Re: [obm-l] Soma de Fatoriais
on 1/10/03 11:39 PM, Thyago Alexandre Kufner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá! Esta questãozinha já tá, há algum tempo, me deixando sem sono! Alguém poderia me ajudar? Resolvendo 100 vezes a equação 1! + 2! + 3! +... + n! = y^2 no conjunto dos números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100 a n . As soluções inteiras em y encontram-se no intervalo: a)[-8,0] b)[-4,1] c)[-2,6] d)[-3,5] e)[-5,-1] resp D = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = Ola, Thyago, Nao sei se ja responderam a tua pergunta, mas a minha ideia eh a seguinte: Se n=1, entao a equacao eh y^2 = 1! = 1 = y = +1 ou y = -1. Se n=2, entao temos y^2 = 2! + 1! = 3, e a equacao nao tem solucao inteira. Se n=3, temos y^2 = 3! + 2! + 1! = 9. Dai, y = +3 ou y = -3. Se n=4, temos y^2 = 4! + 3! + 2! + 1! = 33, e y nao eh inteiro. A partir de n=5, as somas dos fatoriais vao terminar em 3. Como nenhum inteiro ao quadrados termina em 3, as unicas solucoes inteiras da equacao sao -3, -1, +1 e +3. Espero ter ajudado. Marcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma de Fatoriais
Experimentando, n=1 e n=3 sao soluçoes. n=2 e n=4 nao sao. Para n=4 a soma vale 33. A partir de 4, todos os fatoriais terminam em 0, o que faz com que a soma termine em 3. Como nao ha quadrados terminados em 3, nao ha outras soluçoes. Em Mon, 27 Aug 1956 20:56:33 -0300, Marcio [EMAIL PROTECTED] disse: on 1/10/03 11:39 PM, Thyago Alexandre Kufner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá! Esta questãozinha já tá, há algum tempo, me deixando sem sono! Alguém poderia me ajudar? Resolvendo 100 vezes a equação 1! + 2! + 3! +... + n! = y^2 no conjunto dos números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100 a n . As soluções inteiras em y encontram-se no intervalo: a)[-8,0] b)[-4,1] c)[-2,6] d)[-3,5] e)[-5,-1] resp D = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = Ola, Thyago, Nao sei se ja responderam a tua pergunta, mas a minha ideia eh a seguinte: Se n=1, entao a equacao eh y^2 = 1! = 1 = y = +1 ou y = -1. Se n=2, entao temos y^2 = 2! + 1! = 3, e a equacao nao tem solucao inteira. Se n=3, temos y^2 = 3! + 2! + 1! = 9. Dai, y = +3 ou y = -3. Se n=4, temos y^2 = 4! + 3! + 2! + 1! = 33, e y nao eh inteiro. A partir de n=5, as somas dos fatoriais vao terminar em 3. Como nenhum inteiro ao quadrados termina em 3, as unicas solucoes inteiras da equacao sao -3, -1, +1 e +3. Espero ter ajudado. Marcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Soma de Fatoriais
Olá! Veja que se n=1, temos y=1 e y=-1 sendo soluções. Se n=3, temos 1! + 2! + 3! = 9, e y=3 e y=-3 também servem. Das opções, o único intervalo q contém as 4 soluções é [- 3,5]. É interessante observar também que esses são os únicos pares (n,y) de inteiros que satisfazem, pois, como k! termina em zero para k=5, para n=4 a soma dos fatoriais de 1 a n terminará em 3 (pois 1+2+6+24=33), e sabemos q um quadrado perfeito nunca termina em 3. []s, thiago sobral Olá! Esta questãozinha já tá, há algum tempo, me deixando sem sono! Alguém poderia me ajudar? Resolvendo 100 vezes a equação 1! + 2! + 3! +... + n! = y^2 no conjunto dos números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100 a n . As soluções inteiras em y encontram-se no intervalo: a)[-8,0] b)[-4,1] c)[-2,6] d)[-3,5] e)[-5,-1] resp D __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Soma de fatoriais
Vajavamos eu e o Morgado na semana santa. Fui a Fortaleza. Ainda nao li tudo, alguem deve ter reparado, mas dah pra fazer por 10!. Abracos, olavo From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Soma de fatoriais Date: Sat, 30 Mar 2002 10:05:40 -0300 De 20! para cima todos os fatoriais são múltiplos de 100, pois contêm os fatores 20 e 5 _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Soma de fatoriais
De 20! para cima todos os fatoriais são múltiplos de 100, pois contêm os fatores 20 e 5 Siberia Olympia wrote: Por favor, Qual é o último algarismo não nulo do número 19! + 20! + 21! + ... + 96! + 97! ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Soma de fatoriais
Resposta: zero. Todos são múltiplos de 10: 19!= 2 x 3 x 4 x 5x ... x 19 = 10 x 3 x 4 x 6 x ... x 19 ... Por favor, Qual é o último algarismo não nulo do número 19! + 20! + 21! + ... + 96! + 97! ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Soma de fatoriais
Excelente idéia. Na verdade, de 20! para cima todos os fatoriais são múltiplos de 1 Benedito At 10:05 30/3/2002 -0300, you wrote: De 20! para cima todos os fatoriais são múltiplos de 100, pois contêm os fatores 20 e 5 Siberia Olympia wrote: Por favor, Qual é o último algarismo não nulo do número 19! + 20! + 21! + ... + 96! + 97! ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Soma de fatoriais
O Paulo respondeu qual é o último algarismo (isto é, o algarismo das unidades). O que se pede é o último não nulo (que está um pouco antes do algarismo das unidades). Benedito At 10:43 30/3/2002 -0300, you wrote: Resposta: zero. Todos são múltiplos de 10: 19!= 2 x 3 x 4 x 5x ... x 19 = 10 x 3 x 4 x 6 x ... x 19 ... Por favor, Qual é o último algarismo não nulo do número 19! + 20! + 21! + ... + 96! + 97! ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Soma de fatoriais
19! também é multiplo de 100 pois contêm os fatores 2, 5 e 10. Logo,... Augusto César Morgado wrote: De 20! para cima todos os fatoriais são múltiplos de 100, pois contêm os fatores 20 e 5 Siberia Olympia wrote: Por favor, Qual é o último algarismo não nulo do número 19! + 20! + 21! + ... + 96! + 97! ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Soma de fatoriais
n! p/ n=20 é múltiplo de 1000. ASsim S= 19! + ... + 97! == 19! (mod 1000) 19! é múltiplo de 1000 e não múltiplo de 1. Então o último algarismo será ( 19!/1000)%10 == 19 * 18 *17 * 16 * 3 * 14 *13 * 12 * 11 * 2 *9 * 7 * 6 * 4 *3 *2 (mod10) == 2 Espero não ter errado conta Até mais [ Vinicius José Fortuna ] [ [EMAIL PROTECTED] ] [ Visite www.viniciusf.cjb.net ] On Fri, 29 Mar 2002, Siberia Olympia wrote: Por favor, Qual é o último algarismo não nulo do número 19! + 20! + 21! + ... + 96! + 97! ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Soma de fatoriais
Qual é o último algarismo não nulo do número 19! + 20! + 21! + ... + 96! + 97! ? A solução do Vinícius está correta. Não prestei atenção ao não nulo! 19!=121645100408832000 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
