possui solução inteira se n >= 9 => k^2 < 0 que não possui solução inteira Desta forma a equação proposta não possui soluções inteiras. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira > Um abraço >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] treino para olimpíadas....
1)Prove que [n/3]+[(n+2)/6]+[(n+4)/6]=[n/2]+[(n+3)/6], onde [x]=parte inteira de x. 2) Existem inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985? Um abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Treino para olimpíadas...
- Original Message - From: "Fábio Dias Moreira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, April 06, 2002 1:44 PM Subject: Re: [obm-l] Treino para olimpíadas... > -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- > Hash: SHA1 > > On Sunday 07 April 2002 00:03, you wrote: > > > Alguem poderia dar uma ajudinha??...as vezes cometo redundancias nas > > demonstrações...me mandem demonstrações dos problemas abaixo para que eu > > possa comparar. Os livros de teoria dos numeros só trazem gabarito para > > exercicios computacionais( cálculos), e no meu modo de ver isso é uma > > falha, haja visto que algumas duvidas quanto ao rigor das demonstrações que > > fazemos, sempre aparecem. > > > 1)demonstrar que para qualquer numero natural, 11^(n+2)+12^(2n+1) é > > divísível por 133. > > (== quer dizer congruente) > > 11^(n+2)+12^(2n+1) == 11^2*11^n + (12^2)^n*12 == 121*11^n + 12*144^n == > - -12*11^n + 12*11^n == 0(mod 133) > > > 2)demonstrar que para qualquer numero inteiro n, n^7-n é divisível por 7. > > A solução rápida é usar o pequeno teorema de Fermat (n^7 == n (mod 7), logo > 7|n^7-n). Você pode analisar cada uma das classes de congruência módulo 7 > separadamente ou provar o pequeno teorema de Fermat como um lema. > > > 3) 1^3+2^3++n^3=(1+2++n)^2, para todo n pertencente a N*. > > Lema: 1+2+...+n = n*(n+1)/2 > Prova: Para n=1, 1 = 1*2/2. Suponha que a afirmação é válida para n. Então: > 1 +2 + ... + n = n*(n+1)/2 <=> 1 + 2 + ... + n + [n+1] = n*(n+1)/2 + [n+1] = > (n+2)*(n+1)/2 = [n+1]*([n+1] + 1)/2. Por indução, o lema é verdadeiro. > > Para n=1, 1^3 = 1^2. Suponha que a propriedade é válida para n. Então > 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = n^2*(n+1)^2/4 <=> 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = > n^2*(n+1)^2/4 + (n+1)^3 = (n+1)^2*(n^2 + 4(n+1))/4 = (n+1)^2*(n^2 + 4n + 4)/4 > = (n+1)^2*(n+2)^2/4 = [n+1]^2*([n+1]+1)^2/4. Por indução, a afirmação é > verdadeira. > > []s, > > - -- > Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED], ICQ 31136103, GPG key ID 0xBBF3190A) > GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A > -BEGIN PGP SIGNATURE- > Version: GnuPG v1.0.4 (GNU/Linux) > Comment: For info see http://www.gnupg.org > > iEYEARECAAYFAjyvbEsACgkQalOQFrvzGQqqIQCg5g9bdlwN/WhsUeO2W89pJ9ow > UrsAmwTRWMF7x5JeNkoDQ0Ajyq8YrWvv > =nEju > -END PGP SIGNATURE- > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Treino para olimpíadas...
V Valeu Fabão...muito grato pelas demonstrações.. Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Treino para olimpíadas...
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Sunday 07 April 2002 00:03, you wrote: > Alguem poderia dar uma ajudinha??...as vezes cometo redundancias nas > demonstrações...me mandem demonstrações dos problemas abaixo para que eu > possa comparar. Os livros de teoria dos numeros só trazem gabarito para > exercicios computacionais( cálculos), e no meu modo de ver isso é uma > falha, haja visto que algumas duvidas quanto ao rigor das demonstrações que > fazemos, sempre aparecem. > 1)demonstrar que para qualquer numero natural, 11^(n+2)+12^(2n+1) é > divísível por 133. (== quer dizer congruente) 11^(n+2)+12^(2n+1) == 11^2*11^n + (12^2)^n*12 == 121*11^n + 12*144^n == - -12*11^n + 12*11^n == 0(mod 133) > 2)demonstrar que para qualquer numero inteiro n, n^7-n é divisível por 7. A solução rápida é usar o pequeno teorema de Fermat (n^7 == n (mod 7), logo 7|n^7-n). Você pode analisar cada uma das classes de congruência módulo 7 separadamente ou provar o pequeno teorema de Fermat como um lema. > 3) 1^3+2^3++n^3=(1+2++n)^2, para todo n pertencente a N*. Lema: 1+2+...+n = n*(n+1)/2 Prova: Para n=1, 1 = 1*2/2. Suponha que a afirmação é válida para n. Então: 1 +2 + ... + n = n*(n+1)/2 <=> 1 + 2 + ... + n + [n+1] = n*(n+1)/2 + [n+1] = (n+2)*(n+1)/2 = [n+1]*([n+1] + 1)/2. Por indução, o lema é verdadeiro. Para n=1, 1^3 = 1^2. Suponha que a propriedade é válida para n. Então 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = n^2*(n+1)^2/4 <=> 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = n^2*(n+1)^2/4 + (n+1)^3 = (n+1)^2*(n^2 + 4(n+1))/4 = (n+1)^2*(n^2 + 4n + 4)/4 = (n+1)^2*(n+2)^2/4 = [n+1]^2*([n+1]+1)^2/4. Por indução, a afirmação é verdadeira. []s, - -- Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED], ICQ 31136103, GPG key ID 0xBBF3190A) GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.4 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iEYEARECAAYFAjyvbEsACgkQalOQFrvzGQqqIQCg5g9bdlwN/WhsUeO2W89pJ9ow UrsAmwTRWMF7x5JeNkoDQ0Ajyq8YrWvv =nEju -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Treino para olimpíadas...
Alguem poderia dar uma ajudinha??...as vezes cometo redundancias nas demonstrações...me mandem demonstrações dos problemas abaixo para que eu possa comparar. Os livros de teoria dos numeros só trazem gabarito para exercicios computacionais( cálculos), e no meu modo de ver isso é uma falha, haja visto que algumas duvidas quanto ao rigor das demonstrações que fazemos, sempre aparecem. !)demonstrar que para qualquer numero natural, 11^(n+2)+12^(2n+1) é divísível por 133. 2)demonstrar que para qualquer numero inteiro n, n^7-n é divisível por 7. 3) 1^3+2^3++n^3=(1+2++n)^2, para todo n pertencente a N*. Desde já agradeço. Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olimpiadas...
ANSWER: Bem,voce nao leu minha mensagem,entao: 02)Completar o quadrado e a chave.Eu ainda nao acabei essa soluçao,tente isso antes e me diga algo. 03)Seja P=a(1)*a(2)*a(3)*...*a(N) o produto em que os a(i) somam 1976. LEMA 1:14,poderiamos fazer (a(i)-2)*(a(i)+2)>a(i) que e melhor.Se a(i)=4,podemos trocar por 2*2.Se a(i)=1,1+2=3(e 3>1*2) e 1+3=2+2(e 2*2>1*3). Agora P=(2^x)*(3^y).Como 2*2*2<3*3,devemos ter o menor numero de "doizes"possivel.Como 1975=3*658+2,P=2*(3^658) e tchau!!! No 1 use congruencias.No 2 tambem ajuda. ATE MAIS!Dirichlet. >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] treino para olimpiadas... >Date: Wed, 3 Apr 2002 18:29:03 EST > >Quem pode dar uma força nessas pelo menos?? >1)para que valores de n, 5^n+n^6 é divisivel por 13? >2) Existem inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985?? >3)(IMO-1976)Determine, com prova, o maior número queé o produto de inteiros >positivos cuja soma é 1976. >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é<[EMAIL PROTECTED]> >= Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olimpiadas...
Marcelo Rufino...nõa sei como te agradecer...valeu !! Um abraço, Ruy = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olimpiadas...
>From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] treino para olimpiadas... >Date: Wed, 3 Apr 2002 18:29:03 EST > >Quem pode dar uma força nessas pelo menos?? >1)para que valores de n, 5^n+n^6 é divisivel por 13? Inicialmente note que: 5^2 == - 1 (mod. 13) => 5^2k == (-1)^k (mod. 13) => 5^4k == 1 (mod. 13)5^(4k + 1) == 5 (mod. 13) 5^(4k + 2) == - 1 (mod. 13)5^(4k + 3) == - 5 (mod. 13) Por 13: se n == 0 (mod. 13) => n^6 == 0 (mod. 13) se n == +/- 1 (mod. 13) => n^6 == 1 (mod. 13) se n == +/- 2 (mod. 13) => n^6 == - 1 (mod. 13) se n == +/- 3 (mod. 13) => n^6 == 1 (mod. 13) se n == +/- 4 (mod. 13) => n^6 == 1 (mod. 13) se n == +/- 5 (mod. 13) => n^6 == - 1 (mod. 13) se n == +/- 6 (mod. 13) => n^6 == - 1 (mod. 13) Pelos valores encontrados, teremos resto 0 quando tivermos um resto 1 de 5^n com um - 1 de n^6 ou um resto - 1 de 5^n com um 1 de n^6. Vejamos as possibilidades: i) n = 4a e n = 13b +/- 2 => n = 52k + 24 ou n = 52k + 28 ii) n = 4a e n = 13b +/- 5 => n = 52k + 8 ou n = 52k + 44 iii) n = 4a e n = 13b +/- 6 => n = 52k + 20 ou n = 52k + 32 iv) n = 4a + 2 e n = 13b +/- 1 => n = 52k + 38 ou n = 52k + 14 v) n = 4a + 2 e n = 13b +/- 3 => n = 52k + 10 ou n = 52k + 42 vi) n = 4a + 2 e n = 13b +/- 4 => n = 52k + 30 ou n = 52k + 22 Salvo algum erro de conta acredito que esteja correto. >2) Existem inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985?? >3)(IMO-1976)Determine, com prova, o maior número queé o produto de inteiros >positivos cuja soma é 1976. Como 1976 é par, poderíamos imaginar que a decomposição de 1976 como soma de inteiros positivos que possui o maior produto seja 1976 = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2, onde temos 988 2's. Entretanto, notemos que se no lugar da soma de três números dois (2 + 2 + 2 = 6) escrevermos 3 + 3 (= 6), temos que 2.2.2 < 3.3 (8 < 9), onde concluímos que devemos substituir cada conjunto de 3 números 2 por 2 números 3 para maximizar o produto. Se fizermos o mesmo para 4, notamos que desta vez não seria melhor substituir 4 números 3 por 3 números 4, pois 3.3.3.3 > 4.4.4 (81 > 64), o mesmo raciocínio valendo para 5, uma vez que 3.3.3.3.3 > 5.5.5 (243 > 125). Desta forma, concluímos que a decomposição de qualquer inteiro n como soma de inteiros positivos tal que o produto destes inteiros seja o maior possível deve possuir o maior número possível de 3's, completando com 2's (se necessário). Assim, podemos separar em 3 casos: i) se n = 3k: n = 3 + 3 + 3 + ... + 3 => Pn = 3^k ii) se n = 3k + 1: n = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 2 + 2 => Pn = 4.3^(k 1) iii) se n = 3k + 2: n = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 2 => Pn = 2.3^k Como 1976 = 3.658 + 2, a decomposição de 1976 como soma de inteiros positivos que possui maior produto deste inteiros é 1976 = 3 + 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 3 + 2, onde temos 658 números 3, e o produto é igual a P1976 = 2.3^658. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re:[obm-l] treino para olimpiadas...
Tipo... As primeira e a segunda ainda eu vou tentar...mais a terceira sai por derivadaassim X(1976-X)= -x²-1976x Deriva essa funçãoe acha u ponto máximo... __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] treino para olimpiadas...
Quem pode dar uma força nessas pelo menos?? 1)para que valores de n, 5^n+n^6 é divisivel por 13? 2) Existem inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985?? 3)(IMO-1976)Determine, com prova, o maior número queé o produto de inteiros positivos cuja soma é 1976. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olimpiadas...
não recebi sua mensagem Dirichilet...poderia mandar de novo?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino para olimpiadas...
ANSWER: 03)Veja tudo modulo 5. 04)Se m=p/q,MDC(p,q)=1,entao m+1/m=(p^2+q^2)/(p*q).Analise tudo "em cima" (ou numerador) modulo p:p^2=0(mod q),logo q|p.Logo q=1.Analogamente p=1,e fim! 07)Analise modulo 7. >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] treino para olimpiadas... >Date: Mon, 1 Apr 2002 15:29:36 EST > >E ai rapaziada.resolvam essas questões pra mim por favorquero ver >outras resoluções para ver se as minhas são otimizadas. >1)para que valores de n o numero 5^n+n^5 é divisivel por 13? >2)Existem valores inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985?? >3)Provar que 1979^1980+64 não é primo. >4) Mostre que, se m é um numero racional positivo, então m +1/m é um inteiro >somente se m=1. >5) Mostre que se né um inteiro positivo maior do que 1, então >1+1/2+1/3+...+1/n não é um inteiro. >6)Prove que para qualquer inteiro positivo n, [n/3]+[ >(n+2)/6]+[(n+4)/6]=[n/2]+[(n+3)/6], onde [x]=parte inteira de x. >7)calcule a soma de 6+66+666++6( n 6´s, n maior ou igual >a 1) >8)(imo-1976) Determine, com prova, o maior numero que é o produto de inteiros >positivos cuja soma é 1976. >9)(IMO-1964) >a) Encontre todos os inteiros positivos n para os quais 2^n-1 é divisivel por >7. >b) Prove que não há inteiro positivo n para o qual 2^n+1 é divisivel por 7... >As resoluções que me forem mandadas serão de grandiosissima ajuda. > Desde já agradeço, > Crom > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é<[EMAIL PROTECTED]> >= O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar, editar e imprimir suas fotos preferidas. http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] treino para olimpiadas...
E ai rapaziada.resolvam essas questões pra mim por favorquero ver outras resoluções para ver se as minhas são otimizadas. 1)para que valores de n o numero 5^n+n^6 é divisivel por 13? 2)Existem valores inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985?? 3)Provar que 1979^1980+64 não é primo. 4) Mostre que, se m é um numero racional positivo, então m +1/m é um inteiro somente se m=1. 5) Mostre que se né um inteiro positivo maior do que 1, então 1+1/2+1/3+...+1/n não é um inteiro. 6)Prove que para qualquer inteiro positivo n, [n/3]+[ (n+2)/6]+[(n+4)/6]=[n/2]+[(n+3)/6], onde [x]=parte inteira de x. 7)calcule a soma de 6+66+666++6( n 6´s, n maior ou igual a 1) 8)(imo-1976) Determine, com prova, o maior numero que é o produto de inteiros positivos cuja soma é 1976. 9)(IMO-1964) a) Encontre todos os inteiros positivos n para os quais 2^n-1 é divisivel por 7. b) Prove que não há inteiro positivo n para o qual 2^n+1 é divisivel por 7... As resoluções que me forem mandadas serão de grandiosissima ajuda. Desde já agradeço, Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] treino pra olimpiada.
Olá a todos, Como o Crom desconfiava esse problema é sim uma "pegada" e as resoluções mais simples estão erradas já que se deve considerar as pequenas variações que o ponteiro das horas (que é o dos minutos pois está trocado) sofre quando a hora não é cheia. Um livro da MIR conta que esse problema foi proposto por A. Moshkovski (biógrafo e amigo de Einstein) desejando distrair o famoso físico durante sua doença. Conta também que a resposta de Einstein foi : "Esse problema é muito apropriado para uma pessoa obrigada pela sua doença a permanecer na cama : desperta bastante interesse e não é muito fácil. Porém, temo que a distração dure pouco tempo : já encontrei uma forma de resolvê-lo." Esperarei outras tentativas da lista antes de enviar a resolução que consta no livro. Um abraço, Raul > Detesto problemas de relógio, pois minha capacidade de visualiza-los em > movimento é terrivel...prefiro problemas de teoria dos numeros...mas > preciso > que me ajudem a resolver esse, pois mesmo sendo simples , pois o fiz > rapidamente, acho que pode ser uma pegada. > Um relojoeiro, ao terminarn o conserto de um relógio, fixou o ponteiro > das > horas no eixo relativo ao dos minutos e o dos minutos no das horas. > Sabendo-se que ele acertou esse relógio as 2:00 horas, determine a que > horas > o relógio marcará a hora certa de novo pela primeira vez nesse ai você tem que visualizar dois relógios, esse e um relógio certo. algumas observações importantes: a cada hora que passa, passam 5 minutos no defeituoso. e a cada 5 minutos, passa uma hora no defeituoso. ao decorrer do tempo, os relógios estariam assim: certo | defeituoso 2:00 | 2:00 2:05 | 3:00 2:10 | 4:00 2:15 | 5:00 2:30 | 8:00 2:50 | 12:00 2:55 | 1:00 3:00 | 2:05 3:05 | 3:05 então, as 3:05 o relógio defeituoso ficaria exatamente igual ao relógio certo. ,Hélder Suzuki
Re: [obm-l] treino pra olimpiada.
> Detesto problemas de relógio, pois minha capacidade de visualiza-los em > movimento é terrivel...prefiro problemas de teoria dos numeros...mas > preciso > que me ajudem a resolver esse, pois mesmo sendo simples , pois o fiz > rapidamente, acho que pode ser uma pegada. > Um relojoeiro, ao terminarn o conserto de um relógio, fixou o ponteiro > das > horas no eixo relativo ao dos minutos e o dos minutos no das horas. > Sabendo-se que ele acertou esse relógio as 2:00 horas, determine a que > horas > o relógio marcará a hora certa de novo pela primeira vez nesse ai você tem que visualizar dois relógios, esse e um relógio certo. algumas observações importantes: a cada hora que passa, passam 5 minutos no defeituoso. e a cada 5 minutos, passa uma hora no defeituoso. ao decorrer do tempo, os relógios estariam assim: certo | defeituoso 2:00 | 2:00 2:05 | 3:00 2:10 | 4:00 2:15 | 5:00 2:30 | 8:00 2:50 | 12:00 2:55 | 1:00 3:00 | 2:05 3:05 | 3:05 então, as 3:05 o relógio defeituoso ficaria exatamente igual ao relógio certo. ,Hélder Suzuki ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] treino pra olimpiada.
E ai rapaziada! Tudo bem?? Detesto problemas de relógio, pois minha capacidade de visualiza-los em movimento é terrivel...prefiro problemas de teoria dos numeros...mas preciso que me ajudem a resolver esse, pois mesmo sendo simples , pois o fiz rapidamente, acho que pode ser uma pegada. Um relojoeiro, ao terminarn o conserto de um relógio, fixou o ponteiro das horas no eixo relativo ao dos minutos e o dos minutos no das horas. Sabendo-se que ele acertou esse relógio as 2:00 horas, determine a que horas o relógio marcará a hora certa de novo pela primeira vez.vou aproveitar e mandar outro... Cinco senhoras acompanhadas por suas filhas solteiras compraram tecidos na mesma loja. Cada uma das dez comp´rou tantos metros de tecidos quantos foram os reais pagos por metro. Cada mãe gastou 405 reais a mais que a sua filha e todas compraram numeros inteiros de metros. A senhora Rocha gastou 288 reais mais que a senhora Costa, que gastou cerca de um quarto do que a senhora Alves gastou. A senhora Silva foi a que mais gastou. A senhora Barros comprou 63 metros a mais do que Beatriz, uma das meninas. Ana comprou 48 metros mais do que maria e gastou 2912 reais mais do que Ema. A outra menina se chama Dora. Qual é seu sobrenome?? Um Abraço, Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
