[obm-l] Triangulo oco - centro de gravidade
Ola' Santa Rita, obrigado pelo elogio. Mas o culpado foi voce mesmo, ao trazer problemas interessantes para a lista. Parabens! Alias, o Nehab e' outro provocador - vide o probleminha que ele propos (e que eu reescrevo abaixo): Dado o desenho de uma armacao triangular, feita de arame extremamente fino (unidimensional), encontre o seu centro de gravidade, utilizando-se apenas de desenho geometrico. (ou seja, a solucao tem que ser tracada, nao podendo ser apenas expressa por meio de equacoes.) Abracos a todos, Rogerio Ponce 2009/5/9 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Ponce, Nehab, Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ponce, a sua solucao, simples e bela, e tipica de uma Matematica de qualidade. Parabens por ela ! Fico feliz por ter iniciado uma discussao que lhe interessou, trouxe o Ralph, o Shine e levou outros Matematicos de qualidade a se manifestarem. ENTRE MUITO OUTROS Matematicos de qualidade que outrora apareciam por aqui e que ja ha algum tempo nao escrevem, sem duvida se incluem o Nicolau e o Gugu. Oxala eles voltem a escrever brevemente ! Uma questao que sempre me interessou, subsidiariamente, e a seguinte : Sabemos que o INCENTRO ( Centro do Circulo inscrito a um triangulo ) nao faz parte da reta de Euler, isto e, ele nao esta NECESSARIAMENTE alinhado com os pontos notaveis que pertencem a esta reta. Assim em geral, o incentro, o circuncentro e o ortocentro formam um pequeno triangulo no interior de um triangulo dado. O que se pode falar sobre esse pequeno triangulo ? Que relacao ele mantem com o triangulo original ? Um abraco a Todos ! PSR,7090509132D = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Triangulo oco - centro de gravidade
Se minha memória não está falhando esse baricentro coincide com o incentro do triângulo dado. A demonstração é algo assim: imaginando os lados com densidade uniforme de massa cada lado pode ser trocado pelo seu ponto médio com toda massa aí concentrada. Essas massas ponctuais são proporcionais aos comprimentos dos lados respectivos, digamos a,b e c, como usual. Agora um cálculo simples de centro de massa em coordenadas cartesianas revela que as coordenadas desse baricentro são exatamente as coordenadas cartesianas do incentro do triângulo dado. Assim sendo a construção com régua e compasso é possível. Saludos Jayro Bedoff -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Rogerio Ponce Enviada em: domingo, 10 de maio de 2009 13:04 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Triangulo oco - centro de gravidade Ola' Santa Rita, obrigado pelo elogio. Mas o culpado foi voce mesmo, ao trazer problemas interessantes para a lista. Parabens! Alias, o Nehab e' outro provocador - vide o probleminha que ele propos (e que eu reescrevo abaixo): Dado o desenho de uma armacao triangular, feita de arame extremamente fino (unidimensional), encontre o seu centro de gravidade, utilizando-se apenas de desenho geometrico. (ou seja, a solucao tem que ser tracada, nao podendo ser apenas expressa por meio de equacoes.) Abracos a todos, Rogerio Ponce 2009/5/9 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Ponce, Nehab, Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ponce, a sua solucao, simples e bela, e tipica de uma Matematica de qualidade. Parabens por ela ! Fico feliz por ter iniciado uma discussao que lhe interessou, trouxe o Ralph, o Shine e levou outros Matematicos de qualidade a se manifestarem. ENTRE MUITO OUTROS Matematicos de qualidade que outrora apareciam por aqui e que ja ha algum tempo nao escrevem, sem duvida se incluem o Nicolau e o Gugu. Oxala eles voltem a escrever brevemente ! Uma questao que sempre me interessou, subsidiariamente, e a seguinte : Sabemos que o INCENTRO ( Centro do Circulo inscrito a um triangulo ) nao faz parte da reta de Euler, isto e, ele nao esta NECESSARIAMENTE alinhado com os pontos notaveis que pertencem a esta reta. Assim em geral, o incentro, o circuncentro e o ortocentro formam um pequeno triangulo no interior de um triangulo dado. O que se pode falar sobre esse pequeno triangulo ? Que relacao ele mantem com o triangulo original ? Um abraco a Todos ! PSR,7090509132D = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulo oco - centro de gravidade
Oi Ponce e demais colegas desta lista ... OBM-L, EU PENSO que um possivel objetivo comum a todos nos e justamente o de propor problemas interessantes, nao triviais, e/ou suas respectivas solucoes, quando possiveis. Procedendo assim PARECE-ME que ocorrerao duas implicacoes obvias : 1) Serao naturalmente afastados aqueles(as) que vem esta lista como um SOS para vestibulandos, concurseiros e assemelhados. 2) Serao naturalmente atraidos aqueles(as) que aspiram ler e aprender uma Matematica de mais alta qualidade. E eu tenho certeza - ate por experiencia pessoal - que com a colaboracao das inumeras pessoas talentosas que ja passaram por aqui, podemos criar um centro de discussao de Matematica Elementar que nao ficara devendo a nenhum outro centro do Mundo Quando ao problema do Nehab, e bastante razoavel supor que o campo gravitacional e constante ( pois estamos imaginando o triangulo proximo a superficie da terra). Agora, basta aplicar o teorema de Varignon. Seja ABC um triangulo. Sem perda de generalidade podemos supor que os seus vertices estao disposto tais que A esta em (0,0), B em (c,0) e C em (X,Y). E natural supor que a densidade linear de massa e constante em cada lado, donde decorre que os respectivos centros de massa dos seus lados estarao nos pontos medios destes lados. Seja d esta densidade liner. As forcas que atuam em cada ponto medio sao : No lado AB, cdg, atuando em (c/2,0) - aqui, g e a aceleracao da gravidade No lado AC, bdg, atuando em (X/2,Y/2) No lado BC, adg, atuando em ( (c+X)/2 , Y/2 ) Assim VERTICALMENTE, temos uma forca de cdg em 0, uma forca bdg em Y/2 e uma forca adg em Y/2, vale dizer, uma forca, (bdg+adg) em Y/2. A forca que equilibra tudo isso tem modulo, obviamente, igual adg + bdg + cdg atuando na posicao vertical m ( Varignon agora ) tal que : m*(adg + bdg + cdg) = cdg*0 + (bdg + adg)*(Y/2) m =( (a+b) / (a+b+c) )*(Y/2) Resultado 1 HORIZONTALMENTE, temos uma forca cdg em c/2, uma forca bdg em (X/2) e uma forca adg atuando em (c+X)/2. Para equilibrar isso devemos ter uma forca de modulo obviamente, igual adg + bdg + cdg e atuando na posicao horizontal n ( Varignon agora ) tal que : n*(adg + bdg + cdg) = cdg*(c/2) + bdg*(X/2) + adg*( (c+X)/2) n = ( (a+c)*(c/2) + (b+c)*(X/2) ) / (a + b + c) Resultado 2 Os dados em Resultado 1 e 2 sao conhecidos, bastando construir o sistema de coordenadas indicado ( traca-se por A uma perpendicular a AB, Esta perpendicular e o eixo Y; o eixo X sera a reta que suporta o lado AB). Os valores de m e n sao facilmente construtiveis. Logo: O PONTO PROCURADO Traca-se por m uma paralela ao eixo X e por n uma paralela ao eixo Y. O ponto de encontro e o ponto procurado. Um Abracao a Todos ! PSR,11005091409 pois isto afastara aqueles estudantes preguicosos , para que aqueles que nos acompanham 2009/5/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Santa Rita, obrigado pelo elogio. Mas o culpado foi voce mesmo, ao trazer problemas interessantes para a lista. Parabens! Alias, o Nehab e' outro provocador - vide o probleminha que ele propos (e que eu reescrevo abaixo): Dado o desenho de uma armacao triangular, feita de arame extremamente fino (unidimensional), encontre o seu centro de gravidade, utilizando-se apenas de desenho geometrico. (ou seja, a solucao tem que ser tracada, nao podendo ser apenas expressa por meio de equacoes.) Abracos a todos, Rogerio Ponce 2009/5/9 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Ponce, Nehab, Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ponce, a sua solucao, simples e bela, e tipica de uma Matematica de qualidade. Parabens por ela ! Fico feliz por ter iniciado uma discussao que lhe interessou, trouxe o Ralph, o Shine e levou outros Matematicos de qualidade a se manifestarem. ENTRE MUITO OUTROS Matematicos de qualidade que outrora apareciam por aqui e que ja ha algum tempo nao escrevem, sem duvida se incluem o Nicolau e o Gugu. Oxala eles voltem a escrever brevemente ! Uma questao que sempre me interessou, subsidiariamente, e a seguinte : Sabemos que o INCENTRO ( Centro do Circulo inscrito a um triangulo ) nao faz parte da reta de Euler, isto e, ele nao esta NECESSARIAMENTE alinhado com os pontos notaveis que pertencem a esta reta. Assim em geral, o incentro, o circuncentro e o ortocentro formam um pequeno triangulo no interior de um triangulo dado. O que se pode falar sobre esse pequeno triangulo ? Que relacao ele mantem com o triangulo original ? Um abraco a Todos ! PSR,7090509132D = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
Re: RES: [obm-l] Triangulo oco - centro de gravidade
Oi, Jayro Não sei se sua memória é boa ou não mas seu raciocício certamente o é. Se sua expressão incentro do triângulo dado se refere ao incentro do triângulo medial do triângulo original (formado pelos pontos médios dos lados), ok, mas ... poste a solução geométrica deste fato... Os meninos (e também os não tão meninos agradecerão). Abraços, Nehab Jayro Bedoff escreveu: Se minha memória não está falhando esse baricentro coincide com o incentro do triângulo dado. A demonstração é algo assim: imaginando os lados com densidade uniforme de massa cada lado pode ser trocado pelo seu ponto médio com toda massa aí concentrada. Essas massas ponctuais são proporcionais aos comprimentos dos lados respectivos, digamos a,b e c, como usual. Agora um cálculo simples de centro de massa em coordenadas cartesianas revela que as coordenadas desse baricentro são exatamente as coordenadas cartesianas do incentro do triângulo dado. Assim sendo a construção com régua e compasso é possível. Saludos Jayro Bedoff -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Rogerio Ponce Enviada em: domingo, 10 de maio de 2009 13:04 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Triangulo oco - centro de gravidade Ola' Santa Rita, obrigado pelo elogio. Mas o culpado foi voce mesmo, ao trazer problemas interessantes para a lista. Parabens! Alias, o Nehab e' outro provocador - vide o probleminha que ele propos (e que eu reescrevo abaixo): Dado o desenho de uma armacao triangular, feita de arame extremamente fino (unidimensional), encontre o seu centro de gravidade, utilizando-se apenas de desenho geometrico. (ou seja, a solucao tem que ser tracada, nao podendo ser apenas expressa por meio de equacoes.) Abracos a todos, Rogerio Ponce 2009/5/9 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Ponce, Nehab, Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ponce, a sua solucao, simples e bela, e tipica de uma Matematica de qualidade. Parabens por ela ! Fico feliz por ter iniciado uma discussao que lhe interessou, trouxe o Ralph, o Shine e levou outros Matematicos de qualidade a se manifestarem. ENTRE MUITO OUTROS Matematicos de qualidade que outrora apareciam por aqui e que ja ha algum tempo nao escrevem, sem duvida se incluem o Nicolau e o Gugu. Oxala eles voltem a escrever brevemente ! Uma questao que sempre me interessou, subsidiariamente, e a seguinte : Sabemos que o INCENTRO ( Centro do Circulo inscrito a um triangulo ) nao faz parte da reta de Euler, isto e, ele nao esta NECESSARIAMENTE alinhado com os pontos notaveis que pertencem a esta reta. Assim em geral, o incentro, o circuncentro e o ortocentro formam um pequeno triangulo no interior de um triangulo dado. O que se pode falar sobre esse pequeno triangulo ? Que relacao ele mantem com o triangulo original ? Um abraco a Todos ! PSR,7090509132D = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulo oco - centro de gravidade
Caros amigos: Ando sumido da lista. Mas leio frequentemente. Acrescento um fato interessante sobre o centro de gravidade do triângulo oco. Considere o incentro do triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Este ponto é o baricentro do triângulo ABC oco. Abraços, E. Wagner. Quoting Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Oi Ponce e demais colegas desta lista ... OBM-L, EU PENSO que um possivel objetivo comum a todos nos e justamente o de propor problemas interessantes, nao triviais, e/ou suas respectivas solucoes, quando possiveis. Procedendo assim PARECE-ME que ocorrerao duas implicacoes obvias : 1) Serao naturalmente afastados aqueles(as) que vem esta lista como um SOS para vestibulandos, concurseiros e assemelhados. 2) Serao naturalmente atraidos aqueles(as) que aspiram ler e aprender uma Matematica de mais alta qualidade. E eu tenho certeza - ate por experiencia pessoal - que com a colaboracao das inumeras pessoas talentosas que ja passaram por aqui, podemos criar um centro de discussao de Matematica Elementar que nao ficara devendo a nenhum outro centro do Mundo Quando ao problema do Nehab, e bastante razoavel supor que o campo gravitacional e constante ( pois estamos imaginando o triangulo proximo a superficie da terra). Agora, basta aplicar o teorema de Varignon. Seja ABC um triangulo. Sem perda de generalidade podemos supor que os seus vertices estao disposto tais que A esta em (0,0), B em (c,0) e C em (X,Y). E natural supor que a densidade linear de massa e constante em cada lado, donde decorre que os respectivos centros de massa dos seus lados estarao nos pontos medios destes lados. Seja d esta densidade liner. As forcas que atuam em cada ponto medio sao : No lado AB, cdg, atuando em (c/2,0) - aqui, g e a aceleracao da gravidade No lado AC, bdg, atuando em (X/2,Y/2) No lado BC, adg, atuando em ( (c+X)/2 , Y/2 ) Assim VERTICALMENTE, temos uma forca de cdg em 0, uma forca bdg em Y/2 e uma forca adg em Y/2, vale dizer, uma forca, (bdg+adg) em Y/2. A forca que equilibra tudo isso tem modulo, obviamente, igual adg + bdg + cdg atuando na posicao vertical m ( Varignon agora ) tal que : m*(adg + bdg + cdg) = cdg*0 + (bdg + adg)*(Y/2) m =( (a+b) / (a+b+c) )*(Y/2) Resultado 1 HORIZONTALMENTE, temos uma forca cdg em c/2, uma forca bdg em (X/2) e uma forca adg atuando em (c+X)/2. Para equilibrar isso devemos ter uma forca de modulo obviamente, igual adg + bdg + cdg e atuando na posicao horizontal n ( Varignon agora ) tal que : n*(adg + bdg + cdg) = cdg*(c/2) + bdg*(X/2) + adg*( (c+X)/2) n = ( (a+c)*(c/2) + (b+c)*(X/2) ) / (a + b + c) Resultado 2 Os dados em Resultado 1 e 2 sao conhecidos, bastando construir o sistema de coordenadas indicado ( traca-se por A uma perpendicular a AB, Esta perpendicular e o eixo Y; o eixo X sera a reta que suporta o lado AB). Os valores de m e n sao facilmente construtiveis. Logo: O PONTO PROCURADO Traca-se por m uma paralela ao eixo X e por n uma paralela ao eixo Y. O ponto de encontro e o ponto procurado. Um Abracao a Todos ! PSR,11005091409 pois isto afastara aqueles estudantes preguicosos , para que aqueles que nos acompanham 2009/5/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Santa Rita, obrigado pelo elogio. Mas o culpado foi voce mesmo, ao trazer problemas interessantes para a lista. Parabens! Alias, o Nehab e' outro provocador - vide o probleminha que ele propos (e que eu reescrevo abaixo): Dado o desenho de uma armacao triangular, feita de arame extremamente fino (unidimensional), encontre o seu centro de gravidade, utilizando-se apenas de desenho geometrico. (ou seja, a solucao tem que ser tracada, nao podendo ser apenas expressa por meio de equacoes.) Abracos a todos, Rogerio Ponce 2009/5/9 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Ponce, Nehab, Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ponce, a sua solucao, simples e bela, e tipica de uma Matematica de qualidade. Parabens por ela ! Fico feliz por ter iniciado uma discussao que lhe interessou, trouxe o Ralph, o Shine e levou outros Matematicos de qualidade a se manifestarem. ENTRE MUITO OUTROS Matematicos de qualidade que outrora apareciam por aqui e que ja ha algum tempo nao escrevem, sem duvida se incluem o Nicolau e o Gugu. Oxala eles voltem a escrever brevemente ! Uma questao que sempre me interessou, subsidiariamente, e a seguinte : Sabemos que o INCENTRO ( Centro do Circulo inscrito a um triangulo ) nao faz parte da reta de Euler, isto e, ele nao esta NECESSARIAMENTE alinhado com os pontos notaveis que pertencem a esta reta. Assim em geral, o incentro, o circuncentro e o ortocentro formam um pequeno triangulo no interior de um triangulo dado. O que se pode falar sobre esse pequeno triangulo ? Que relacao ele mantem com o triangulo original ? Um abraco a Todos ! PSR,7090509132D = Instruções para entrar na lista, sair da lista e
Re: [obm-l] Triangulo oco - centro de gravidade
Oba, Wagner, Que bom que você deu um oi... Você está no Rio ou no Ceará, a terra dos matemáticos :-) ? Fico feliz em vê-lo por aqui, mas que covardia, dando a solução do problema,... sem a SUA solução !... Abraços Nehab wag...@impa.br escreveu: Caros amigos: Ando sumido da lista. Mas leio frequentemente. Acrescento um fato interessante sobre o centro de gravidade do triângulo oco. Considere o incentro do triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Este ponto é o baricentro do triângulo ABC oco. Abraços, E. Wagner. Quoting Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Oi Ponce e demais colegas desta lista ... OBM-L, EU PENSO que um possivel objetivo comum a todos nos e justamente o de propor problemas interessantes, nao triviais, e/ou suas respectivas solucoes, quando possiveis. Procedendo assim PARECE-ME que ocorrerao duas implicacoes obvias : 1) Serao naturalmente afastados aqueles(as) que vem esta lista como um SOS para vestibulandos, concurseiros e assemelhados. 2) Serao naturalmente atraidos aqueles(as) que aspiram ler e aprender uma Matematica de mais alta qualidade. E eu tenho certeza - ate por experiencia pessoal - que com a colaboracao das inumeras pessoas talentosas que ja passaram por aqui, podemos criar um centro de discussao de Matematica Elementar que nao ficara devendo a nenhum outro centro do Mundo Quando ao problema do Nehab, e bastante razoavel supor que o campo gravitacional e constante ( pois estamos imaginando o triangulo proximo a superficie da terra). Agora, basta aplicar o teorema de Varignon. Seja ABC um triangulo. Sem perda de generalidade podemos supor que os seus vertices estao disposto tais que A esta em (0,0), B em (c,0) e C em (X,Y). E natural supor que a densidade linear de massa e constante em cada lado, donde decorre que os respectivos centros de massa dos seus lados estarao nos pontos medios destes lados. Seja d esta densidade liner. As forcas que atuam em cada ponto medio sao : No lado AB, cdg, atuando em (c/2,0) - aqui, g e a aceleracao da gravidade No lado AC, bdg, atuando em (X/2,Y/2) No lado BC, adg, atuando em ( (c+X)/2 , Y/2 ) Assim VERTICALMENTE, temos uma forca de cdg em 0, uma forca bdg em Y/2 e uma forca adg em Y/2, vale dizer, uma forca, (bdg+adg) em Y/2. A forca que equilibra tudo isso tem modulo, obviamente, igual adg + bdg + cdg atuando na posicao vertical m ( Varignon agora ) tal que : m*(adg + bdg + cdg) = cdg*0 + (bdg + adg)*(Y/2) m =( (a+b) / (a+b+c) )*(Y/2) Resultado 1 HORIZONTALMENTE, temos uma forca cdg em c/2, uma forca bdg em (X/2) e uma forca adg atuando em (c+X)/2. Para equilibrar isso devemos ter uma forca de modulo obviamente, igual adg + bdg + cdg e atuando na posicao horizontal n ( Varignon agora ) tal que : n*(adg + bdg + cdg) = cdg*(c/2) + bdg*(X/2) + adg*( (c+X)/2) n = ( (a+c)*(c/2) + (b+c)*(X/2) ) / (a + b + c) Resultado 2 Os dados em Resultado 1 e 2 sao conhecidos, bastando construir o sistema de coordenadas indicado ( traca-se por A uma perpendicular a AB, Esta perpendicular e o eixo Y; o eixo X sera a reta que suporta o lado AB). Os valores de m e n sao facilmente construtiveis. Logo: O PONTO PROCURADO Traca-se por m uma paralela ao eixo X e por n uma paralela ao eixo Y. O ponto de encontro e o ponto procurado. Um Abracao a Todos ! PSR,11005091409 pois isto afastara aqueles estudantes preguicosos , para que aqueles que nos acompanham 2009/5/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Santa Rita, obrigado pelo elogio. Mas o culpado foi voce mesmo, ao trazer problemas interessantes para a lista. Parabens! Alias, o Nehab e' outro provocador - vide o probleminha que ele propos (e que eu reescrevo abaixo): Dado o desenho de uma armacao triangular, feita de arame extremamente fino (unidimensional), encontre o seu centro de gravidade, utilizando-se apenas de desenho geometrico. (ou seja, a solucao tem que ser tracada, nao podendo ser apenas expressa por meio de equacoes.) Abracos a todos, Rogerio Ponce 2009/5/9 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Ponce, Nehab, Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ponce, a sua solucao, simples e bela, e tipica de uma Matematica de qualidade. Parabens por ela ! Fico feliz por ter iniciado uma discussao que lhe interessou, trouxe o Ralph, o Shine e levou outros Matematicos de qualidade a se manifestarem. ENTRE MUITO OUTROS Matematicos de qualidade que outrora apareciam por aqui e que ja ha algum tempo nao escrevem, sem duvida se incluem o Nicolau e o Gugu. Oxala eles voltem a escrever brevemente ! Uma questao que sempre me interessou, subsidiariamente, e a seguinte : Sabemos que o INCENTRO ( Centro do Circulo inscrito a um triangulo ) nao faz parte da reta de Euler, isto e, ele nao esta NECESSARIAMENTE alinhado com os pontos notaveis que pertencem a esta reta. Assim em geral, o incentro, o circuncentro e o ortocentro formam um pequeno triangulo no interior de um triangulo dado. O que se
[obm-l] triangulo formado
O triangulo formado pelos pontos P(1,-3,-2), Q(2,0,-4) e R(6,-2,-5) é retangulo? Para que valores de b os vetores u = (-6,b,2) e v +(b,2b,b) são ortogonais?
Re: [obm-l] triangulo formado
Se u = (a,b,c) e v = (d,e,f) são vetores então o produto escalar definido por u.v = a*d + b*e + c*f será utilizado aqui. O vetor P-Q = PQ = (1, 3, -2), o vetor PR = (5,1, -3) E O vetor QR = (4,-2,-1) Note que o produto escalar entre PQ e QR = 4*1 + 3*(-2) + (-1)*(-2) = 0 logo ele é retângulo. Quanto a segunda questão eles são ortogonais se u.v = 0 (produto escalar nulo) então -6*b +b*2b + 2*b = 0 logo 2(b^2) -4b = 0 -- b(2b - 4) = 0 -- b = 0 ou b=2. 2009/4/11 RitaGomes rcggo...@terra.com.br O triangulo formado pelos pontos P(1,-3,-2), Q(2,0,-4) e R(6,-2,-5) é retangulo? Para que valores de b os vetores u = (-6,b,2) e v +(b,2b,b) são ortogonais? -- Denisson
Re: [obm-l] triangulo inscrito
Não seria 100pi/x^2? João Gabriel Preturlan [EMAIL PROTECTED] escreveu: Peço ajuda com o seguinte problema: Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo medir 20cm e a soma dos senos dos seus ângulos internos for igual a x, então qual será a área do círculo em centímetros quadrados? a) 50 . (pi) b) 75 . (pi) c) 100 . (pi) d) 125 . (pi) e) 150 . (pi) Grato! JG No virus found in this outgoing message. Checked by AVG. Version: 7.5.524 / Virus Database: 269.23.2/1387 - Release Date: 19/04/2008 11:31 - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
RES: [obm-l] triangulo inscrito
Então, grego, eu também cheguei em 100 pi/x^2 e em algumas outras equações que não foram úteis... Imagino que o difícil do exercício seja descobrir o valor de x (que foi o que eu não consegui), ou então seja descobrir que a solução final independe de x, ou até mesmo se exista alguma relação entre senos dos ângulos internos de um triângulo qualquer que eu desconheça... este teste caiu na prova do ITA de 89... Então se alguém puder dar uma ajuda, eu agradeço muito. JG De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de grego Enviada em: domingo, 20 de abril de 2008 07:36 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] triangulo inscrito Não seria 100pi/x^2? João Gabriel Preturlan [EMAIL PROTECTED] escreveu: Peço ajuda com o seguinte problema: Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo medir 20cm e a soma dos senos dos seus ângulos internos for igual a x, então qual será a área do círculo em centímetros quadrados? 50 . (pi) 75 . (pi) 100 . (pi) 125 . (pi) 150 . (pi) Grato! JG No virus found in this outgoing message. Checked by AVG. Version: 7.5.524 / Virus Database: 269.23.2/1387 - Release Date: 19/04/2008 11:31 _ Abra sua conta no HYPERLINK http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.mail.yahoo.com/Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! No virus found in this incoming message. Checked by AVG. Version: 7.5.524 / Virus Database: 269.23.2/1387 - Release Date: 19/04/2008 11:31 No virus found in this outgoing message. Checked by AVG. Version: 7.5.524 / Virus Database: 269.23.2/1387 - Release Date: 19/04/2008 11:31
[obm-l] triangulo inscrito
Peço ajuda com o seguinte problema: Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo medir 20cm e a soma dos senos dos seus ângulos internos for igual a x, então qual será a área do círculo em centímetros quadrados? a) 50 . (pi) b) 75 . (pi) c) 100 . (pi) d) 125 . (pi) e) 150 . (pi) Grato! JG No virus found in this outgoing message. Checked by AVG. Version: 7.5.524 / Virus Database: 269.23.2/1387 - Release Date: 19/04/2008 11:31
Re: [obm-l] TRIANGULO ABC
Questao: (UFPB-77) Num triângulo ABC cujos ângulos são A, B e C. Supõe-se que 2tg A = tg B + tg C e 0 A pi/2. Neste triângulo vale a relação: a) tg B.tg C = 3. b) cos (B – C) = 2sec A. c) cos (B + C) = 2cos A. d) tg B.tg C = rq3. e) nenhuma das respostas. solucao: 2tgA = tgB + tgC (#eq1) sendo Pi = A + B + C, temos que A = Pi - (B + C) logo tgA = tg[Pi - (B + C)] - tgA = - tg[B + C] (#eq2) todavia, podemos escrever um sistemacomposto por duas equacoes 2.tgA = tgB + tgC tgA = - tg[B + C] substituindo o valor de tgA obtido em (#eq2) em (#tgA), temos 2.tgA = tgB + tgC - -2.tg[B + C] = tgB + tgC - -2.(tgB + tgC)/(1-tgB.tgC) = tgB + tgC**dividindo por (tgB + tgC) - -2/(1-tgB.tgC) = 1 - -2 = 1-tgB.tgC - -2 -1 = -tgB.tgC - tgB.tgC = 3 Resposta: (a) by Ivan
Re: [obm-l] TRIANGULO ABC
(I) tg(B+C)=tg(pi-A)=sen(pi-A)/cos(pi-A)=sen(A)/[-cos(A)]=-tg(A) por outro lado (*) tg(B+C)=sen(B+C)/cos(b+C)=[sen(B)con(C)+sen(C)cos(B)]/[cos(B)cos(C)-sen(B)sen(C)] dividindo por sen(B)cos(C): (*) =[1+tg(C)cotg(B)]/[cotg(B)-tg(C)] = [tg(B)+tg(C)]/[1-tg(B)tg(C)] = [2tg(A)]/[1-tg(B)tg(C)] e por (I) segue que [2tg(A)]/[1-tg(B)tg(C)] = -tg(A) = = 2tg(A)=-tg(A)[1-tg(B)tg(C)] = -2=1-tg(B)tg(C) = tg(B)tg(C)=3 que é o ítem A. Só falta justificar algumas passagens, como dividir por algo (verificar se isto é possível através das hipóteses do problema). Deixo pra vc! Até, Citando arkon [EMAIL PROTECTED]: ALGUÉM PODE, POR FAVOR, RESOLVER ESTA: (UFPB-77) Num triângulo ABC cujos ângulos são A, B e C. Supõe-se que 2tg A = tg B + tg C e 0 A pi/2. Neste triângulo vale a relação: a) tg B.tg C = 3. b) cos (B C) = 2sec A. c) cos (B + C) = 2cos A. d) tg B.tg C = rq3.e) nenhuma das respostas. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- Arlane Manoel S Silva MAT-IME-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] TRIANGULO ABC
ALGUÉM PODE, POR FAVOR, RESOLVER ESTA: (UFPB-77) Num triângulo ABC cujos ângulos são A, B e C. Supõe-se que 2tg A = tg B + tg C e 0 A pi/2. Neste triângulo vale a relação: a) tg B.tg C = 3. b) cos (B C) = 2sec A. c) cos (B + C) = 2cos A. d) tg B.tg C = rq3.e) nenhuma das respostas. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
[obm-l] TRIANGULO ABC
ALGUÉM PODE, POR FAVOR, RESOLVER ESTA: (UFPB-77) Num triângulo ABC cujos ângulos são A, B e C. Supõe-se que 2tg A = tg B + tg C e 0 A pi/2. Neste triângulo vale a relação: a) tg B.tg C = 3. b) cos (B C) = 2sec A. c) cos (B + C) = 2cos A. d) tg B.tg C = rq3.e) nenhuma das respostas. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] TRIANGULO ABC
Mais um... Como A, B e C são as medidas dos lados de um triângulo temos que: A+B+C=180° == A+[B+C]=180° ou seja as medidas A e [B+C] são suplementares, logo temos que tgA = -tg[B+C] (lembre que quando dois ângulos somam 180° as suas tangente têm o mesmo módulo e sinais contrários) por outro lado, tg[B+C] = (tgB+tgC)/(1-tgB.tgC) como 2.tgA=tgB+tgC segue que tgA = -tg[B+C] == tgA = - (tgB+tgC)/(1-tgB.tgC) == tgA = - 2tgA / (1-tgB.tgC) como 0A90° (de acordo com o enunciado) temos que neste intervalo tgA é sempre diferente de zero e portanto pode ser cancelada em tgA = - 2tgA / (1-tgB.tgC) o que implica que 1 = - 2/(1-tgB.tgC) == (1-tgB.tgC) = - 2 = tgB.tgC=3 alternativa A valew, Cgomes - Original Message - From: arkon To: obm-l Sent: Friday, September 28, 2007 8:56 AM Subject: [obm-l] TRIANGULO ABC ALGUÉM PODE, POR FAVOR, RESOLVER ESTA: (UFPB-77) Num triângulo ABC cujos ângulos são A, B e C. Supõe-se que 2tg A = tg B + tg C e 0 A pi/2. Neste triângulo vale a relação: a) tg B.tg C = 3. b) cos (B - C) = 2sec A. c) cos (B + C) = 2cos A. d) tg B.tg C = rq3.e) nenhuma das respostas. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
RE: [obm-l] TRIANGULO-UFPB
(UFPB-78) A base de um triângulo T tem 10 m e sua altura 12 m. A que distância do vértice devemos cortar este triângulo por uma paralela à sua base, de modo que a área do trapézio obtido seja média proporcional entre a área de T e a do triângulo resultante do corte? A distância será, em metros: a) 6(rq5 + 1). b) 6(rq5 - 1). c) 7(rq5 - 1). d) 7(rq5 + 1). e) diferente dos anteriores. == Média proporcional... maneiro.. fazia um tempinho q eu nao via uma questão com isso. Área do trapézio: A_tp Área do triângulo maior: A_T Área do triângulo menor: A_t A_T = 10.12 / 2 = 60 m² Queremos que: A_T / A_tp = A_tp / A_t (média proporcional) ou (A_tp)² = 60 . A_t (1) == Como T e t são semelhantes, temos que: Base do corte: b Distância do corte ao vértice: h b/h = 10/12 --- b = 5.h/6(2) == De (1): [ (10 + b).(12 - h) / 2 ]² = 60 . ( b.h/2 ) Substitua b pela relação obtida em (2) Aí é só contarada. Boa sorte. Abraços, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] TRIANGULO-UFPB
Alguém da lista poderia resolver, por favor, a seguinte questão? Desde já agradeço. ABRAÇOS. (UFPB-78) A base de um triângulo T tem 10 m e sua altura 12 m. A que distância do vértice devemos cortar este triângulo por uma paralela à sua base, de modo que a área do trapézio obtido seja média proporcional entre a área de T e a do triângulo resultante do corte? A distância será, em metros: a) 6(rq5 + 1). b) 6(rq5 - 1). c) 7(rq5 - 1). d) 7(rq5 + 1). e) diferente dos anteriores.
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Oi Rogério, não era de hoje que eu implorava por alguma solução. Não sei se os outros não gostaram ou não tiveram saco para ir até ao final, mas eu li agora sua demonstração e gostei bastante. Muito obrigado! -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 20 Sep 2006 01:14:08 + (GMT) Assunto: Re: [obm-l] Triangulo Equilatero Ola' amigos, vamos ao problema do triangulo equilatero, em sua versao final (espero) ! Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas, e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas. Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de menor ou igual e maior ou igual. Tambem usarei * em lugar de graus , na medida de alguns angulos. Bem, primeiramente, relembremos algumas propriedades intuitivas, a respeito de triangulos. Teorema 1 Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z. Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se, o lado x e' maior que o lado y. --- Reescrevendo isso: (XY) -- (xy) Provemos a ida (XY) -- (xy) : Seja XY . Entao, a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x. b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x. Para provar a volta, (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva, isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmos que (X = Y) -- (x = y) Usando a ida, com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) . E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y). Assim, o teorema esta' demonstrado. Observe que a volta tambem poderia ser provada usando-se uma argumentacao semelhante 'a da ida. Teorema 2 Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que x e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior ou igual a y. Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z. ( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo) --- Suponhamos x e y constantes, e que xy. Pelo teorema.1, X = Y. Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja, x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) . Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui. Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta. Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se). Chamemos este resultado de propriedade 3. Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja, z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X) Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta. Mas a primeira parcela da direita diminui (ou permanece igual a zero, no caso de x=y), e, portanto, a segunda parcela tem que aumentar. Como y e' constante, cos(X) e' que aumenta, de forma que necessariamente X diminui. Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se). Chamemos este resultado de propriedade 3 (formalizada no teorema 3). Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta. Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se). Assim, o teorema 2 esta' demonstrado. Dele, decorrem os seguintes corolarios: --- Corolario 2a Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1, entao X1X2 se e somente se Z1Z2 . --- Corolario 2b Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1, entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 . --- Teorema 3 Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que x e y tenham comprimentos constantes. Entao, o angulo Z varia no mesmo sentido que a variacao do lado z. (o lado z aumenta 'a medida em que o angulo Z aumenta, por exemplo) --- O teorema 3 e' consequencia da propriedade 3, apontada na demonstracao anterior. E dele, tiramos os seguintes corolarios: --- Corolario 3a Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 , entao Z1Z2 se e somente se z1z2 . --- Corolario 3b (...desculpem-me pela obviedade) Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 , entao Z1=Z2 se e somente se z1=z2 . --- Vamos agora ao problema original: Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Ola' amigos,vamos ao problema do triangulo equilatero!Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLMcom K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,tambem for equilatero.OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas,e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas.Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de"menor ou igual" e "maior ou igual".Tambem usarei "*" em lugar de "graus" , na medida de alguns angulos.Bem, primeiramente, relembremos 2 propriedades intuitivas,a respeito de triangulos.Teorema 1--Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z.Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se,o lado x e' maior que o lado y.---Reescrevendo isso:(XY) -- (xy)Provemos a ida "(XY) -- (xy)" :Seja XY . Entao,a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x.b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x.Para provar "a volta", (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva,isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmosque (X = Y) -- (x = y)Usando a "ida", com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) .E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y).Assim, o teorema esta' demonstrado.Observe que a "volta" tambem poderia ser provada usando-seuma argumentacao semelhante 'a da "ida".Teorema 2--Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais quex e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior que y.Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z.( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo)---Suponhamos x e y constantes, e que xy.Pela propriedade (1), X Y.Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja,x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) .Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui.Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta.Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se).Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja,z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X)Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta.Mas a primeira parcela da direita diminui, e, portanto, a segundaparcela tem que aumentar. Como y e' constante, cos(X) e' queaumenta, de forma que necessariamente X diminui.Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se).Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta.Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se).Assim, o teorema 2 esta' demonstrado.Dele, decorrem os seguintes corolarios:---Corolario 2aEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1X2 se e somente se Z1Z2 .---Corolario 2bEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 .---Vamos agora ao problema original: Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. Demonstracao:Seja o triangulo ABC, com o triangulo equilatero KLM inscritoem ABC, conforme o enunciado.Seja "p" o comprimento de AK=BL=CM, e "t" o lado do triangulo KLM.Chamemos de A1, B1 e C1 os angulos dos vertices A,B e C.Chamemos de A2, B2 e C2 os angulos AKM, BLK e CML.Chamemos de A3, B3 e C3 os angulos KMA, LKB e MLC.Sejam "a", "b" e "c" os comprimentos de LC, MA e KB, respectivamente.(repare que AB=c+p , BC=a+p e CA=b+p)Sem perda de generalidade, seja A1 = B1 = C1 (ineq.1)Entao, pelo teorema1, a+p = b+p = c+p , de ondea = b = c e portanto, tambem pelo teo.1,C2 = A2 = B2 (ineq.2)Assim, suponhamos primeiramente que t=pEntao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C1 (teo.2),e podemos dizer queC1 = A1 = B1 (corol.2)Mas, de ineq.1, sabemos que A1 = B1 , logo A1=B1.Entao, pelo corol.2, A2=B2, o que obriga A3=B3.Mas C2 = 180* - 60* - A3e A2 = 180* - 60* - B3de forma que C2=A2, e, pelo corol.2, C1=B1.Assim, A1=B1=C1, e o triangulo ABC e' equilatero.Agora, suponhamos que tp Entao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C3 (teo.2),e podemos dizer queC3 = A3 = B3 (corol.2)Logo, 120* -C3 = 120* -A3 = 120* -B3 , ou seja,B2 = C2 = A2Assim, pela ineq.2, C2=B2 e A2=B2 , de onde A2=B2=C2,que implica em A1=B1=C1 (angulo igual entre lados iguais),de forma que o triangulo ABC e' equilatero.Mas t=p ou tp.Portanto, o triangulo ABC e' equilatero.Abracos a todos,Rogerio Ponce.PS: para quem nao "pescou" que o teorema 2 e' realmente intuitivo,sugiro o seguinte:Trace uma base ZY. Qual o lugar geometrico do vertice X?E' uma semi circunferencia (de zero a pi, ou seja, a "metade de cima"da circunferencia), com centro
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Caramba, Rogério ! Ainda tô lendo seu tratado, mas espero que os mais espertos digam que você tem razão ! Abraços, Nehab At 03:25 19/9/2006, you wrote: Ola' amigos, vamos ao problema do triangulo equilatero! Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas, e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas. Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de menor ou igual e maior ou igual. Tambem usarei * em lugar de graus , na medida de alguns angulos. Bem, primeiramente, relembremos 2 propriedades intuitivas, a respeito de triangulos. Teorema 1-- Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z. Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se, o lado x e' maior que o lado y. --- Reescrevendo isso: (XY) -- (xy) Provemos a ida (XY) -- (xy) : Seja XY . Entao, a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x. b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x. Para provar a volta, (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva, isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmos que (X = Y) -- (x = y) Usando a ida, com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) . E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y). Assim, o teorema esta' demonstrado. Observe que a volta tambem poderia ser provada usando-se uma argumentacao semelhante 'a da ida. Teorema 2-- Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que x e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior que y. Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z. ( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo) --- Suponhamos x e y constantes, e que xy. Pela propriedade (1), X Y. Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja, x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) . Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui. Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta. Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se). Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja, z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X) Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta. Mas a primeira parcela da direita diminui, e, portanto, a segunda parcela tem que aumentar. Como y e' constante, cos(X) e' que aumenta, de forma que necessariamente X diminui. Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se). Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta. Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se). Assim, o teorema 2 esta' demonstrado. Dele, decorrem os seguintes corolarios: --- Corolario 2a Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1, entao X1X2 se e somente se Z1Z2 . --- Corolario 2b Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1, entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 . --- Vamos agora ao problema original: Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. Demonstracao: Seja o triangulo ABC, com o triangulo equilatero KLM inscrito em ABC, conforme o enunciado. Seja p o comprimento de AK=BL=CM, e t o lado do triangulo KLM. Chamemos de A1, B1 e C1 os angulos dos vertices A,B e C. Chamemos de A2, B2 e C2 os angulos AKM, BLK e CML. Chamemos de A3, B3 e C3 os angulos KMA, LKB e MLC. Sejam a, b e c os comprimentos de LC, MA e KB, respectivamente. (repare que AB=c+p , BC=a+p e CA=b+p) Sem perda de generalidade, seja A1 = B1 = C1 (ineq.1) Entao, pelo teorema1, a+p = b+p = c+p , de onde a = b = c e portanto, tambem pelo teo.1, C2 = A2 = B2 (ineq.2) Assim, suponhamos primeiramente que t=p Entao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C1 (teo.2), e podemos dizer que C1 = A1 = B1 (corol.2) Mas, de ineq.1, sabemos que A1 = B1 , logo A1=B1. Entao, pelo corol.2, A2=B2, o que obriga A3=B3. Mas C2 = 180* - 60* - A3 e A2 = 180* - 60* - B3 de forma que C2=A2, e, pelo corol.2, C1=B1. Assim, A1=B1=C1, e o triangulo ABC e' equilatero. Agora, suponhamos que tp Entao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C3 (teo.2), e podemos dizer que C3 = A3 = B3 (corol.2) Logo, 120* -C3 = 120* -A3 = 120* -B3 , ou seja, B2 = C2 = A2 Assim, pela ineq.2, C2=B2 e A2=B2 , de onde A2=B2=C2, que implica em A1=B1=C1 (angulo igual entre lados iguais), de forma que o triangulo ABC e' equilatero. Mas t=p ou tp. Portanto, o triangulo ABC e' equilatero. Abracos a todos, Rogerio Ponce. PS:
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Ola' pessoal, corrigindo a dica que eu dei no final : o centro da circunferencia e' o vertice Z (e nao o vertice X). Assim, a receita fica da seguinte forma: --- Para quem nao "pescou" que o teorema 2 e' realmente intuitivo, sugiro o seguinte: Trace uma base ZY. Qual o lugar geometrico do vertice X? E' uma semi circunferencia (de zero a pi, ou seja, a "metade de cima" da circunferencia), com centro em Z, e raio y, menor que ZY. Agora, fazendo o ponto X "caminhar" sobre a circunferencia (isto e', aumentando-se o angulo X), e tracando-se XZ e XY, devera' ser facil perceber a relacao apontada entre os angulos X e Z.--- Abracos, Rogerio PonceRogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' amigos,vamos ao problema do triangulo equilatero!Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLMcom K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,tambem for equilatero.OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas,e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas.Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de"menor ou igual" e "maior ou igual".Tambem usarei "*" em lugar de "graus" , na medida de alguns angulos.Bem, primeiramente, relembremos 2 propriedades intuitivas,a respeito de triangulos.Teorema 1--Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z.Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se,o lado x e' maior que o lado y.---Reescrevendo isso:(XY) -- (xy)Provemos a ida "(XY) -- (xy)" :Seja XY . Entao,a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x.b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x.Para provar "a volta", (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva,isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmosque (X = Y) -- (x = y)Usando a "ida", com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) .E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y).Assim, o teorema esta' demonstrado.Observe que a "volta" tambem poderia ser provada usando-seuma argumentacao semelhante 'a da "ida".Teorema 2--Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais quex e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior que y.Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z.( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo)---Suponhamos x e y constantes, e que xy.Pela propriedade (1), X Y.Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja,x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) .Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui.Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta.Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se).Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja,z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X)Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta.Mas a primeira parcela da direita diminui, e, portanto, a segundaparcela tem que aumentar. Como y e' constante, cos(X) e' queaumenta, de forma que necessariamente X diminui.Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se).Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta.Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se).Assim, o teorema 2 esta' demonstrado.Dele, decorrem os seguintes corolarios:---Corolario 2aEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1X2 se e somente se Z1Z2 .---Corolario 2bEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 .---Vamos agora ao problema original: Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. Demonstracao:Seja o triangulo ABC, com o triangulo equilatero KLM inscritoem ABC, conforme o enunciado.Seja "p" o comprimento de AK=BL=CM, e "t" o lado do triangulo KLM.Chamemos de A1, B1 e C1 os angulos dos vertices A,B e C.Chamemos de A2, B2 e C2 os angulos AKM, BLK e CML.Chamemos de A3, B3 e C3 os angulos KMA, LKB e MLC.Sejam "a", "b" e "c" os comprimentos de LC, MA e KB, respectivamente.(repare que AB=c+p , BC=a+p e CA=b+p)Sem perda de generalidade, seja A1 = B1 = C1 (ineq.1)Entao, pelo teorema1, a+p = b+p = c+p , de ondea = b = c e portanto, tambem pelo teo.1,C2 = A2 = B2 (ineq.2)Assim, suponhamos primeiramente que t=pEntao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C1 (teo.2),e podemos dizer queC1 = A1 = B1 (corol.2)Mas, de ineq.1, sabemos que A1 = B1 , logo A1=B1.Entao, pelo corol.2, A2=B2, o que obriga A3=B3.Mas C2 = 180* - 60* - A3e A2 = 180* - 60* - B3de forma que C2=A2, e,
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Ola' amigos,vamos ao problema do triangulo equilatero, em sua versao final (espero) !Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLMcom K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,tambem for equilatero.OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas,e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas.Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de"menor ou igual" e "maior ou igual".Tambem usarei "*" em lugar de "graus" , na medida de alguns angulos.Bem, primeiramente, relembremos algumas propriedades intuitivas,a respeito de triangulos.Teorema 1Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z.Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se,o lado x e' maior que o lado y.---Reescrevendo isso:(XY) -- (xy)Provemos a ida "(XY) -- (xy)" :Seja XY . Entao,a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x.b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x.Para provar "a volta", (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva,isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmosque (X = Y) -- (x = y)Usando a "ida", com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) .E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y).Assim, o teorema esta' demonstrado.Observe que a "volta" tambem poderia ser provada usando-seuma argumentacao semelhante 'a da "ida".Teorema 2Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais quex e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior ou igual a y.Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z.( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo)---Suponhamos x e y constantes, e que xy.Pelo teorema.1, X = Y.Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja,x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) .Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui.Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta.Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se).Chamemos este resultado de "propriedade 3".Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja,z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X)Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta.Mas a primeira parcela da direita diminui (ou permanece igual a zero,no caso de x=y), e, portanto, a segunda parcela tem que aumentar.Como y e' constante, cos(X) e' que aumenta, de forma quenecessariamente X diminui.Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se).Chamemos este resultado de propriedade 3 (formalizada no teorema 3).Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta.Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se).Assim, o teorema 2 esta' demonstrado.Dele, decorrem os seguintes corolarios:---Corolario 2aEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1X2 se e somente se Z1Z2 .---Corolario 2bEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1,entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 .---Teorema 3Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais quex e y tenham comprimentos constantes. Entao, o angulo Z varia nomesmo sentido que a variacao do lado z.(o lado z aumenta 'a medida em que o angulo Z aumenta, por exemplo)---O teorema 3 e' consequencia da "propriedade 3", apontada nademonstracao anterior. E dele, tiramos os seguintes corolarios:---Corolario 3aEm dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 ,entao Z1Z2 se e somente se z1z2 .---Corolario 3b (...desculpem-me pela obviedade)Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e ladoscorrespondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 ,entao Z1=Z2 se e somente se z1=z2 .---Vamos agora ao problema original:Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLMcom K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,tambem for equilatero.Demonstracao:Seja o triangulo ABC, com o triangulo equilatero KLM inscritoem ABC, conforme o enunciado.Seja "p" o comprimento de AK=BL=CM, e "t" o lado do triangulo KLM.Chamemos de A1, B1 e C1 os angulos dos vertices A,B e C.Chamemos de A2, B2 e C2 os angulos AKM, BLK e CML.Chamemos de A3, B3 e C3 os angulos KMA, LKB e MLC.Sejam "a", "b" e "c" os comprimentos de LC, MA e KB, respectivamente.(repare que AB=c+p , BC=a+p e CA=b+p)Sem perda de generalidade, seja A1 = B1 = C1 (ineq.1)Entao, pelo teo.1, a+p = b+p = c+p , de ondea = b = ce portanto, pelo corol.3,C2 = A2 = B2 (ineq.2)Assim, suponhamos primeiramente que t=pEntao, C2,
[obm-l] Triangulo Equilatero
E aquela de provar quetriangulo ABC eh equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, com AK = BL = CM eh equilatero? O Ponce disse que tem uma solucao de nivel 4o. ginasial (8a. serie pra quem tem menos de 40 anos...) e o Nehab uma usando rotacao. Vamos ve-las! []s, Claudio.
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Será que o teorema de Ceva que foi falado há poucos dias na lista não pode ajudar?Parece que a prova sai por ele, preciso pensar um pouco, não quero submeter respostas erradas rs Em 16/09/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: E aquela de provar quetriangulo ABC eh equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, com AK = BL = CM eh equilatero? O Ponce disse que tem uma solucao de nivel 4o. ginasial (8a. serie pra quem tem menos de 40 anos...) e o Nehab uma usando rotacao. Vamos ve-las! []s, Claudio. -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
também gostaria de ver a solução trivial que o colega da lista disse ter! Já está na hora de colocar! Um abraço- Mensagem Original -De: "J. Renan" [EMAIL PROTECTED]Data: Sábado, Setembro 16, 2006 4:29 pmAssunto: Re: [obm-l] Triangulo EquilateroPara: obm-l@mat.puc-rio.br Será que o teorema de Ceva que foi falado há poucos dias na lista não pode ajudar? Parece que a prova sai por ele, preciso pensar um pouco, não quero submeter respostas erradas rs Em 16/09/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: E aquela de provar que triangulo ABC eh equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, com AK = BL = CM eh equilatero? O Ponce disse que tem uma solucao de nivel 4o. ginasial (8a. serie pra quem tem menos de 40 anos...) e o Nehab uma usando rotacao. Vamos ve-las! []s, Claudio. -- Um Grande Abraço, Jonas Renan
[obm-l] Triangulo Prolongado
Esse é fácil mas não deixa de ser um resultado curioso (e que eu nunca tinha visto antes): Tome um triângulo qualquer ABC. Prolongue BC até P (C entre B e P) de modo que CP = BC. Prolongue CA até Q (A entre C e Q) de modo que AQ = CA. Prolongue AB até R (B entre A e R) de modo que BR = AB. Qual a razão entre as áreas de PQR e ABC? []s, Claudio.
[obm-l] TRIANGULO EQUILATERO (repeteco)
Ola' pessoal, para quem gosta de geometria, este e' interessante: Seja um triangulo ABC. Marque, respectivamente, os pontos D, E e F sobre os lados AB, BC e CA de tal forma que os segmentos AD, BE e CF sejam iguais. Prove que se o triangulo DEF for equilatero, entao o triangulo ABC tambem sera' equilatero. []'s Rogerio Ponce.__Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/
[obm-l] triangulo
Num triangulo ABC tem-se AB=2, BÂC=30° e A^CR=45°. A área do triangulo ABC, em cm^2, vale? ___ Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. http://br.yahoo.com/homepageset.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] triangulo
Segundo os seus dados, e acho que vc digitou errado: creio que no lugar de A^CR seja A^CB. Portanto, desenhando o dito cujo e admitindo AC = b, AB = c, BC = a; temos A^BC = 105 graus. Aplicando a lei dos senos, temos: 2/(sen45) = a/(sen30). Daí, a = sqrt(2) = BC. Prolongando o lado AB do triângulo de tal forma que tenhamos um triângulo retângulo BDC, reto em D; o lado CD desse triângulo será a altura h do triângulo ABC. O ângulo D^BC será de 75 graus. Neste triângulo, BCD, temos BC (= a) e falta h que se acha através do seno de 75 que é igual ao seno de 30 + 45. A área A do triângulo ABC é c.h/2; como c = 2 esta área A se reduz a A = h. Portanto, achei: A = h = (1 + sqrt(3))/2. Em 26/12/05, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Num triangulo ABC tem-se AB=2, BÂC=30° e A^CR=45°. Aárea do triangulo ABC, em cm^2, vale? ___Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.http://br.yahoo.com/homepageset.html =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] triangulo retangulo
Envio para apreciação de vocês da lista o problema abaixo: Seja ABC um triângulo, retângulo em A. Seja H o pé da perpendicular traçada de A até BC. Seja D um ponto sobre o lado AB tal que BD = CD = BH = 1. Calcule AH. Abraço a todos e obrigado pela atenção. Eduardo Beltrão
Re: [obm-l] TRIANGULO ISOSCELES
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/steiner-lehmus on 19.02.05 22:27, Igor Oliveira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Não consegui achar não. As duas bissetrizes têm comprimentos iguais. Se alguém puder resolver o problema, agradeço. Igor. Entre nos arquivos da lista e procure uma msg bem antiga do Eduardo Wagner com uma bela demonstracao disso. Ou entre no Google e digite Steiner-Lehmus proof. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cópia:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Data:Thu, 17 Feb 2005 00:29:32 -0200 Assunto:Re:[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES O que vc quer dizer com 'duas bissetrizes iguais' por acaso seria duas bissetrizes de mesma medida? Peço ajuda para resolver o seguinte problema: Mostre que se um triângulo possui 2 bissetrizes iguais, então o triângulo é isósceles. OBRIGADo, IGOR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] TRIANGULO ISOSCELES
E a solucao do Eduardo Wagner estah aqui: http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg09883.html on 19.02.05 22:27, Igor Oliveira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Não consegui achar não. As duas bissetrizes têm comprimentos iguais. Se alguém puder resolver o problema, agradeço. Igor. Entre nos arquivos da lista e procure uma msg bem antiga do Eduardo Wagner com uma bela demonstracao disso. Ou entre no Google e digite Steiner-Lehmus proof. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cópia:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Data:Thu, 17 Feb 2005 00:29:32 -0200 Assunto:Re:[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES O que vc quer dizer com 'duas bissetrizes iguais' por acaso seria duas bissetrizes de mesma medida? Peço ajuda para resolver o seguinte problema: Mostre que se um triângulo possui 2 bissetrizes iguais, então o triângulo é isósceles. OBRIGADo, IGOR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] TRIANGULO ISOSCELES
MUITO OBRIGADO. IGOR. E a solucao do Eduardo Wagner estah aqui: http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg09883.html on 19.02.05 22:27, Igor Oliveira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Não consegui achar não. As duas bissetrizes têm comprimentos iguais. Se alguém puder resolver o problema, agradeço. Igor. Entre nos arquivos da lista e procure uma msg bem antiga do Eduardo Wagner com uma bela demonstracao disso. Ou entre no Google e digite Steiner-Lehmus proof. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cópia:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Data:Thu, 17 Feb 2005 00:29:32 -0200 Assunto:Re:[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES O que vc quer dizer com 'duas bissetrizes iguais' por acaso seria duas bissetrizes de mesma medida? Peço ajuda para resolver o seguinte problema: Mostre que se um triângulo possui 2 bissetrizes iguais, então o triângulo é isósceles. OBRIGADo, IGOR Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES
Não consegui achar não. As duas bissetrizes têm comprimentos iguais. Se alguém puder resolver o problema, agradeço. Igor. Entre nos arquivos da lista e procure uma msg bem antiga do Eduardo Wagner com uma bela demonstracao disso. Ou entre no Google e digite Steiner-Lehmus proof. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cópia:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Data:Thu, 17 Feb 2005 00:29:32 -0200 Assunto:Re:[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES O que vc quer dizer com 'duas bissetrizes iguais' por acaso seria duas bissetrizes de mesma medida? Peço ajuda para resolver o seguinte problema: Mostre que se um triângulo possui 2 bissetrizes iguais, então o triângulo é isósceles. OBRIGADo, IGOR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] triangulo equilatero
Ola' pessoal, Seja um triangulo ABC. Marque os pontos D,E e F sobre os lados AB, BC e CA tal que AD=BE=CF. Prove que se o triangulo DEF for equilatero, entao ABC e' equilatero. []'s Rogerio Ponce _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES
Entre nos arquivos da lista e procure uma msg bem antiga do Eduardo Wagner com uma bela demonstracao disso. Ou entre no Google edigite "Steiner-Lehmus proof". []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Data: Thu, 17 Feb 2005 00:29:32 -0200 Assunto: Re:[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES O que vc quer dizer com 'duas bissetrizes iguais' por acaso seria duas bissetrizes de mesma medida? Peço ajuda para resolver o seguinte problema: Mostre que se um triângulo possui 2 bissetrizes iguais, então o triângulo é isósceles. OBRIGADo, IGOR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira
[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES
Peço ajuda para resolver o seguinte problema: Mostre que se um triângulo possui 2 bissetrizes iguais, então o triângulo é isósceles. OBRIGADo, IGOR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES
O que vc quer dizer com 'duas bissetrizes iguais' por acaso seria duas bissetrizes de mesma medida? Peço ajuda para resolver o seguinte problema: Mostre que se um triângulo possui 2 bissetrizes iguais, então o triângulo é isósceles. OBRIGADo, IGOR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira
[obm-l] triangulo
Acabei de bolar um exercício e gostaria da avaliação e resoluçãodos senhores. 'Dentro' de um triângulo equilátero ABCmarca-se um ponto D. Nomeando as medidas a=AD ; b=BD e c=CD.Calcule os ângulos ADC; ADB e BDC em função de a,b e c. Abraços Hermann
Re: [obm-l] triangulo
Bem, este exercicio caiu em uma Olimpiada Iberoamericana de Matematica: Dados as distancias DA,DB,DC calcule AB. As expressoes sao meio feias e o problema e bem braçal.A parte genial e fazer rotaçoes convenientes de 60 graus nos vertices e fazer leis dos cossenos adoidado.Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Acabei de bolar um exercício e gostaria da avaliação e resoluçãodos senhores. 'Dentro' de um triângulo equilátero ABCmarca-se um ponto D. Nomeando as medidas a=AD ; b=BD e c=CD.Calcule os ângulos ADC; ADB e BDC em função de a,b e c. Abraços Hermann Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] triangulo
Johann O exercício é então parecido com esse que vc disse. A solução que fiz de braçal não tem nada. Muito pelo contrário ela é respondida em poucas linhas. Abraços Hermann - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 14, 2004 12:09 PM Subject: Re: [obm-l] triangulo Bem, este exercicio caiu em uma Olimpiada Iberoamericana de Matematica: Dados as distancias DA,DB,DC calcule AB. As expressoes sao meio feias e o problema e bem braçal.A parte genial e fazer rotaçoes convenientes de 60 graus nos vertices e fazer leis dos cossenos adoidado.Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Acabei de bolar um exercício e gostaria da avaliação e resoluçãodos senhores. 'Dentro' de um triângulo equilátero ABCmarca-se um ponto D. Nomeando as medidas a=AD ; b=BD e c=CD.Calcule os ângulos ADC; ADB e BDC em função de a,b e c. Abraços Hermann Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] triangulo
Menos de uma folha mas o fato e que ela so tem uma ideia genial. Depois eu disponibilizo o fonte... Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Johann O exercício é então parecido com esse que vc disse. A solução que fiz de braçal não tem nada. Muito pelo contrário ela é respondida em poucas linhas. Abraços Hermann - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 14, 2004 12:09 PM Subject: Re: [obm-l] triangulo Bem, este exercicio caiu em uma Olimpiada Iberoamericana de Matematica: Dados as distancias DA,DB,DC calcule AB. As expressoes sao meio feias e o problema e bem braçal.A parte genial e fazer rotaçoes convenientes de 60 graus nos vertices e fazer leis dos cossenos adoidado.Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Acabei de bolar um exercício e gostaria da avaliação e resoluçãodos senhores. 'Dentro' de um triângulo equilátero ABCmarca-se um ponto D. Nomeando as medidas a=AD ; b=BD e c=CD.Calcule os ângulos ADC; ADB e BDC em função de a,b e c. Abraços Hermann Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
RE: [obm-l] Triangulo
Olá Felipe, a questão parece interessante, mas vc se enganou no enunciado. Do jeito que está, o ângulo BAC não é definido. []s, Rogério. Será que alguem poderia me ajudar a resolver esta questão, o enunciado eu não sei direito pois tive acesso a figura, é mais ou menos assim: Num triangulo ABC traça-se a bissetriz do angulo B que intercepta AC em D sabendo que BD + AD é igual a BC qual o valor do angulo BAC. Agradeço desde já, Felipe _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Triangulo
Será que alguem poderia me ajudar a resolver esta questão, o enunciado eu não sei direito pois tive acesso a figura, é mais ou menos assim: Num triangulo ABC traça-se a bissetriz do angulo B que intercepta AC em D sabendo que BD + AD é igual a BC qual o valor do angulo BAC. Agradeço desde já, Felipe __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Triangulo ( geometria plana )
5 ) Na figura M e N são pontos médios dos lados PQ e PR do triangulo PQR . Sabendo que QR mede 18 cm e que a altura relativa a esse lado mede 12 cm a altura do triangulo MNT relativa ao lado MN mede em centimetros? obs : T é o ponto de encontro das medianas. PQR~MNP , MN = QR/2 = 9 cm - como sw triângulos semelhantes, a altura do triangulo MNP relativa a MN = 12cm /2 = 6cm treçando as medianas, obtemos o triangulo TQR, temos TQR~MNT RT = 2.MT, QT= 2.TN, daí tem-se por semelhança que a altura de MNT = altura de TQR/2 h' = h''/2 h' + h'' =6cm, - h' + 2h'' = 6, h' = 2cm por favor me corrijam se estiver errado. falou _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Triangulo ( geometria plana )
Ae galera, nao estou conseguindo relacionar os triangulos nesse problema... deem uma olhada.. Abração!!! 5 ) Na figura M e N são pontos médios dos lados PQ e PR do triangulo PQR . Sabendo que QR mede 18 cm e que a altura relativa a esse lado mede 12 cm a altura do triangulo MNT relativa ao lado MN mede em centimetros? obs : T é o ponto de encontro das medianas.
[obm-l] triangulo
1)No triângulo ABC, se o ângulo A é obtuso(respct. agudo) então a área do quadrado construido sobre o lado BC é maior (respec. menor) do que a soma das áreas do quadrado construídos sobre os lados AB e AC. Conclua daí a recíproca do Teorema de Pitágoras. 2)Sejam A,B,C e D vértices consecutivos de um polígono com n lados. Pelo ponto B, trace uma paralela à diagonal AC. Seja E a interseção dessa paralela com o prolongamento do lado DC. Suubstitua os lados AB, BC e CD por AE e ED. Mostre que assim se obtém um polígono de n-1 lados, de mesma área que o anterior. Prossiga, até concluir que se pode construir geometricamente um triângulo com mesma área que um polígono convexo dado. ë isso. Edu
[obm-l] Triangulo equilatero
Olá a todos! Essa parece dificil! Como nao dá para fazer o desenho, tentarei deixar claro o enunciado: Considere o triangulo equilatero ABC e os segmentos internos AD, BE e CF, todos de mesmo comprimento e tais que o encontro deles forma um outro triangulo DEF. Mostre q DEF eh equilatero. Grato! Tertuliano Carneiro! Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
[obm-l] triangulo ortico
Oi turma,alguem consegue dar uma demonstraçao de que o triangulo pedal do ortocentro e o triangulo inscrito de menor perimetro possivel? ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] triangulo isósceles
E por isso que eu sempre me irrito!!Sera que na face dessa terra habitada por maquinas nao apareceu nenhuma mensagem que nao seja de minha autoria sobre geometriacom trigonometria???Alem de uma do Villard e outra com um teorema que o Eduardo Wagner resolveu cearensemente???Ou que quando se pergunta uma questao de trigonometria e um somatorio chato ou uma conta grande que se tem preguiça de fazerNao e querendo humilhar nem me julgar maismas tinha que dizer algo.Mas e melhor eu nao discutir mais do que ja pude. Particularmente eu tenho oito soluçoes no caso em que no lugar de 70 tem-se 60,apenas uma trigonometrica,que eu mostro agora:BE=BC pois o triangulo EBC e isoangulo,logo isosceles. BD/sen 80=BC/sen 30,BD=BC*2*sen 80=BC*2*cos 10. BE/sen t=BD/sen (10+t) e ai 1/sen t=2*cos 10/sen(10+t), 2*sen t*cos 10=sen(10+t) e ai sen 10*cos t+sen t*cos10=2*sen t*cos 10,sen 10*cos t=sen t*cos 10, cotg t=cotg 10, t=10.E fim!Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Num triângulo ABC de ângulos  = 20º, ^B = 80º e ^C =80º, traçamos do vértice B um segmento que forma com olado BC um ângulo de 70º e encontra o lado AC no pontoD. Do vértice C traçamos um segmento que forma com olado BC um ângulo de 50º e encontra o lado AB no pontoE. Calcule o ângulo DÊC.___Yahoo! MailMais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.http://br.mail.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] triangulo isósceles
Caro Dirichlet, meu, eu posso não ser um entendido em trigonometria ou em qualquer outro ramo da matemática, e acompanho a lista simplesmente para aprender um pouco mais. E por tudo o que já vi na lista vc realmente entende da coisa, mas acho que não deve irritar-se simplesmente por ter algumas pessoas que não sabem tanto quanto vc e que realmente querem aprender, além do mais, irritar-se é uma coisa, descarregar no pessoal da lista é outra, OK? Biagio. At 13:43 29/05/2003 -0300, you wrote: E por isso que eu sempre me irrito!!Sera que na face dessa terra habitada por maquinas nao apareceu nenhuma mensagem que nao seja de minha autoria sobre geometria com trigonometria???Alem de uma do Villard e outra com um teorema que o Eduardo Wagner resolveu cearensemente???Ou que quando se pergunta uma questao de trigonometria e um somatorio chato ou uma conta grande que se tem preguiça de fazerNao e querendo humilhar nem me julgar mais mas tinha que dizer algo.Mas e melhor eu nao discutir mais do que ja pude. Particularmente eu tenho oito soluçoes no caso em que no lugar de 70 tem-se 60 ,apenas uma trigonometrica,que eu mostro agora: BE=BC pois o triangulo EBC e isoangulo,logo isosceles. BD/sen 80=BC/sen 30,BD=BC*2*sen 80=BC*2*cos 10. BE/sen t=BD/sen (10+t) e ai 1/sen t=2*cos 10/sen(10+t), 2*sen t*cos 10=sen(10+t) e ai sen 10*cos t+sen t*cos10=2*sen t*cos 10,sen 10*cos t=sen t*cos 10, cotg t=cotg 10, t=10.E fim! Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Num triângulo ABC de ângulos  = 20º, ^B = 80º e ^C = 80º, traçamos do vértice B um segmento que forma com o lado BC um ângulo de 70º e encontra o lado AC no ponto D. Do vértice C traçamos um segmento que forma com o lado BC um ângulo de 50º e encontra o lado AB no ponto E. Calcule o ângulo DÊC. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. []´s Biagio God answers the soul's attitude, not the words. (Urantia Book, 1002)
Re: [obm-l] triangulo isósceles
Caro Dirichlet, Obrigado pela resolução do exercício do quadrilátero inscritível e os produtos das distâncias. O Cláudio e o Rufino também ajudaram. Quanto a essa questão, eu também tenho resposta para o caso em que os ângulos são 60 e 50, mas esse exercício os ângulos são 70 e 50 mesmo. Já tentei fazer algo parecido com a resolução do outro que você resolveu, mas não dá certo porque precisaríamos de outro ângulo de 20 que surge do 60 no lugar de 70. Alguma sugestão (trigonométrica talvez) para esse exercício?? Abraços, Rafael. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: E por isso que eu sempre me irrito!!Sera que na face dessa terra habitada por maquinas nao apareceu nenhuma mensagem que nao seja de minha autoria sobre geometria com trigonometria???Alem de uma do Villard e outra com um teorema que o Eduardo Wagner resolveu cearensemente???Ou que quando se pergunta uma questao de trigonometria e um somatorio chato ou uma conta grande que se tem preguiça de fazerNao e querendo humilhar nem me julgar mais mas tinha que dizer algo.Mas e melhor eu nao discutir mais do que ja pude. Particularmente eu tenho oito soluçoes no caso em que no lugar de 70 tem-se 60 ,apenas uma trigonometrica,que eu mostro agora: BE=BC pois o triangulo EBC e isoangulo,logo isosceles. BD/sen 80=BC/sen 30,BD=BC*2*sen 80=BC*2*cos 10. BE/sen t=BD/sen (10+t) e ai 1/sen t=2*cos 10/sen(10+t), 2*sen t*cos 10=sen(10+t) e ai sen 10*cos t+sen t*cos10=2*sen t*cos 10,sen 10*cos t=sen t*cos 10, cotg t=cotg 10, t=10.E fim! Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Num triângulo ABC de ângulos  = 20º, ^B = 80º e ^C = 80º, traçamos do vértice B um segmento que forma com o lado BC um ângulo de 70º e encontra o lado AC no ponto D. Do vértice C traçamos um segmento que forma com o lado BC um ângulo de 50º e encontra o lado AB no ponto E. Calcule o ângulo DÊC. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] triangulo isósceles
Num triângulo ABC de ângulos  = 20º, ^B = 80º e ^C = 80º, traçamos do vértice B um segmento que forma com o lado BC um ângulo de 70º e encontra o lado AC no ponto D. Do vértice C traçamos um segmento que forma com o lado BC um ângulo de 50º e encontra o lado AB no ponto E. Calcule o ângulo DÊC. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulo Harmonico
On Fri, Apr 05, 2002 at 03:49:18PM +, Paulo Santa Rita wrote: Ola Pessoal ! Numa Mensagem anterior fiz referencia a o TRIANGULO HARMONICO. Surpreendentemente algumas pessoas me contactaram solicitando mais informacoes sobre este TRIANGULO ARITMETICO. Com esta mensagem tento responder a todos. O TRIANGULO HARMONICO comeca com a SERIE HARMONICA na vertical ( que e a PRIMEIRA COLUNA do triangulo ), iniciando assim : 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 ... Para montar a segunda coluna iniciamos na segunda linha. Cadas termo da segunda coluna e igual a diferenca entre dois outros da primeira coluna : o que esta a sua esquerda e o que esta acima dele. Asim : 1 - 1/2=1/2; 1/2 - 1/3=1/6; 1/3 - 1/4=1/12; 1/4 - 1/5=1/20; 1/5 - 1/6=1/30; 1/6 - 1/7=1/42; 1/7 - 1/8=1/56. 1 1/2 1/2 1/3 1/6 1/4 1/12 1/5 1/20 1/6 1/30 1/7 1/42 1/8 1/56 ... ... Para montar a terceira coluna iniciamos na terceira linha. Cadas termo da terceira coluna e igual a diferenca entre dois outros da segunda coluna : o que esta a sua esquerda e o que esta acima dele. Asim : 1/2 - 1/6=1/3; 1/6 - 1/12=1/4; 1/12 - 1/20=1/30; 1/20 - 1/30=1/60 1/30 - 1/42=1/105; 1/42 - 1/56=1/126 1 1/2 1/2 1/3 1/6 1/3 1/4 1/12 1/12 1/5 1/20 1/30 1/6 1/30 1/60 1/7 1/42 1/105 1/8 1/56 1/126 ... ... ... Bom. Agora e facil construir o triangulo. A i-esima coluna inicia na i-esima linha e cada termo e igual a diferenca entre dois outros da (i-1)-esima coluna : o que esta a esquerda e o que fica acima deste. Se chamarmos a entrada na linha i, coluna j de h(i,j), sendo h(0,0) = 1, h(1,0) = h(1,1) = 1/2, h(2,0) = 1/3, ... temos h(n,0) = 1/(n+1) e h(n,m) = h(n+1,m) + h(n+1,m+1). Note a semelhança entre esta última fórmula e a dos números binomiais. Não é difícil mostrar que temos h(i,j) = 1/((i+1) binom(i,j)). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
