RES: RES: [obm-l] divisibilidade II

2007-08-16 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Oi
 
De fato é a série de Taylor, que no caso der polinômios acaba tendo um número 
finito de termos não nulos. Mantendo nosa terminologia, suponhamos que k| N = 
P(10), 0 < k < 10, e seja r = 10 - k. Então, N = P(10) = P(k + r) = P(r) + k 
P'(r) + ...(k^n)/n! d^n/dx^n P(r), sendo esta ultima formula o teorema de 
Taylor. Como os coeficientes de P sao inteiros, os de suas derivadas tambem o 
sao.  
Como r eh inteiro, concluimos imediatamente que, se k|P(r) = P(10 - k), entao 
k|N. E se k|N, entao P(r) = P(10 - k) = N -   P(r) - k P'(r) ...- ...(k^n)/n! 
d^n/dx^n P(r) eh dado pela diferenca entre 2 inteiros multiplos de k. Logo, 
k|P(10 - k). 
 
Na realidade, nao precisamos supor que k esteja entre 0 e 10, basta que seja 
positivo. E tambm nao temos que noss restringir aa base decimal. 
 
Podemos tambem chegar a estas conclusoes da forma que vc citou.
Abracos
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quinta-feira, 16 de agosto de 2007 13:41
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] divisibilidade II


Oi, Artur



Seja N o número que, na base 10, tem representação, a_n a_(n-1).a_0 e seja 
P o polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1)...+ a_0. Temos, 
entao, que N = P(10). 

Ok


Sendo 0 < k < 10 um inteiro, então o teorema de Taylor, particularizado para 
polinômios, nos mostra que k|N se, e somente se, k | P(10 - k).

Você se refere à série de Taylor?  Não entendi o porque da série de Taylor 
justificar k | N sss k | P(10-k)  (se for óbvio, não tô "vendo"...:-)
Que isto é verdade eu concordo, pois a diferença entre P(10) e P(10-k)  é uma 
"combinação linear inteira" de expressões 10^p - (10-k)^p  que obviamente são 
divisíveis por k, pois a^p - b^p tem fator a-b = k).


No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes iguais a 9 e 
o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, ...

Você quis dizer  10^100 - 4, certamente. 


que vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7. E temos que 
P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.+ 9 * 3 + 6 =o 9 (3^100 - 3)/2 + 6 =   (9 *3^100 
- 27 + 12)/2 =   (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101 - 5)/2. Logo, este número é 
divisível por 7. Pode ser cultura um tanto inútil, mas achei isso legal.


Também achei legal.  Apenas realmente não entendi como você enxergou sua 
afirmativa pensando na série de Taylor.

Obrigado pelas dicas

Abração,
Nehab



Artur 


-Mensagem original-


De: [EMAIL PROTECTED] [  <mailto:[EMAIL PROTECTED]> mailto:[EMAIL PROTECTED] 
nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab


Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28


Para: obm-l@mat.puc-rio.br


Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II



Oi, Arthur,



De fato  3^101 - 5  é divisível por 7 mas não consegui enxergar a relação deste 
fato com a dica que eu havia dado para o Francisco?  Pode me explicar melhor ?



Só consegui ver que  7  divide  3^101 - 5  usando aritmética modular.   Acho 
que você sacou alguma coisa que eu não ví...  



Abração,


Nehab



PS:


O que fiz:  3^6  = 729 = 1 (mod 7)  --->  3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 
243 = 5 (mod 7); então  3^101 = 5  (mod 7).  



At 18:03 15/8/2007, you wrote:



E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. 
Certo?


Artur



  


  


  

 -Mensagem original-


De: [EMAIL PROTECTED] [ mailto:[EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]>  Em 
<mailto:[EMAIL PROTECTED]>  nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab


Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14


Para: obm-l@mat.puc-rio.br


Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade




Oi, Francisco,


O correto é 10^100 - 4  e não 10^100 - 6.   


Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando "módulo".   Mas este, 
em especial, dá pra fazer até diretamente...


Solução 1) 

Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 
6, correto?


Mas cada grupo de seis noves (99) é divisível por 7 dando 142857.   Após os 
96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a 
seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão. 

Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.


Solução 2) 

Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante):


Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu 
último algarismo (de N) é r. 

Então N é divisívível por 7 sss  M - 2r é divisível por  7.


Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente).


Abraços, 

Nehab


PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas.


Abraços, 

Nehab




At 15:39 15/8/2007, you wrote: 


Como mostro que 7 | (10^100 - 6)  ?




Grato.



  _  

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Re: RES: [obm-l] divisibilidade II

2007-08-16 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab 

Oi, Artur

Seja N o número que, na base 10, tem representação, a_n 
a_(n-1).a_0 e seja P o polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + 
a_(n-1)x^(n-1)...+ a_0. Temos, entao, que N = P(10).

Ok
Sendo 0 < k < 10 um inteiro, então o teorema de Taylor, 
particularizado para polinômios, nos mostra que k|N se, e somente 
se, k | P(10 - k).
Você se refere à série de Taylor?  Não entendi o porque da série de 
Taylor justificar k | N sss k | P(10-k)  (se for óbvio, não tô "vendo"...:-)
Que isto é verdade eu concordo, pois a diferença entre P(10) e 
P(10-k)  é uma "combinação linear inteira" de expressões 10^p - 
(10-k)^p  que obviamente são divisíveis por k, pois a^p - b^p tem 
fator a-b = k).
No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes 
iguais a 9 e o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, ...

Você quis dizer  10^100 - 4, certamente.
que vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7. 
E temos que P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.+ 9 * 3 + 6 =o 9 (3^100 - 
3)/2 + 6 =   (9 *3^100 - 27 + 12)/2 =   (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101 
- 5)/2. Logo, este número é divisível por 7. Pode ser cultura um 
tanto inútil, mas achei isso legal.


Também achei legal.  Apenas realmente não entendi como você enxergou 
sua afirmativa pensando na série de Taylor.


Obrigado pelas dicas

Abração,
Nehab


Artur



-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab

Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II

Oi, Arthur,

De fato  3^101 - 5  é divisível por 7 mas não consegui enxergar a 
relação deste fato com a dica que eu havia dado para o 
Francisco?  Pode me explicar melhor ?


Só consegui ver que  7  divide  3^101 - 5  usando aritmética 
modular.   Acho que você sacou alguma coisa que eu não ví...


Abração,
Nehab

PS:
O que fiz:  3^6  = 729 = 1 (mod 7)  --->  3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); 
mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então  3^101 = 5  (mod 7).


At 18:03 15/8/2007, you wrote:
E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh 
divisivel por 7. Certo?

Artur



 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [ 
mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab

Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade

Oi, Francisco,
O correto é 10^100 - 4  e não 10^100 - 6.
Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando 
"módulo".   Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente...

Solução 1)
Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) 
terminando com um 6, correto?
Mas cada grupo de seis noves (99) é divisível por 7 dando 
142857.   Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá 
obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os 
algarismos 9996 para terminar a divisão.

Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.
Solução 2)
Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples 
e elegante):
Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o 
número M e seu último algarismo (de N) é r.

Então N é divisívível por 7 sss  M - 2r é divisível por  7.
Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente).
Abraços,
Nehab
PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas.
Abraços,
Nehab


At 15:39 15/8/2007, you wrote:

Como mostro que 7 | (10^100 - 6)  ?

Grato.


--
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RES: [obm-l] divisibilidade II

2007-08-16 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Oi Carlos,
 
Vejamos o seguinte
 
Seja N o número que, na base 10, tem representação, a_n a_(n-1).a_0 e seja 
P o polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1)...+ a_0. Temos, 
entao, que N = P(10). Sendo 0 < k < 10 um inteiro, então o teorema de Taylor, 
particularizado para polinômios, nos mostra que k|N se, e somente se, k | P(10 
- k). No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes iguais 
a 9 e o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, que vimos ser 
divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7. E temos que P(3) = 9 
*3^99 + 9 * 3^98.+ 9 * 3 + 6 = 9 (3^100 - 3)/2 + 6 =   (9 *3^100 - 27 + 
12)/2 =   (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101 - 5)/2. Logo, este número é divisível 
por 7. Pode ser cultura um tanto inútil, mas achei isso legal.
Artur  

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II


Oi, Arthur,

De fato  3^101 - 5  é divisível por 7 mas não consegui enxergar a relação deste 
fato com a dica que eu havia dado para o Francisco?  Pode me explicar melhor ?

Só consegui ver que  7  divide  3^101 - 5  usando aritmética modular.   Acho 
que você sacou alguma coisa que eu não ví...  

Abração,
Nehab

PS:
O que fiz:  3^6  = 729 = 1 (mod 7)  --->  3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 
243 = 5 (mod 7); então  3^101 = 5  (mod 7).  

At 18:03 15/8/2007, you wrote:


E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. 
Certo?
Artur
 
 
 
 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [   mailto:[EMAIL PROTECTED] 
nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade



Oi, Francisco,



O correto é 10^100 - 4  e não 10^100 - 6.   



Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando "módulo".   Mas este, 
em especial, dá pra fazer até diretamente...



Solução 1)


Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 
6, correto?



Mas cada grupo de seis noves (99) é divisível por 7 dando 142857.   Após os 
96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a 
seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão.


Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.



Solução 2)


Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante):



Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu 
último algarismo (de N) é r.


Então N é divisívível por 7 sss  M - 2r é divisível por  7.



Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente).



Abraços,


Nehab



PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas.



Abraços,


Nehab





At 15:39 15/8/2007, you wrote:



Como mostro que 7 | (10^100 - 6)  ?



  

Grato.



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