Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Olá Cláudio,
Problema original
"Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para
que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois
termos, da mesma progressão. "
Fiquei curioso com a definição que você deu para PA
infinita.
"Normalmente, quando falamos numa PA infinita,
queremos dizer infinita em ambas as direcoes, ou seja a PA eh {a + n*r | n
pertence a Z}."
Qual a definição que você utiliza para
PA?
Eu utilizo a seguinte:
"Uma progressão aritmética é uma sequência
(a_n) tal que
a_(n+1) - a_n=r, para todo n natural não nulo.
Aconstante r é chamada razão da progressão aritmética."
Neste pontoé necessário entender uma
sequência como uma função cujo domínio é o conjunto dos números
naturais (ou naturais não nulos dependendo do gosto
de cada um!).
Sabemos que existe uma bijeção entre os números
naturais e os inteiros.
Entretanto eu não consigo
visualizar nenhuma que satisfaça adefinição de PA (que eu
utilizo!).
Além destas questões de definição
háoutra:
Sabemos que algumas vezes em matemática utilizamos
dois como sendo dois ou um. E foi o que você fez!
Eu considerei dois como sendo dois
distintos.
Neste ponto gostaria muito da
colaboração de todos da lista pois as respostas não serão equivalentes se
utilizarmos a palavra dois com significados
diferentes.
Pois:
O enunciado diz que cada termo é a soma de
dois termos desta mesma PA.
E você considera o termo zero duas vezes. Assim
você está considerando apenas um termo.
Outro ponto em que tenho dúvidas é na sua
demonstração.
Você supõe que a PA possui termo não negativo. E
toma a como sendo o menor dentre os termos não negativos, certo? Assim o a teria
que ser o zero necessariamente (0 é o menor termo não negativo!)e a-r
0 para r0.
Outro problema é : uma PA poderia não possuir
termospositivos e negativos por exemplo se
consideramos (0,r,2r,3r,...) com r
negativo.
Para finalizar quero destacar que esta
discussão é bastante salutar e estou aprendendo muito com
ela!
Agradeço sua participação!
[ ],s
Fernando
- Original Message -
From:
claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Saturday, July 03, 2004 10:00
AM
Subject: Re:[obm-l] Problema interessante
de PA
Eh sim.
0 = 0 + 0. O enunciado nao fala nada sobre cada termo ser a soma de
termos diferentes, entre si ou do tal termo.
Alem disso, r = r + 0.
Normalmente, quando falamos numa PA infinita, queremos dizer infinita em
ambas as direcoes, ou seja a PA eh {a + n*r | n pertence a Z}.
[]s,
Claudio.
De:
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"obm-l"
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Fri, 2 Jul 2004 19:22:02
-0300
Assunto:
Re:[obm-l] Problema
interessante de PA
Olá Cláudio, tudo bem?
Acho que a condição não é suficiente pois considerando a PA:
(0, r, 2r,3r,...)
0 pertence a PA maso primeiro termo não é a soma de dois
termos desta mesma PA.
[],s
Fernando
De:
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"obm-l"
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Fri, 02 Jul 2004 16:23:48
-0300
Assunto:
Re:[obm-l] Problema
interessante de PA
Condição necessária e suficiente: 0 pertence à PA.
Se 0 pertence à PA, então, de duas uma:
a PA é constante (razão = 0)
ou
a razão será igual ao menor termo positivo.
Em todo caso, os termos da PA serão da forma n*r (r = razão) e,
portanto, todo termo será soma de dois termos (por exemplo, n*r = (n-1)*r +
1*r).
Por outro lado, se cada termo é igual a soma de dois outros
termos, então, pondo:
a = menor termo não-negativo da PA, teremos que, dado um
inteiro n, vão existir inteiros x e y tais que:
a + n*r = (a + x*r) + (a + y*r) ==
a = (n - x - y)*r ==
r | a ==
r = a.
Se r a, então a - r pertence à PA e é positivo
==
contradição, pois a é o menor termo não-negativo da PA
==
r = a ==
0 = a - r pertence à PA.
[]s,
Claudio.
"Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser
verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja
a soma de dois termos, da mesma progressão. "
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Olá Fernando, usando o que vc mesmo disse anteriormente: (-r,0,r,2r,...) satisfaz a condição mas o primeiro termo não é a soma de dois termos desta mesma PA. Abraços, Rogério. From: f_villar Acho que a condição necessária e suficiente é: um dos termos é o simétrico da razão da PA: Ida: Se um dos termos é o simétrico da razão então 0 pertence a PA e a razão também é um de seus termos. Podemos dividir em dois casos: r0 e r0 r 0 Se r0 então o primeiro termo desta PA deve ser um número negativo digamos -nr, com n natural não nulo. Pela definição de PA cada termo a partir do segundo é igual ao anterior mais a razão. Logo todos os termos a partir do segundo serão escritos como a soma de dois termos da própria PA. O problema seria o primeiro termo mas neste caso temos -nr =-(n-1)r-r onde -(n-1)r e -r são dois termos distintos da PA. O caso r0 é analogo. Reciprocamente: Como cada termo da PA é a soma de dois termos desta mesma PA temos: a_1 = a_m+a_n a_1=a_1+(m-1)r+a_1 +(n-1)r donde a_1=r[2-(n+m)] como n,m=1 e nm temos (n+m)2 e por isso [2-(n+m)]0 e se r0 então a_10 ser0 então a_10 considerando o termo a_(n+m+3) temos a_(n+m+3) = a_1=r[2-(n+m)]+ (n+m-2)r = 0 a_(n+m+3)=0 e portanto a_(n+m+2)=-r Logo um dos termos é o simétrico da razão! [],s Fernando Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Eh sim.
0 = 0 + 0. O enunciado nao fala nada sobre cada termo ser a soma de termos diferentes, entre si ou do tal termo.
Alem disso, r = r + 0.
Normalmente, quando falamos numa PA infinita, queremos dizer infinita em ambas as direcoes, ou seja a PA eh {a + n*r | n pertence a Z}.
[]s,
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Fri, 2 Jul 2004 19:22:02 -0300
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Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Olá Cláudio, tudo bem?
Acho que a condição não é suficiente pois considerando a PA:
(0, r, 2r,3r,...)
0 pertence a PA maso primeiro termo não é a soma de dois termos desta mesma PA.
[],s
Fernando
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Fri, 02 Jul 2004 16:23:48 -0300
Assunto:
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Condição necessária e suficiente: 0 pertence à PA.
Se 0 pertence à PA, então, de duas uma:
a PA é constante (razão = 0)
ou
a razão será igual ao menor termo positivo.
Em todo caso, os termos da PA serão da forma n*r (r = razão) e, portanto, todo termo será soma de dois termos (por exemplo, n*r = (n-1)*r + 1*r).
Por outro lado, se cada termo é igual a soma de dois outros termos, então, pondo:
a = menor termo não-negativo da PA, teremos que, dado um inteiro n, vão existir inteiros x e y tais que:
a + n*r = (a + x*r) + (a + y*r) ==
a = (n - x - y)*r ==
r | a ==
r = a.
Se r a, então a - r pertence à PA e é positivo ==
contradição, pois a é o menor termo não-negativo da PA ==
r = a ==
0 = a - r pertence à PA.
[]s,
Claudio.
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Fri, 2 Jul 2004 15:20:43 -0300
Assunto:
[obm-l] Problema interessante de PA
"Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. "
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RE: [obm-l] Problema interessante de PA
É dito que a soma de dois termos da progressão é igual ao dobro de um dos termos mais uma quantidade inteira de vezes a razão da progressão. Por outro lado, em qualquer progressão, isso deve também ser igual a um dos termos mais uma quantidade inteira de vezes a razão da progressão. Portanto, um dos termos deve ser uma quantidade inteira de vezes a razão da progressão, o que implica que um dos termos deva ser igual à própria razão da progressão. A volta é trivial : Se um dos termos é a própria razão, qualquer outro termo pode ser obtido pela soma do termo imediatamente anterior com este termo que é igual à razão. Abraços, Rogério. -- Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Condição necessária e suficiente: 0 pertence à PA. Se 0 pertence à PA, então, de duas uma: a PA é constante (razão = 0) ou a razão será igual ao menor termo positivo. Em todo caso, os termos da PA serão da forma n*r (r = razão) e, portanto, todo termo será soma de dois termos (por exemplo, n*r = (n-1)*r + 1*r). Por outro lado, se cada termo é igual a soma de dois outros termos, então, pondo: a = menor termo não-negativo da PA, teremos que, dado um inteiro n, vão existir inteiros x e y tais que: a + n*r = (a + x*r) + (a + y*r) == a = (n - x - y)*r == r | a == r = a. Se r a, então a - r pertence à PA e é positivo == contradição, pois a é o menor termo não-negativo da PA == r = a == 0 = a - r pertence à PA. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 2 Jul 2004 15:20:43 -0300 Assunto: [obm-l] Problema interessante de PA "Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. "
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Olá Cláudio, tudo bem? Acho que a condição não é suficiente pois considerando a PA: (0, r, 2r,3r,...) 0 pertence a PA maso primeiro termo não é a soma de dois termos desta mesma PA. [],s Fernando De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 02 Jul 2004 16:23:48 -0300 Assunto: Re:[obm-l] Problema interessante de PA Condição necessária e suficiente: 0 pertence à PA. Se 0 pertence à PA, então, de duas uma: a PA é constante (razão = 0) ou a razão será igual ao menor termo positivo. Em todo caso, os termos da PA serão da forma n*r (r = razão) e, portanto, todo termo será soma de dois termos (por exemplo, n*r = (n-1)*r + 1*r). Por outro lado, se cada termo é igual a soma de dois outros termos, então, pondo: a = menor termo não-negativo da PA, teremos que, dado um inteiro n, vão existir inteiros x e y tais que: a + n*r = (a + x*r) + (a + y*r) == a = (n - x - y)*r == r | a == r = a. Se r a, então a - r pertence à PA e é positivo == contradição, pois a é o menor termo não-negativo da PA == r = a == 0 = a - r pertence à PA. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 2 Jul 2004 15:20:43 -0300 Assunto: [obm-l] Problema interessante de PA "Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. " Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 02/07/2004 / Versão: 1.5.2Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
RE: [obm-l] Problema interessante de PA
Tudo bem, Rogério? Você é do Rio de Janeiro? Se considerarmos a condição: um dos termos da PA é a própria razão. Acho que não é suficiente pois (r,2r,3r,...) satisfaz a condição mas o primeiro termo não é a soma de dois termos desta mesma PA. []'s Fernando De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 02 Jul 2004 19:20:18 + Assunto: RE: [obm-l] Problema interessante de PA É dito que a soma de dois termos da progressão é igual ao dobro de um dos termos mais uma quantidade inteira de vezes a razão da progressão. Por outro lado, em qualquer progressão, isso deve também ser igual a um dos termos mais uma quantidade inteira de vezes a razão da progressão. Portanto, um dos termos deve ser uma quantidade inteira de vezes a razão da progressão, o que implica que um dos termos deva ser igual à própria razão da progressão. A volta é trivial : Se um dos termos é a própria razão, qualquer outro termo pode ser obtido pela soma do termo imediatamente anterior com este termo que é igual à razão. Abraços, Rogério. -- "Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. " _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 02/07/2004 / Versão: 1.5.2 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
RE: [obm-l] Problema interessante de PA
Olá Fernando, sim, sou do Rio! Bem, eu havia imaginado uma sequência infinita nas duas direções. Se existe um primeiro termo, que também deva ser obtido pela soma de 2 outros termos da PA, então, pela minha conclusão anterior, todos os termos são nulos e a razão também é zero. Abraços, Rogério. Tudo bem, Rogério? Você é do Rio de Janeiro? Se considerarmos a condição: um dos termos da PA é a própria razão. Acho que não é suficiente pois (r,2r,3r,...) satisfaz a condição mas o primeiro termo não é a soma de dois termos desta mesma PA. []'s Fernando É dito que a soma de dois termos da progressão é igual ao dobro de um dos termos mais uma quantidade inteira de vezes a razão da progressão. Por outro lado, em qualquer progressão, isso deve também ser igual a um dos termos mais uma quantidade inteira de vezes a razão da progressão. Portanto, um dos termos deve ser uma quantidade inteira de vezes a razão da progressão, o que implica que um dos termos deva ser igual à própria razão da progressão. A volta é trivial : Se um dos termos é a própria razão, qualquer outro termo pode ser obtido pela soma do termo imediatamente anterior com este termo que é igual à razão. Abraços, Rogério. -- Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Problema interessante de PA
Em tempo: Na mensagem anterior eu esqueci de agradecer as soluções propostas por Rogério Ponce e Cláudio Buffara! Por gentileza verifiquem se há algum problema em minha solução. Um abraço, amigos! De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 02 Jul 2004 20:36:40 -0300 Assunto: Re:[obm-l] Problema interessante de PA Acho que a condição necessária e suficiente é: um dos termos é o simétrico da razão da PA: Ida:Se um dos termos é o simétrico da razão então 0 pertence a PA e a razão também é um de seus termos. Podemos dividir em dois casos: r0 e r0r 0Se r0 então o primeiro termo desta PA deve ser um número negativo digamos -nr, com n natural não nulo.Pela definição de PA cada termo a partir do segundo é igual ao anterior mais a razão. Logo todos os termos a partir do segundo serão escritos como a soma de dois termos da própria PA.O problema seria o primeiro termo mas neste caso temos-nr =-(n-1)r-ronde -(n-1)re -r são dois termos distintos da PA. O caso r0 é analogo. Reciprocamente: Como cada termo da PA é a soma de dois termos desta mesma PA temos: a_1 = a_m+a_n a_1=a_1+(m-1)r+a_1 +(n-1)r donde a_1=r[2-(n+m)] como n,m=1 e nm temos (n+m)2 e por isso [2-(n+m)]0 e se r0 então a_10 ser0 então a_10 considerando o termo a_(n+m+3) temos a_(n+m+3)= a_1=r[2-(n+m)]+ (n+m-2)r = 0 a_(n+m+3)=0 e portanto a_(n+m+2)=-r Logo um dos termos é o simétrico da razão! [],s Fernando De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 02 Jul 2004 15:20:43 -0300 Assunto: [obm-l] Problema interessante de PA "Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. " Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 02/07/2004 / Versão: 1.5.2Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 02/07/2004 / Versão: 1.5.2Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
