RE: [obm-l] Qual Triangulo?
Thelio, Desculpe pela notação, mas acho que dá para entender. (p^2)+(q^2)+(r^2)=pq+pr+qr = = 2[(p^2)+(q^2)+(r^2)]=2[pq+pr+qr] = = [(p-q)^2]+[(p-r)^2]+[(q-r)^2]=0 Para que a soma de três números ao quadrado seja zero é preciso que cada um deles seja zero. Logo, p = q= r e o triângulo é eqüilátero. Abraço, Renato Madeira. ''-- Mensagem Original -- ''Date: Wed, 24 Oct 2007 16:07:04 -0300 ''From: Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: [obm-l] Qual Triangulo? ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Essa aqui ta difícil, nenhum dos feras da minha turma resolveu. Gostaria ''da ''ajuda dos senhores. Obrigado. '' '' ''Se p, q e r sao os comprimentos dos lados de um triangulo e se p² + q² + ''r² ''= pq + qr + pr, entao o triangulo é: '' ''a) Equilatero '' ''b) Escaleno '' ''c) Reto '' ''d) Obtuso '' ''e)N.R.A. '' '' '' ''Thelio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual Triangulo?
Oi, Palmerim, Você abordou um aspecto de fato interessante das questões de múltipla escolha.  Antigamente as questões de múltipla escolha do próprio ITA exigiam o desenvolvimento para serem computadas como corretas. Era uma forma de só corrigir os aprovados (diminuindo o trabalho da banca) e depois verificar se houve chute ou não. Mas criar questões de Múltipla Escolha (sem a obrigação de justificar a resposta) é uma arte que poucas bancas de exame possuem.  Na maioria das vezes é possÃvel filtrar as respostas e de forma muito rápida obter a resposta certa ou restringir suas análise a 2 opções apenas. E então a questão pode perder um pouco a graça. Mas não esqueçamos que bancas MUITO boas também fazem isto de propósito, para testar a sagacidade do candidato, que reconheçamos, também é um talento interessante de ser medido. Abraços, Nehab Palmerim Soares escreveu: Da-lhe Nehab! Essa foi muito boa...  Bem, Thelio, mas digamos que voce esteja fazendo a prova de admissao ao Colegio Naval e se depare com esta questao, faltando apenas 5 minutos para acabar a prova! Suponha tambem que voce nao seja genio suficiente para encontrar a saida do mestre Nehab. Isso significa que nao ha mais tempo de resolver pelas "vias normais". O que voce faria? "Chutar" lhe da uma probabilidade de acerto em 20%. Entao, aqui vai uma dica que pode fazer voce economizar 1 ano na sua vida (e tambem muito dinheiro do seu pai): ja que a prova eh de multipla escolha, use as alternativas! Fique "ligado", "antenado", para reconhecer instantaneamente questoes como essa, que possuem "alternativas-amigas". Entao, vamos testar as alternativas. Eh muito importante saber por onde comecar, para nao perder tempo. Muitas questoes apresentam alternativas "ridiculas", outra vezes a intuição e a pratica irao lhe ajudar na escolha. Nesta questão em particular, como aparentemente nao ha alternativas ridiculas, eh melhor comecar com a alternativa A, nao porque ela venha primeiro, mas porque eh a mais simples de se testar. Se o triangulo for equilatero, entao p = q = r = k, e ai teremos:  p² + q² + r² = 3k²        e        pq + qr + pr = 3k²  ou seja:  p² + q² + r² = pq + qr + pr.  Pronto! Nao precisa nem testar as demais alternativas! Repare como mesmo um aluno sem curso preparatorio e com recursos algebricos limitados poderia acertar esta questao considerada dificil, de nivel de Colegio Naval, em menos de dois minutos! Portanto, nao tenha vergonha de usar esta tática, afinal, voce esta numa guerra (e das grandes!).  Um abraço, Palmerim Em 24/10/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Thelio, Isto é uma questão de álgebra e não de geometria... :-) Multiplique por 2 sua igualdade e rearrume-a e você obterá: (p - r)^2 + (p - q)^2 + (q - r)^2 = 0. Logo equilátero, né... Abraços, Nehab Thelio Gama escreveu:l Essa aqui ta difÃcil, nenhum dos feras da minha turma resolveu. Gostaria da ajuda dos senhores. Obrigado.  Se p, q e r sao os comprimentos dos lados de um triangulo e se p² + q² + r² = pq + qr + pr, entao o triangulo é: a)      Equilatero b)      Escaleno c)      Reto d)      Obtuso e)   N.R.A. Thelio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual Triangulo?
troquei as letras apenas p=a ;q=b ;c=r. eu já tinha resolvido em outro lugar copiei e colei aqui a² + b² + c² = ab + bc +ac chamo a=a b=a+k c=a+p sem perda de generalidade substituindo ficamos com a²+(a+k)²+(a+p)²=a(a+k)+(a+k)(a+p)+a(a+p) expandindo temos a²+a²+2ak+k²+a²+2ap+p²=a²+ak+a²+ap+ak+a²+ap+kp anulando os a² em ambos os lados 2ak+k²+2ap+p²=ak+ap+ak+ap+kp anulando 2ap e 2ak de ambos os lados k²+p²=kp k²-pk+p²=0 tomando como equação em k delta =p²-4p²=-3p² k=[p+- raiz(-3p²)]/2 como delta =-3p² e p² é sempre maior ou igual a zero só teremos valor real na equação se p=0, porém se p=0 k=0 logo a=b=c equilatero, letra a Em 24/10/07, Thelio Gama[EMAIL PROTECTED] escreveu: Essa aqui ta difícil, nenhum dos feras da minha turma resolveu. Gostaria da ajuda dos senhores. Obrigado. Se p, q e r sao os comprimentos dos lados de um triangulo e se p² + q² + r² = pq + qr + pr, entao o triangulo é: a) Equilatero b) Escaleno c) Reto d) Obtuso e)N.R.A. Thelio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual Triangulo?
Da-lhe Nehab! Essa foi muito boa... Bem, Thelio, mas digamos que voce esteja fazendo a prova de admissao ao Colegio Naval e se depare com esta questao, faltando apenas 5 minutos para acabar a prova! Suponha tambem que voce nao seja genio suficiente para encontrar a saida do mestre Nehab. Isso significa que nao ha mais tempo de resolver pelas vias normais. O que voce faria? Chutar lhe da uma probabilidade de acerto em 20%. Entao, aqui vai uma dica que pode fazer voce economizar 1 ano na sua vida (e tambem muito dinheiro do seu pai): ja que a prova eh de multipla escolha, use as alternativas! Fique ligado, antenado, para reconhecer instantaneamente questoes como essa, que possuem alternativas-amigas. Entao, vamos testar as alternativas. Eh muito importante saber por onde comecar, para nao perder tempo. Muitas questoes apresentam alternativas ridiculas, outra vezes a intuição e a pratica irao lhe ajudar na escolha. Nesta questão em particular, como aparentemente nao ha alternativas ridiculas, eh melhor comecar com a alternativa A, nao porque ela venha primeiro, mas porque eh *a mais simples* de se testar. Se o triangulo for equilatero, entao p = q = r = k, e ai teremos: p² + q² + r² = 3k² e pq + qr + pr = 3k² ou seja: p² + q² + r² = pq + qr + pr. Pronto! Nao precisa nem testar as demais alternativas! Repare como mesmo um aluno sem curso preparatorio e com recursos algebricos limitados poderia acertar esta questao considerada dificil, de nivel de Colegio Naval, em menos de dois minutos! Portanto, nao tenha vergonha de usar esta tática, afinal, voce esta numa guerra (e das grandes!). Um abraço, Palmerim Em 24/10/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Thelio, Isto é uma questão de álgebra e não de geometria... :-) Multiplique por 2 sua igualdade e rearrume-a e você obterá: (p - r)^2 + (p - q)^2 + (q - r)^2 = 0. Logo equilátero, né... Abraços, Nehab Thelio Gama escreveu:l Essa aqui ta difícil, nenhum dos feras da minha turma resolveu. Gostaria da ajuda dos senhores. Obrigado. Se p, q e r sao os comprimentos dos lados de um triangulo e se p² + q² + r² = pq + qr + pr, entao o triangulo é: a) Equilatero b) Escaleno c) Reto d) Obtuso e)N.R.A. Thelio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
