RES: RES: [obm-l] inversa = derivada
Assim, talvez exista(m) esta(s) funcao(oes). Jah vimos que, se existir, esta f, da forma como definida abaixo, tem que ser estritamente crescente. Isto implica que f^(-1) = f' tambem seja estritamente crescente e positiva. Dado que f' existe e nunca se anula, segue-se que a derivada de f^(-1) tambem existe em todo o intervalo (0, +inf). E como f^(-1) = f', concluimos que f' eh diferenciavelem (0, +inf), ou seja, f'' existe em (0, +inf).Assim, uma condicao adicional para a existencia desta funcao eh que sua derivada segunda exista em (0, + inf).Nao que isso ajude muito.. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 19:02Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] inversa = derivada Mudemos o enunciado: Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) - (0,+inf) tal que: f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf). É possível achar todas as f com esta propriedade? []s, Claudio.
RES: [obm-l] inversa = derivada
Estes sao fatos classicos da Analise. Se f for definida em um intervalo I de R e tiver inversa, entao, pela definicao de inversa, temos que f eh uma bijecao de I sobre f(I). Suponhamos que, alem disto, f seja continua. Se f nao for estritamente crescente ou decrescente, entao em Item que existir elementos x1 x2 x3 tais que f(x1) f(x2 f(x3) ou f(x1) f(x2) f(x3). A continuidade de f implica que f apresente a propriedade do valor intermediario, a qual, por sua vez, implica a existencia de x' em (x1, x2) e x'' em (x2, x3) tais que f(x') = f (x''). Isto, porem, contraria o fato de que f eh uma bijecao de I sobre f(I). Para mostramos que se f eh diferenciavel em um ponto de acumulacao a de seu dominio entao f eh continua em a, a prova que me parece a mais simples e que eh apresentada em varios livros eh a seguinte: Para xa num intervalo aberto contendo a, temos que f(x) - f(a) = (f(x) - f(a))/(x-a) * (x-a). Quanfo x - a, x - a - 0. E pela diferenciabilidade de f em a, segue-se da definicao de derivada que (f(x) - f(a))/(x-a) - f'(a). Considerando-se agora a existencia destes dois limites, temos (propriedade basica dos limites de funcoes) que lim (x-a) (f(x) - f(a)) = lim (x - a) (f(x) - f(a))/(x-a) * lim (x- a) (x -a) = f'(a) * 0 = 0. Mas isto significa que lim (x-a) f(x) = f(a), ou seja, f eh continua em a. Interessante que este mesmo raciocinio aplica-se a funcoes dos complexos nos complexos. Ahlfors apresenta esta mesma prova em seu livro sobre Analise Complexa. A unica mudanca eh que, em vez de um intervalo ao redor de a, considera-se uma vizinhanca - um disco, por exemplo - ao redor de a. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de David Cardoso Enviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 18:09 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] inversa = derivada Na minha outra mensagem sobre este assunto, faltou dizer que f eh estritamente monotonica porque, alem de ter uma inversa, eh continua, pois eh diferenciavel. Artur Poderia demonstrar essa parte também? Grato, David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:RES: RES: [obm-l] inversa = derivada
Eu supuz f(x) da forma ax^b, com a e b positivos. Nesse caso, f^(-1)(x) = (x/a)^(1/b) e f'(x) = abx^(b-1). Igualando coeficientes e expoentes, eu achei: 1/a^(1/b) = ab e 1/b = b-1 == a = 1/b^(1/(1+1/b))= 1/b^(1/b) e b^2 - b - 1 = 0 Como b 0, só pode ser b = (1+raiz(5))/2. Assim, f:(0,+inf) - (0,+inf) dada por: f(x) = ax^b, com b = (1+raiz(5))/2 e a = 1/b^(1/b) é tal que: f^(-1)(x) = f'(x) para cada x em (0,+inf). Mais uma aparição (inusitada ?)da razão áurea... *** O problema geral, de resolver a equação diferencial f'(x) = f^(-1)(x) em (0,+inf), me parece mais complicado. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 26 Oct 2005 10:29:51 -0200 Assunto: RES: RES: [obm-l] inversa = derivada Assim, talvez exista(m) esta(s) funcao(oes). Jah vimos que, se existir, esta f, da forma como definida abaixo, tem que ser estritamente crescente. Isto implica que f^(-1) = f' tambem seja estritamente crescente e positiva. Dado que f' existe e nunca se anula, segue-se que a derivada de f^(-1) tambem existe em todo o intervalo (0, +inf). E como f^(-1) = f', concluimos que f' eh diferenciavelem (0, +inf), ou seja, f'' existe em (0, +inf).Assim, uma condicao adicional para a existencia desta funcao eh que sua derivada segunda exista em (0, + inf).Nao que isso ajude muito.. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 19:02Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] inversa = derivada Mudemos o enunciado: Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) - (0,+inf) tal que: f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf). É possível achar todas as f com esta propriedade? []s, Claudio.
RES: RES: RES: [obm-l] inversa = derivada
Mais uma aparicao! Eu tambem fui por esta linha da funcao potencia e cheguei na razao aurea, mas nao cheguei a concluir. Serah que esta eh a unica funcao? Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 26 de outubro de 2005 12:04Para: obm-lAssunto: Re:RES: RES: [obm-l] inversa = derivada Eu supuz f(x) da forma ax^b, com a e b positivos. Nesse caso, f^(-1)(x) = (x/a)^(1/b) e f'(x) = abx^(b-1). Igualando coeficientes e expoentes, eu achei: 1/a^(1/b) = ab e 1/b = b-1 == a = 1/b^(1/(1+1/b))= 1/b^(1/b) e b^2 - b - 1 = 0 Como b 0, só pode ser b = (1+raiz(5))/2. Assim, f:(0,+inf) - (0,+inf) dada por: f(x) = ax^b, com b = (1+raiz(5))/2 e a = 1/b^(1/b) é tal que: f^(-1)(x) = f'(x) para cada x em (0,+inf). Mais uma aparição (inusitada ?)da razão áurea... *** O problema geral, de resolver a equação diferencial f'(x) = f^(-1)(x) em (0,+inf), me parece mais complicado. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 26 Oct 2005 10:29:51 -0200 Assunto: RES: RES: [obm-l] inversa = derivada Assim, talvez exista(m) esta(s) funcao(oes). Jah vimos que, se existir, esta f, da forma como definida abaixo, tem que ser estritamente crescente. Isto implica que f^(-1) = f' tambem seja estritamente crescente e positiva. Dado que f' existe e nunca se anula, segue-se que a derivada de f^(-1) tambem existe em todo o intervalo (0, +inf). E como f^(-1) = f', concluimos que f' eh diferenciavelem (0, +inf), ou seja, f'' existe em (0, +inf).Assim, uma condicao adicional para a existencia desta funcao eh que sua derivada segunda exista em (0, + inf).Nao que isso ajude muito.. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 19:02Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] inversa = derivada Mudemos o enunciado: Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) - (0,+inf) tal que: f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf). É possível achar todas as f com esta propriedade? []s, Claudio.
RES: [obm-l] inversa = derivada
Na minha outra mensagem sobre este assunto, faltou dizer que f eh estritamente monotonica porque, alem de ter uma inversa, eh continua, pois eh diferenciavel. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] inversa = derivada
Na minha outra mensagem sobre este assunto, faltou dizer que f eh estritamente monotonica porque, alem de ter uma inversa, eh continua, pois eh diferenciavel. Artur Poderia demonstrar essa parte também? Grato, David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
